توابع و تابع ها

 مفاهيم اساسي
مفهوم تابع
طبق تعريفي که اويلر در ۱۷۴۹ به دست داده است , تابع اغلب به عنوان کميت متغير variable quantity ي که وابسته به کميت متغير ديگري است توضيح داده مي شود. تعريفي چنين از مفهوم تابع براي مقاصد بسياري کفايت مي کند , اما در دوران گسترش بيشتري از رياضيات آشکار شد که دادن محتوي عموميتر و مجردتري به مفهوم تابع هم ضروري هم سودمند است .

ماهيت اين مفهوم وابستگي کميتها نيست که معمولاً مراد از آنها اعداد است , که ميتوانند در رابطه «کمتر از يا بزرگتر از » مقايسه شوند , بلکه خود واقعيت تناظر correspondence است , که بر مبناي آن اشياي معيني به عنوان تخصيص يافته به اشياي معين ديگر در نظر گرفته مي شود. به اين ترتيب مفهوم تابع به تعاريف مجموعه نظريه اي set – theoretical definitions تحويل شده است .

تناظرها . هر ميله فلزي هنگامي که گرم شود تغيير مي کند . به عنوان مثال , فرض مي کنيم يک ميله مسي در ۰ C به طور l0=200 واحد طول , u , مثلاً سانتيمتر يا اينچ باشد , در اين صورت l , طول آن در درجه حرارت t0C توسط (t0.000016 +1)200=l مشخص مي شود .
با اين فرمول formula هر مقدار t بين ۰۰C و ۰C100 در تناظر با طول lي بين u200 و u200.32 قرار داده شده است .

به همين ترتيب با هر مقدار کالا مبلغ معيني پول , به عنوان قيمت فروش آن , متناظر است , و با هر شماره صفحه اين کتاب , عددي متناظر است که تعداد حروف واقع در آن صفحه را بيان مي کند .

تناظرها نه تنها بين اعداد , بلکه بطور عمومي تر , بين عنصرهاي aي واقع در مجموعه A و عنصرهاي bي واقع در مجموعه B وجود دارند ; به عنوان مثال , هر صندلي نمايش يک تئاتر متناظر با يک بليط ورودي و يک تماشاچي خاص است . به اين ترتيب , تناظر مورد بحث توسط رابطه ي Fي تعريف شده بر B A با حوزه تعريف A D(F) و برد B R(F) معين مي شود .

اگر نسبت به اين رابطه F به هر عنصر a از حوزه D(F) آن يک و تنها يک عنصر b از برد R(F) آن متناظر باشد , در اين صورت رابطه را تک مداري single-value مي گويند و در اين صورت از تابع function يا نگاشت mapping از مجموعه A بتوي into مجموعه B صحبت مي کنيم ( شکل )

عنصر b از برد تابع متناظر با عنصر نخستين a”original” از حوزه آن را نگاره يا تصوير a”image” مي ناميم . در نتيجه تابع f مجموعه اي از جفتهاي مرتب ”ordered pairs” (a,b)اي است که عنصر اول آنها متعلق به حوزه تعريف D(F) و عنصر دوم آنها متعلق به برد R(F) است .
در مورد نگاشت از A بتوي B داريم ; D(F)=A يعني , هر عنصر a A به عنوان عنصري نخستين رخ ميدهد , و در مورد نگاشت از A بروي B ”onto” , علاوه بر اين , هر عنصرB b به عنوان نگاره اي مطرح مي شود.

عنصر yي را که توسط تابع f به عنصر x تخصيص داده شده است , اغلب با f(x) نمايش مي دهيم و در اين صورت تناظر مورد بحث y=f(x) x نوشته مي شود.
عنصر x را شناسه يا آرگومان ”argument” و عنصر متناظر y آن را مقدار تابع f(x) ”function value” در نقطه x مي نامند .
حوزه تعريف ”domain of definition” ( يا تنها حوزه ) تابع x y =f(x) را با X و برد آن را با Y نمايش مي دهيم . اگر f تابعي از A بتوي B باشد , آنگاه واضحاً A X و B Y .
نمايش توابع
براي توصيف يک تابع بايد حوزه تعريف و برد آن و قاعده اي براي تناظر به دست بدهيم .
نمودار. در نمودار تابع حوزه و برد از لحاظ نموداري نمايش داده مي شوند و تناظر مربوطه با پيکانهايي مشخص مي شود ( شکل ) . از هر عنصر حوزه تنها يک خط سودار خارج مي شود , اما ممکن است يکي يا بيش از يکي از اين خطها به هر عنصر برد ختم شود.
۷ ۶ ۵ ۴ ۳ ۲ ۱ حوزه تعريف

برد

جدول مقادير . قاعده تناظر را مي توان به جاي استفاده از نمودار در جدول مقادير نيز قرار داد ( شکل ) . عنصرهاي حوزه را در سطر بالاي جدول وارد مي کنيم و زير هر يک , عنصر متناظر آن از برد را قرار مي دهيم . جدول مقادير تنها مي تواند تعدادي متناهي از جفتهاي مرتب را به دست دهد , و براي توصيف کامل تابع دلخواه F کفايت نمي کند .

توضيح با کلمات . اگر حوزه و برد يک تابع متناهي نباشد يا آنقدر وسيع باشند که ديگر نمايش نمودار يا جدول مقادير آن بر صفحه کاغذ ممکن نباشد , در اين صورت دادن توصيف دقيق ”exact description” حوزه و برد , همراه با قاعده اي که به ازاي هر عنصر حوزه بتوان عنصر متناظر آن از برد را به دست آورد , کافي است .

تابع را ميتوان بدون استفاده از نمادهاي رياضي , به کمک جمله اي به زبان روزمره , بطور کامل تعريف کرد, به عنوان مثال , در صورتي که به هر مسابقه تقسيم بندي اول ليگ فوتبالي خارج قسمت تعداد بليتهاي ورودي و تعداد سکنه محلي که مسابقه در آنجام برقرار مي شود را متناظر کنيم , تابعي را تعريف کرده ايم . اين تابع مي تواند اطلاع معيني از علاقه اي را به دست دهد که عامه مردم در بازيهاي خاص نشان مي دهند . مثالهاي بسياري از قواعد تناظر مي توان يافت که کلاً يا جزئاً با کلمات تنظيم شده اند.

نمودار مختصاتي . نمودار مختصاتي ”diagram” نيز يک تابع را نمايش مي دهد اگر مجموعه اي از اعداد محور افقي را به عنوان حوزه تعريف و مجموعه اي از اعداد محور قائم را به عنوان برد انتخاب کرده به آرگومان x از حوزه تعريف دقيقاً آن مقدار از y را تخصيص دهيم که به ازاي آنها نقطه با مختصات y, x نقطه اي از نمودار باشد . اما , هر خم بدلخواه رسم شده در يک دستگاه مختصات را نمي توان به عنوان نمايش تابع در نظر گرفت . تناظر داده شده به کمک خم بايد تک مقداري ”single-valued” باشد, و اين درحالتي است که خم نمودار مختصاتي مورد بحث توسط هر خط موازي محور قائم حداکثر در يک نقطه قطع شده باشد .
فرمول. بيشترين روش به کار رفته در نمايش يک تابع در رياضيات فرمول است. در اين روش عناصر حوزه و برد تنها عددها , يا دست کم اشياي رياضي

”mathematical objects” اند که در مورد آنها ميتوان قاعده هاي محاسبه ” rules of calculation ”ي مناسب به دست داد , به عنوان مثال :
y=sinx (3) ( 2) y=7x+2 (1)

در صورتيکه معلومات خاصي در مورد حوزه تعريف تابع نداده باشند , معمولاً آن اعدادي را متعلق به آن در نظر مي گيريم که به آنها بتوان با استفاده از فرمول مورد بحث مقدار معيني منسوب کرد . اين اعداد در حالت (۱ ) و (۳) جميع اعداد حقيقي اند , و در حالت ( ۲ ) جميع اعداد حقيقي بزرگتر از يا برابر با ۴ . در اين صورت برد مربوطه توسط موارد زير داده مي شود :
(۳) (۲) (۱)
محدوديت حوزه تعريف . حوزه تعريف را ميتوان بدلخواه محدود کرد , به عنوان مثال ,
( به ازاي ) * y=7x+2 (1)
( به ازاي ) **y=7x+2 (2)
و غيره . در اينصورت برد مربوطه توسط موارد زير داده مي شود :
۳۷> y 19- * (1)
و
۲ > y > 54- ** (2)
در اينجا اين موضوع اساسي است که , طبق تعريف مفهوم تابع , (۱) , *(۱) و ** (۱) توابع کاملاً متفاوتي را نمايش مي دهند .
زيرا دو مجموعه اگر دقيقاً داراي عنصرهاي يکسان باشند برابرند , به همين ترتيب , دو تابع f2 ,f1 اگر دقيقاً هر جفت عنصر (x,y)ي که متعلق به f1 اند، , متعلق به f2 نيز باشند , و برعکس , برابرند و در حالت توابع (۱) و , *(۱) و ** (۱) چنين نيست .
نمايش نموداري . از معادله تابع اغلب مي توان به کمک جدولي از مقادير به نمايش شهودي تابع مورد بحث رسيد . به کمک يک دستگاه مختصات مسطح , نقطه P از آن صفحه براي اينکه نظير هر جفت عدد (x,y) باشد بنا مي شود و کليت نقاط p به نمودار تابع موسوم است .
بنا به ماهيت حوزه تعريف و معادله تابع , دنباله اي از نقطه هاي مجزا , قسمتهايي جداگانه از خمها يا خم تابعي ”function curve” متصلي را به دست مي آوريم .
صورت صريح . صورت y=A(x) معادله يک تابع , که در آن A(x)عبارتي دلخواه است که , علاوه بر متغير x , تنها شامل اعداد يا عناصر حوزه عددي مبنايي است , به صورت صريح ”explicit form” از اين حقيقت مشخص مي شود که هر دو متغير دست کم در يک طرف معادله رخ مي دهند , به عنوان مثال :
Y=sinx . siny + x2(3) xy=1;(2) 4x-2y=6; (3)
= x2+xy+yx(5) x2+y2=16; (4)

 

اگر معادله تابعي به صورت صريح نمايش داده شده باشد , آنگاه معمولاً متغيري را که در يک طرف معادله مجزا شده است به عنوان وابسته و ديگري را به عنوان مستقل در نظر مي گيريم , و اينکه اين دو با t ,s; v, u; y,x يا به هر طريق ديگر نمايش داده شده باشند داراي اهميت نيست .
اما کار در صورت ضمني همواره چنين آشکار نيست , و هنگامي که y , x به کار رفته باشند , معمول آن است که y را به عنوان متغير وابسته در نظر بگيريم , اما اغلب ذکر قرارداد گذاشته شده ضروري است , بخصوص زماني که متغيرهاي ديگر نيز به کار رفته باشند .

اما, اين نيز ممکن است که هر دو متغير واقع در يک معادله ضمني را در موقعيتي يکسان در نظر بگيريم . توجه به اين موضوع مهم است که معادله داده شده در صورت ضمني را ميتوان همواره به صورت صريح مرتب کرد . اين کار در مثالهاي (۱) و (۲) بسادگي انجام پذير است , در اين مورد به دست مي آوريم :
y=1/x ( 2) y=2x-3 ( 1)

اما مثالهاي (۳) و (۵) تمام کوششهاي مربوط به انجام اين کار را با شکست روبه رو مي کند . در هر دو مثال نه y نه x را نمي توان مجزا کرد , واقعيت ديگري را آشکارا توسط مثال (۴) نشان داده ايم . واضح است که x2 + y2=16 معادله دايره اي به شعاع ۴ به مرکز مبدأ دستگاه مختصات است . در اين حالت به ازاي هر مقدار x دو مقدار y موجودند که در معادله صدق مي کنند . با در نظر گرفتن y به عنوان متغير وابسته , تناظري تعريف شده است که تک مقداري نيست . به اين دليل ( ۴) معادله تابع نيست . از طرف ديگر, صورت صريح يک تابع را نمايش مي دهد . اما تصور آن تنها شامل نيمدايره بالاست . معادله تابع متعلق به نيم دايره پايين عبارت است از :

گاهي دو تابع را به صورت ترکيب مي کنيم . اما در نظر گرفتن اين طريق از نوشتن آن به صورت معادله تابعي که چند مقداري ”many-valued” است خطاست , توابع , بنا به تعريف , تناظرهايي تک مقداري اند.
نمايش پارامتري . اين نمايش در وهله اول با دو معادله تابعي صريح سروکار دارد , که هر يک از آنها تابعي را مشخص مي کند . حوزه تعريف در هر دو حالت يکي است . به اين ترتيب , در صورت کلي داريم :

اکنون اگر به هر x0=f1(t0) مقدار y0=f2(t0) را تخصيص دهيم نگاشتي از برد f1 بروي برد f2 به دست مي آوريم , که البته نياز به تک مقداري بودن ندارد .
توابع مرکب . اگر عنصر a , تحت نگاشت G , متناظر با عنصر b , و عنصر b تحت نگاشت ديگر F , متناظر با عنصر c باشد , آنگاه با استفاده از کاربرد متوالي دو نگاشت G, F , نگاشتي را به دست مي آوريم که تحت آن عنصر a متناظر با عنصر c است .
نگاشتي که به اين ترتيب تعريف شده به حاصلضرب ”product” ( يا ترکيب composition) دو نگاشت G ,F موسوم است , به اين ترتيب F.G ( a, c) اگر و تنها اگر عنصر b اي چنان موجود باشد که .

واضح است که عنصر b بايد هم متعلق به XF , حوزه تعريف F و هم متعلق به YG , برد G باشد (شکل). از اين موضوع نتيجه مي شود که F . G را مي توان تنها اگر تشکيل داد . گذشته از اين , ترتيب در انجام دادن نگاشتهاي متوالي داراي اهميت است , زيرا , در حالت کلي G.F F.G
اگر XF.G , XG , XF , به ترتيب , حوزه هاي تعريف و YF.G , YG , YF , بردهاي F.G , G, F را نمايش دهند , آنگاه F . G را ميتوان زماني که

با دقت تشکيل داد .
بطور دقيقتر , XF.G تنها شامل عنصرهايي از XG است که مقادير تابعي آنها نسبت به G واقع در ///// و YF.G تنها شامل عنصرهايي از YF است که آرگومانهاي آنها نسبت به F واقع در //// باشد.

f.g , حاصلضرب دو تابع g ,f با معادلات تابعي y= g(x) , y=f(x) اغلب به صورت y= f [g(x)] نوشته و ترکيب ” compositum” دو تابع f ,g , در همين ترتيب , ناميده مي شود. در اين رابطه g را اغلب تابع دروني ” inner” و f را تابع بروني ” outer” تابع مرکب f.g مي نامند .
انواع خاص تابع

در مطالب بعدي تنها توابع مورد بررسي توابعي هستند که حوزه تعريف و برد آنها مشمول در مجموعه اعداد حقيقي اند . آنها را معمولاً توابع حقيقي ” real function” مي ناميم . بنا به ويژگيهاي عمومي معيني , توابع حقيقي خاص را در گروههايي , به عنوان مثال , توابع يکنوا , کراندار , زوج , فرد , يا متناوب جمع مي آوريم .
تابع يکنوا

تابع xy = f(x) را , در بازه a< x< b , يکنواي صعودي ”monotonic increasing” مي گوييم اگر به ازاي x2 , بزرگترين مقدار بين دو مقدار دلخواه x2 , x1 ي واقع در اين بازه مقدار تابعي f(x2) نيز همواره بزرگتر باشد , و به عبارت ديگر , اگر x1<x2 آنگاه f(x1) < f(x2) .
تابع را در بازه a<x<b يکنواي نزولي ” monotonic decreasing” مي گوييم اگر f(x1)> f(x2) هر گاه a<x1<x2<b .

توابع کراندار . تابع xy=f(x) را در يک بازه ( باز يا بسته ) کراندار گويند اگر عدد B>0 با اين ويژگي موجود باشد که , به ازاي هر مقدار x واقع در بازه مزبور , |f(x)|< B . بخصوص , اگر , به ازاي هر مقدار x واقع در حوزه تعريف مورد بحث |f(x)|< B , آنگاه xy= f(x) را تابع کراندار ”bounded function ” مي گويند .

توابع زوج و فرد. تابع xy= f(x) را زوج ”even” گويند اگر , به ازاي هر مقدار x واقع در حوزه تعريف آن , f(-x) = – f(x)
نمودار تابع زوج نسبت به محور y ها متقارن است . نمودار تابع فرد نسبت به مبدأ ( ۰ , ۰) متقارن است. نمودار مزبور تحت دوران ۱۸۰ درجه حول اين نقطه بر خودش منطبق مي شود .

توابع متناوب . تابع ناثابت xy =f(x) را متناوب يا دوري مي گوييم اگر عدد a>0 ي چنان موجود باشد که , به ازاي هر مقدار ممکن x , f(x) = f(x+a) . در اينصورت اين را نيز نتيجه مي گيريم که f(x)= f(x-a) , f(x) =f(x+ 2a) و در حالت کلي , به ازاي هر عدد صحيح n , تا زماني که مقاير (x+na) متعلق به حوزه تعريف تابع باشند ,
f(x) = f(x+na) .
هر يک چنين عدد a اي را دوره تناوب ”period” مي ناميم , و کوچکترين عدد مثبت k را , که به ازاي آن f(x)= f(x+k) , دوره تناوب اوليه primitive period” ” تابع متناوب مي گوييم .
نمايش نموداري يک تابع متناوب نموداري است که چون در سوي محور x ها به اندازه فاصله اي برابر با مضرب درستي از دوره تناوب انتقال يابد بر خودش منطبق مي شود ( شکل ) .

معروفترين توابع متناوب توابع مثلثاتي ”trigonometric functions” اند. از اين توابع , توابع متناوب ديگري ميتوان بنا کرد , به عنوان مثال توابع y= b sin (ax) با داراي دوره تناوب اند.
توابع مرکبي چون y= b1sin (a1x) + b2sin (a2x) به شرطي متناوب اند که نسبت a1 به a2 گويا باشد, يعني , اگر a1/a2 = m/n که در آن n , m اعداد صحيح نسبت به هم اول اند , دوره تناوب تابع اول و دوره تناوب تابع دوم و نسبت آنها عبارت است از :

به اين ترتيب n دوره تناوب از تابع اول دقيقاً متناظر با m دوره تناوب از تابع دوم است . در نتيجه تابع مجموع داراي دوره تناوب است .

وارون تابع “““““““““““““““““““““““““
توابع وارون پذير invertible functions” ” . تناظر تک مقداري معين شده توسط تابع بين عناصر حوزه و عناصر برد , بر عکس به هر عنصر برد نيز يک يا بيش از يک عنصر حوزه را تخصيص مي دهد.
توابعي که در آنها هر عنصر برد تنها يک بار به عنوان تصوير عنصري از حوزه رخ مي دهد داراي اهميتي ويژه اند , زيرا وارون تناظر آنها نيز تک مقدار است. در آنها به هر عنصر r از برد تنها يک عنصر d از حوزه تعلق دارد . در اين حالت برد تابع مفروض f را ميتوان به عنوان حوزه تابع جديد در نظر گرفت.
اگر تابع مفروش f تناظر dr = f(d) را مشخص کند , آنگاه در مورد تابع جديد داريم . به عبارت ديگر , اگر و تنها اگر .

توابعي که در مورد آنها به اين معني مي توان تناظر بين حوزه X و برد Y را وارون کرد به توابع وارون پذير موسوم اند . اينها تناظرهايي يک به يک x بروي Y اند. توابع يکنوا به رده توابع وارون پذير متعلق اند : تابع يکنوا همواره وارون پذير است .
از طرف ديگر , نياز نيست تابع وارون پذير لزوماً يکنوا باشد , به عنوان مثال , حوزه و برد ممکن است مجموعه هايي مرتب نباشند , بنابراين مفهوم يکنوايي تعريف نشده است . باز , تابع نايکنوا نيز ميتواند وارون پذير باشد , به عنوان نمونه اگر حوزه و برد شامل عنصرهايي به تعداد متناهي باشند . مثالي از اين دست تابعي است که توسط جدول مقادير زير داده شده است:
۱۰ ۹ ۸ ۷ ۶ ۵ ۴ ۳ ۲ ۱ x
9 7 5 3 1 8 6 4 2 0 y

تابع وارون . اگر Y برد تابع وارون پذير f را به عنوان حوزه تعريف تابع جديد اي در نظر بگيريم که بردش , X حوزه f است , و اگر تناظر تک مقداري بين مجموعه هاي Y, X داده شده توسط تابع f را وارون کنيم , آنگاه , تابع وارون ”inverse function ” تابع مفروض f را به دست مي آوريم . تابع وارون خود وارون پذير است .
با در نظر گرفت , dr = f(d) بسادگي مي توان ملاحظه کرد که تابع وارون تابع وارون تابع مفروض f خود f است . به اين ترتيب , موجه است که f و را توابع دو به دو وارون ” mutually inverse” بناميم .

نمودار تابع وارون . به عليت يکتايي نگاشتي که توسط تابع نمايش داده مي شود , هر خط موازي محور y ها نمودار آن را تنها در يک نقطه قطع مي کند . اگر تابع f(x) داراي تابع وارون (x) و بنابراين يک به يک باشد , آنگاه هر خط موازي محور xها نيز نمودار آن را تنها در يک نقطه قطع مي کند. اين خم هم تناظر xy هم تناظر yx را نمايش مي دهد .

هر جفت عدد خاص ( a , b ) از تابع f , به علت تغيير با هم متغيرها در تابع وارون , به جفت عددي (b,a) از تابع تبديل مي شود . نقاط نظير اين جفتهاي عددي
(b,a ) , ( a, b) قرينه يکديگر نسبت به نيمساز ربع اول و سوم دستگاه مختصاتي دکارتي اند. در نتيجه نمودار تابع وارون (x) از قرينه محوري نمودار تابع مفروض f(x) نسبت به اين نيمساز به دست مي آيد .
وارونهاي توابع در بازه هاي خاص . در بحث توايع يکنوا نشان داديم که ممکن است توابع نايکنوا در بازه هاي خاصي از حوزه تعريف يکنوا باشند . آنها در اين بازه ها وارون پذير نيز هستند .

توابع چندجمله اي و گويا
مفهوم تابع گويا
عبارتي به صورت
anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0
که در آن n عددي طبيعي است , ضرايب ar اعدادي حقيقي و دلخواه اند و //// , به چند جمله اي درجه n موسوم است .
تابع گويا rational function” ” تابعي به صورت p/q است که p و q ي آن توابعي چند جمله اي اند و دست کم يکي از ضريبهاي q صفر نيست .
مثالهاي توابع گويا

.۲ y=8x-3 .1
.4 .3
مثالهاي توابع ناگويا

در توابع چند جمله اي R , حوزه جميع اعداد حقيقي , را مي توان به عنوان حوزه تعريف اختيار کرد. در صورتي که هيچ گونه محدوديت حاصل از شرطهاي خاصي اعمال نشده باشد , همواره R را به عنوان حوزه تعريف در نظر مي گيريم . اين مطلب در مورد توابع گويا نيز برقرار است , با اين استثناء که در اين مرحله بايد مقاديري را که مخرج را صفر مي کنند کنار بگذاريم . اين را نيز بايد خاطر نشان کرد که توابع گويا غالباً به دلخواه در کل حوزه تعريفشان پيوسته و مشتق پذيرند .
در موارد زير , ابتدا توابع چند جمله اي و بعد توابع گويا را در نظر گرفته ايم , و پيش از بيان ويژگيهاي عمومي , به بررسي انواع خاصي از اين توابع که بيشتر رخ مي دهند پرداخته ايم .
توابع خطي
توابع y= mx , جدولهاي مقادير توابع y=-4x/3 , y=x/2 , y=x جفتهاي عددي ( x, y) ي را به دست مي دهند که از آنها نقاط نمودارهاي اين توابع در دستگاه مختصات دکارتي حاصل مي شوند ( شکل)

… ۳ ۲ ۱ ