اقلیدس

متاسفانه درباره و زندگی و شخصیت اقلیدس اطلاع کمی در دست بجز آنکه وی استاد ریاضیات در دانشگاه اسکندریه و ظاهراً موسس حوزه معروف و دیرپای ریاضیات اسکندریه بود. حتی در تاریخ وقایع عمده زندگی و محل تولد وی معلوم نیست ، اما محتمل به مظر می رسد که وی تعالیم ریاضی خود را در کدرسه افلاطونی آتن فرا گرفته باشد. سالها بعد ، پاپوس هنگام مقایسه اقلیدس و آپولونیوس و برای بی اعتبار کردن دومی ، از اقلیدس به خاطر فروتنی و توجهش به دیگران ستایش کرد. پروکلوس خلاصه ائودموسی خود را با داستان مکرر

گفته شده جواب اقلیدس به سوال بطلمیوس درباره راه میان بر در دانش هندسه کامل می کند که «هیچ راه شاهانه ای در هندسه وجود ندارد.» اما همان داستان درباره منایخموس ، وقتی به عنوان معلم در خدمت اسکندر کبیر بود ، نیز نقل شده است. استوبائیوس حکایت دیگری دارد. داستان دانش آموزی که پیش اقلیدس درس می خواند و پرسید از آموختن این موضوع چه چیزی عاید وی خواهد شد ، در نتیجه اقلیدس به غلامش امر کرد تا سکه ای به او دهد.«زیرا او از آنچه می آموزد باید سودی عایدش شود».

اصول اقلیدس
گرچه اقلیدس مولف حداقل ۱۰ اثر بوده ، و متون نسبتاً کامل پنج تای آنها به دست ما رسیده است ، اما شهرت وی عمدتاً به خاطر اصول اوست. به نظر می رسد که این اثر مهم بلافاصله و به طور کامل جای کلیه اصول قبلی را گرفته باشد ؛ در واقع ، هیچ اثری از تلاشهای قبلی بر جا نمانده است. به محض اینکه این اثر پدید آمد ، مورد نهایت نوجه قرار گرفت و از جانشینان اقلیدس گرفته تا اعصار جدید ، تنها ذکر شماره مقاله و شماره قضایا برای مشخص کردن قضیه یا ساختمان خاصی کافی محسوب می شد. هیچ اثری ، بجز کتاب مقدس ، به این وسعت مورد استفاده. ویرایش ، یا مطالعه نبوده و احتمالاً هیچ اثر دیگری بیشتر از آن بر تفکر علمی تاثیر ننهاده است. از زمان اولین چاپ آن در سال ۱۴۸۲ ، اصول اقلیدس متجاوز از هزار بار تجدید شده ، و برای بیش از دو هزاره ، این اثر تمام تعالیم هندسه را تحت سیطره داشته است.

متاسفانه هیچ نسخه ای از اصول اقلیدس که تاریخ آن به زمان مولف باز گردد ، یافته نشده است. چاپهای جدید اصول مبتنی بر متن تجدید نظر شده به وسیله تئون اسکندرانی است که تقریبآً ۷۰۰ سال بعد از نوشته شدن اثر اصلی ، تهیه شده است . در اوایل قرن نوزدهم بود که نسخه قدیمی تری ، که تنها اختلافاتی جزئی با تحریر تئون داشت ، در کتابخانه واتیکان کشف شد. مطالعه دقیق نقل قولها و توضیحاتی که نویسندگان اولیه داده اند نشان می دهد که تعریفها ، اصول متعارفیو اصول موضوعه رساله اصلی با متون تجدید نظرهای بعدی اندکی تفاوت دارد ولی قضا و براهین آنها اساسا به همان صورتی مانده اند که نگارش اقلیدس بوده است.

