_ منطق هاي چند ارزشي ياmultivalued logics

اكنون بدرستي مي توان درك نمود كه تنها قضاياي مربوط به رخدادهاي اينده نيستند كه داراي مشكل عدم تعيين اند.دررشته هايي مثل مكانيك كوانتوم‘ارزش درستي بعضي از قضايا ذاتا داراي خواصيت عدم تعيين مي باشند. يكي از علل اين وضعيت ممكن است محدوديتهاي پايه اي و اساسي در اندازه گيريهاي پديده هاي بسيار بسيار ريز باشد. اين موضوع با ملاحظه اصل معروف عدم قطعيت هايزنبرگ قابل درك است . بنابراين براي قضاوت روي اين قضايا بايستي چهارچوبهاي منطقي كه قادربه ملحوظ نمودن عدم حتميت وعدم قطعيت باشد تدوين نمود . اينگونه منطقهارا منطق چند ارزشي نامند .

• منطق سه ارزشي
منطقهاي چندارزشي با تخفيف دو حالت صحيح وغلط درمنطق دو ارزشي كلاسيك وتجويز ارزشهاي درستي بيشتر از اين دو حد اغاز ميگردند . اين ارزشها را ارزشهاي مياني نامند . در منطق سه ارزشي تنها يك ارزش درستي مياني وجود دارد . در منطقهاي سه ارزشي موجود معمولا سه ارزش صفر‘نيم ويك بكار رفته

اند . بكار بردن ارزش درستي ميانه طبيعتا روي تعاريف جدول- درستي ادات پنجگانه منطق كلاسيك تاثيرگذاربودهاست. ليكن بدليل اتكا استدلات دراينگونه منطقها باادراكات مربوط به معاني قضاياي مركب بياني ‘تمامي ويژگيهاي ادات
پنجگانه منطق كلاسيك با تعاريف اين ادات در منطق سه ارزشي كاملا سازگاري ندارند . البته عملگر نفي را كه در ان متمم قضيه p(¬p) با p-1 تعريف شده را بايستي مستثني نمود.جدول ۱
¬p p

۱ ۰

۲/۱ ۲/۱

۰ ۱

جدول(۱) نفي سه – ارزشي

تعاريف ساير ادات (۸‘۷‘ ‘ ) در منطق هاي سه ارزشي گوناگون متفاوت اند . درجدول (۲) سه ارزشي بر ارزشي بر مبني نوع تعريف ادات منطقي چهارگانه بالا نشان داده شده است . مشاهده ميگردد كه تعاريف اذات پنجگانه كلاسيك براي ارزشهاي صفر ويك حفظ شده ‘ لكن رفتار اين ادات با ارزش درستي نيم(۲/۱)در مدلهاي مختلف متفاوت است .

جدول (۲) رفتارادات پنجگانه در منطق هاي سه – ارزشي گوناگون

بدليل رفتار گوناگون ادات در مدلهاي مختلف منطق سه ارزشي‘اين منطقها قانون تناقص (۰=¬p p^ ), قانون نفي شق سوم (۱=¬p p^ ) وساير قضاياي تاتولوژي (قضايايي كه همواره صحيح اند) كه در منطق دو ارزشي صادق اند را ارضا نمي نمايند . مثلا منطق سه- ارزشي بوچوار كه در جدول (۲) نشان داده شده‘هيچ يك از تاتولوژيهاي منطق دو- ارزشي را بدليل اينكه اگر يكي از قضاياي جزئيه ان داراي ارزش نيم باشد هر يك از ادات ان توليد ارزش نيم مي نمايد‘ تاتولوژي توليد نمي كند . بنابراين در منطق بوچوار هيچ تاتولوژي كلاسيك در هرسطرجدول درستي ان ‘مقداردرستي يك را بدست نمي اورد.بدين مناسبت‘درمنطقهاي سه-ارزشي بجاي مفهوم تاتولوژي ازمفهوم عام ترشبه تاتولوژي استفاده مي گردد . اين مفهوم عام تر است زيرابراي قضاياي باارزش درستي كمترازيك نيزقبول ان قابل توجيه است.

يك فرمول منطقي درمنطق سه-ارزشي كه بدون توجه به قرار دادن ارزش درستي به فضاياي جزئيه ان ارزش درستي صفر(غلط) رافرض نكند راشبه تاتولوژي گويند.عبارتي كه ضرورتا صحيح نيست . همينطور يك فرمول منطقي كه ارزش درستي يك (صحيح ) را فرض نكند يك شبه تناقص گويند . براي مقايسه اثرات هريك از اثرات هر يك از منطق هاي سه ارزشي روي تاتولوژي
كلاسيك‘ جداول (۳) ‘ (۴) ‘(۵) را كه نمايانگر جداول درستي براي هر يك از
قوانين دمورگان بوده ودر منطق هاي بوچوار و كلن بكار رفته ملاحظه نمائيد.

از مشخصات مشترك بين جداول درستي بوچار وكلن اين است كه در بعضي از سطور زير ادات اصلي تساوي در هر جدول ارزش ۲/۱ را قرار مي دهد . بنابر اين در اين منطق قانون دمورگان يك تاتولوژي كلاسيك نيست . انها در سطوري كه قضايا داراي ارزش ۲/۱ هستند متفاوتند :
در سطر دوم جداول درستي مربوطه بطور وضوح بوچوار در شرايطي كه عطف امكان صحت داشته باشد ليبرال تر از كلن بوده ليكن در شرايط درستي فصل تحديد كننده تر است . برعكس ‘ در منطق لاكازويكز‘ همه ارزشهاي زيرتساوي برابر يك بوده و بنابراين منطق فوق قانون دمورگان رابهمان روش منطق دو ارزشي ارزيابي مي كند . منطق لاكازويكر شبيه منطق كلن در وضعيتي كه يك عطف را صحيح بشمارد تحديد كننده تر است . شبيه منطق كلن‘ منطق لاكازويكر ليبرال تر از منطق بوچوار درشرايط درستي فصل است . ليكن حتي هنگاميكه هر دو عنصر داراي ارزش ۲/۱ باشند ‘ منطق لاكزويكز عليرغم منطق هاي بوچوار وكلن به تساوي ارزش درستي يك رااختصاص مي دهد.

ارزشهاي درستي مياني نه تنها بر مفاهيم تاتولوژي وتناقص تاثيرگذار بوده بلكه تحول عظيمي در چگونگي تفكر روي قواعد استنتاج ايجاد نموده است . قابل ذكر
است كه قاعده استنتاج قياسي را مي توان با يك قضيه تاتولوژي بيان نمود . مثلا قاعده وضع مقدم را مي توان بصورت قضيه زير بيان نمود :
p ]=»q ^([ ( p =» q‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍

كه يك تاتولوژي در يك جدول درستي كلاسيك است . ليكن اين قاعده در منطق سه – ارزشي شبه تاتولوژي است (به جدول( ۶) مراجعه شود ). استدلال نمودن با استفاده ازاطلاعاتي كه در اين جدول امده‘ ما رابااين امررهنمون ميسازد كه بدليل اينكه قضيه اي كه قاعده وضع مقدم را توصيف مي كند يك تاتولوژي نيست‘ قاعده استنتاج داراي اعتبار قطعي نيست . بنابراين انتظار داريم كه باوسعت بخشيدن به مفهوم درستي مفهوم اعتبار نيز وسعت يابد .
جدول (۶) تفسير لاكازويكز از قاعده وضع مقدم

اخرين سوال ممكن عبارتست از اينكه قضاوت روي تفسير مفاهيم ليرال يا تحديد ادات منطقي چگونه است ؟
يك پاسخ اين است كه براي تفسير ادات منطقي نيازمند به اتخاذ بينش پايه اي و بنيادين درباره مفهوم درستي يك قضيه مي باشد . مثلا ما انتظار داريم كه هيچ دلالتي هنگاميكه مقدمه صحيح وتالي ان غلط است صحيح نباشد (در غير اين صورت مفهوم استدلال صحيح قابل فهم نيست ). بنابراين‘ تفسير قضايا در منطق سه ارزشي بايستي از قواعد مربوط به صحت اجزا مشتق شده ازكاركردهاي مورد نظرتبعيت كند . ليكن‘ همانگونه كه مشاهده شده‘ انسانها كاركردهاي كاملا شبيه به هم در ذهن نداشته وبنابراين تصورلتمشابه نيز ندارند . اين موضوع دليلي براين است كه جداول درستي براي نمونه هاي تاتولوژي ما با همديگر متفاوتند.

• منطقهاي n – ارزشي
بدليل معني دار بودن و موفقيت منطق سه – ارزشي در تفسير پديده ها وقضاياي منطق ‘ منطقيون در منطقهاي چند – ارزشي وتفاسير و تعابير خاص ان متمركز شدند . ايده اصلي در بيان منطق چند ارزشي اين بود كه بدليل مجاز بودن ما در اختصاص ارزش درستي ۲/۱ به يك قضيه مانند p(كه بمعني ميانه كاملا درست وكاملا غلط است ) ميتوان روي قضايايي فكر كرد كه بيشتر درست وكمترغلط اند
اين ارزش درستي درستي قضيه p را ممكن است با عدد ۴/۳ نشان داد . همينطور
قضيه اي كه بيشتر غلط است را مي توان با ارزش درستي ۴/۱ نشان داد . يا مثلا قضيه اي كه بسيار غلط است را ميتوان با ارزش درستي ۸/۷ نشان داد . بنابراين مشاهده مي شوذ كه منطق n- ارزشي براي نمايش رتبه هاي زياد ودسته هاي وسيع حدود درستي و حدود غلط بودن بكار رفته‘ درحاليكه منطق دو ارزشي تنها دو ارزش نهايي را قابل قبول ميداند .

ارزش هاي درستي در منطق عموميت يافته n-ارزشي را معمولا با اعداد نسبي دربازه ‌‌‌[ ۰ ,۱ ] كه از تقسيم يكنواخت اين بازه به ( (n-1زير بازه وقرار دادن نقاط نهايي انها به عنوان ارزشهاي درستي ان بدست مي اورند . اين اعداد با تقسيم هر يك از n ارزش كه از صفر تا n-1 بوده بر n-1 حاصل مي گردد . بدين معني كه مجموعه ارزشها ي درستي يك منطق n- ارزشي Tn بصورت زير تعريف
مي گردد:
‌‌ ‌‍‌‌{۱ , n-2/n-1 , … , 2/n-1 , 1/n-1 , 0} = {n-1/n-1 , … , ۲/n-1 , 1/n-1 , 0/n-1 }=T n
بنابر اين در يك منطق پنج – ارزشي ‘ ارزشهاي درستي عبارتند از :
۱‚ ۴/۳ ‚ ۲/۱ ‚ ۴/۱‚ ۰
بديهي است كه ا ين مقادير را مي توان با درجه درستي تفسير نمود . بنابراين منطق چند ارزشي را مي توان پيش زمينه منطق فازي دانست . براي مشاهده ارتباط بين اين دو منطق‘ميتوان به منطق –n ارزشي لاكازويكز كه از منطقيون شهير لهستاني است مراجعه نمود . اين منطق حالت عموميت يافته منطق سه

ارزشي بوده وجدول (۲) نشانگر ان است . وي با بكار بردن ارزشهاي درستي در Tn رفتار ادات منطقي پنجگانه را با تساويهاي زير تعريف نموده است :
P=1-p
P^q=min(p ¸q)
P q = max (p¸ q)
P q = min (1¸ ۱-p+ q)
P q = 1-| p-q|

اين تعاريف ياد اور تعاريفي است كه در فصل دوم در مبحث تعاريف ارزش ‘ –درستي ادات كلاسيك بحث ان رفت . در حقيقت ‘ اگر اين تساويها را در حالت n=2 در نظر بگيريم { ۱ ¸ ۰ } = T2 بوده كه حاصل ان جداول درستي كلاسيك (دو ارزشي ) مي باشد .
در صورت محدود نمودن ارزشهاي درستي به اعدادنسبي در بازه واحد [ ۱ ¸ ۰ ] ‘ منطق بي نهايت – ارزشي حاصل ميگردد. اين منطق با منطق بي نهايت –ارزشي Tn كه در ان n بوده تفاوت دارد . به دليل اينكه همه مقادير دربازه [ ۱ ¸ ۰ ] مورد استفاده قرار مي گيرند‘ اين منطق پيوسته نامند . مثلا‘ اگر ارزشهاي درستي متغيرهاي شرطيه درتساوي (۱) از بازه [ ۱ ¸ ۰ ] اتخاذ شوند ‘ منطق پيوسته لاكازويكز حاصل مي گردد . اين يك نمونه از منطق فازي در وجه خاص ان است . در اين حالت ‘ ادات منطقي بر پايه عمليات استاندارد متمم ‘

