توابع مثلثاتی

ارتفاع مثلث ALTITUDE OF A Triangle
هر ارتفاع مثلث، پاره خطي است كه يك سر آن يك رأس مثلث، و سر ديگر آن، پاي عمودي است كه از آن رأس بر ضلع مقابل به آن رأس فرود مي‎آيد؛ مانند ارتفاع هر مثلث، سه ارتفاع دارد، ، و كه در يك نقطة مانند به نام مركز ارتفاعي مثلث همرسند. اندازة ارتفاعهاي ، و را بترتيب با ، و نشان مي‎دهند.

اصل نامساوي مثلثي Axiom Triangle Inequality
هر گاه A، B و C سه نقطة دلخواه باشند، آن گاه . تساوي، وقتي برقرار است كه سه نقطه روي يك خط راست، و نقطة B بين دو نقطة A و C باشد.

انتقال) توابع مثلثاتي Axiom Triangle Inequality
براي محاسبة مقادير نسبتهاي مثلثاتي در ربعهاي دوم، سوم و چهارم مي‎توان از رابطه‎‏هاي زير استفاده كرد:

توابع كسينوس و سينوس دوره‎اي، با دورة ْ۳۶۰ هستند:

تابع تانژانت دوره‎اي، با دورة ْ۱۸۰است:

همچنين از تبديلهاي زير نيز مي‎توان استفاده كرد:

اندازة زاويه Measure of an angle
نسبت آن زاويه است، به زاويه‎اي كه به عنوان واحد زاويه اختيار شده است.
اندازة شعاع كرة محاطي چهار وجهي منتظم
 چهار وجهي منتظم
اندازة شعاع كرة محيطي چهار وجهي منتظم
 چهار وجهي منتظم

اندازة مساحت مثلث Area of a Triangle
برابر است با نصف حاصلضرب اندازة هر ضلع مثلث در اندازة ارتفاع نظير آن ضلع. اگر مساحت مثلث ABC را با S نمايش دهيم، داريم:

با توجه به اين كه است، داريم:

براي محاسبة مساحت مثلث از دستور كه در آن و به دستور هرون Heron مرسوم است، نيز استفاده مي‎كنند.

اندازة نيمسازهاي زاويه‎هاي بروني مثلث Measure of external angle bisectors of triangle
تصفيه: در هر مثلث، مربع اندازة نيمساز هر زاوية بروني، برابر است با حاصلضرب اندازه‎هاي دو پاره خطي كه آن نيمساز بر ضلع سوم پديد مي‎آورد، منهاي حاصلضرب اندازه‎هاي دو ضلع آن زاويه.
يعني اگر در مثلث ABC ADنيمساز زاوية بروني A باشد داريم:

اگر اندازة نيمسازهاي زاويه‎اي بروني A، B و C از مثلث ABC را بترتيب با ، da و db و dc محيط مثلث را با ‍P2 نشان دهيم، داريم:

اندازة نيمسازهاي زاويه‎هاي بروني مثلث Measure of internal angle bisectors of triangle
قضيه: در هر مثلث، مربع اندازة نيمساز هر زاوية دروني برابر است با حاصلضرب اندازة دو ضلع آن زاويه، منهاي حاصلضرب دو پاره خطي كه آن نيمساز بر ضلع سوم پديد مي‎آورد. يعني اگر AD نيمساز زاوية دروني A از مثلث ABC باشد، داريم:

اگر اندازة نيمسازهاي زاويه‎هاي دروني A، B و C از مثلث ABC به ضلعهاي BC=a ,AC=b و AB=c را بترتيب da، db و dc بناميم، داريم:

تابع تانژانت Tangent function
اين تابع به صورت ‎tgx = yمي‎باشد. دورة تناوب آن  است. كافي است نمودار تابع را در فاصلة رسم كنيم. براي رسم نمودار در فاصلة منحني را در امتداد xها به اندازة  در سمت راست xها انتقال مي‎دهيم؛ چون مي‎باشد، منحني تابع اكسترمم نسبي ندارند و در داراي مجانب است.

تابع سينوس Sine function
اين تابع به صورت y=sin x مي‎باشد. دورة تناوب آن ۲ است. كافي است نمودار تابع را در فاصلة رسم كنيم و براي رسم منحني در فاصلة منحني را در امتداد xها به اندازة ۲ در سمت راست xها انتقال مي‎دهيم. و براي رسم منحني در فاصلة منحني را به اندازة ۲ در سمت چپ xها انتقال مي‎دهيم. تابع روي در ماكزيمم نسبي و در مي‎نيمم نسبي و در x= داراي عطف مي‎باشد.

تابع كتانژانت Cotangent function
اين تابع به صورت y=cotg x مي‎باشد. دورة تناوب آن  است. كافي است نمودار را در فاصلة رسم كنيم. براي رسم نمودار در فاصلة منحني را در امتداد xها به اندازة  در سمت راست xها انتقال مي‎دهيم؛ چون مي‎‏باشد. منحني تابع اكسترمم نسبي ندارد و در و داراي مجانب و در عطف دارد.

تابع كسينوس Cosine function
اين تابع به صورت y=socx مي‎باشد. دورة تناوب آن ۲ است. كافي است نمودار را در فاصله رسم نماييم و براي رسم منحني در فاصلة منحني را به اندازة در سمت چپ xها انتقال مي‎دهيم.
تابع روي در مي‎نيمم نسبي و در و داراي عطف مي‎باشد.

تابع مثلثاتي Trigonometric function
تابعهايي كه ضابطة آنها به كمك نسبتهاي مثلثاتي تعريف شده باشد.
هر يك از تابعهاي زير مثلثاتي است:

توابع مثلثاتي ()
توابع f(x)= sin x و g(x)=cos x و h(x) tgx و (x)=cotg x يا تركيبي از آنها را توابع مثلثاتي نامند. مثلاً تابع مثلثاتي مي‎باشد.
مثال ۱: دامنة تابع گنگ مثلثاتي روي كدام است؟

مثال ۲: برد تابع برابر است با:

مثال ۳: برد تابع كدام است؟

مثال ۴: مطلوب است نمودار در يك دورة تناوب

توابع معكوس مثلثاتي Inverse trigonometric functions
1.تابع با ضابطة در فاصله يك به يك بوده و داراي معكوسي به صورت يا و نمودار آن و مشتق آن مي‎باشد.
۲٫تابع با ضابطة به ازاء ، تابع يك به يك بوده، معكوس آن وجود داشته به صورت يا و نمودار آن و مشتق آن به صورت مي‎باشد.
۳٫ تابع با ضابطة به ازاء تابع يك به يك بوده و معكوس آن به صورت يا x=tg y و نمودار آن و مشتق آن مي‎باشد.
۴٫ تابع با ضابطة y=cotg x به ازاء يك به يك بوده و معكوس آن به صورت يا و نمودار آن و مشتق آن مي‎باشد.

حالتهاي تشابه دو مثلث
۱٫اگر دو زاويه از يك مثلث، با دو زاويه از مثلث ديگر برابر باشند.
۲٫اگر يك زاويه از يك مثلث، با يك زاويه از مثلث ديگر برابر، و ضلعهاي مجاور به اين زاويه در دو مثلث نظير به نظير متناسب باشند.
۳٫اگر سه ضلع از يك مثلث، با سه ضلع نظير آنها از مثلث ديگر متناسب باشند.
حالتهاي همنهشتي دو مثلث States of congruent triangles
دو مثلث در يكي از سه حالت زير همنهشت خواهند بود:
حالت اول. هر گاه دو زاويه و ضلع بين آنها از مثلثي، با دو زاويه و ضلع بين آنها از مثلث ديگر، نظير به نظير مساوي باشند.
به عنوان مثال، اگر در دو مثلث ABC و و و اين دو مثلث همنهشتند.
حالت دوم. اگر دو ضلع و زاوية بين آنها از مثلثي، با دو ضلع و زاوية بين آنها از مثلثي ديگر، نظير به نظير برابر باشند.
به عنوان مثال، اگر در دو مثلث ABC و AC=DF,AB=DE,DEF و اين دو مثلث همنهشتند.
حالت سوم. هرگاه سه ضلع از مثلثي، نظير به نظير با سع ضلع از مثلثي ديگر، مساوي باشند.
به عنوان مثال، اگر در دو مثلث ABC و BC=EF,AB=DE,DEF و AC=DF باشد، دو مثلث ABC و DEF همنهشتند.

حد توابع سادة مثلثاتي
حد و حد

حد حد ()

اين حدود نشان مي‎دهند تابع و در هر نقطه پيوسته و تابع f(x)=tg x روي فاصلة ( ) پيوسته و تابع f(x)=cotg x روي فاصله ( ) پيوسته است.
مثال: مطلوب است ( ) حد، با استفاده از قضاياي حدود داريم:

حد

خطهاي همرس در مثلث Concurrent lines in a triangle
1.سه عمود منصف ضلعها،
۲٫سه نيمساز زاويه‎هاي دروني،
۳٫نيمسازهاي دو زاوية بروني با نيمساز زاوية دروني سوم،
۴٫سه ارتفاع،
۵٫سه ميانه.

دايره‎هاي محاطي بروني مثلث Excircles
دايره‎هايي هستند كه بر يك ضلع و امتداد دو ضلع ديگر مثلث مماسند. مركز اين دايره‎ها، نقطه‎هاي برخورد نيمسازهاي دو زاويه خارجي و نميساز زاوية دروني سوم است. هر مثلث سه دايرة محاطي بروني دارد. شكل صفحه بعد، دايرة محاطي بروني مثلث، مماس بر ضلع BC را نشان مي‎دهد.

دايرة مثلثاتي Reigonometric circle
دايره‎اي به شعاع واحد است كه روي آن نقطه‎اي به عنوان مبدأ و جهتي به عنوان جهت مثبت حركت، اختيار شده باشد. در حالت عمومي، انتهاي سمت راست قطر افقي را به عنوان مبدأ حركت (نقطة A) و خلاف جهت حركت عقربه‎هاي ساعت را جهت مثبت اختيار مي‎كنند.

دايرة محاطي داخلي مثلث Inscribed circle
دايره‎‏اي است كه بر ضلعهاي مثلث مماس است. مركز اين دايره، محل برخورد نميسازهاي زاويه‎اي داخلي مثلث است.

دايرة محيطي مثلث Circumscribed circle
دايره‎اي است كه بر سه رأس مثلث مي‎گذرد. مركز آن، نقطة بر خورد عمود منصفهاي ضلعهاي مثلث است.

دستگاه‎هاي مثلثاتي كلاسيك Classic trigonometric systems
براي حل دستگاه‎هاي مثلثاتي چند مجهولي، هيچ‎گونه قاعدة كلي كه در حل تمام دستگاه‎ها بتوان از آن استفاده كرد، وجود ندارد. ولي در اين مورد، براي حل دستگاه‎هاي چند مجهولي مثلثاتي، مي‎توان دستگاه‎هاي دو معادلة دو مجهولي را به سه نوع كلاسيك دسته‎بندي كرد و طريقه حل هر يك را در حالت كلي بيان كرد.
۱-دستگاه‎هاي مثلثاتي كلاسيك نوع اول:

براي حل اين نوع دستگاه‎ها از اتحادهاي تبديل حاصل جمع به حاصل ضرب استفاده مي‎كنيم. براي مثال، دستگاه زير را حل مي‎كنيم:

بنابر اين،‌دستگاه كلاسيك، به دستگاه سادة زير تحويل مي‎شود:

۲-دستگاه‎هاي مثلثاتي كلاسيك نوع دوم:

براي حل اين نوع دستگاه‎ها،‌ از اتحادهاي تبديل حاصلضرب به حاصل جمع استفاده مي‎كنيم. برا مثال، دستگاه زير را حل مي‎كني:

بنابراين، دستگاه كلاسيك، به دستگاه سادة زير تحويل مي‎شود:

از جمع معادله‎هاي اين دستگاه، نتيجه مي‎شود:

۳-دستگاه‎هاي مثلثاتي كلاسيك نوع سوم:

براي حل اين نوع دستگاه‎هاي مثلثاتي، در دو طرف معادلة دوم دستگاه، به وسيلة تركيب نسبت در صورت و تفضيل نسبت در مخرج، آن را به صورت كسري كه در صورت و مخرج آن، مجموع و تفاضل دو نسبت مثلثاتي همنام است، تبديل مي‎كنيم و پس از تبديل صورت و مخرج كسر به حاصل ضرب، با استفااده از مقدار را تعيين نموده و از آن جا مقادير x و y از حل يك دستگاه ساده به دست مي‎آيند.
براي مثال، دستگاه زير را حل مي‎كنيم:

بنابراين، دستگاه كلاسيك، به دستگاه سادة صفحة بعد تحويل مي‎شود:

مثالي ديگر:

بنابراين، دستگاه كلاسيك، به دستگاه سادة زير تحويل مي‎شود: