بررسي حركت شتابدار

حركت شتابدار، حركتي است كه در آن مقادير سرعت در طول زمان تغيير مي‌كند. به اين ترتيب، مقدار عدد سرعت در ثانيه‌هاس متفاوت، متغير خواهد بود. در صورتي كه اين تغييرات بصورت خطي باشد، شتاب حركت، عدد ثابتي است.
a عدد ثابتي است

خلاصه:
۱) براي حركت يكنواخت با شتاب صفر (a=0)

۲) حركت شتابدار
xمستقل از
t‌مستقل از
در حركت شتابدار توسط سقوط آزاد g به جاي a جايگزين مي‌شود:

مثال: جسمي با سرعت اوليه به طرف بالا پرتاب مي‌شود. مطلوب است: ( )
الف) زمان اوج ب) ارتفاع اوج ج) وضعيت جسم در ثانيه ۵/۱

د) وقتي كه زمان طي شده يك ثانيه باشد، مطلوب است محاسبه ارتفاع طي شده.

مثال) يك سفينه در مراحل آخر فرود تحت تاثير نيروي رانش معكوس موتور خود را با سرعت به فاصله ۶ متر از سطح ماه مي‌رساند. اگر در لحظه موتور ناگهان خاموش شود، سرعت برخورد سفينه را با ماه محاسبه كنيد. شتاب گرانش ماه را فرض كنيد.

مثال) توپي با سرعت m/s 24 در لبه يك صخره ۶۰ متري به سوي بالا پرتاب مي‌شود. h ارتفاعي كه توپ بالا مي‌رود و t زمان از هنگام پرتاب تا رسيدن به پاي صخره را حساب كنيد.

معادله تغييرات حركت متحرك بر حسب زمان به شرح زير است:

سرعت جسم را در ثانيه دهم محاسبه كنيد. شتاب جسم را در زمان‌هاي t=0.5, 10s بدست آوريد.

معادله حركت متحركي به صورت است. مطلوب است محاسبه شتاب در ثانيه پنجم و مسافت طي شده در حد فاصل ثانيه دوم و سوم.

حركت بر مسير منحني

حركت بر مسير منحني:

مبداء حركت نسبت به محور xها و yهاست. تعيين معادلات نيز بايد بر اساس يك مبداء مشخصي باشد. متحرك در پلان فوق از نقطه A به نقطه B رسيده است. در طول حركت خود داراي است، در صورتي كه ناظر روي محور x’ باشد، اين نوع حركت، مستقيم‌الخط است، اما در صورتي كه ناظر در نقطه o قرار گيرد، در آن صورت نوع حركت متحرك از نگاه ناظر يك نوع حركت زاويه‌دار است. يعني زاويه متحرم از θ۱ θ۲ رسيده است، اين مابه‌التفاوت را با Δθ يا dθ نمايش مي‌دهند. لذا تغيير متحرك از نگاه ناظر o يك تغيير زاويه‌اي است. به سرعت اين متحرك ω مي‌گويند و رابطه آن عيناً مانند رابطه خطي است.
سرعت زاويه‌اي
به تغييرات سرعت در واحد زمان، شتاب زاويه‌اي مي‌گويند و با α نمايش مي‌دهند:

شكل كلي اين مساله نيز همانند مساله خطي است.
مثال) رابطه بر حسب زمان در خصوص متحركي به شكل زير است. مطلوب است محاسبه سرعت زاويه‌اي ω در لحظه t=4s و تعيين تغييرات شتاب در زمان t=4 تا t=6.

مثال) مطلوب است تعداد دور توسط A وقتي سرع زاويه‌اي آن از Rad/s60 به Rad/s20 كاهش مي‌يابد. (α=۳Rad/s2).

يك دو كامل، ۲n است.

حركت با شتاب صفر

مثال) گوله توپي با سرعت اوليه m/s300 و با زاويه ْ۳۰=α از نقطه A پرتاب مي‌شود. مطلوب است:
الف) تعيين مقادير R (برد)، h (ارتفاع اوج) و t (زمان اوج).
ب) محاسبه بهترين حالت پرتاب كه بيشترين برد را داشته باشد.

