تحليل و بررسي دقيق فرايند تحليل سلسله مراتبي AHP

چكيده

از آنجا كه اتخاذ تصميم صحيح و به موقع مي تواند تاثير به سزايي در زندگي شخصي و اجتماعي انسانها داشته باشد ضرورت وجود يك تكنيك قوي كه بتواند انسان را در اين زمينه ياري كند كاملا محسوس مي باشد. يكي از كار آمد ترين اين تكنيك ها فرايند تحليل سلسله مراتبي (Analytical hierarchy process ) است كه براي اولين بار توسط توماس ال ساعتي در دهه ي ۱۹۷۰ مطرح شد. اين تكنيك بر اساس مقايسه هاي زوجي بنا نهاده شده و امكان بررسي سناريو هاي مختلف را به مديران مي دهد.

اين فرايند با توجه به ماهيت ساده و در عين حال جامعي كه دارد مورد استقبال مديران و كاربران مختلف قرار گرفته است، لذا در اين پايان نامه سعي شده است تا با نگرشي متفاوت در مقايسه ي دو به دوي معيار ها و زير معيار ها در اين فرايند نتايج حاصل از اين روش به واقعيت موجود نزديك تر شود. بر همين اساس با توجه به اينكه هر معيار يا زير معياري در اين فرايند در سطوح مختلف داراي مطلوبيت متفاوتي مي باشد پس بهتر است با توجه به مطلوبيت معيار ها در هر سطح آنها را دو به دو با هم مقايسه كرد.

جهت آزمايش نتايج حاصل از اين كار پژوهشي تكنيك حاصله به صورت حل يك مسئله پياده گرديده كه در اين پايان نامه موجود مي باشد.

مقدمه :

دنياي اطراف ما مملو از مسائل چند معياره است و انسانها هميشه مجبور به تصميم گيري در اين زمينه ها هستند. بطور مثال هنگام انتخاب شغل معيار هاي مختلفي مانند در امد، موقعيت اجتماعي، خلاقيت و ابتكار و… مطرح مي باشند كه فرد تصميم گيرنده گزينه هاي مختلف را بايد بر طبق اين معيار ها بسنجد. در تصميم گيري هاي كلان مانند تنظيم بودجه ي سالانه ي كشور نيز متخصصين اهداف مختلفي مانند امنيت، اموزش توسعه ي صنعتي و… را تعقيب نموده و مايلند كه اين اهداف را بهينه نمايند.

در زندگي روز مره مثالهاي فراواني از تصميم گيري با معيار هاي چند گانه وجود دارد. در بعضي موارد نتيجه تصميم گيري به حدي مهم است كه بروز خطا ممكن است ضرر هاي جبران ناپذيري را بر ما تحميل كند از اين رو لازم است كه تكنيك يا تكنيك هاي مناسبي براي انتخاب بهينه و تصميم گيري صحيح طراحي شود تا تصميم گيرنده بتواند به بهترين انتخاب ممكن نزديك تر شود.
روش AHP كه بر اساس تحليل مغز انسان براي مسائل پيچيده و فازي مي باشد توسط محققي بنام«توماس ال ساعتي » در دهه ي ۱۹۷۰ پيشنهاد گرديده است.

فرايند تحليل سلسله مراتبي يكي از جامع ترين سيستم هاي طراحي شده براي تصميم گيري با معيار هاي چند گانه است زيرا اين تكنيك امكان فرموله كردن مسئله را به صورت سلسله مراتبي فراهم مي كند و همچنين امكان در نظر گرفتن معيار هاي مختلف كمي و كيفي را در مسئله دارد اين فرايند گزينه هاي مختلف را در تصميم گيري دخالت داده و امكان تحليل حساسيت روي معيار ها و زير معيار ها را دارد، علاوه بر اين بر مبناي مقايسه ي زوجي بنا نهاده شده كه قضاوت و محاسبات را تسهيل مي نمايد، همچنين ميزان سازگاري و نا سازگاري تصميم را نشان مي دهد كه از مزاياي ممتاز اين تكنيك در تصميم گيري چند معياره مي باشد.

نوع مقايسه زوجي ما بين معيارها و زير معيارها به صورت خطي بوده و به عنوان مثال اگر ترجيح عنصر A بر عنصرB همواره برابر n باشد ترجيح عنصر B بر عنصر A همواره برابر ۱/n خواهد بود در حاليكه در سطوح مختلف از عنصر A مطلوبيت عنصر B دستخوش تغيير است و در اين تحقيق سعي شده كه بر اساس تئوري مطلوبيت كه يكي از پر كاربرد ترين تئوري ها در علم اقتصاد خرد ميباشد مقايسه اي دقيق تر ما بين معيار ها و زير معيار ها انجام پذيرد و وزن نسبي هر يك از معيارها با استفاده از تابع مطلوبيت بين هر دو معيار بدست مي آيد.

فصل اول
كليات

پياده سازي روش تحليل سلسله مراتبي AHP امكان دسترسي به اهداف بهينه را به تصميم گيرنده مي دهد اين فرايند طوري طراحي شده كه با ذهن و طبيعت بشري مطابق و همراه مي شود و با آن پيش مي رود اين فرايند مجموعه اي از قضاوت ها و ارزش گذاري هاي شخصي به يك شيوه منطقي مي باشد به طوري كه مي توان گفت اين تكنيك از يك طرف وابسته به تصورات شخصي و تجربه جهت شكل دادن و طرح ريزي سلسله مراتبي يك مسئله بوده و از طرف ديگر به منطق درك و تجربه جهت تصميم گيري و قضاوت نهايي مربوط مي شود.

۱-۱) موضوع تحقيق :
تجزيه و تحليل فرايند تحليل سلسله مراتبي AHP و برطرف نمودن نقاط ضعف اين روش تصميم گيري به كمك تئوري مطلوبيت در جهت ارائه روش اجرايي.

۱-۲) بيان و تعريف موضوع :
فرايند تحليل سلسله مراتبي با تجزيه مسائل مشكل و پيچيده، آنها را به شكلي ساده تبديل كرده و به حل آنها مي پردازد. اين روش كاربردهاي فراواني در مسائل اقتصادي و اجتماعي پيدا كرده است و در سالهاي اخير در امور مديريتي نيز به كار رفته است.

اصولا جهت حل يك مسئله از طريق AHP ابتدا يك نمايش گرافيكي به صورت سلسله مراتبي ايجاد شده و سپس عناصر هر سطح نسبت به عنصر مربوط خود در سطح بالاتر به صورت زوجي مقايسه شده و وزن آنها محاسبه مي گردد و در نهايت پس از تعيين اولويتها بايد سازگاري سيستم مورد بررسي و قضاوت قرار گيرد.
در اين پايان نامه جهت مقايسه دو به دوي عناصر نسبت به عنصر سطح بالاتر خود به جاي روابط خطي از مطلوبيت هر يك از عناصر در مقادير مختلف استفاده شده است.

۱-۳) اهداف تحقيق :
اصولا در فعاليت هاي روزانه اعم از اقتصادي، اجتماعي و… استفاده از تكنيك هاي تصميم گيري جهت رسيدن به اهداف بهينه يك ضرورت اجتناب ناپذير است.

در فرايند تحليل سلسله مراتبي AHP سعي شده براي بدست آوردن وزن نسبي معيارها و در نهايت اولويت ها در جهت رسيدن به هدف روشي مورد استفاده قرار گيرد تا دقت تصميم گيري از طريق AHP افزايش يافته و فرد به انتخاب بهينه تري دست پيدا كند. اما اگر بخواهيم اهداف پيگيري شده در اين كار پژوهشي را دسته بندي كنيم بايد بگوييم :
۱- تحليل و بررسي دقيق فرايند تحليل سلسله مراتبي AHP
2- مشخص نمودن نقاط ضعف اين فرايند
۳- ارائه روشي بهبود يافته بر اساس تحليل هاي علمي و تئوري مطلوبيت

۱-۴) فرض تحقيق
مي توان فرض مسئله مورد پژوهش را بدين گونه بيان كرد :
آيا استفاده از تابع مطلوبیت در فرآيند تحليل سلسله مراتبي AHP منجر به افزايش اثر بخشی روش خواهد شد ؟

۱-۵) قلمرو علمي تحقيق
اين تحقيق به ارائه يك مدل و الگوريتم جديد جهت محاسبه اوزان نسبي معيارها از طريق مقايسه دوبه دوي آنها در فرايند تحليل سلسله مراتبي AHP مي پردازد در اين راستا جهت تجزيه و تحليل تكنيك موجود و دستيابي به نقاط قوت و ضعف اين تكنيك، اقدام به بررسي قدم به قدم فرايند تحليل سلسله مراتبي AHP نموده است لذا در اين راستا قلمرو تحقيق را مي توان به تمام مباحث مهندسي و مديريتي كه به نحوي با اين بحث در ارتباط هستند لحاظ نمود.

۱-۵-۱) قلمرو مكاني :
جهت اجراي اين پژوهش كاربردي اطلاعات به صورت كتابخانه اي جمع آوري و مورد تجزيه و تحليل قرار گرفته است و براي بررسي نتايج حاصله يك مسئله به صورت امتحان حل مي گردد.
۱-۵-۲) قلمرو زماني : اين پژوهش مستقل از قلمرو زماني بوده و مي تواند تا زمانيكه روش بهتري به جاي آن پيشنهاد گردد مورد استفاده قرار گيرد.

۱-۶) متدولوژي تحقيق :
۱-۶-۱) روش تحقيق:
پژوهش يك كاوش يا بررسي اصولي و دقيقي است كه افراد را قادر مي سازد ماهيت پديده ها يا رويدادهاي پيچيده را درك كنند. با توجه به آرمان اين تحقيق كه كسب دانش جديد براي رسيدن به هدف علمي مشخص، درك صحيح از مسئله پژوهش، يافتن رابطه معني دار رياضي و كاربردي بودن آن در تصميم گيري مورد توجه مي باشد، روش تحقيق انتخابي تحقيق كاربردي است كه به كمك تجزيه و تحليل و مطالعه دقيق علوم مرتبط منجر به ارائه يك مدل و الگوريتم جديد مي گردد.

اما آنچه در اين تحقيق مورد بحث و بررسي قرار گرفته بدين ترتيب است كه در قدم اول فرايند تحليل سلسله مراتبي AHP در مرحله محاسبه اوزان نسبي معيارها و زير معيارها به خاطر مقايسه دوبه دوي معيارها به صورت خطي داراي اشكال مي باشد زيرا در عالم واقع و در مغز انسان در مقايسات زوجي همواره مرجح بودن A بر B برابر n نيست. اين مقايسه به نوعي از تئوري مطلوبيت تبعيت مي نمايد مثلا در انتخاب يك اتومبيل نمي توان گفت كه همواره ايمني دو برابر راحتي براي تصميم گيرنده اهميت دارد

بلكه هرچه ميزان ايمني اتومبيل بالاتر رود مطلوبيت آن در مقابل از دست دادن راحتي كمتر مي شود زيرا افزايش ايمني منجر به كاهش راحتي در اتومبيل مي شود از اين رو جهت به دست آوردن وزن نسبي معيارها از نگرش تابع مطلوبيت كه در اقتصاد خرد و تئوري رفتار مصرف كننده كاربرد فراواني دارد استفاده شده و احساس مي شود جواب نهايي با استفاده از اين روش به واقعيت نزديك تر مي باشد.

۱-۶-۲) روش گردآوري اطلاعات:
منابع و اطلاعات مورد استفاده در اين پژوهش عمدتا به صورت كتابخانه اي و مقالات و منابع اينترنتي معتبر مي باشد كه مورد تاييد مجامع علمي است.
۱-۷) محدوديت هاي تحقيق :
وجود هر گونه مشكل و محدوديت در هر پژوهش بديهي به نظر مي رسد لذا از جمله محدوديت هاي اين تحقيق مي توان به موارد ذيل اشاره كرد :
۱- محدوديت منابع علمي فارسي مرتبط با موضوع بالاخص درباره تابع مطلوبيت
۲- پياده سازي روش پيشنهادي براي مسائلي با معيارهاي زياد مشكل آفرين است و ضعف آن در محدوديت هاي نرم افزاري مي باشد.
۳- با توجه به كمبود سوابق و مطالعات گذشته در مورد اين موضوع محقق مجبور شد شخصا به نظريه پردازي در اين زمينه اقدام نمايد.

فصل دوم
مروري بر ادبيات تحقيق

پيشگفتار:
تصميم سازي يكي از مهم ترين مشخصه هاي انساني است و هر فرد در طول شبانه روز تصميم هاي فراواني اتخاذ مي كند، برخي از اين تصميم ها اهميت چنداني نداشته و برخي ديگر از اهميت بالايي برخوردار هستند. هر چه مسئوليت و اختيارات انسان بيشتر باشد تصميم گيري اهميت بيشتري خواهد داشت. از آنجا كه اتخاذ تصميم صحيح و به موقع مي تواند تاثير به سزايي در زندگي شخصي و اجتماعي انسانها داشته باشد، ضرورت وجود يك تكنيك قوي كه بتواند انسان را در اين زمينه ياري كند كاملا محسوس مي باشد.

يكي از كارامد ترين اين تكنيك ها فرايند تحليل سلسله مراتبي AHP است كه براي اولين بار توسط توماس ال ساعتي در دهه ۱۹۷۰ مطرح شد. اين تكنيك بر اساس مقايسه هاي زوجي بنا نهاده شده و امكان بررسي سناريو هاي مختلف را به مديران مي دهد. فرايند تحليل سلسله مراتبي به علت ماهيت ساده و در عين حال جامعي كه دارد مورد استقبال مديران و كاربران مختلف واقع شده است بعلاوه در طول ۲۰ سال گذشته از سوي محافل علمي نيز همواره مورد توجه بوده است. اين تكنيك امكان فرموله كردن مسئله را بصورت سلسله مراتبي فراهم مي كند و همچنين امكان در نظر گرفتن معيارهاي مختلف كمي و كيفي را در مسئله دارد.

اين فرايند گزينه هاي مختلف را در تصميم گيري دخالت داده و امكان تحليل حساسيت روي معيارها و زير معيارها را دارد، علاوه بر اين بر مبناي مقايسات زوجي بنا نهاده شده كه قضاوت و محاسبات را تسهيل مي نمايد همچنين ميزان سازگاري و ناسازگاري تصميم را نشان مي دهد كه از مزاياي ممتاز اين تكنيك در تصميم گيري چند معياره مي باشد.
يك تئوري بر پايه تابع مطلوبيت مي تواند بوسيله مبادله اهداف از خل و خو و عادات و بيان اين عادات به صورت رياضي جهت تشريح خل و خوهاي تصميم گيرنده بيان شود تا تصميمات با ملاحظه ترجيحات وي تنظيم گردد.

با ادغام روش AHP و تئوري مطلوبيت مي توان تصميم گيري دقيق تري را انجام داد .
كمپاني فورد براي طراحي يك هواپيما با گزينه هاي مختلف جهت خريد قطعات مواجه شد كه با استفاده از تلفيق تئوري مطلوبيت و فرايند تحليل سلسله مراتبي توانست بهترين گزينه ها را براي خريد قطعات مختلف هواپيما انتخاب نمايد و در نهايت مدير كل طراحي شركت بر اساس گزينه هاي موجود و بهينه گزينه نهايي را انتخاب نمود ( لوئيس و كالاگان ۲۰۰۰ ).

۲-۱) كليات
۲-۱-۱) اصول فرايند تحليل سلسله مراتبي
توماس ال ساعتي ۴ اصل زير را به عنوان اصول فرايند تحليل سلسله مراتبي بيان نموده و كليه محاسبات، قوانين و مقررات را بر اين اصول بنا نهاده است. اين اصول عبارت اند از :
اصل ۱ : شرط معكوسي (Reciprocal Condition ) – اگر ترجيح عنصر A بر عنصر B برابر n باشد ترجيح عنصر B بر عنصر A برابر ۱/n خواهد بود.
اصل ۲ : اصل همگني ( Homogenity ) – عنصر A با عنصر B بايد همگن و قابل مقايسه باشند به بيان ديگر برتري عنصر A بر عنصر B نمي تواند بي نهايت يا صفر باشد.

اصل ۳ : وابستگي ( Dependency ) – هر عنصر سلسله مراتبي به عنصر سطح بالاتر خود مي تواند وابسته باشد و به صورت خطي اين وابستگي ميتواند تا بالا ترين سطح ادامه داشته باشد.
اصل ۴ : انتطارات ( Expectations ) – هر گاه تغييري در ساختمان سلسله مراتبي رخ دهد پروسه ارزيابي بايد مجددا انجام گيرد ( قدسي پور، سيد حسن، ۱۳۸۱، ص ۶ ).

۲-۱-۲) مزاياي فرايند تحليل سلسله مراتبي
فرايند طوري طراحي شده كه با ذهن و طبيعت بشري مطابق و همراه مي شود و با ان پيش مي رود. اين فرايند مجموعه اي از قضاوت ها ( تصميم گيري ها ) و ارزش گذاري هاي شخصي به يك شيوه ي منطقي مي باشد بطوريكه مي توان گفت تكنيك از يك طرف وابسته به تصورات شخصي و تجربه جهت شكل دادن و طرح ريزي سلسله مراتبي يك مسئله بوده و از طرف ديگر به منطق، درك و تجربه جهت تصميم گيري و قضاوت نهايي مربوط مي شود.

كليه افراد اعم از دانشمندان اجتماعي و فيزيكي، مهندسان و سياستمداران و حتي افراد عامي مي توانند اين روش را بدون استفاده از متخصصين به كار ببرند.
امتياز ديگر فرايند تحليل سلسله مراتبي اين است كه ساختار و چهار چوبي را جهت همكاري و مشاركت گروهي در تصميم گيري ها يا حل مشكلات مهيا مي كند.(قدسي پور، سيد حسن، ۱۳۸۱ )
توماس ال ساعتي در يكي از كتاب هاي خود تحت عنوان تصميم گيري براي مديران كه در سال ۱۹۹۰ به چاپ رسانده است، ويژگيهاي فرايند تحليل سلسله مراتبي را به شرح زير بيان مي كند :
۱- يگانگي و يكتايي مدل ( Unity ) – فرايند تحليل سلسله مراتبي يك مدل يگانه، ساده و انعطاف پذير براي حل محدوده وسيعي از مسايل بدون ساختار است كه به راحتي براي همگان قابل درك مي باشد.

۲- پيچيدگي ( Complexity ) – براي حل مسايل پيچيده، فرايند تحليل سلسله مراتبي هم نگرش سيستمي و هم تحليل جزء به جزء را به صورت توام به كار ميبرد. عموما افراد در تحليل مسايل يا كل نگري كرده و يا به جزئيات پرداخته و كليات را رها ميكنند در حاليكه فرايند تحليل سلسله مراتبي هر دو بعد را با هم به كار مي بندد.
۳- همبستگي و وابستگي متقابل (Interdepemdence) – فرايند تحليل سلسله مراتبي وابستگي را به صورت خطي در نظر مي گيرد ولي براي حل مسائلي كه اجزاء به صورت غير خطي وابسته اند نيز به كار گرفته مي شود.

۴- ساختار سلسله مراتبي (Hierarchy structuring ) – اين فرايند اجزاي يك سيستم را به صورت سلسله مراتبي سازماندهي مي كند كه اين نوع سازماندهي با تفكر انسان تطابق داشته و اجزاء در سطوح مختلف طبقه بندي مي شوند.
۵- اندازه گيري ( Measurement ) – فرايند تحليل سلسله مراتبي مقياسي براي اندازه گيري معيارهاي كيفي تهيه كرده و روشي براي تخمين و برآورد اولويتها فراهم مي كند.
۶- سازگاري (‍Consistency ‍) – فرايند تحليل سلسله مراتبي سازگاري منطقي قضاوت هاي استفاده شده در تعيين اولويت ها را محاسبه كرده و ارائه مي نمايد.
۷- تلفيق ( Synthesis ) – اين فرايند منجر به براورد رتبه ي نهايي هر گزينه مي شود.
۸- تعادل ( Tradeoffs ) – فرايند تحليل سلسله مراتبي اولويت هاي وابسته به فاكتور ها در يك سيستم را در نظر گرفته و بين انها تعادل بر قرار مي كند و فرد را قادر مي سازد كه بهترين گزينه را بر اساس اهدافش انتخاب كند.
۹- قضاوت و توافق گروهي ( Judgmemt & Consensus ) – اين فرايند بر روي توافق گروهي اصرار و پا فشاري ندارد ولي تلفيقي از قضاوت هاي گوناگون را مي تواند ارائه دهد.
۱۰- تكرار فرايند ( Process Repetition ) – اين فرايند فرد را قادر مي سازد كه تعريف خود را از يك مسئله تصحيح كند و قضاوت و تصميم خود را بهبود دهد ( قدسي پور، سيد حسن، ۱۳۸۱، ص۷ تا ۹)

۲-۲) گام هاي فرايند تحليل سلسله مراتبي
فرايند تحليل سلسله مراتبي با تجزيه ي مسايل مشكل و پيچيده انها را به شكلي ساده تبديل كرده و به حل انها مي پردازد. اين روش كاربرد هاي فراواني در مسائل اقتصادي و اجتماعي پيدا كرده است و در سالهاي اخير در امور مديريتي نيز به كار رفته است.
براي حل يك مسئله يا تصميم گام هاي زير بايد برداشته شود :
– ساختن سلسله مراتبي
– محاسبه ي وزن
– سازگاري سيستم

۲-۲-۱) ساختن سلسله مراتبي
سلسله مراتبي يك نمايش گرافيكي از مسئله پيچيده ي واقعي مي باشد كه در راس ان هدف كلي مسئله و در سطوح بعدي معيار ها و گزينه ها قرار دارند. هر چند يك قاعده ي ثابت و قطعي براي رسم سلسله مراتبي وجود ندارد اما برخي افراد سعي نموده اند تا يك سري قواعد كلي در اين زمينه بيان كنند. بطور مثال « داير و فورمن » بيان مي كنند كه سلسله مراتبي ممكن است يكي از صورت هاي زير باشد :
هدف – معيارها – زير معيار ها – گزينه ها
هدف – معيارها – عوامل – زير عوامل – گزينه ها
هدف…… ( قدسي پور، سيد حسن، ۱۳۸۱، ص۳۰ )
يك فرم ديگر از سلسله مراتبي در كارپلا به صورت زير امده است :

۲-۲-۱-۱ ) انواع سلسله مراتبي ها
سلسله مراتبي ها در يك تقسيم بندي كلي به دو گروه تقسيم مي شوند :
الف) سلسله مراتبي ساختاري كه در ان عناصر عموما به صورت فيزيكي با هم در ارتباط مي باشند. شكل ۲-۱ يك سلسله مراتبي ساختاري مي باشد

ب ) سلسله مراتبي وظيفه اي كه در ان اجزاء به صورت اعتباري يا وظيفه اي با هم مرتبط بوده و تشكيل يك سيستم را مي دهند.
هر سلسله مراتبي وظيفه اي از يك سري سطوح درست شده است كه در بالا ترين سطح فقط يك عنصر وجود داشته باشد كه هدف ناميده ميشود اما در سطوح بعدي ممكن است عناصر بيشتري وجود داشته باشد. البته تعداد اين عناصر نمي تواند زياد باشد و عموما بين پنج تا نه عنصر است.

۲-۲-۱-۲) روش ساختن يك سلسله مراتبي
در يك نگاه كلي ميتوان گفت كه روش ساختن يك سلسله مراتبي به نوع تصميمي كه بايد اتخاذ شود بستگي دارد بطور مثال اگر تصميم مورد نظر انتخاب يك گزينه باشد مي توان از گزينه ها شروع كرده و در پايين ترين سطح هدف سلسله مراتبي كه يك عنصر است قرار گيرد.گاهي اوقات خود معيار ها نيز بايد به صورت جزيي تر مورد تجزيه و تحليل واقع شوند كه در اين گونه موارد يك سطح ديگر ( كه شامل زير معيارها ميشود ) به سلسله مراتبي اضافه مي گردد. البته لزومي ندارد كه تمامي معيارها داراي زير معيار باشند.
۲-۲-۲) محاسبه وزن در فرايند تحليل سلسله مراتبي
محاسبه وزن در فرايند تحليل سلسله مراتبي در دو قسمت جداگانه مورد بحث قرار مي گيرد :
-وزن نسبي
-وزن نهايي
وزن نسبي از ماتريس مقايسه زوجي بدست مي ايد در حاليكه وزن مطلق رتبه ي نهايي هر گزينه مي باشد كه از تلفيق وزن هاي نسبي محاسبه مي گردد.

۲-۲-۲-۱) روش هاي محاسبه وزن نسبي
در فرايند تحليل سلسله مراتبي ابتدا عناصر به صورت زوجي مقايسه شده و ماتريس مقايسه زوجي تشكيل مي گردد سپس با استفاده از اين ماتريس وزن نسبي عناصر محاسبه مي گردد.
بطور كلي، يك ماتريس مقايسه زوجي به صورت زير نشان داده مي شود كه در ان aij ترجيح عنصر i ام به عنصر j ام است كه با توجه به مقدار aij ها وزن عناصر يعني wi ها بدست مي آید.

هر ماتريس مقايسه زوجي ممكن است سازگار و يا نا سازگار باشد در حالتي كه اين ماتريس سازگار باشد محاسبه وزن ( wi ) ساده بوده و از نرماليزه كردن عناصر هر ستون بدست مي ايد. اما در حالتي كه ماتريس ناسازگار باشد محاسبه وزن ساده نبوده و براي بدست اوردن ان ۴ روش عمده مطرح شده، كه عبارت اند از :
– روش حد اقل مربعات ( Least Squares Method)
– روش حد اقل مربعات لگاريتمي Logarithmic Least Squares Method )
– روش بردار ويژه ( Eigenvector Method)
– روش هاي تقريبي ( Aproximation Methods)

۲-۲-۲-۱-۱) روش حداقل مربعات
در صورتي كه ماتريس A سازگار باشد مقدار عددي aij برابر با wi / wj مي شود اما در عمل كمتر اتفاق مي افتد كه ماتريس مزبور سازگار باشد و عموما A يك ماتريس ناسازگار است.
در روش حداقل مربعات wi، wj به گونه اي محاسبه مي شوند كه wi، wj و aij حداقل گردد، به عبارت ديگر در حالت كلي مي توان گفت :
در حالت سازگاري ( به ازاي كليه i و j ها ) aij = wi / wj ياwi = aij wj
در حالت نا سازگاري ( حداقل براي يك i و j ) aij ≠ wi / wj ياaij wj ≠ wj

در اين روش سعي بر اين است كه wi و wj به گونه اي تعيين شوند كه اختلاف wi / wj با aij ها حداقل گردد. به عبارت ديگر، سيستم به حالت سازگاري نزديكتر شود. بنابراين براي محاسبه wi و wj بايد برنامه ريزي غير خطي زير حل گردد :
( a ) MINIZ=∑∑( aij wj – wi )ˆ۲
∑wi = 1
لازم به ذكر است در برنامه ريزي غير خطي فوق محدوديت ۰ wi ≥ نيز بايد در نظر گرفته شود البته مي توان مسئله را بدون در نظر گرفتن اين محدوديت حل نمود و سپس آن را اعمال نمود. براي حل مسئله فوق، معادله لاگرانژي آن بصورت زير در نظر گرفته ميشود:
L=∑∑(aijwj-wi)^2+2λ[∑wi-1] (b)

اگر از معادله فوق نسبت به wi مشتق بگيريم خواهيم داشت :
(c) ∑(aijwj-wi)aij-∑(aijwj-wi)+λ=۰
از روابط ( a ) و ( c ) به تعداد ( ۱n + ) معادله خطي نا همگن و ( ۱ n + ) مجهول بدست مي آيد به عنوان مثال اگر ۲n = باشد داريم :
(a11^2+2a11+2)w1-(a12+a21)w2+ λ=۰
-(a21+a12)w1+(a12^2-2a12+a22^2+2)w2+ λ=۰
w1+w2=1مقدار متغيرهاي w1، w2 و λ را مي توان با حل معادلات فوق بدست آورد.
۲-۲-۲-۱-۲) روش حداقل مربعات لگاريتمي

در اين روش سعي مي شود كه حاصل ضرب اختلافات و يا به عبارتي ميانگين هندسي اختلافات حداقل گردد يعني در حالتهاي سازگاري و نا سازگاري داريم :
aijwj/wi =1 «aij=wi/wj
aijwj/wi ≠۱ «aij≠wi/wj
ميانگين هندسي اين اختلافات برابر است با :
[ππaijwj/wi]^1/n^2=z^1/n^2
بنابراين مي توان گفت كه در حالت سازگاري ميانگين هندسي اختلافات برابر ۱ است و لگاريتم آن برابر صفر خواهد بود و در حالت ناسازگاري هر چه ميانگين هندسي به ۱ نزديكتر باشد بهتر است و به عبارتي ديگر:
در حالت سازگاری ∑∑(lnaij-ln(wi/wj))=0
درحالت ناسازگاری

۱/n^2∑∑(lnaij-ln(wi/wj))=1/n^2lnz
از آنجا كه عبارت داخل پرانتز ممكن است در بعضي موارد مثبت و در بعضي موارد منفي باشد آنرا به توان ۲ مي رسانيم تا همواره مثبت گردد. پس در اين روش بايد برنامه ريزي زير حل گردد :
Minz= ∑∑(lnaij-ln(wi/wj))^2
Sto:
∑wi=1
wi≥۰ i=1,2,3,………..,n
با حل اين دستگاه مقادير wi بدست خواهد آمد.
در يك نگاه كلي مي توان گفت كه روش حداقل مربعات، ميانگين حسابي خطاها و روش حداقل مربعات لگاريتمي ميانگين هندسي خطاها را حداقل مي كنند. در برخي موارد ميانگين هندسي بهتر از ميانگين حسابي عمل مي كند. اين مطلب در مقاله فيچنز بطور كامل مورد بحث قرار گرفته است ( قدسي پور، سيد حسن، ۱۳۸۱ ).

۲-۲-۲-۱-۳) روش بردار ويژه
در اين روش wi ها به گونه اي تعيين مي شوند كه روابط زير صادق باشد :
a11w1+a12w2+……………………….a1nwn= λw1
a21w1+a22w2+……………………….a2nwn= λw2
.
.
an1w1+an2w2+……………………….annwn= λwn
كه در آن aij ترجيح عنصر i ام بر j ام است و wi نيز وزن عنصر i ام و λ يك عدد ثابت مي باشد. اين روش نيز يك نوع ميانگين گيري است كه هاركر آن را ميانگين در طرق مختلف ممكن مي داند، زيرا در اين روش وزن عنصر i ام يعني wi طبق تعريف برابر است با :
wi= 1/ λ∑aijwj i=1,2,3,…………..,n
دستگاه معادلات فوق را مي توان به صورت زير نوشت :
A*w=λ.w
كه A همان ماتريس مقايسه زوجي { يعني A = [ aij ] } و w بردار وزن و λ يك اسكالر ( عدد) است.
طبق تعريف چنانچه اين رابطه بين يك ماتريس ( A ) و بردار ( w ) و عدد ( λ ) برقرار باشد گفته مي شود كه w بردار ويژه و λ مقدار ويژه براي ماتريس A مي باشند.
۲-۲-۲-۱-۴) روش هاي تقريبي
از آنجا كه روش هاي فوق داراي محاسبات سنگين مي باشند، برخي روشهاي تقريبي پيشنهاد شده كه دقت كمتري داشته و محاسبات كمتر و ساده تري دارند. اين روش ها عمدتا تقريبي از روش بردار ويژه هستند كه با دقتهاي مختلف محاسبات را تصحيح مي نمايند.
۲-۲-۲-۱-۴-۱) مجموع سطري : در اين روش ابتدا مجموع عناصر هر سطح محاسبه شده تا يك بردار ستوني حاصل گردد، سپس اين بردار ستوني نرماليزه مي شود. بردار ستوني نرماليزه شده بردار وزن مي باشد.

۲-۲-۲-۱-۴-۲) مجموع ستوني : در اين روش ابتدا مجموع عناصر هر ستون محاسبه شده تا يك بردار سطري حاصل گردد، عناصر اين بردار معكوس گشته، سپس بردار حاصل نرماليزه مي شود. بردار سطري نرماليزه شده بردار وزن مي باشد.
۲-۲-۲-۱-۴-۳) ميانگين حسابي : در اين روش ابتدا هر ستون نرماليزه شده و سپس ميانگين سطري عناصر محاسبه مي شود تا بردار وزن بدست آيد.
۲-۲-۲-۱-۴-۴) ميانگين هندسي : در اين روش ميانگين هندسي عناصر هر سطح محاسبه شده و سپس بردار حاصل نرماليزه مي شود تا بردار وزن حاصل گردد.
۲-۲-۲-۲) محاسبه وزن نهايي :
وزن نهايي هر گزينه در يك فرايند سلسله مراتبي از مجموع حاصلضرب اهميت معيارها در وزن گزينه ها بدست مي آيد.

۲-۲-۳) محاسبه نرخ ناسازگاري
همان گونه كه قبلا بيان شد يك ماتريس ممكن است سازگار و يا ناسازگار باشد در ماتريس سازگار محاسبه وزن ساده بوده و با استفاده از نرماليزه كردن تك تك ستونها بدست مي آيد در حالي كه براي محاسبه وزن در ماتريس ناسازگار چندين روش ذكر گرديد. علاوه بر محاسبه وزن در ماتريس هاي ناسازگار كه قبلا مورد بحث واقع شد، محاسبه مقدار ناسازگاري از اهميت بالايي برخوردار است. در حالت كلي مي توان گفت كه ميزان قابل قبول ناسازگاري يك ماتريس يا سيستم بستگي به تصميم گيرنده دارد اما ساعتي عدد ۱/۰ را به عنوان حد قابل قبول ارائه مي نمايد و معتقد است چنانچه ميزان ناسازگاري بيشتر از ۱/۰ باشد بهتر است در قضاوت تجديد نظر گردد.

۲-۲-۳-۱) ماتريس سازگار
اگر n معيار به شرح c1 , c2 , … cn داشته باشيم و ماتريس مقايسه زوجي آنها به صورت زير باشد :
n،……، ۲، ۱A = [ aij ] , I , j =

كه در آن aij ترجيح عنصر ci را بر cj نشان مي دهد چنانچه در اين ماتريس داشته باشيم :
aik*akj=aij I,j,k=1,2,3,…………..,n
آنگاه مي گوييم ماتريس A سازگار است.

۲-۲-۳-۲) ماتريس ناسازگار
در اين قسمت مي خواهيم بدانيم كه اگر ماتريس مقايسه زوجي ناسازگار باشد ميزان ناسازگاري ماتريس چه مقدار بوده و آن را چگونه اندازه گيري مي كنيم. قبل از بيان معيار اندازه گيري ناسازگاري به چند قضيه مهم در باره هر ماتريس مقايسه زوجي اشاره مي شود :
قضيه ۱ : اگر ۱λ، ۲λ،….. nλ مقادير ويژه ماتريس مقايسه زوجي A باشد مجموع مقادير آن برابر n است :
i=nλ∑
قضيه ۲ : بزرگترين مقدار ويژه (max λ ) همواره بزرگتر يا مساوي n است ( در اين صورت برخي از λ ها منفي خواهند بود. n≤ max λ
قضيه ۳ : اگر عناصر ماتريس مقدار كمي از حالت سازگاري فاصله بگيرند مقادير ويژه آن نيز مقدار كمي از حالت سازگاري خود فاصله خواهند گرفت.
w.λ A*w=
كه در آن λ و w به ترتيب مقدار ويژه و بردار ويژه ماتريس A مي باشند. در حالتي كه ماتريس A سازگار باشد يك مقدار ويژه برابر n بوده ( بزرگترين مقدار ويژه ) و بقيه آنها برابر صفر هستند. بنابراين در اين حالت مي توان نوشت :
A*w=n*w
در حالتي كه ماتريس مقايسه زوجي A ناسازگار باشد طبق قضيه ۳ max λ كمي از n فاصله مي گيرد كه مي توان نوشت :
max.w λ=A*W
دليل استفاده از maxλ طبق قضيه ۳ اين است كه كمترين فاصله را از n خواهد داشت. از آنجا كه max λ همواره بزرگتر يا مساوي n است و چنانچه ماتريس از حالت سازگاري كمي فاصله بگيرد max λ از n كمي فاصله خواهد گرفت، بنابراين تفاضل max λ و n
(n – max λ ) به مقدار n بستگي داشته و براي رفع اين وابستگي مي توان مقياس را به صورت زير تعريف نمود كه آنرا شاخص ناسازگاري ( I.I. ) مي ناميم.
max-n/n-1λ=I.I.
نکته: طبق قضیه ۱ داریم که i=nλ∑ویا iλ= -∑ max-nλ یعنی max-nλ
مقادير شاخص ناسازگاري (I.I. ) براي ماتريس هايي كه اعداد آنها كاملا تصادفي اختيار شده باشند محاسبه كرده اند و آن را شاخص ناسازگاري ماتريس تصادفي ( I.I.R. ) نام نهاده اند كه مقادير آن ها براي ماتريس هاي n بعدي مطابق جدول زير است :

۱۰ ۹ ۸ ۷ ۶ ۵ ۴ ۳ ۲ ۱ n
45/1 45/1 41/1 32/1 24/1 12/1 9/0 58/0 0 0 I.I.R

براي هر ماتريس حاصل تقسيم شاخص ناسازگاري ( I.I. ) بر شاخص ناسازگاري ماتريس تصادفي ( I.I.R. ) هم بعدش معيار مناسبي براي قضاوت در مورد ناسازگاري مي باشد كه آن را نرخ ناسازگاري ( I.R. ) مي ناميم. چنانچه اين عدد كوچكتر با مساوي ۱/۰ باشد سازگاري سيستم قابل قبول است وگرنه بايد در قضاوت ها تجديد نظر نمود.

۲-۲-۳-۳) الگوريتم محاسبه نرخ ناسازگاري يك ماتريس
با توجه به قضاياي ۱ تا ۳ و نتايج آنها نرخ ناسازگاري هر ماتريس را طبق مراحل زير مي توان بدست آورد :
۱- ماتريس مقايسه زوجي A را تشكيل دهيد.
۲- بردار وزن ( w ) را مشخص نماييد.
۳- آيا بزرگترين مقدار ويژه ماتريس A ( يعنيmaxλ ) مشخص است؟ اگر پاسخ مثبت است به قدم چهارم برويد در غير اينصورت با توجه به قدم هاي زير مقدار آن را تخمين مي زنيم :
– با ضرب بردار w در ماتريس A، تخمين مناسبي از.w maxλ بدست مي آيد زيرا :
max.wλ=A.w
– با تقسيم مقادير بدست آمده براي.w maxλ بر w مربوطه تخمين هايي از maxλ محاسبه مي شود.
– متوسط maxλ هاي بدست آمده محاسبه مي گردد.
۴- مقدار شاخص ناسازگاري ( I.I. ) محاسبه مي گردد.
Max-n/n-1λ=I.I.
5- نرخ ناسازگاري ( I.R. ) محاسبه مي گردد.
I.R.=I.I./I.I.R.

۲-۲-۳-۴)الگوريتم محاسبه نرخ ناسازگاري يك سلسله مراتبی
برای محاسبه ی نرخ ناسازگاری یک سلسله مراتبی، شاخص ناسازگاری هر ماتریس ( I.I.) را در وزن عنصر مربوطه اش ( یعنی عنصری که ماتریس در مقایسه با آن ساخته شده است ) ضرب نموده و حاصل جمع آنها را بدست می آوریم. این حاصل جمع را Ī.Ī می نامیم. همچنین وزن عناصر را در I.I.R. ماتریسهای مربوطه ضرب کرده و مجموعشان را Ř نامگذاری می کنیم. حاصل تقسیم Ř Ī.Ī/ نرخ ناسازگاری سلسله مراتبی را نشان می دهد.

۲-۴) سیستمهای غیر خطی یا شبکه ها
طبق اصل سوم فرآیند تحلیل سلسله مراتبی در یک سلسله مراتبی باید وابستگی ها به صورت خطی از بالا به پایین و یا بالعکس باشد. چنانچه وابستگی دو طرفه بوده یعنی وزن معیارها به وزن گزینه ها و وزن گزینه ها نیز به وزن معیارها وابسته باشد، مسئله دیگر از حالت سلسله مراتبی خارج شده و تشکیل یک شبکه یا سیستم غیر خطی را می دهد که در این صورت برای محاسبه وزن عناصر نمی توان از قوانین و فرمولهای سلسله مراتبی استفاده کرد، زیرا با اصل سوم فرآیند تحلیل سلسله مراتبی مغایرت پیدا می کند. در این حالت برای محاسبه ی وزن عناصر باید از تئوری شبکه ها استفاده نمود. شکل ۲-۲ نمونه ای از یک سلسله مراتبی و نمونه ای از یک شبکه را نشان می دهد.

شکل۲-۲ یک شبکه غیر خطی و یک سلسله مراتبی

۲-۵) تئوری مطلوبیت
۲-۵-۱) مفهوم مطلوبیت و رابطه اش با ارزش کالاها و خدمات
رضایت مصرف کننده که از مصرف کالاها و خدمات حاصل می شود، به وسیله اقتصاددانان مطلوبیت نامیده می شود.
واژه مطلوبیت اولین بار به وسیله پروفسور جرمی بنتام انگلیسی مطرح گردید. در هر حال نه وی و نه اقتصاددانان هم عصر وی رابطه ی بین ارزش کالا و مطلوبیتی که از مصرف کالا حاصل می شود را درک نکرده اند( فرجی، یوسف، ۱۳۷۸، ص ۸۰ ).
آدام اسمیت رابطه ی بین ارزش استفاده ای و ارزش مبادله ای کالا را تشخیص داد و مثال معروفش را در مورد آب و الماس بیان نمود. بدین ترتیب که الماس قیمت ( ارزش مبادله ای ) بالایی دارد اما ارزش آن برای زندگی کم است، این در حالی است که آب قیمت ( ارزش مبادله ای ) کمی دارد اما برای زندگی بسیار ضروری است و ارزش استفاده ای بسیار بالایی دارد(فرجی، یوسف، ۱۳۷۸، ص ۸۰ ).

۲-۵-۲) نظریه کاردینالی مطلوبیت
تئوری کاردینالی مطلوبیت حاکی از آن است که مطلوبیت هم درست مثل قیمت و مقدار اندازه گیری می شود. به این معنی که می توانیم مقدار مطلوبیت هر کالا را تعیین کنیم. در این نظریه هم مطلوبیت کل و هم مطلوبیت نهایی قابل اندازه گیری است. اقتصاددانانی که معتقد به کاردینالی بودن مطلوبیت بودند را می توان به دو گروه تفکیک نمود:
۱- آنهایی که معتقد به جمع پذیر بودن مطلوبیت بودند
۲- آنهایی که معتقد به جمع پذیر بودن مطلوبیت نبودند.

۲-۵-۳) نظریه اردینالی مطلوبیت
تئوری اردینالی مطلوبیت حاکی از آن است که مطلوبیت مثل قیمت و مقدار قابل اندازه گیری نیست، اما این امکان وجود دارد که یک نفر کالاهای مختلف را از نظر مطلوبیت رتبه بندی نماید به این معنی که بر اساس این تئوری اگر چه نمی توان گفت که مطلوبیت یک کالا چقدر است، اما این امکان وجود دارد که بگوییم مطلوبیت کالای A از B بیشتر است و بر عکس. نکته ای که ذکر آن ضروری به نظر می رسد آن است که قانون نزولی بودن مطلوبیت نهایی، هم در مورد کاردینالی بودن مطلوبیت و هم در رابطه با اردینالی بودن مطلوبیت صدق می کند(فرجی، یوسف، ۱۳۷۸، ص ۸۰ ).

۲-۵-۴) مطلوبیت کل و مطلوبیت نهایی
یک فرد کالای خاص را بدین سبب تقاضا می کند که مصرف آن کالا برای او رضایت یا مطلوبیت حاصل می کند. هر قدر واحدهایی از یک کالا که مورد مصرف فرد در واحد زمان قرار می گیرد بیشتر باشد مطلوبیت کلی هم که او به دست می آورد بیشتر است. در نتیجه مطلوبیت کل افزایش می یابد اما مطلوبیت اضافی یا مطلوبیت نهایی به دست آمده از مصرف هر واحد اضافی از کالا معمولا کاهش می یابد. در بعضی از سطوح مصرف مطلوبیت کل فرد که ناشی از مصرف کالایی می باشد به حداکثری خواهد رسید و در همین سطح، مطلوبیت نهایی او صفر خواهد بود.. این سطح را نقطه اشباع می گویند. مصرف واحدهای اضافی از کالا باعث کاهش مطلوبیت کل و منفی شدن مطلوبیت نهایی می گردد.( سالواتوره، دومینیک، ۱۳۸۳،ص ۹۹).