آنالیز ارتعاشات آزاد شفت چرخان با موارد غیرخطی در انحنا و اینرسی

چکیده :
در این مقاله ارتعاشات آزاد شفت چرخان کشیدگی داخلی ساده با و اینرسی غیرخطی مدنظر قرار می گیرد. حرارت اینرسی چرخشی و ژیروسکوپیک هم مدنظر قرار می گیرد، ولی تغییر شکل صرف نادیده گرفته می شود. برای آنالیز ارتعاشات آزاد شفت، از روش مقیاسهای سنجش متعدد استفاده می شود. این روش برای تساویهای مطلق و مجرد و به طور مستقل و مستقیم برای عبارتی مشتق می شود که ارتعاشات آزاد غیرخطی شفت چرخان در دو سطح تراز متقاطع را توصیف می کند. مشخص شده است که در این صورت، هم فرکانسهای طبیعی غیرخطی خود وارد و هم بکسوارد القاء شوند. نتایج روش انحراف مدار با شبیه سازیهای عددی.

کلید کلمات : شفت چرخان، آنالیز ارتعاشات آزاد، ارتعاشات میدان نوسان بزرگ، انحنا و اینرسی غیرخطی، روش مقیاسهای سنجش متعدد.

۱ ) مقدمه :
از شفت های چرخان برای انتقال قدرت در بسیاری از ماشینهای مدرن استفاده می شود. پیش بینی دقیقی دینامیک مشتقهای چرخان برای طراحی موفقیت آمیز ضروری است. آنالیز ارتعاشات آزاد یکی از مراحل مهم در روتور – دینامیک است. گریباس [۱] تأثیر تغییر شکل و اینرسی چرخشی روتور بر سرعتهای خود را مدنظر قرار داد. چوئی و همکاران [۲] اشتقاق ثابت و پایدار مجموعه ای از تساویهای دیفرانسیل حاکم توصیف کننده ارتعاشات متمایل و تاب دار شفت چرخان را ارائه دادند که در آنها بار محوری فشرده متراکم ثابت روی آن اعمال می شد.

جسی ون [۳] سرعتهای چرخشی و اشکال مد و حالت شفت Ray – leigh نامتقارن یکنواخت با دیسکهای سخت نامتقارن و یاتاقانهای ایزوتروبیک را مورد بررسی علمی قرار دادند. آنالیز ارتعاشات متمایل سرد آزاد رتوبهای سیلندری کمپورنیت توسط سینگ و گوتا [۴] اجرا شد؛ که در آن از تئوریهای پرتو و پوشش استفاده کردند. استورلا و آرگنتو [۵] واکنش و پاسخ آزاد وقت اجبار شفت Ray – leigh ویسکوالاستیک را مورد مطالعه قرار دادند. والنسون و زو [۶] ارتعاشات آزاد و ثبات شفت های چرخان سرد شدۀ درونی را با شرایط سرحدی عمومی

مورد مطالعه قرار دادند. کیم و همکاران [۷] ارتعاشات آزاد شفت – تیمو شنکو کمپوزیت چرخان را مورد مطالعه قرار دادند. کارویندران و زو [۸] آنالیز ارتعاشات آزاد شیفت بر روی یاتاقانها را مورد تجزیه و تحلیل قرار دادند. آنالیز ارتعاشات آزاد و تحت فشار و اجبار سیستم دیسک شفت چرخان با یاتاقانهای الاستیک خطی توسط شبانه و زو [۹] مورد تحقیق قرار گرفت. یاتاقانها بر روی پل های معلق ویسکو الاستیک سوار نصب شدند. المهدی و قادر لب [۱۰] ارتعاشات آزاد روتور کمپوزیت تقویت فیبر یک جهته را مورد مطالعه قرار دادند. رفع و وتا [۱۱] تساویهای حرکت برای شفت تیموشنکو نامتقارن با حرکت آنی اصلی نامعادل اینرسی را مشتق کردند.

سرعتهای اصلی و مهم و اشکال شد. Ray – leigh چرخان با شش وضعیت سرحدی عمومی به طور تحلیل توسط شیو و یانگ [۱۲] تحت بررسی و تحقیق قرار گرفتند. قربان و گوپتا [۱۳] تأثیر سکانس انباشته کننده و مکانیسم های کوپلینک بر فرکانسها طبیعی شفت های کمپوزیت را مورد مطالعه قرار دادند. محققین برای ساده کردن آنالیز، اغلب می کوشند که از آنالیز خطی استفاده کنند. ولی، کاربرد آنالیز غیرخطی گاهی اوقات اجتناب ناپذیر است. پدیده های زیادی برای با تساویهای غیرخطی توصیف شود که با آنالیز خطی قابل توضیح

نیستند. کورینک [۱۴] با استفاده از تئوری دو شعبه شدن هوپف (Hopf) ارتعاشات خود القایی شفت غیرخطی چرخان کمپوزیت هندسی مورد آنالیز قرار داد که توسط اصطکاک اینرسی به وجود می آمد. شاو و شاو [۱۵] ثبات و دو شاخه شدنهای شفت چرخان ساخته شده از مواد ویسکو الاستیک را مورد تجزیه و تحلیل قرار داد. لینونن [۱۶] با استفاده از تئوری عمومی مدلی غیرخطی را برای توصیف رفتار و عملکرد مرتبط کننده شفت چرخان ارائه داد.

کورنیک [۱۷] ثبات و چرخش خودالقایی شفت چرخان را به کمک تئوری دو شعبه شدن مورد تجزیه و تحلیل قرارداد. این شفت از ماده ای با الاستیک و ویسکوس ساخته شده بود.
ارتعاشات روتور چرخان با خوامی ژنومتریک و الاستیکی غیرخطی توسط سوتیکانین [۱۸] مدنظر و مورد خطر قرار گرفت. روشی مقیاسهای سنجش متعدد برای آنالیز ارتعاش آزاد و اجباری سیستم های روتور – یاتاقان غیرخطیتوسط جی و زو [۱۹] مورد استفاده قرار گرفت. آنها از فنر غیرخطی و سردشدن خطی برای مدل دادن به پایه های یاتاقان غیرخطی

استفاده کردند. مدل غیرخطی ژئومتریکی (هندسی) شفت چرخان توسط لوژکو [۲۰] ارائه و عرضه شد. این مدل شامل فان – کارمن، ژیزوسکویی و shear بود. و یا ناسرا ویلا و همکاران [۲۱] از روشی غیر متنوع برای بررسی و جستجوی دینامیک روتور غیرخطی استفاده کردند. آنها مدل ترتیب تقلیل یافته ای را به کمک مُدهای نرمال غیرخطی ساختند و عملکرد و اجرای کار آن را مورد ارزشیابی قرار دادند.

سو یتکانین [۲۲] ارتعاشات آزاد روتور جفکوت با خاصیت الاستیک غیرخطی مکعب را موردنظر و موردخطر قرار داد. او از روش کریلوف – بوگولوبوف برای حل تساویهای غیرخطی حرکت استفاده کردند. بعداً نویسندگان از ارتعاشات آزاد شعاع چرخان و خواص تصادفی [۲۳] و ارتعاشات و قابلیت اعتماد چرخان با خواص تصادفی تحت القاهای تصادفی [۲۴] را مورد مطالعه قرار دادند. برای مطالعۀ مورد شک و تردید، روش عنصر معین استوکاستیک مبتنی بر روش انحراف مدار با نظم و ترتیب ثانویه مورد استفاده قرار گرفت.

در این مقاله، تساویها حرکت شفت چرخان محکم شده به صورت سادۀ مستمر با منحنی و اینرسی غیرخطی به دست آمده است. تأثیرات ژیروسکوپیک و اینرسی چرخان مدنظر قرار گرفته، ولی تغییر و بد شکلی قیچی نادیده گرفته شده است. با استفاده از فرض و تصور کشیدگی داخلی، تساویهای حرکت به کمک اصل همیلتون به دست می آید. برای حل این تساویهای غیرخطی ژیروسکوپی حرکت به صورت تقریبی، از روش مقیاسهای سنجش و متعدد استفاده می شود. این روش به طور مستقیم برای تساوی دیفرانسیل جزئی حرکت و برای تساویهای مجرد و مطلقی بکار می رود. برخی از محققین نشان داده اند که استفاده از روش معیارهای سنجش آورد برای تساویهای مطلق و مجرد ممکن است خطاهای کیفی و

کمی (مثلاً ۲۵ ) را ایجاد و حاصل کند. سیستم هایی را که آنها مدنظر قرار دارند غیر ژیروسکوپی بودند. در اینجا، نشان داده شده است که در سیستم ژیروسکوپی ما، تساویهای تقلیل یافتۀ به دست آمده از دو روش و رویکرد یکسان هستند. عبارتی به دست می آید که ارتعاش غیرخطی آزاد شفت چرخان در دو سطح تراز متقاطع را توصیف می کند. برخی از نویسندگان فقط از فرکانش چرخش فور وارد برای مطالعۀ ارتعاشات آزاد غیرخطی شفت چرخان با تأثیرات ژیروسکوپی (مثلاً ۱۹) استفاده کرده اند. در اینجا، نشان داده شده است که

در ارتعاشات آزاد غیرخطی شفت چرخان با تأثیرات ژیروسکوپی، هر دو مورد فرکانس طبیعی غیرخطی فور وارد و بکوارد القاء تحریک می شوند. بنابراین، اگر یک نفر فرکانسهای طبیعی فوروارد را مدنظر قرار دهد، نتایج نادرست می شود. تأثیرات اینرسی چرخشی، ضریب سردشدن خارجی و سرعت چرخشی و فرکانسهای طبیعی و میدان نوسان غیرخطی او شد و حالت نخست شفت مورد بررسی و آزمایش قرار می گیرد. نتایج روش انحراف مدار با شبیه سازیهای عددی معتبر می شوند.
۲ ) تساویهای حرکت :

اسکماتیک شفت چرخان مستمر در شکل یک نشان داده شده است. طول خط مرکزی شفت خوش شکل L است. جابجایی های هر ذره از شفت در قالب اینرسی X – Y – Z توصیف شده است.
X – Y – Z وضع هم پایۀ محلی را تشکیل می دهند که محورهای اصلی قسمت متقاطع هستند. این محورها به خط مرکزی شفت بدشکل (شکل ۱) در وضعیت X متصل هستند. جابجایی ذره در محل اختیاری در طول محورهای X , Y , Z به ترتیب W (x,t) , V(x,t) X(x,t) هستند، و زاویۀ کج و متمایل و تاب دار است. از فرضیت زیر استفاده شده است :
۱ ) شفت دارای قسمت متقاطع مدور هم شکل است، و حول محور طولی X با سرعت ثابتی می چرخد.
۲ ) تأثیر نیروی جاذبه مورد غفلت واقع شده است.
۳ ) شفت باریک است و در نتیجه تغییر و بدشکلی قیچی نادیه گرفته شده است.

۴ ) شفت به طور ساده محکم و ثابت شده است.
۵ ) نکیه گاه و پایه O ثابت است ولی تکیه گاه . پایۀ O’ آزاد است که در طول محور X حرکت کند. (شکل ۱ ).
این فرض و تصور دلیل بر این است که تأثیر کشش ناچیز و جزئی است. این موقعیت و وضعیت نسبت به چند کار قبلی که به خاطر امتداد یافتن خط مرکز شفت بود واقعی تر است [۱۵] ، [۶] سردشدن ویسکوز خارجی فقط مکانیسمی دورکننده در این سیستم است.
۷ ) ارتعاشات شفت چرخان میدان نوسان بزرگ است و تأثیر کوتاه شدن ناشیس از فرض و تصور کشیدگی درونی مدنظر قرار گرفته است [۲۷ و ۲۶]. بنابراین، فقط تأثیرات غیرخطی منحنی و اینرسی در اینجا مورد مطالعه قرار گرفته است.

۱ . ۲ ) انرژی جنبشی و پتانسیل :
رابطۀ بین قالب اصلی X – Y – Z و قالب بدشکل X – Y – Z را می توان با سه چرخش زاویه Euler متوالی توصیف کرد [۲۶]. در اینجا، چرخش بدنه ۱ – ۲ – ۳ با زوایای چرخش و و مورد استفاده قرار گرفته است.
چند نمونه در شکل ۲ نشان داده شده است. شایان توجه است که کل زاویه چرخشی ناشی از بدشکل و تغییر شکل تاب دار و زاویه است.
انرژی جنبشی برای شفت چرخان را می توان اینگونه نوشت [۲۸]
(۲)

حجم در هر واحد طول m ، حجم قطبی و قطری اینرسی عبارتند از :
(۳)
که در آن تراکم است.
سرعتهای زاویه دار قالب X – Y – Z باتوجه به قالب X – Y – Z عبارتند از (شکل ۲)
(۴)
اگر بدشکلی قیچی ناچیز باشد، انرژی کشش برای شفت چرخان با خواص مادی خطی و ایزوتروپیک می شود [۲۹]
(۵)

که در آن در طول خز مرکزی شفت این طور است
(۶)
و (۷)
از تساویهای فوق، G , E به ترتیب الاستیسیته و مدولوس قیچی هستند، و (۳ و ………و۱ = i) منحنی های شفت می باشند. با استفاده از قیاس جنبشی لاو (Love) [29] ، می توان منحنی های شفت (۳ و ………و۱ = i) را به این صورت محاسبه کرد :
(۸)
چونکه بدشکلی قیچی ناچیز است، زاویه های را می توان ارتباط داد.
(شکل ۲ ) :
(۹)
۲ . ۲ ) فرض امتداد و کشش داخلی :
تساویهای (۲) و (۵) عبارتی برای انرژی جنبشی و کششی شفت چرخان ایزوتروبیک هستند. قبلاً اشاره شد که تکیه گاه O’ در شکل یک در جهت X قابل حرکت است. بنابراین، فرض امتداد و کشش داخلی را می توان به کار برد که دلالت بر این دارد که کشش در طول خط مرکزی شفت صفر است [۲۹ و ۲۶]. تساوی (۶) این طور است :
(۱۰)
با بسط و توسعۀ تساوی (۱۰) به سری تیلور این مورد به دست می آید.
(۱۱)

بنابراین، اگر باشد، آنگته است، که در آن پارامتری دفترداری است. با جایگزین سازی تساوی به ، یک نفر می تواند سرعتهای منحنی و زاویه دار تا حد را محاسبه کند.
با جایگزینی این سرعتهای زاویه دار و منحنی دار به تساویهای (۲) و (۵) و با استفاده از تساوی (۱۱)، می توان شکل نهایی انرژی جنبشی و کششی را به دست آورد. یک نفر با استفاده از اصل همیلتون برای این انرژیها جنبشی و کششی ممکن است تساویهای دیفرانسیل حرکت حاکم بر ارتعاشی تاب دار – خم کننده – خم کننده غیرخطی شفت چرخان را به دست آورد. این تساویها و شرایط محوری مربوطه در ضمیمۀ A ارائه شده است. این تساویهای دیفرانسیل را می توان با استفاده از فرضیات زیر ساده نمود :
۱ ) شفت مدوّر است، به طوریکه در نتیجه فرکانس تاب دار اساسی آن خیلی بیشتر و بزرگتر از فرکانس مُدهای منحنی و کج است. در نتیجه، می توان عبارت اینرسی تاب دار را در مقایسه با عبارات سفتی و اینرسی متمایل و کج نادیده گرفت [۲۷].

۲ ) شفت باریک است در نتیجه اینرسی چرخشی اندک است و حالات غیرخطی که شامل اینرسی چرخشی می شود را می توان نادیده گرفت [۲۹].
اکنون، مقادیر غیرابعادی زیر تعریف می شوند
(۱۲)
با استفاده از فرضهای فوق و با استفاده از مقادیر غیربُعدی (۱۲) در ضمیمۀ A نشان داده شده است. یک نفر ممکن است تساویهای زیر را حرکت حاکم بر ارتعاشات شفت چرخان امتداد داخلی با
در منحنی و اینرسی را به دست آورد :
(۱۳)
شرایط سرحدی عبارتند از :
(۱۴)
در تساوی (۱۳)، C ضریب سردشدن (خارجی) است. به خاطر سهولت علامتگذاری، ستاره ها در تساویهای فوق حذف شده است.
۳ ) روش مقیاسهای سنجشی متعدد :
در این بخش، از روش مقیاسهای متعدد برای مطالعۀ ارتعاشات آزاد شفت چرخان [۳۰] استفاده می شود. عموماً ، دو رویکرد و روش برای کاربرد روشهای مقیاسهای متعدد برای تساویهای حرکت وجود دارد. در روش نخست، تساویهای دیفرانسیل جزئی به طور مستقیم مورد حمله و هجوم روش مقیاسهای متعدد قرار می گیرد. در روش دوّم، تساویهای دیفرانسیل جزئی با روش مناسبی مثل روش گازکین مطلق و مجرد می شوند. سپس، تساویهای دیفرانسیل عادی به دست آمده با روش مقیاسهای سنجشی متعدد مورد هجوم واقع می شود. برخی از محققین نشان داده اند که استفاده از روش مقیاسهای متعدد را تساویهای مجرد و مطلق ممکن است خطاهای کمّی و کیفی (مثلاً [۲۵]) را ایجاد کند. در اینجا دو رویکرد و روشی برای تساویهای حرکت و شرایط سرحدی مربوط مشتق شده در قسمت ۲ . ۲ یعنی تساویهای (۱۳) و (۱۴) بکار برده می شود.

۱ . ۳ ) استفاده از روشی مقیاسهای متعدد برای تساویهای دیفرانسیل جزئی حرکت :
براس استفاده از روش مقیاسهای متعدد، W , V به شکل زیر بسط داده می شوند :
(۱۵)
که در آن پارامتر بدون بُعد کوچکی است، مقیاسهای سنجشی زمانی کند و سریع هستند. باید که سردشدن مورد سنجش قرار گیرد، به طوری که تأثیرات آن با بالانس و متعادل شود. بنابراین، C جایگزین می شود. با استفاده از اصل زنجیره ای، مشتقات زمانی از نظر می شوند.
(۱۶)
که در آن . با جایگزینی تساویهای (۱۵) و (۱۶) با تساوی (۱۳) و تساوی کردن ضریب های مقدار توان و قدرت برابر و یکسان ، تساویهای زیر به دست می آید :
(۱۷)

(۱۸)
که در آن درضمیمۀ B تعریف شده اند. شرایط سرحدی در هر مورد نظم و ترتیب مثل تساوی (۱۴) است یعنی از اینکه در (۳ و ۱ = i) ، متغیرهای W , V به حساب Wi , Vi (3و۱ = i) قرار می گیرند.
(۱۹)
که در آن تعداد حالت است. تابع های دارای ارزشی به پیچیده و مرکب هستند که در سطح نظم و ترتیب بالاتری از تقریب تعیین خواهند. شد. به ترتیب فرکانسهای طبیعی خطی فوروارد و بک وارد هستند که به شرح زیر تعریف شده اند :
(۲۰)

شایان توجه است که در تساوی (۱۹) هم فرکانسهای بک وارد و هم فوروارد مدنظر و ملاحظه قرار گرفته است. در برخی مقالات فقط فرکانس چرخشی فوروارد ( ) در ارتعاشی آزاد غیرخطی شفت چرخان با تأثیرات ژِروسکوپی (مثلاً [۱۹] ) مدنظر قرار گرفته است. در واقع، آنها فرض کرده اند که می باشد. به نظر می رسد که هر دو مورد دارای مقادیر غیرصفر هستند. جایگزینی تساوی (۱۹)، تساوی (۱۸) می دهد :
(۲۱)
که در آن تعریف شده اند و به ترتیب CC , NST برای Complex conjugate , Non – secular Tern به کار می روند. اگر بخشهای متجانس تساوی (۲۱) دارای راه حل های غیراساسی باشند، تساوی نامتجانس (۲۱) دارای راه حل خواهد بود فقط شروط بر اینکه شرط و وشعیت قابلیت حل به دست آید [۳۰].
وضعیت و شرط قابلیت حل دلالت بر این دارد که طرف راست تساوی (۲۱) برای هر راه حل مسئله مربوطه و مشترک باشد. می توان اثبات کرد که بخشهای متجانس تساوی (۲۱) مجموعه ای از تساویهای خود – اشتراکی هستند. بنابراین، شرایط و اوضاع قابلیت حل را می توان به این شرح نوشت :
(۲۲)
بعد از جایگزینی، شکل نهایی شرایط قابلیت حل به دست می آید
(۲۳)
که در آن
(۲۴)
۲ . ۳ ) کاربرد روش مقیاسهای متعدد برای تساویهای دیفرانسیل مطلق حرکت :
در این روش، قبل از استفاده از روش مقیاسهای متعدد، تساویهای دیفرانسیل جزئی حرکت مطلق هستند. در اینجا از روش گالرکین حالت واحد استفاده می شود :
(۲۵)

که در آن n تعداد حالت و شکل حالت خطی شفت است :
(۲۶)
با جایگزنی تساوی (۲۵) با تساوی (۱۳)، و با درنظر گرفتن محصول داخلی هر تساوی با شکل حالت مربوطه اش و با استفاده از خواص مطلوب اشکال حالت و مُد، تساویهای مطلق و مجرّد زیر از حرکت به دست می آید :
(۲۷)
چونکه تأثیرات باید با بالانس شود، C با عوض می شود. با بسط و توسعۀ W , V به شکل :
(۲۸)
با جایگزینی تساوی (۲۸) با تساوی (۲۷) و با استفاده از تساوی (۱۶) و تساوی کردن ضریبهای مقدار قدرت و توان واحد و یکسان ، تساویهای زیر به دست می آید :
(۲۹)
(۳۰)
که در آن در ضمیۀتعریف شده است. راه حل تساویهای در این گونه است :
(۳۱)
با جایگزینی تساوی (۳۱) به تساوی (۳۰) این مورد به دست می آید :
(۳۲)
که در آن در ضمیمه B تعریف شده است. تساوی (۳۲) مجموعه ای از تساویهای دیفرانسیل عادی ژیروسکوپی است. برای پیدا کردن شرایط و اوضاع قابلیت حل به شکل [۳۰] بیان و مطرح می شوند :
(۳۳)
با جایگزینی تساوی (۳۳) با تساوی (۳۲) و تساوی کردن ضریب eBrToL در هر دو طرف تساوی (۳۲) ، یک نفر می تواند این را به دست آورد :
(۳۴)
همینطور، برای ضریب eBrToL به دست می آید :
(۳۵)