ديناميك شبكه الكتريكي
خلاصه:
ديناميك يك شبكه الكتريكي را مي توان با دانستن صفرها و قطب‌هايش به طور كامل توصيف كرد. هر ترانسفورماتور را مي توان با يك شبكه نردباني كه از حل مدار معادل آن به دست مي آيد بيان كرده و به كمك آن صفرها و قطب‌هاي تابع انتقال آن را به دست آورد. 

ما مي خواهيم يك راه حل كوتاه بر مبناي آناليز فضاي حالت را نشان دهيم. با استفاده از فضاي حالت و توابع لاپلاس شرايط مناسبي براي محاسبه عددي فراهم مي آيد. با استفاده از اين تركيب در عمل ديگر محدوديتي براي سايز شبكه و توپولوژي مدار كه شامل مقاومت‌ها و خازن‌ها و القاگرها است نداريم.
معرفي: ترانسفورماتورهاي HV را عموما براي مقاومت در برابر over voltageها و نيروي مدار كوتاه طراحي مي كنند وقوع اين پديده ها طبيعي و گريز ناپذير است و علت عمده خرابي هاي ترانسفورماتور است. تشخيص به موقع براي جلوگيري از خرابي ها بسيار مهم است براي رسيدن به اين مهم تست‌هاي تشخيص و condition montoring روش‌هايي است كه به ما كمك مي كند تا از وقوع خطاها آگاه شويم.

از ميان روشهاي تشخيص، TF روش بسيار مناسبي براي تعيين خطاهاي دي الكتريك است و تغير شكل‌هاي مكانيكي است. [۱]
چنانچه از اين روش براي تشخيص استفاده كنيم ،تفسير بهتر و دقيق‌تر TF براي شناسايي خطا الزامي است. مطالب جالب و متنوعي در مورد آناليز مدار معادل ترانسفورماتورها و قطب‌ها و صفرهاي تابع تبديل با توجه به نوع سيم بنديها و تاثير آنها بر روي يكديگر (inter action) به طور كامل بحث شده است.

همانطور كه در ‌[۲] اشاره شده است ، اگر صفر و قطب هاي يك سيستم يا شبكه الكتريكي را بدانيم مي توانيم ديناميك آن را به طور دقيق تعريف كنيم. به اين وجود تاثير صفرها در شكل تابع تبديل خيلي مورد توجه نبوده است. اما در [۲] تفسيرهاي مفيدي از صفر تابع تبديل اعلام شده است و حذف صفر و قطب‌هاي نزديك به هم را به خوبي بيان كرده است آنچه مشخص است دانستن صفرها همانطور كه انتظار مي رود مفيد است. به ويژه وقتي بخواهيم جزئيات بيشتري در رابطه با سيم بندي‌هاي چند گانه و تداخل (interaction) آنها بدانيم.

شكل (۱) مدار معادل يك ترانسفورماتور در سيم پيچ را نشان مي دهد. محاسبه فركانس‌هاي طبيعي و توزيع ولتاژ دو موضوع مورد علاقه ماست. موارد زير به عنوان نكاتي هستند كه در نمايش مدار معدل سايز بزرگ و تحليل آن بايد مورد توجه قرار گيرند.
معمولا براي نمايش بهتر و همچنين براي به دست آوردن تمام فركانس‌هاي طبيعي مدار قسمت‌هايي را به مدار اضافه مي‌كنيم.
براي تصحيح تفسير و درك بهتر تابع تبديل اندازه گيري شده از ترانسفورماتور بسيار ضروري است تمام تداخل بين سيم پيچ‌ها را در نظر بگيريم [۳].
براي اينكه پاسخ ما واقعي تر گردد بايد اتلاف‌ها را در نظر بگيريم.

جاي شكل
.IIراهكارهاي موجود درحل مسائل
در اين قسمت اشاره كوتاهي به متدهاي موجود براي حل شكل (۱)
(براي توزيع ولتاژ و فركانس هاي طبيعي كرده ايم.

۱) اگر چه نرم افزارهاي براي آناليز مدار را مي توانيم مورد استفاده قرار دهيم اما آنها فقط شماتيكي از نتيجه TF را نشان مي دهند و اطلاعات كافي درباره قطب وصفر به ما نمي دهند . زيرا در اين نرم افزارهاي تمايز بين دو قطب نزديك به هم و يا جفت صفر و قطب نزديك به هم ( حذف صفر و قطب ) را بسيارمشكل مي توان تشخيص داد.
۲) در اواسط دهه ۱۹۵۰ يك روش از س

وي ABETTI [4] پيشنهاد شد و او از آناليز گره اي براي آناليز مدار معادل يك سيستم كه شامل سيم پيچي دو كوپله بودند استفاده كرد كه فقط براي تعيين فركانس هاي طبيعي مدارهاي سايز كوچك مورد استفاده قرار گرفت .
۳) در سال ۱۹۶۴، Guruaij [5] متد پاسخ توسعه يافته را ارائه كرد كه بر مبناي راهكار مقادير ويژه بود. اين روش به ما در به دست آوردن فركانس‌هاي طبيعي و توزيع ولتاژ كمك مي كند و مورد استفاده براي شبكه هاي بزرگ است.
۴) در سال ۱۹۷۷ و Degene ff [6] يك روش مشابه كه از ماتريس گره اي ادميتانس بود ارائه داد يكي از شرايط آن بدين صورت است كه اتلاف را در نظر نگيريم.
۵) FERGETAD [7] در سال ۱۹۷۴ يك راهكار برمبناي فرمول فضاي حالت براي محاسبه نوسانات ارائه داد در اين روش قطب ها مستقيما از مقادير ويژه سيتم و صفرها از معكوس سيستم بدست مي آمد كه روش سر راستي نيست.

III .محاسبه تابع تبديل به كمك فضاي حالت:
روش متغير حالت يك روش بسيار كارآمد براي توصيف رفتار ديناميك يك سيستم يا شبكه روش متغير حالت است KUH وRohrer [8] كارهايي روي آن براي تحليل شبكه انجام داده اند و نتايج را اعلام كرده اند . فضاي حالت برروي سيستم غير خطي متغير با زمان مانند سيستم جايي كه روشهاي كلاسيك از توصيف آن عاجز بودند گسترش يافته است (۱)

به طوري كه كيفيت رفتارسيستم،پسيويته، با زمان خطي ، پايداري و … به راحتي با مشخصات متغير حالت قابل بيان است. از مزاياي ديگر اين روش،سيستم با معادله ديفرانسيل مرتبه اول توصيف مي شود و برروي برنامه نويسي بر روي كامپيوتر هاي ديجيتال مناسب است .
A تعريف ها.

حالت يك سيستم بايد اطلاعات كاملي از ديناميك سيستم به ما بدهد يك انتخاب مناسب برروي متغيرهاي حالت آن است كه مجموعه اي معادلات ديفرانسيل خطي مرتبه اول كه از هم مستقل هستند را انتخاب كنيم.
[۹] .

عمومي شكل كه براي معادلات خطي lti بيان مي شود
X : متغيرهاي حالت
: مشتق زماني متغيرهاي حالت
U : بردار ورودي
Y بردار خروجي
(A,B.C,D) :ماتريس هاي ثابت هستند
B: انتخاب متغير حالت

براي يك سيستم كه مورد آناليز قرار مي گيرد انتخاب متغيرهاي حالت يكتا نيست . انتخاب تصادفي متغيرهاي حالت ممكن است پيچيدگي را افزايش دهد. براي اجتناب ازاين حالت ها ، راهنمايي هايي براي انتخاب متغير حالت وجود دارد .

متغيرهاي حالت معمولاً با كمك المان هاي ذخيره كننده انرژي تعيين مي شوند در واقع ما به تعداد المان هاي مستقل در يك شبكه متغير حالت كمتري داريم به طور مثال در شكل (۱) تعداد متغيرهاي حالت كمتر از عناصر ذخيره كننده انرژي است [۱۰]. بر پايه اين مدل جريان هاي اندوكتانس ها و ولتاژ خازن ها را به عنوان متغيرهاي حالت مطلوب در نظر مي گيريم . به عنوان مثال در يك سيستم به كمك گراف ، گره ها را مشخص مي كنيم درختي كه از عناصر ذخيره كننده تشكيل ميدهد و از همه گره‌ها مي‌گذرد را مي‌توان به عنوان متغير حالت در نظر گرفت