اشتراك واتحاد فازي بوده و نيز بر پايه تعاريف دلالت وتساوي كه در (۱) بحث ان رفته مي باشد . بنابراين منطق فازي منطقي است كه ارزشهاي درستي در بازه [ ۱ ¸ ۰ ] قرار دارد .

همان گونه كه قبلا ذكر ان رفت‘ در كتاب حاضر‘ مفهوم وسيع منطق فازي مد نظر بوده و بر مفاهيم غير صريح كه در زبان محاوره اي مشهود بوده و در قضايا بوفور بكار گرفته شده متمركز گرديده ايم . استدلال با ويژگيهاي بالا را استدلال تقريبي نامند . استنتاج زيرنمونه اي از استدلال بازبان محاوره اي طبيعي بوده كه به طور كامل با منطق كلاسيك قابل تبيين نيست :
سكه هاي قديمي معمولا كمياب هستند .
سكه هاي كمياب گران هستند .
در نتيجه:سكه هاي قديمي معمولا گران هستند .
استنتاج بالا از نوع قياسي بوده كه دران واژه هايي مانند كهنه ‘ كمياب معمولا ‘ گران بطورشفاف بيان نشده وعلي القاعده در منطق كلاسيك معتبر نيستند.
بطور كلي در منطق فازي استنتاجات از طريق قضايايي كه با زبان طبيعي ساخته شده انجام مي گيرد . عبارات زباني ممكن است شامل واژه هاي فازي گوناگون شبيه موارد زير باشد:

• محمولات فازي مانند بلند جوان كوچك متوسط نرمال گران نزديك باهوش وغيره .
• ارزشهاي درستي فازي مانند درست غلط تا حدودي درست بسياردرست وغيره .
• احتمالت فازي مانند احتمالات ‘ غير محتمل ‘ بسيار محتمل ‘ بشدت غير محتمل و غيره .
• سورهاي فازي مانند خيلي ‘كم ‘ اغلب ‘ تقريبا همه وغيره .

واژه هاي زباني فوق در زمينه هاي مختلف داراي معاني گوناگون بوده و حسب زمينه فازي مربوطه تعريف و تبيين مي گردند .
درسايرقسمتهاي اين فصل ابتداقضاياي فازي مورد بحث واقع شده‘سپس به بعضي از قواعد استنتاج بر پايه انها پرداخته خواهد شد . قسمت بعد را با قضاياي فازي با سورهاي غير فازي اغاز مي نمائيم .

۳- قضاياي فازي
اساسي ترين تفاوت بين قضاياي كلاسيك و قضاياي فازي در تعيين محدوده ارزشهاي درستي انهاست . به عبارت ديگر قضاياي كلاسيك داراي ارزش درستي
دو تايي بوده وتنها يا صحيح ويا غلط اند . در حاليكه درست يا غلط بودن يك قضيه فازي بر حسب درجه انهاست . اگر درست و غلط بودن را با مقاديريك وصفرنشان دهيم‘ درجه درستي هر قضيه فازي با يك عدد در بازه [ ۱ ¸ ۰ ] نشان داده مي شود . قضيه فازي زير را در نظر بگيريد:
الف : كوه واشينگتن يك كوه خطرناك است.

در اين قضيه اصطلاح ((كوه خطرناك))روشن وصريح نيست . از يك طرف مرز تندوصريح بين يك تپه بلند ويك كوه كوتاه وجود نداشته واز طرف ديگر واژه خطرناك روشن و صريح نيست . در اين قسمت تاكيد روي قضايابوده وروي اشيا خارجي تمركزكمتري مي نمائيم . بداين معنا كه مثلا در مورد كوه واشينگتن دنبال عضويت ان در مجموعه كوه ها و يا اشيا خطرناك نيستيم . اين امورمورد توجه

ثانوي ما هستند . در اينجا عمدتا توجه ما بر روي ارزش درستي يك قضيه فازي است . فازي بودن يك قضيه ممكن است نشئات گرفته از اجزا مختلف زباني ان باشد . در اين صورت درجه درستي ان قضيه مورد توجه است .
ب:”كوه واشينگتن يك كوه خطرناك است “صحيح است .

بامقايسه قضيه الف وب به تفاوت عمده بين انها مي توان پي برد . در قضيه الف يك خاصيت به شئي اي يا رخدادي در جهان واقع نسبت داده شده وبدان زبان شئي گويند .
در حاليكه فرم قضيه دوم به صورت يك جمله درباره اشيا يا رخدادها موجود در جهان خارج نبوده بلكه مربوط به قضيه ديگري است . قضيه ب نشان ميدهد كه بعضي از قضايا داراي ويژگي هايي بادرجه درستي هستند . بدليل اينكه عبارت ب درباره يك قضيه است در قالب زبان شئي نبوده بلكه بصورت فرا زباني است .
در ايسن حالت در هر قضيه يك علامت نقل قول(‘‘) گذارده تا اعلام نمائيم كه قصد اسناد نسبتي بدان قضيه را داريم. در اينجا ابتدا قضاياي فازي بدون سور را
تعريف مي كنيم . بصورت ابتدائي قضاياي فازي را مي توان به چهار دسته تقسيم كرد:
• قضاياي غير شرطي وغير مقيد

• قضاياي غير شرطي ومقيد
• قضاياي شرطي وغيرمقيد
• قضاياي شرطي ومقيد
الف: قضاياي غير شرطي وغير مقيد
قضاياي غير شرطي ايقاعاتي هستند كه به شكل شرطي اگر پس نيستند . درستي قضاياي مقيد به سادكي قابل اثبات است . ارزش هاي درستي اين قضايا به وسيله هيچ عبارت تعديل كننده ارزيابي نمي گردد . صورت نمادين اين گونه قضاياي فازي كه با حرف p نشان داده شده عبارتست از :
(۲) P:X is A

فرض كنيد Xيك متغير مانند حرارت بوده كه مقدار معين X(مانند ۳۵ درجه سانتيگراد )را از يك مجموعه مرجع با مقادير ممكن (درجات حرارت ) گرفته وAبعضي از خواص يا محمولاتي باشد كه بدان متغير نسبت ذاذه ميشود . در اين جا خاصيت Aبا يك مجموعه فازي مناسب نمايش داده مي شود . مثلا Aممكن است بايك مجموعه فازي تفسير كننده واژه بالا باشد .
ياداوري اين نكته ضروري است كه بدليل دارابودن الگوي گزارهاي P‘ اين

عبارت يك تابع گزاره اي بوده كه ارزش درستي مشخصي ندارد . در اين
صورت‘ هنگاميكه اين حرف با يك نمونه خاص جايگزين شود‘يك قضيه حاصل مي گردد. قضيه زير يك نمونه از نماد سازي را بيان مي كند :
“حرارت ۳۵ درجه سانتيگراد خيلي بالاست”

مقدار ۳۵ درجه سانتيگراد‘ مقدار متغير (درجه حرارت ) بوده و عبارت ((خيلي بالاست )) يك محمول فازي است كه وضعيت۳۵ درجه سانتيگراد را تعيين مي كند
در ابتدا قضيه (۲) را مي توان به صورت زير نوشت :
(۳) p:  is A”” صحيح است
حال بايستي چگونگي تعيين درجه درستي Pبراي يك نمونه خاص xاز  را تعيين نمود . با در نظر گرفتن يك مقدار خاص xاز‘ مثلا ۳۵ درجه سانتيگراد ‘ اين مقدار خاص به مجموعه بادرجه عضويت (x)تعلق دارد. چنين درجه عضويتي با درجه درستي ( )درقضيه زير تعيين ميگردد:
 is A 
بعبارت ديگر براي مقدار از متغير درقضيه  خواهيم داشت:
(۴) T(PX)=A(X)