بردتابع
برد تابع عبارت است از مجموعه ي مقاديري كه تحت تاثير قانون تابع برروي عناصر دامنه به وجود مي آيد.
نكته:
براي محاسبه ي مقادير تابع عدد انتخابي(x) را در ضابطه ي داده شده قرار داده حاصل عبارت را محاسبه كرده و مقدار تابع مشخص مي شود.
الف) اگر تابع به صورت زوج مرتب باشد مقدار تابع مولفه هاي دوم زوجهاي مرتب است.f={(1,2), (0,-1),(2,4),(5,3 (}
مثال:
در صورتي كه تابع f به صورت
F(1)=2 F(2)=4 F(0)=-1 F(5)=3 F(6)=تعريف نشده
ب) اگر ضابطه ي تابع به صورت يك عبارت جبري باشد عدد انتخابي را جانشين x نموده و حاصل عبارت را محاسبه مي كنيم .

مثال:
در صورتي كه = (F(X باشد مقادير زيرا را حساب كنيد. F (1) = 0 F (2) = – تعريف نشده F (-2) = F (0)=
نكته:
در صورتي كه ضابطه ي تابع به صورت چند ضابطه اي بيان شود براي محاسبه ي مقادير تابع ابتدا مشخص مي كنيم عدد داده شده مربوط به كدام يك از نواحي مشخص شده است سپس با استفاده از ضابطه اي آن قسمت مقدار تابع را محاسبه مي كنيم.
مثال: در صورتي كه f (x) به صورت زير تعريف شده باشند مقادير خواسته شده را بيابيد.
F(x) =
F (-3) = 3(-3) + 1= -9 + 1 =-8
F (-3) = -1-2 = -3
F (2) = 2-4(2) =2-8 =-6

نكته:
اگر تابع به صورت زوج مرتب داده شده باشد برد تابع مجموعه ي مولفه هاي دوم زوجهاي مرتب است
مثال:
برد تابع f كه به صورت زير تعريف شده است را مشخص كنيد.
F{ (-1,4), (0,1),(3,4),(2,5),(-2,4)}
= {4, 1, 5, 3} R
نكته:
براي محاسبه ي برد توابع كه ضابطه ي آنها مشخص شده است روش مشخص شده است روش مشخص نداریم ولي با توجه به خواص و ويژگيهاي توابع برخي از آنها را به صورت زير معرفي مي نماييم.
۱) توابع چند جمله اي كه به صورت
F(X) = ax + a m
الف) اگر n درجه ي چند جمله اي فرد باشد برد آن R است.
n=2k + 1 R =R
ب) اگر درجه ي چند جمله اي زوج باشد برد آن از, max) (-و يا از( + و min) است.

n=2k

نكته:
اگر در توابع چند جمله اي n=2 باشد اين توابع را توابع درجه ي دوم ناميده و به صورت c + b x + F(X)= axنمايش مي دهيم.
نكته:
در توابع درجه دوم فوق ذكر در صورتي كه a ضريب x مثبت باشد تابع داراي min بوده و برد آن از) ( min , + خواهد بود و min اين توابع از رابطه اي) + و (- بدست مي آيد .
a>0 f
نكته:
در توابع درجه ي دوم اگر a منفي باشد تابع داراي max بوده و maxآن از رابطه ي محاسبه شده و برد تابع از – تا خواهد بود.
a<0 R = (- , max) = (- , )
مثال:
برد توابع زير را محاسبه كنيد.

۱) f(x)= x + 3x- 4 a>0 min
min= = -( ) = -( ) = –
R =
2) f (x) =-x +x-4 a<0 max
=b – 4ac= 1-4 (-1) (-4) =1-16 = -15
R = (- , ) =
3) f (x) = R=
x +x –۶ a>0 min

نكته:
R {min, + } , min<0 R ={0, + }
R ={min, + } , min>0 R ={ , + }
MAX>0 R = {0, }
MAX<0 R =
F (x) = a<0 max
= b – 4ac = 1+ 20 = 21
m a x = =
R = {- } R = {0, }
2) اگر درضابطه اي تابع بتوان x را بر حسب y محاسبه نمود دامنه ي عبارت به وجود آمده برد تابع است.
مثال:
برد تابع زير را بيابيد:

۲XY – ۳Y = X+1 2XY – X= 3Y+1
X(2Y-1) = 3Y+1 X =
2Y – 1 = 0 2Y = 1 Y = R 2Y = 1 Y =
R = – { }
نكته :
اگر تابع به صورت كلی Y=باشد برد تابع همواره همه ي اعداد حقيقي به جزء نسبت ضرايب x صورت و x مخرج مي باشد.
R = 1R – { }
و به طور كلي در توابع گويا كه درجه ي صورت و مخرج برابر باشند ضريب بزرگترين جمله ي صورت به بزرگترين جمله ي مخرج به وجود مي آيد.
۳) در توابع همواره صعودي و همواره نزولي در صورتي كه فاصله ي معيني تعريف شد ه باشند برد به صورت زير است.
D = همواره صعودي
D = همواره نزولي
مثال:
۱) f (x) = x
صعودي همواره
۲) f (x) = -x
همواره نزولی
۴ – در توابعي كه ضابطه ي آنها از دو جزء تشكيل شده و مجموع اين دو جزء مقدار ثابتي باشد بيشترين مقدار آن زماني به وجود مي آيد كه هر كدام از آن قسمتها برابر نصف مقدار ثابت باشد.
F(x) =
Max =

برد بعضي از توابع خاص:
R
R
R
R
R
R

توابع خاص : ۱- تابع صماني: هر تابعي كه هر عضو دامنه را به خود همان عضو نسبت دهد را تابع صماني و ضابطه ي آن را به صورت I(X)=X نشان مي دهيم.
نكته:
در توابع صماني دامنه و برد برابر است ولي هر تابعي كه دامنه و برد يكساني داشته باشد صماني نيست.

F(1)=2
D = {1, 2, 3, 4} R = {1, 2, 3, 4}
نكته:
نمودار تابع صماني كه به صورت Y=X مي باشد نيمساز ربع اول و سوم در دستگاه مختصات است.
۲) تابع ثابت: هر تابع كه برد آن فقط يك مقدار تنها باشد را تابع ثابت ناميده و به صورت F(X)=C نشان مي دهيم. نمودار تابع ثابت پاره خط يا خطي است موازي محور Xها در دامنه ي تعريفش .
۳) تابع s g n يا علامت: تابع علامت به صورت زير تعريف مي شود و نمودار آن هم به شكل زير است.
x>0 1
S g n (x) = x=0
x<0 -1

دامنه ي تابع R S g n بوده و برد آن مجموعه ي سه عضوي

۴) تابع قدر مطلق:

f (x) =

۵)

-۳ -۲ -۱ ۱ ۲ ۳

F(x) = x
تساوي دو تابع:
دو تابع f و g را مساوي گوييم اگر در شرايط زير صدق كنند.
الف)

۲) براي هر عضو مشترك دامنه مقدار يكساني ايجاد نمايد.
(
تذكر:
تعريف تساوي دو تابع هيچگاه به اين معني نخواهد بود كه اگر دو تابع دامنه هاي مساوي و بردهاي مساوي داشته باشند برابرند به عنوان نمونه:
F(x) = sin x g(x) = c o s x
D R
F (0) = Sin
G (0) = Co s
تساوي توابع زير را بررسي كنيد.
F(x) = g(x) =
D D D
2) F(x) = g(x) =
2-x
D x- 3 > 0
D

مساويند.

F (0) = 0 , g (0) = -1
F (0)
7) F(X) =

۸) F(x) = I o g (x ) g(x) = 2 I o g (x )
D , D

۹) F(X) = g (x) =
D D

۱۰) F(x) = g (x) = 1
D D

تاثير اعمال جمع و تفريق ضرب و تقسيم بر متغير مستقل و وابسته در تابع: ا) اگر تابع f(x+1) f(x) تبديل شود:
الف) اگر a>0 باشد و دامنه ي تابع فاصله ی باشد به مقدار a از دامنه ی تابع کاسته شده برد تابع تغییر نکرده نمودار تابع به اندازه ی a در جهت منفی محور x ها جابه جا می شود.
,
ب) اگرa منفي باشد و دامنه فاصل ي دامنه ي تابع به اندازه ي a اضافه مي شود برد تابع تغير نكرده و نمودار تابع به اندازه ي قدر مطلق a در جهت مثبت ممحور x ها جابه جا مي شود.
A<0 D
D

۲) اگر f(x) به f(x)+a تغير كند.
الف) اگر a>0 و برد تابع فاصله ي باشد دامنه ي تابع تغيير نكرده به برد تابع به اندازه ي a اضافه شده و نمودار تابع a واحد در جهت مثبت محور y ها بالا مي رود.
a> 0 , R
ب) اگر a منفي باشد و برد تابع فاصله ي {dوc} دامنه ي تابع تغير نكرده از برد تابع به اندازه ي قدر مطلق a كاسته مي شود و نمودار تابع به الندازه ي قدر مطلقa واحد در جهت منفي محور yها پايين مي رود.
A<0 , R

۳) اگر F(X) تغيير كند.
الف) اگر a>1 باشد دامنه ي تابع بر a تقسيم شده برد تابع تغيير نكرده و نمودار تابع فشرده تر شده در راستاي محور x ها
a>1 D R
ب) اگر a=1 باشد دامنه برد و نمودار تابع تغيير نمي كند
ج) اگر ۰<a< 1باشد در اين صورت دامنه ي تابع در معكوس a ضرب مي شود برد تغيير نكرده و نمودار تابع در راستاي محور x ها گسترده مي شود.
D
د) اگر a=0 دامنه ي تابع تغيير نكرده برد تابع f(0) خواهد شد و نمودار تابع پاره خطي به معادله ي y=f(0) در دامنه ي تعريف تابع خواهد بود.
R
ه) اگر -۱< a< 0 باشد دامنه ي تعريف تابع ضمن قرينه شدن در نيزضرب مي شود برد تابع تغيير نكرده و نمودار تابع نسبت به محورyها قرينه شود
D
و) اگر a= -1باشد دامنه ي تابع نسبت به محور y ها قرينه شده برد تابع تغيير نمي كند و نمودار تابع نيز بدون تغيير نسبت به محور y ها قرينه مي شود.
A=-1
ز) اگر a<-1باشد دامنه ي تعريف تابع ضمن قرينه شدن برقدر مطلق a تقسيم مي شود برد تابع تغيير نكرده ونمودار تابع ضمن قرينا شدن نسبت به محور x ها فشرده مي شود.
R
a<-1 D
4) اگر f(x)تغيير كند.
الف) a>1 دامنه ي تابع نكرده برد تابع a برابر شده و نمودار تابع در راستاي قائم كشيده مي شود.
a>1
ب) اگر a=1 دامنه، برد و نمودار هيچ تغيير ي نمي كند.
ج) اگر ۰< a< 1باشد دامنه ي تابع تغيير نكرده برد تابع به نسبت a فشرده شده و نمودار تابع در راستاي قائم فشرده مي شود.
۰<a<1
د) اگر a=0 دامنهي تابع تغيير نكرده برد تابع فقط عدد صفر خواهد بود و نمودار تابع پاره خط y=0 در دامنه ي تعريف تابع بوده
پ) اگر -۱<a<0باشد دامنه ي تابع تغيير نكرده برد تابع نسبت به محور x ها قرينه شده و به نسبت a فشرده مي شود.

و) اگر a= -1 باشد دامنه تغيير نكرده برد و نمودار فقط نسبت به محور xها قرينه مي شود.
D R
ز) اگرa< -1 باشد، دامنه تغير نكرده برد تابع ضمن قرينه شدن aبرابر مي شود و نمودار تابع ضمن قرينه شدن نسبت به محور x ها گسترده مي شود.
D
نكته:
اگر چنانچه هر كدام از تغييرات با يكديگر برروي ظابطه ي تابع انجام شود برروي دامنه و برد و نمودار تغييرات را به طور مقوايي انجام مي دهيم.
نكته:
براي انجام تغيرات برروي تابع از درون به بيرون عمل مي كنيم يعني ابتدا ضرب در دامنه و سپس جمع و تفريق بر دامنه و سپس ضرب در برد و آنگاه جمع و تفريق برد.
Y= a f (b x + c) + d
مثال:
نمودار تابع معین F با دامنه ی و برد در شکل زیر داده شده است اولا نمودار F(2X) + 1 را رسم کنید ثانیا دامنه و برد ان را تعیین کنید؟

Y = F (2X) + 1
D R=
نكته:
تغييراتي كه بر روي متغيير مستقل يا آزاد انجام مي شود به طور معكوس در دامنه ي تابع تاثير مي گذارد و تغييراتي كه بر روي متغيير وابسته يا تابع ايجاد مي شود به طور مستقيم در ربد تابع اثر ني گذارد.
نكته:
اگر چندين تغيير در يك تابع برروي متغير مستقل و وابسته اتفاق بافتد همه ي تغييرات به طور متوالي بر روي تابع با توجه به شرايط گفته شده انجام مي شود.
نكته:
اولويتهاي انجام تغييرات بر تابع از درون به برون بوده و اولويت بافرب، نسبت به جمع و تفريق مي باشد.

ياد آوري: براي نوشتن معادله ي خطي كه بر دو نقطه ي مشخص مي گذرد ابتدا با استفاده از فرمول شيیب شيب خط را محاسبه كرده سپس با استفاده از فرمول معادله ي خط که در آن m شيب و x0 وy0 طول و عرض يكي از دو نقطه ي دلخواه مي باشد معادله ي خط را مي نويسيم.
مجانب قائم:

براي نمودار يك تابع در صورتي كه خطي مانند x=x0 وجود داشته و اين خط در بي نهايت بر منحني مماس شود گوييم خط x=x0 مجانب قائم منحني است و يا به عبارت ديگر اگر x به سمت x0 ميل كند و حد تابع مثبت و منفي بي نهايت شود گوييم خط x=x0 مجانب قائم منحني است.

نكته:
شرط وجود مجانب قائم آن است كه اولا ظابطه ي تابع كسري بوده و ثانيا مخرج كسر داراي ريشه باشد.
مجانب دارد.

۲ SIN – ۱ = ۰
نكته:
با توجه به مطالب فوق براي تعيين مجانب قائم يك منحني كافيست مخرج را مساوي صفر قرار داده ريشه هاي آن را مشخص نماييم در صورتي كه حد تابع در آن ريشه ها بي نهايت شود آنها را به عنوان مجانب قائم مي پذيريم.

غ ق ق مجانب قائم

نكته:
در تعيين مجانبهاي قائم در صورتي كه ريشه ي ساده ي مخرج ريشه ي ساده ي صورت نيز باشد آن مقدار به عنوان مجانب قائم نمي تواند باشد و در صورتي كه ريشه ي مضاعف مخرج (توانهاي زوج) ريشه ي ساده ي صورت (توانهاي فرد) آن مقدار مجانب قائم خواهد بود.

نكته:
براي آنكه ريشه هاي مخرج به عنوان مجانب قائم پذيرفته شوند بايد تابع در همسايگي آن تعريف شده باشد.
مثال:
مجانبهاي زير را بيابيد.

نكته:
با توجه به مطالب بالا براي مشخص نمودن مجانب قائم منحني به صورت زير عمل مي كنيم:
الف) در صورتي كه تابع كسري بوده و ريشه ي مخرج وجود داشته باشد امكان وجود مجانب قائم مي باشد.
ب) ريشه هاي مخرج را مشخص مي كنيم.
ج) در صورتي كه ريشه ي مخرج ريشه ي صورت باشد(هر دو ريشه ساده) آن ريشه مجانب قائم نيست و در صورتي كه ريشه ي مضاعف مخرج بود و ريشه ي ساده ي صورت آن ريشه مجانب قائم است.
د) در صورتي كه تابع در همسايگي ريشه ي مخرج تعريف نشده باشد اي مقدار مجانب قائم نيست.
تذكر:
براي مجانب قائم بودن ريشه ي مخرج از يم طرف بتوانيم به آن نزديك شويم كفايت مي كند يعني حد چپ يا حد راست تابع در آن نقطه بي نهايت شود آن مقدار مجانب قائم خواهد بود.
تذكر:
همواره در تعيين مجانب قائم ملاك تعريف مجانب است.
حد دذر بي نهايت: منظور از مفهوم حد در بي نهايت محاسبه ي حد توابع در صورتي كه x از هر عدد بزرگي بزرگتر (x برود به سمت + ) د يا x از هر عدد كوچكي كوچكتر شود(x برود به سمت -) مي باشد.

نكته: براي محاسبه ي حد توابع در بي نهايت سه مطلب زير را همواره مد نظر قرار مي دهيم :
۱) حد در صفر است.
x 10 100 1000… +
۰/۱ ۰/۰۱ ۰/۰۰۱… ۰

x – 10 -100 -1000 … –
-۰/۱ -۰/۰۱ -۰/۰۰۱ … ۰
نكته: در محاسبه ي حد توابع در بي نهايت هرگاه حاصل يك حد تقسيم عدد بر بي هنايت باشد مقدار حد صفر است.

۲) حد یک جمله ای طبق جدول زیر محاسبه می شود.

۳)حد يك جمله اي در بي نهايت با حد بزرگترين توان يك جمله اي هاي آن برابر است.

مثال:
حدود زير را محاسبه كنيد.

تعریف نشده