براي مدل مدارنشان داده شده درشكل (۱) متغيرهاي حالت را بدين صورت انتخاب مي كنيم .
۱) جريان القاگرهاي سيم پيچ اوليه
X1=i1 , X2=i2 , Xn1= in1
2) جريان القاگرهاي سيم پيچ ثانويه
Xn+1= , …. , Xn1+n2= n2
3) ولتاژ هاي گره سيم پيچي اوليه

Xn1+n2+1=e2
Xn1+n2+1=e3, … , X2n1+n2-1=en1
4) ولتاژ هاي گره سيم پيچي ثانويه

X2n1+n2= 2
X2n1+n2+1=
.X2n1+2n2-2= n2
بنابراين تعداد متغيرهاي حالت كل=۲n1_2n2-2 را بدست مي آيد.
C : فرمول بندي مدل حالت
معادلات حالت كه در اينجا فرمول بندي مي شود بروي يك ترانسفور ماتور دو سيم پيچي شكل (۱) است كه در ثانويه آن مدار كوتاه است. وقتي ترمينال سيم پيچي دومي حالتي ديگر است به طور مشابه فرمول بندي ميشود

۱) مشتق هاي زماني جريان هاي القايي :
V1 تا Vn1 و Vn1 تا نمايش دهنده ولتاژ القاگرهاي طرف اوليه و ثانويه باشند همين طور ‌‌‌‍[L] نمايش دهند ماتريس اندوكتانسهاي سلف‌ها و اندوكتانس هاي متقابل مدار مي باشند. رابطه بين مشتق جريان اندوكتانس با ولتاژ دو سر آن از رابطه (۴) بدست مي آيد.
به طوري كه با توجه به اينكه سيم پيچي طرف دوم اتصال كوتاه است داريم:

(R) را ماتريس قطري با رابطه زير است

اگر را اينطور تعريف كنيم

با استفاده از (۶) و (۷) و ولتاژ گره ها و به كمك (۵) بدين صورت ساده مي شود.
اگر بر ماتريس هاي متشق زماني جريان‌هاي القاگر و ولتاژ گره‌ها ولتاژهاي ورودي دلالت كنند و به اين شكل توصيف كنيم به طوري كه
رابطه (۸) تبديل مي شود به
بنابراين مشتق زماني جريان القاگرها به جريان القاگر و ولتاژ گره ها و ولتاژ ورودي وابسته مي شود.
به كمك قانون KCL براي مدار شكل (۱) داريم

كه ‍ ماتريس كپسيتانس گره اي مدار مي باشد. معادلات بالا را مي توان به صورت زير نوشت.
جايي كه ‍]T] يك ماتريس (n1+n2)x(n1+n2) است و به صورت زير توصيف مي شود.
جايي كه [۱T] ماتريس با بعد n1*n1 است و به صورت زير توصيف مي شود.
[۲T] همان شكل [۱T] را خواهد داشت با اين تفاوت كه n2*n2 است. با توجه به اين كه مدار دومي اتصال كوتاه است. رابطه (۱۴) تبديل خواهد شد:
كه ‍]k1] در واقع (n1+1) ستون [K] است.
نظر به اينكه انتهاي گره هاي خطوط سيم پيچي اوليه و ثانويه به پتانسيل e1 (ولتاژ ورودي) و طرف ديگر آن o است كاربرد KCL براي اين گره‌ها معادلات اضافه را نتيجه مي دهد.

براي اجتناب از اين اضافه ها رابطه (۱۷) را به اين صورت اصلاح مي كنيم .
با جدا سازي مشتقات متغيرهاي حالت و ولتاژ ورودي رابطه بالا به صورت زير اصلاح مي شود.

جايي كه ‍‌[Ta] و مطابق اولين و امين سطر و است.
به طوري كه و از معادله استتناج مي شود به طوري كه
اگر و ماتريس هايي باشند كه مشتق زماني ولتاژ گره ها را به جريان هاي القاگر و مشتق زماني ولتاژ ورودي مربوط مي سازند آنگاه داريم