مدل قيمت گذاری آربيتراژ

۱٫ مقدمه
تمام مدل هايي که در قبل مورد بررسی قرار گرفت , بر مبنای تجزيه و تحليل ميانگين ـ واريانس بود و فرض بر اين بود که برای سرمايه گذاران, مطلوب آن است که سرمايه گذاريها را بر مبنای بازده مورد انتظار و واريانس انتخاب نمايد.
همچنان که بيان شد موانع و شبهات عمده ای در آزمون نظريه های تعادلی (CAPM) وجود دارد. در اين بحث مفروضات تئوری قيمت گذاری آربيتراژ و چگونگی استخراج مدلهای تعادلی چند عاملی مورد بحث قرار خواهد گرفت.
۲٫ نظريه قيمت گذاری آربيتراژ
(در مدل CAPM فرض می شود سرمايه گذاران دارای تابع مطلوبيت درج دوم هستند و قيمت های اوراق بهادار دارای توزيع نرمال با انحراف معيار قابل برآورد می باشند و اين مدل به يک سبد اوراق بهادار بازار مشتمل بر تمامی دارايي های مخاطره آميز می باشد.
آزمون های CAPM دلالت بر عدم ثبات ضريب حساسيت هر سهم منفرد داشت در حالی که در اين آزمون ها ضريب حساسيت سبد اوراق بهادار با فرض طولانی بودن دوره های نمونه گيری و حجم مبادله کافی معمولاً دارای ثبات بود. حمايت های متناقض و مبهمی در مورد ارتباط خطی بين نرخ های بازده و ريسک سيستماتيک سبد اوراق بهادار سهام به همراه شواهدی دال بر نياز به در نظر گرفتن متغيرهای ريسک اضافی يا نياز به نماينده های ريسک مختلف وجود داشت. همچنين در چندين گزارش, رال آزمون های مدل و فايده آن را در ارزيابی سبد اوراق بهادار, به علت اتکای آن به سبد اوراق بهادار بازاری متشکل از دارايي های مخاطره آميز مورد انتقاد قرار داد.
از اين رو جامعه دانشگاهی مبادرت به تبيين تئوری قيمت گذاری دارايي نمود که به طرز معقولی, شهودی بوده و متکی به مفروضات محدودی است. اين نظريه با نام نظريه قيمت گذاری آربيتراژ در اوايل دهه ۱۹۷۰ به وسيله راس تدوين و در ۱۹۷۶ منتشر شده),در واقع CAPM نسخه ساده ای از مدل APT که فرض می کرد تنها يک عامل سيستماتيک, بازدهی اوراق را تحت تأثير قرار می دهد. بحث معمول APT مربوط به حالت چند عاملی است.
طبق تعريف, قيمت گذاری نادرست ورقه بهادار به طريقی که سود بدون ريسک ايجاد نمايد, “آربيتراژ” ناميده می شود. فرصت آربيتراژ زمانی حاصل می شود که يک سرمايه گذار بتواند پرتفويي را با حجم سرمايه گذاری صفر تشکيل دهد, به نحوی که سود مطمئن (بدون ريسک) به دست آورد. پرتفوی با حجم سرمايه گذاری صفر, يعنی اينکه, به منظور سرمايه گذاری نيازی به استفاده از پول خود وجود نداشته باشد. فرصت آربيتراژ وقتی حاصل می شود که قانون وجود “يک قيمت” رعايت نشود. يعنی که دارايي با قيمتهای متفاوت مبادله شود. APT براين فرض استوار است که يک تعادل منطقی در بازارهای سرمايه, مانع ازفرصتهای آربيتراژ می شود(Bodie, Kane & Marcus, 1996, p.289-292) .

حاميان APT بيان می کنند که APT دو مزيت عمده بر CAPM دارد: اولاً, APT مفروضاتی را درباره ترجيحات سرمايه گذار نسبت به ريسک و بازدهی مطرح می سازد, که برخی ادعا می کنند دارای محدوديت کمتری است. ثانياً مطرح می کنند که اين مدل می تواند به صورت تجربی, معتبر باشد. مسئله اصلی در APT تشخيص عاملها و تمايز تغييرات پيش بينی شده از تغييرات پيش بينی نشده در اندازه گيري حساسيت هاست (Fischer & Jordan, 1991, p.716). به بيان بهتر, از مفروضات ايجاد شده توسطCAPM, تنها سه مورد برای APT ضروری اند(Harrington, 1987, p.194):
مفروضات APT:
1. سرمايه گذاران به دنال بازدهی با ريسک متعادل هستند ؛ آنها ريسک گريزند و به دنبال پيشينه سازی ثروت نهايي شان هستند؛
۲٫ سرمايه گذاران می توانند در نرخ بدون ريسک, وام بگيرند و يا وام بدهند.
۳٫ هيچ محدوديت بازاری, همانند هزينه هايي مبادلاتی , ماليات يا محدوديت فروش استقراضی وجود ندارد.
درحالی که APT مفروضات کمتری نسبت به CAPM دارد, ليکن دو فرض خاص دارد:
۴٫ سرمايه گذاران بر تعداد و همچنين تعيين عواملی که به صورت سيستمی در قيمت گذاری داراييها مهم اند, توافق دارند؛
۵٫ هيچ گونه فرصت سود آربيتراژ(بدون ريسک) وجود ندارد.

اين سه فرضيه اوليه رفتار سرمايه گذاران را به طور کلی بيان می کنند, اما درتوصيف عواملی که تصميمات براساس آنها اتخاذ می شوند, شکست می خورند و اين نکته اختلاف مهم بين دو مدل است. APT هيچ فرضی را در مورد توزيع بازدهی داراييها در نظر نمی گيرد و ضروری نمی داند که سرمايه گذاران تصميماتشان را براساس ميانگين و واريانس اتخاذ نمايند, و مفروضات CAPM در مورد نرمال بودن بازدهی, برای ايجاد APT ضروري نيست. دومين فرضيه, با اين مضمون که نرخ بدون ريسک حداقل نرخی است که يک سرمايه گذار برای انجام سرمايه گذار یخواهد پذيرفت, قسمت منطقی هر مدل قيمت گذاری دارايي است . با وجود اينکه APT چيزي در مورد مشکل نرخهای وام دهی و وام گيری مطرح نمی کند.
در نهايت از آنجا که محدوديتهای بازار, مشکلاتی را در تعيين قيمت گذاری ايجاد نمی کنند, لذا در نظر گرفته نمی شوند. در حاليکه APT فرضيات کمتری را در نظر مي گيرد, ليکن در مورد تعيين عوامل قيمت گذاری و روابط بين بازدهی مورد انتظار و عوامل سيستماتيک را هنماييهای کمنری را فراهم مي کند.
۳٫ استخراج مدل
فرض کنيد که مدل دو عاملی زير فرآيند ايجاد بازده سهام را توضيح دهد
(Elton & Gruber, 1995, p.369-372)

علاوه بر اين فرض کنيد که باشد؛ بدين معنی که عبارت خطای هر سهم يا هر عامل با عبارت خطای سهم ديگر, ناهمبسته است. اگر سرمايه گذار يک پرتفوی خوب متنوع شده, در اختيار داشته باشد ريسک پسماند به سمت صفر ميل خواهد کردو تنها ريسک سيستماتيک, دارای اهميت خواهد بود. در اين صورت تنها عباراتی که در معادله فوق ريسک سيستماتيک پرتفوی را تحت تأثير قرار خواهند داد, و می باشند.
از آنجا که فرض می شود سرمايه گذار تنها بر اساس ريسک و بازده مورد انتظار تصميم مي گيرد, وی تنها سه ويژگي هر پرتفوی يعنی , , را در نظر مي گيرد.

با توجه به شکل:
تمامی سرمايه گذاريها و پرتفويها با يستی در صفحه ای در فضای بازده مورد انتظار, و قرار گيرند. اگر پرتفويي در بالا يا زير صفحه قرار گير, فرصتی برای آربيتراژ بدون ريسک وجود خواهد داشت. آربيتراژ تا زمانی ادامه خواهد داشت, که تمامی سرمايه گذاريها در يک صفحه برهم منطبق شوند. همان طور که قبلاً ذکر کرديم, معادله عمومی يک صفحه در فضای بازده مورد انتظار, و برابر است با:
معادله APT برای دو عامل
معادله فوق معادله تعادلی ايجاد شده توسطAPT (وقتی که بازده توسط يک معدل دو عاملی ايجاد می گردد) است. توجه نماييد که افزايش در بازده مورد انتظار به ازای يک واحد افزايش در است. بنابراين و بازده حاصله بخاطر تحمل ريسک مرتبط با عامل اول و دوم مي باشند.
حال پرتويي را با و برابر با صفر در نظر بگيريد. بازده مورد انتظار اين پرتو برابر با خواهد بود. پرتفوی, صفر است که آن را با نمايش می دهيم. اگر دارايي بدون ريسک وجود نداشته باشد, جانشين بازده يک پرتفوی با بتای صفر می شود.
با جای گذاری به جای و در نظر داشتن يک پرتفوی برابر با صفر و برابر با يک مشاهده می شود که:

که در آن:
= بازده پرتفوی,
= برابر بايک و برابر با صفر است. در کل يا بازده مورد انتظار اضافی پرتفوی, تنها با توجه به ريسک شاخص است و دارای مقياس واحد ريسک می باشد. تجزيه تحليل فوق می تواند برای حالتی با عامل تعميم يابد:

با استدلالی شبيه به استدلال فوق می توان مشاهده نمود که تمامی اوراق بهادار و پرتفويها, بازده مورد انتظاری برابر با معادله زير (توصيف شده توسط يک فوق صفحه بعدی) دارند:
مدل چند عاملی که:
تحليل مدل APT برحسب دو عامل, برای درک ارتباط بين اربيتراژ و تعادل و همجنين ارائه روشی برای مقايسه اين مدل با CAPM سودمند خواهد بود (Farrell,1997, p.95). همچنان که بيان شد:
۱)عامل بازار: “عامل عمومی (شاخص) بازار”, به دليل ارتباط نظری با CAPM و همچنين بخاطر اينکه بازده سهام با شاخصهای بازار ـ به مثابه نماينده بازار ـ ارتباط معنی داری دارند, می تواند به مثابه اولين عامل, برای توصيف بازدهی سهام به کار روند.
۲)عامل نقدشوندگی:عامل ديگری که هم دليل مفهومی و هم پشتوانه تجربی دارد, رابطه نقدشوندگی و بازده سهام است. برای مثال فروش سريع يک خانه به احتمال زياد مستلزم ارائه يک امتياز قيمتی مهم توسط فروشنده است, و معمولاً داراييهای(املاک) واقعی را با درجه نقدشوندگی پايين می شناسيم. به همين ترتيب معمولاً برای خريد و فروش, سهام شرکتهای بزرگ نسبت به شرکتهای کوچک مناسب تراند.
۴٫ روش شناسی تخمين و آزمون APT
مشکل اصلی در آزمون APT اين است که ويژگيهای اقتصادی يا خاص شرکتی که بايستی بازده مورد انتظار را تحت تأثير قرار دهند, تعريف نشده اند. فرآيند “ايجاد بازده” در مدلهای چند عاملی بصورت معادله زير قابل تبيين است.
(Elton & Gruber, 1995, p.374-386):
اول
مدل APT که از فرآيند ايجاد بازده فوق استخراج می گردد, می تواند بصورت زير نوشته شود:
دوم
با توجه به معادله اول ملاحظه می شود که ورقه حساسيت منحصر به فردی به دارد, اما اندازه هر برای تمامی اوراق بهادار, يکسان (مشابه) است. به عبارتی , بيش از يک ورقه را(اگر چنين نباشد, در عبارت پسماند ترکيب خواهد شد) تحت تأثير قرار می دهد. ها را درAPT,”عاملها”می گويند. عاملها بازده بيش از يک ورقه بهادار را تحت تأثير قرار می دهندو منابع کوواريانس بين اوراق بهادار می باشند. ها برای هر ورقه منحصر به فرد بوده و بيانگر يک ويژگي خاص ورقه می باشند. اين ويژگي می تواند, حساسيت بازده ورقه به يک عامل مشخص, يا يک مشخصه خاص ورقه بهادار, همانند سود نقدی باشد.
در نهايت در معادله دوم, بازده اضافی مورد انتظار به دليل حساسيت ورقه بهادار, به امين ويژگي ورقه بهادار است.

تاکنون خواننده بايستی متوجه شده باشد که معادله دوم تا حدودی شبيه به رابطه ای است که برای آزمون CAPM با استفاده از رگرسيون (سری زمانی) مورد استفاده قرار گرفت. با اين تفاوت که معادله دوم شباهت زيادی به معادله مورد استفاده در آزمون مقطعی دو مرحله ای CAPM دارد. مسئله اساسی اين است که در حالی که برای CAPM دقيقاً تعريف شده است (يعنی بازده اضافی پرتفوی بازار برای شکل ساده CAPM), برای مدل چند عاملی و APT, مجموعه ها در نظريه تعريف نشده اند. به منظور آزمودن APT بايستی معادله دوم آزمون گردد, بدين معنی که بايستی ها تخمين زده شوند. اکثر آزمونها APT از معادله اول برای تخمين ها استفاده می نمايند. رايج ترين رويکرد برای اين مسئله تخمين عاملها( ها) به صورت همزمان و ويژگيهای شرکت( ها) برای معادله دوم است. اکثر آزمونهای قبلی APT از اين روش شناسی استفاده نموده اند و اين روش هنوز به صورت گسترده ای در ادبيات مالی مورد استفاده قرار مي گيرد. در ادامه, مختصراً به فن تخمين همزمان عاملها می پردازيم. برای اين منظور می توان از دو شيوه مجزا استفاده نمود. يک روش, تعيين مجموعه ای از ويژگيهايي(مشخصات شرکت) است که احتمال دارد بازده مورد انتظار را تحت تأثير قرار دهند. در اين روش است ها (مثلاً سودنقدی و بتای شرکت) به طور مستقيم تعيين مي شوند.