سيستم مختصات عمودي ـ مماسي (n-t):
براي بيان حركت در حالت حركت در مسير منحني به غير از سيستم دكارتي، سيستم ديگري به نام عمودي مماسي وجود دارد كه نحوه بررسي حركت ذره بر روي آن به صورت زير است:
ذره از نقطه A به B مي‌رسد، ممكن است سرعت آن كه همواره مماس است، متغير يا ثابت باشد، منحني در فاصله كوتاه dx به اندازه dθ تغيير مكان مي‌دهد.
dx=ρ.dθ
ρ: شعاع انحنا (در حالت خاص دايره ρ=r)
سرعت تابعي از تغيير جابجايي ذره

در واحد زمان (Vn=0 در جهت مركز، سرعت صفر است).
شتاب تغييرات سرعت در واحد زمان

at شتاب مماس مربوط به Vt است

اگر ρ ثابت باشد:

به ذره‌اي كه بر مسير منحني حركت مي‌كند، علاوه بر شتاب مماسي، شتاب جانب مركز يا شتاب عمودي وارد مي‌شود. اين شتاب عمودي در راستاي مركز انحنا مي‌باشد و به شرح زير است:
بنابراين راستاي شتاب جانب مركز به طرف مركز بوده و اندازه آن با كمك روابط به صورت زير بدست مي‌آيد:

شتاب در صفحه با دو مولفه مشخص مي‌شود، چون روي دو محور t, n قرار داريم، لذا دو بردار كه en, et داريم، مثل i, j. لذا:

مثال: راننده‌اي با توجه به پستي و بلندي جاده، پدال ترمز را به نحوي فشار مي‌دهد كه سرعت اتومبيل با شتاب منفي ثابتي كاهش مي‌يابد. سرعت اتومبيل در پايين سراشيبي در نقطه A برابر با km/h100 و در بالاي سربالايي در نقطه c برابر است با km/h50. فاصله اين دو نقطه برابر است با ۱۲۰ متر و كل شتابي كه سرنشينان اتومبيل در A حس مي‌كند، برابر با m/s2 3 مي‌باشد و شعاع انحنا يا برآمدگي جاده در نقطه c برابر با ۱۵۰متر است (نقطه B نقطه عطف است). مطلوب است:
الف) شعاع انحنا مسير در نقطه A را بدست آوريد.
ب) شتاب اتومبيل در نقطه B را بدست آوريد.
ج) شتاب كل اتومبيل را در نقطه C بدست آوريد.

سيستم مختصات قطبي:
پس از يادگيري سيستم مختصات دكارتي، سيستم ديگري به نام عمودي مماسي بررسي شد. اينك در خصوص سيستم قطبي (r-θ) بحث مي‌شود. ممكن است حركت در —– به حركت آن در قالب يكي از دستگاه‌ها سريعتر به جواب برسد. لذا ممكن است يك يا دو بار دستگاه فوق استفاده شود:

در سيستم (r=θ):

براي حالت سيستم قطبي مقادير سرعت و شتاب عبارتند از:

مقادير V عبارتند از:

اگر حركت ذره فقط در راستاي r بدون هيچ تغيير زاويه‌اي باشد (ثابت = θ)، تنها Vr داريم:

محاسبه a كل كه ناشي از ar, aθ است، نيز همان a كل دو مختصات x-y, n-t است. مسائل ديناميك با توجه به آساني استفاده از اين روابط قابل حل خواهد بود.
معمولاً در اين قبيل مسائل معمولاً مقادير r, θ، يعني توابع حركت ذره بر روي لغزنده‌ها به صورت فرمولي از زمان ارئه مي‌گردد و با مشتق‌گيري هر جزء مقادير Vθ, Vr, aθ, ar بدست مي‌‌آيد:

مراحل حل مساله:

مثال) اتومبيلي روي مسير افقي كه شعاع آن ۸۰ است، از حال سكون حركت مي‌كند. تندي اتومبيل با آهنگ ثابتي حركت مي‌كند (ثابت=a) افزايش مي‌يابد و در مدت ۱۰ ثانيه به سرعت km/h100 مي‌رسد. ۸ ثانيه بعد از شروع حركت، شتاب چقدر است؟

مثال) قطاري با سرعت km/h100 در قسمتي از مسير خود به صورت مسير منحني است، وارد مي‌شود و سرعت خود را با شتاب منفي ثابت در مدت ۱۲ ثانيه به km/h50 مي‌رساند. شتاب‌سنجي كه در داخل قطار نصب گرديده، ۶ ثانيه بعد از ورود قطار به اين قسمت شتاب افقي آن را برابر m/s22 نشان مي‌دهد. شعاع انحناء مسير در لحظه موردنظر چقدر است؟

سنتيك
بررسي نقش دوم مسائل ديناميك از طريق روش‌هاي:
۱٫ نيوتني ۲٫ كار و انرژي ۳٫ ضربه يا ——- (برخورد)
از ميان روش‌هاي بالا كه خلاصه آنها به صورت زير است:

بخش دوم مربوط به سنتيك ذرات است كه در آن حضور نيرو بررسي مي‌گردد كه اين بررسي با يكي از سه روش گفته شده انجام مي‌گيرد. بسته به نوع مساله، از يكي از اين روش‌ها كمك مي‌گيريم. براي روش نيوتني آناليز همانند مسائل استاتيكي است، با اين تفاوت كه در آنها است، بلكه تابعي از شتاب متحرك است، در صورت وجود تعادل (سرعت ثابت) (كه حالت خاصي از تعادل است)، شتاب صفر خواهد بود و مي‌باشد.
مسائل مربوط به سنتيك همانند مسائل استاتيك نياز به ترسيم ترسيمه آزاد دارد، يعني در ابتدا بايد شكل درستي از مجموعه نيروهاي وارد بر جسم ترسيم و سپس مقادير شتاب براي آن محاسبه شود. به مثال زير توجه شود.
مثال) مردي به جرم ۷۵ كيلوگرم در داخل يك آسانسور روي ترازوي فنري ايستاده است. آسانسور از حالت سكون به حركت درمي‌آيد. در ۳ ثانيه اول حركت نيروي كششي T آسانسور به ۸۳۰۰ نيوتن مي‌رسد. ترازو در اين مدت چه عددي را نشان مي‌دهد. سرعت در ثانيه سوم را نيز محاسبه كنيد.
جرم آسانسور، مرد و ترازو جمعاً ۷۵۰ كيلوگرم است (g=9.81m/s2).

كل جسم با شتاب a بالا مي‌رود. لذا اين a مربوط به آسانسور، ترازو و مرد است. براي محاسبه عددي كه ترازو نشان مي‌دهد، بايد دياگرام آزاد را براي آن ترسيم نماييم. اين دياگرام آزاد تعادلي است، بين مرد و ترازو.

مثال) هواپيمايي با سه چرخ و چهار موتور كه هر موتور نيروي جلو برنده‌اي برابر ۶۰۰۰ نيوتن دارد، از حالت سكون شروع به حركت مي‌كند. در صورتي كه نيروي اصطكاك براي هر چرخ برابر ۲۰۰ نيوتن باشد، مطلوب است شتاب حركت (μ=۰٫۲, m=300ton).
(a) (جرم هواپيما) = (نيروي مخالف) – (نيروي جلو برنده)

نكته: در سفينه:
m.s = (وزن + مقاومت هوا) – (نيروي بالا برنده)
مثال) در آزمايش ترمز اتومبيلي به جرم ۱۵۰ كيلوگرم كه موتور آن در عقب قرار دارد، مشاهده شده است كه اتومبيل در حركتي با سرعت اوليه km/h 100 پس از طي مسافت ۵۰ متر متوقف مي شود. مي‌دانيد كه نيروي موتور چهار چرخ اتومبيل يكسان است. با فرض اينكه شتاب اتومبيل در اين حركت ثابت باشد، نيروي ترمز هر يك از چرخ‌ها را بدست آوريد.

مثال) صندوقي به جرم ۵۰ كيلوگرم با سرعت اوليه m/s8 از سطح شيب‌دار نشان داده شده به پايين هل داده مي‌شود. زمان t براي متوقف شدن جعبه در فاصله پيموده شده را در حالت زير بدست آوريد.

سوال) در چه زاويه‌اي بدون اعمل نيرو (بدون ) جسم شروع به حركت مي‌كند؟

روابط كشاورزي:
حاصل ضرب نيرو در راستاي انتقال ذره كه آن ذره را به اندازه dx جابجا نمايد، با فرمول ω=f.x نشان مي‌دهيم كه ديمانسيون آن ML است و براي عدم تشابه به واحد گشتاور با ژول نشان مي‌دهيم. در اين مبحث با كمك مسائل تحليل مي‌شود. در شكل الف ذره‌اي به جرم m به اندازه x از نقطه ۱ به ۲ منتقل شده است. لذا كار انجام شده برابر است با ω=f.x و در شكل (ب) كار انجام گرفته برابر است با تصوير نيروي F در راستاي x. طبيعتاً اين جابجايي ذره در سمت فوق از V1 به V2 رسيده و با توجه به عدم وجود اصطكاك به ازاي نيروي وارده، يك نيروي جنبشي در آن ذخيره مي‌شود.
انرژي جنبشي كه با تعميم رابطه VdV=adx بدست مي‌آيد، به رابطه:

صندوق شكل مقابل در نقطه A با سرعت اوليه m/s4 به طرف پايين سطح شيبدار حركت مي‌كند، سرعت صندوق در نقطه B چقدر است؟ با كمك رابطه انرژي VB را بدست آوريد (μk=0.3).
حل: در روش انرژي بايد تعادل كار خارجي و انرژي جنبشي با هم برابر باشند:

با كمك روش‌هاي نيرويي (F=ma) مي‌توان حركت در مسير منحني را نيز تحليل نمود. حركت بر مسير منحني از دو دستگاه مختصات (r-θ, n-t) مورد بررسي قرار گرفت، در صورتي كه ذره‌اي بر مسير منحني حركت نمايد، نيز داراي تصاويري از F است.

همچنين در سيستم قطبي (r-θ) نيز:

مثال) در شكل مقابل، حداكثر سرعتي كه قطعه هنگام عبور از A را داشته باشد، بي‌آنكه تماسش با سطح قطع شود، چقدر است؟

در رابطه بالا ديده مي‌شود كه افزايش و كاهش سرعت كنده شدن به مقدار شعاع انحنا بستگي دارد. هرچه ρ بزرگتر باشد، ذره مي‌تواند با سرعت بيشتري حركت كند و كنده شود. خطر كنده شدن زماني است كه ρ كم شده باشد.
مثال) اتومبيلي به جرم ۱۵۰۰ كيلوگرم در جاده‌اي افقي به قسمت پيچ و خم مي‌رسد و سرعت خود را با آهنگ يكنواختي از km/h100 در A به km/h50 در c مي‌رساند. ρ در A برابر ۴۰۰ متر و در C برابر ۸۰ متر است. كل نيروي افقي وارده كه جاده بر چرخ‌هاي اتومبيل وارد مي‌كند، در C,B,A بدست آوريد. نقطه B نقطه عطف تغيير قوس است.

جسم ۲ كيلوگرم نشان داده شده با سرعت m/s5/3 از نقطه B واقع در بالاي قسمت دايره‌اي سطح مي‌گذرد.
الف) مقدار نيروي عمودي nB را كه به سطح موردنظر وارد مي‌كند، بدست آوريد.
ب) حداكثر سرعتي كه جسم مي‌تواند در A داشته باشد، بي‌آنكه تماس با سطح قطع شود، چقدر است؟

مثال) كاميون شكل مقابل كه صندوق به جرم ۸۰ كيلوگرم را حمل مي‌كند، از حالت سكون به راه مي‌افتد و در حركتي با شتاب ثابت پس از طي مسافت ۷۵ متر در جاده مسطح به سرعت km/s72 مي‌رسد، كاري را كه نيروي اصطكاك وارد بر صندوق در اين مدت وارد مي‌كند، بدست آوريد. ضريب اصطكاك استاتيكي و جنبشي بين صندوق و كف كاميون برابر است با ۳/۰ و ۲۸/۰ ب) ۲۵/۰ و ۲/۰٫

نكته: نيروي ناشي از حركت كاميون بر اجزاي ——-:

الف) استاتيكي ۳/۰ ديناميكي ۲۸/۰

ب) استاتيكي ۲۵/۰ ديناميكي ۲/۰

مولفه‌هاي دوم و سوم انرژي:
نيرو عامل حركت است و اساساً هر كاري حضور نيرو معني پيدا مي‌كند. كار يك كميت اسكالر است و اساساً ماهيت آن مثبت است، يعني توليد را نرمال مي‌نمايد. در مقابل كار همواره مولفه‌هاي مقاوم وجود دارند (Rassive) كه ميزان راندمان را كاهش مي‌دهند. بطور كلي كار حاصل از اعمال نيرو به سه حالت تجزيه مي‌شوند:

d موازي و در راستاي نيروي F (F.d) حاصل ضرب داخلي
d*F حاصل ضرب خارجي d عمود بر راستاي F است.

k: سختي فنر
V2: سرعت ثانويه
V1: سرعت اوليه
Δh: اختلاف ارتفاع ثانويه از اوليه
x2: طول افزايش يافته ثانويه
x1: طول افزايش يافته اوليه
كار حاصل از اعمال نيرو بر حركت ذره برابر است با كار حاصل از انرژي جنبشي، انرژي پتانسيل و انرژي فنر موقعيت ذره در انتها نسبت به ابتداي كار سنجيده مي‌شود (به مسير بستگي ندارد)، به عنوان مثال در شكل در صورتي كه V2=0, V1=0 باشد، UΔt=0

مثال) مطلوب است محاسبه سرعت عبور گلوله از نقطه B:
قطعه از A در مسير ربع دايره از حالت سكون حركت مي‌:ند و در انتهاي ربع دايره به مسير مستقيم B-C مي‌رسد، ضريب سختي فنر برابر N/m30 مي‌باشد و كشيدگي فنر در A برابر ۴۰ سانتيمتر مي‌باشد. مطلوب است سرعت ذره در لحظه عبور از نقطه B (جرم ذره ۲ كيلوگرم مي‌باشد).

كليه واحدها بايد متناب باشند:

مثال) جرم m برابر ۲۰ كيلوگرم روي سطح شيبدار قرار دارد. در نقطه A فشردگي فنر برابر ۶- سانتيمتر طول خط AC برابر ۶۰ سانتيمتر و طول خط CB برابر ۴۰ سانتيمتر مي‌باشد و نيروي T برابر با ۳۰۰ كيلوگرم و AB برابر است با ۳۰۰ سانتيمتر. در لحظه عبور از نقطه B سرعت قطعه را بدست آوريد (بر حسب K) و طول فنر ۱۵ سانتيمتر مي‌باشد.