اولین ترجمه های لاتینی کامل اصول نه از یونانی و بلکه از عربی صورت گرفتند.
در قرن هشتم ، تعدادی از دستنوشته های آثار یونانی موجود در بیزانس به وسیله اعراب ترجمه شد. و در ۱۱۲۰ ، محقق انگلیسی ، آدلارد باثی ترجمه لاتینی از اصول را از روی یکی از این ترجمه های عربی قدیمیتر به عمل آورد. ترجمه های لاتینی دیگر از عربی توسط گرادوی کرمونایی (۱۱۸۷-۱۱۱۴) و ، ۱۵۰ سال بعد از آدلارد ، به وسیله یوهانس کمپانوس صورت گرفت. اولینذ انتشار چاپی اصول در ۱۴۸۲ در ونیز صورت گرفت و ترجمه کمپانوس را در بر داشت. این کتاب بسیار نادر به طرز نفیسی تهیه گردید و اولین کتاب ریاضی مهمی بوده است که به چاپ می رسید. ترجمه لاتین مهمی از یونانی توسط کوماندینو در ۱۵۷۲ انجام شد. این ترجمه به عنوان مبنایی برای بسیاری از ترجمه های بعدی ، از جمله اثر بسیار معتبر رابرت سیمسن ، به کار گرفته شد ، که از اثر اخیر ، به نوبه خود ، نسخ انگلیسی متعددی اقتباس شدند. اولین ترجمه انگلیسی کامل اصول ترجمه جاودانی بیلینگزلی منتشره در سال ۱۵۷۰ بود.
وجود کتابهای اصول دیگر پیش از اصول اقلیدس از ارزش کار او نمی کاهد. به استناد خلاصه نویسی ائودموسی ، بقراط خیوسی اولین تلاش را در این راه به عمل آورد و بعد از او لئون ، که از لحاظ تاریخی بین افلاطون و ائودوکسوس قرار دارد ، به این تلاش دست زد. گفته اند که در اثر لئون در مقایسه با اثر بقراط ، قضایا سنجیده تر انتخاب شده اند ، و این قضایا تعدادشان بیشتر و سودمندتر بوده اند بوده اند. کتاب درسی آکادمی افلاطون توسط منگنزیایی نوشته شده بود و از آن به عنوان مجموعه اصول تحسین آمیزی ستایش شده است.

ظاهراً هندسه تئودیوس پیشرو بلافصل اثر اقلیدس و بدون شک در دسترس وی بوده است ، به ویژه اگر اقلیدس در آکادمی افلاطونی درس خوانده باشد. اقلیدس با کار مهم تئایتتوس و ائودوکسوس هم آشنا بوده است. بنابراین ، محتمل است که اصول اقلیدس ، عمدتاً ، تالیفی بسیار موفقیت آمیز و تدوینی منظم از آثار نویسندگان پیشین بوده باشد. تردیدی نسیت که اقلیدس می بایست تعدادی از براهین را خود پیدا و تعداد مثیری را کامل مند ، ولی حسن عمده اثر او در گزینش ماهرانه قضایا و دادن ترتیب منطقی به آنهاست که از قرار معلوم از مثنی فرضهای آغازین استنتاج شده اند.

مندرجات «اصول»
بر خلاف تصورات رایج ، اصوا اقلیدس تنها منحصر به هندسه نبوده و بلکه شامل مقدار قابل ملاحظه ای مطالب راجع به نظریه اعداد و جبر مقدماتی (هندسی) است. این اثر مشتمل بر ۱۳ مقاله و کلا حاوی ۴۶۵ قضیه است. کتابهای درسی هندسه مسطحه و فضایی دبیرستانهای آمریکا شامل قسمت اعظم مطالبی است که در مقاله های I،III،IV،VI،XI،XII یافته می شوند.

مقاله I ، البته ، با تعاریف مقدماتی لازم ، اصول موضوعه ، و اصول متعارفی آغاز می شود ؛ ما در بخش ۵-۷ به این مطالب باز می گردیم. ۴۷ قضیه اول مقاله اول به سه گروه تقسیم می شوند. ۲۶ تای اول عمدتاً به خواص مثلثها می پردازند و سه قضیه تساوی را در دارند. قضایای ۲۷ تا ۳۲ مقاله I نظریه خطوط موازی را بنا می نهند و ثابت می کنند که مجموع زوایای هر مثلث برابر دو قائمه است. قضایای باقیمانده مقاله به متوازی الاضلاعها ، مثلثها و مربعها همراه با اشارات خاص به روابط مربوط به مساحتها مربوط اند. قضیه ۴۷ I ، همان قضیه فیثاغورس است ، با برهانی که عموماً به خود اقلیدس منتسب می شد ، و قضیه اخر ، ۴۸ I ، عمس قضیه فیثاغورث است.

مقاله II ، مقایسه کوتاهی با تنها ۱۴ قضیه ، به تبدیل مساحتها و جبر هندسی مکتب فیثاغورس می پردازد. در همین مقاله است که معادلهای هندسی تعدادی از اتحادهای جبری را می یابیم. قضایای ۱۲ II و ۱۳ II از اهمیت خاصی برخوردارند. این تقاضا ، همراه با هم و به زبان امروزی تر ، از این قرارند: در یک مثلث منفرج الزاویه (حاده الزوایا) ، مربع ضلع مقابل به زاویه منفرجه (حاده) برابر است با مجموع مربعات دو ضلع دیگر مثلث به اضافه (منهای) دو برابر حاضلضرب یکی از این دو ضلع در تصویر دیگری بر روی این ضلع. لذا این دو قضیه ، تعمیم قضیه فیثاغورث هستند که امروزه از آن با نام « قانون کسینوسها» یاد می کنیم.

مقاله III ، مرکب از ۳۹ قضیه ، شامل بسیاری از قضایای آشنا درباره دایره ها ، وترها ، قاطعها ، مماسها ، و اندازه گیری زوایای مربوط به آنهاست که در کتابهای هندسه دبیرستانی دیده می شوند. مقاله IV ، با تنها ۱۶ قضیه ، ساختمانهای هندسی به وسیله ستاره و پرگار را برای چند ضلعیهای منتظم سه چهار ، پنج ، شش ، و پانزده ضلعی ، و محاط کردن این چند ضلعیها را در داخل یک دایره مفروض و محیط کردن آنها بر یک دایره مفروض را مورد بحث قرار می دهد. چون از هندسه دوایر که در مقاله های III و IV آمده است.

در آثار فیثاغورس چندان چیزی یافت نمی شود ، مطالب این مقاله احتمالاً به وسیله سوفسطائیان اولیه و تحقیق کنندگان در سه مسئله مشهور بحث شده در فصل ۴ تهیه شده است.
مقاله V بیان استادانه ای از نظریه ائودوکسوس در مورد تناسب است. این نظریه قابل استفاده در کمیتهای نا متوافق و متوافق ، «رسوایی منطقی» ناشی از کشف اعداد گنگ به وسیله فیثاغورس را حل کرد. تعریف ائودکسوس از تناسب ، یا تساوی دو نسبت، قابل توجه است ، و ارزش آن را دارد که در اینجا تکرار شود. گویند کمیتهایی به یک نسبت اند ، اولی به دومی و سومی به چهارمی ، هر گاه ، اگر مضارب همضریب دلخواه از اولی و سومی ، و مضارب همضریب دلخواه از دومی و چهارمی اختیار شود ، مضربهای اول به یک گونه بیشتر از ،

به یک گونه مساوی با ، به یک گونه کوچکتر از مضربهای دوم اند که به ترتیب متناظر اختیار شوند. به عبارت دیگر ، اگر A ، B ، C ، D چهار کمیت بی علامت دلخواه باشند که A و B از یک جنس (هر دو یا قطعه خط ، یا زاویه ، یا مساحت ، یا حجم) ، C و D هم از یک جنس اند ، در این صورت نسبت A به B برابر است با نسبت C به D ، هرگاه به ازای اعداد صحیح مثبت دلخواه m و n داشته باشیم. ، بسته به اینکه .

نظریه ائودوکسوس درباره تناسب شالوده ه ای برای دستگاه اعداد حقیقی در آنالیز ریاضی عرضه کرد، که بعدها توسط دد کیند و وایر شتراس بسط یافت.

مقاله VI نظریه ائودوکسوس درباره تناسب را در هندسه مسطحه به کار می برد. قضیه ای مبنی بر اینکه نیمساز داخلی هر زاویه از مثلث ضلع مقابل را به پاره خطهایی متناسب با دو ضلع دیگر تقسیم می کند ؛ تعمیمی از قضیه فیثاغورس که در آن ، به جای مربعها ، سه شکل متشابه ترسیم شده در روی سه ضلع یک مثلث قائم الزاویه رسم شده اند ، و بسیاری قضایای دیگر را می بینیم . احتمالاً در این مقاله قضیه ای نیست که بر فیثاغورسیان اولیه معلوم نبوده ، اما برهانهای قبل از ائودوکس بسیاری از آنها مغلوط بوده اند ، زیرا که بر نظریه ناقصی در مورد تناسب مبتنی بوده اند.

مقاله های VII و VIII و IX ، که مجموعاً شامل ۱۰۲ قضیه اند ، به نظریه مقدماتی اعداد پرداخته اند. مقاله VII با فرآیندی برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه صحیح مشترک دو عدد پرداخته اند. نقاله VII با فرلایندی برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه صحیح مشترک دو عدد یا بیشتر ، که امروزه به آن الگوریتم اقلیدسی می گوییم ، آغاز می شود و آن را به عنوان آزمایشی برای متباین بودن دو عدد به کار می برد. در اینجا همچنین شرحی از نظریه عددی ، یا فیثاغورسی ، تناسب یافت می شود. بسیاری از خواص اساسی اعداد در این مقاله اثبات شده اند.

مقاله VIII بیشتر با تناسبهای مسلسل و تصاعدهای هندسی هندسی مربوط سر و کار دارد. اگر تناسب مسلسل a:b=b:c=c:d را داشته باشیم ، در این صورت a ، b ، c ، d یم تصاعد هندسی تشکیل می دهند.
در مقاله IX قضایای مهمی یافت می شوند. قضیه ۱۴ IX معادل است با قضیه مهمی که قضیه اصلی حساب خوانده می شود ، یعنی اینکه هر عدد صحیح بزرگتر از ۱ را می توان به یک صورت و دقیقاً به یک صورت به شکل حاصلضرب اعداد اول نشان داد. قضیه ۳۵ IX روش استخراج هندسی فرمول مجموع n جمله اول یک تصاعد هندسی را می دهد ، و آخرین قضیه ، ۳۶ IX ، فرمول مهم اعداد تام را که در بخش ۳-۳ بیان شد ، ثابت می کند.

برهان اقلیدس در مورد ۲۰ IX – که تعداد اعداد اول بینهایت است. عموماً به وسیله ریاضیدانان به عنوان نمونه ای از ظرافت ریاضی تلقی شده است. این برهان روش غیر مستقیم ، یا برهان خلف را به کار می گیرد ، و اساساً به قرار زیر است. فرض کنید تنها تعدادی متناهی عدد اول موجود باشند ، که آنها را با a ، b ، … ، k نشان می دهیم.
حال P را به صورت k … P=ab در نظر بگیرید. در این صورت ۱+p یا اول است یا مرکب. اما چون a ، b ، … ، k همه اعداد اول اند ، ۱+p ، که از هر یک از اعداد a ، b ، … ، k بزرگتر است ، نمی توانند اول باشد. از دیگر سو ، اگر ۱+p مرکب باشد ، باید به عدد اولی مانند P قابل قسمت باشد. اما p باید یکی از اعضای مجموعه a ، b ، … ، k از کلیه اعداد اول باشد ، یعنی اینکه p یکی از مقسوم علیه های p است . در نتیجه ، p نمی تواند ۱+p را عاد کند ، زیرا ۱<p.
بنابراین فرض آغازین ما که عده اعداد اول متناهی است ، غیر قابل قبول است ، و قضیه ثابت می شود.

مقاله x با اعداد گنگ ، یعنی ، با پاره خطهایی که نسبت به پاره خط مفروضی نامتوافق اند ، سر و کار دارد. محقق بسیاری این مقاله را شاید بهترین مقاله اصول تلقی می کنند. تصور می شود که قسمت زیادی از این مقاله کار وتئایتتوس باشد ، ولی کمال خارق العاده ، دسته بندی استادانه ، و پرداخت آن معمولاً به اقلیدس نسبت داده می شود.

تصور اینکه نتایج این مقاله فقط به استدلال انتزاعی و بدون استفاده از نمادهای جبری مناسب حاصل شده باشد به باور نمی گنجد. اولین قضیه (XII)، پایه روش افناست که بعداً در مقاله XII به کار گرفته شده ، بدین معنی که ، اگر از هر کمیتی قسمتی که از نصف آن کوچکتر نیست ، کم شود ، از باقیمانده قسمت دیگری که از نصف آن کوچکتر نیست کم شود، و الی آخر ، در نهایت کمیتی به جا خواهد ماند که از هر کمیت معین ، همجنس با کمیت اول کوچکتر است. در این مقاله همچنین فرمولهایی را می یابیم که اعداد سه تایی فیثاغورسی را می دهند ، فرمولهایی که بابلیهای قدیم شاید آنها را هزار سال بیشتر از آن می دانسته اند

سه مقاله باقیمانده XI ، XII ، XIII به هندسه فضایی مربوطند ، که همه مطالبی را که عموماً در کتابهای دبیرستانی می توان یافت ، به استثنای مبحث مربوط به کره هارا ، در بر می گیرند. تعاریف و قضایای کربوط به خطها و صفحه ها در فضا ، قضایای مربوط به متوازی السطوحها در مقاله XI یافت می شوند. روش افنا در مطالعه احجام در مقاله XII نقش مهمی دارد ، در مقاله XIII ساختمانهایی برای محاط کردن پنج چند وجهی منتظم در یک کره عرضه شده اند.

این نکته مکرراً گفته شده ، که منظور از اصول اقلیدس در واقع آن بوده که صرفاً به عنوان شرح مطولی از پنج چند وجهی منتظم به کار آید ، ارزیابی نامنصفانه ای به نظر می آد. ظاهراً ارزیابی درست تر چنین است که قصد از این کتاب این بوده که در زمان خود به عنوان یک کتاب درسی مقدماتی در ریاضیات عمومی مورد استفاده قرار گیرد. اقلیدس در ریاضیات عالی نیز کتابهای درسی نگاشته است.

در خاتمه ، اشاره ای به معنی اصطلاح «اصول» می کنیم . بروکلوس به ما گفته است که منظور یونانیان قدیم از «اصول» یک مطالعه قیاسی ، قضایای عمده یا کلیدی بوده است که مورد استفاده وسیع و عمومی در موضوع مورد بحث بوده اند. کار آنها با نقشی که حروف الفبا در رابطه با زبان دارد مقایسه شده است؛ در حقیقت حروف را هم در زبان یونانی به همین اسم می نامند. ارسطو ، در کتاب مابعدالطبیعه خود ، به همین معنی درباره «اصول» می گوید که «در بین قضایای هندسی، آنهایی را «اصول» می نامیم که اثباتشان در اثبات همه یا اغلب قضایای هندسی می آیند.» انتخاب قضایایی که باید به عنوان اصول در موضوع مورد بحث اختیار شوند ، نیازمند تشخیص درست است ، و مزیت اصول اقلیدس بر همه آثار قبلی از جمله در همین نکته نهفته است.

پس نتیجه می شود که نکته مکرراً بیان شده دیگر که در اصول اقلیدس قصد آن بوده که اساساً همه هندسه مسطحه و فضایی معلوم در آن عصر گنجاده شود ، آشکارا نادرست است. اقلیدس خیلی بیش از آنچه در اصول وی آمده ، هندسه می دانسته است.
نظریه تناسب
جالب است که به تفاوت بین برهان فیثاغورسی ، و کتابهای درسی جدید برای قضیه ساده مربوط به تناسبها ، توجه شود. قضیه ساده مربوط به تناسبها ، توجه شود. قضیه VI را انتخاب می کنیم:

نسبت مساحتهای دو مثلث که ارتفاعشان یکی است ، همان نسبت قاعده های آنهاست.
به خود اجازه می دهیم که از قضیه ۳۸ Iاستفاده کنیم که می گوید مثلثهایی که قاعده های برابر و ارتفاعهای برابر داشته باشند، که می گوید مثلثهایی که قاعده های برابر و ارتفاعهای برابر داشته باشند. مساحتهای برابر دارند و از یک نتیجه قضیه ۳۸ I حاکی از اینکه از دو مثلث که ارتفاعشان یکی است ، آنکه قاعده بزرگتر دارد مساحت بیشتری دارد.
فرض کنید که این مثلثها ABC و ADE باشند و قاعده های BC و DE بر روی خط مستقیم MN ، مانند شکل ۳۸، قرار داشته باشند. فیثاغورسیان ، قبل از کشف اعداد گنگ تلویحاً می پذیرفتند که هر دو پاره خط دلخواه متوافق اند، بنابراین ، فرض شود که BC و DE دارای یک واحد مشترک برای اندازه گیری اند ، که به عنوان مثال ، در BC ، P بار و در DE ، q بار می گنجد. این نقاط تقسیم را بر BC و DE ، به ترتیب ، به p و q مثلث کوچکتر تقسیم می شوند ، که همه ،بنابر ۳۸ I ، مساحت واحدی دارند. نتیجه می شود که و قضیه ثابت می شود. بعداً با این کشف ، که دو پاره خط لزوماً متوافق نیستند ، نارسایی این برهان همراه با برهانهای دیگر اشکار گردید ، و لذا ، آن «رسوایی منطقی» اضطراب آور به وجود آمد.

نظریه ائودوکسوسی تناسب ، این «رسوایی» را ، آن گونه که اکنون با اثبات مجدد ۱ VI به متوالی که در اصول می توان دید ، شرح می دهیم ، به طور ماهرانه ای مرتفع کرد

بر امتداد CB ، به صورت متوالی از نقطه B ، ۱ – m پاره خط مساوی با CB جدا کنید و نقاط تقسیم را ، هم چنان که در شکل ۳۹ دیده می شود ، به A وصل کنید. به همین نحو ، ر امتداد DE ، متوالیا از نقطه E ، پاره خط مساوی با DE جدا کنید ، . نقاط تقسیم ، را به راس A وصل کنید. در این صورت . همچنین ،بنابر ۳۸ I و نتیجه آن ، ؛ بسته به اینکه یعنی ، بسته به اینکه ، که از آن ، بنابر تعریف ائودوکسوسی تناسب

و قضیه ثابت می شود. در اینجا هیچ ذکریی از کمیتهای متوافق و نامتوافق به میان نیامده ، زیرا تعریف ائودوکسوسی تناسب را در هر دو حالت می توان به کار برد.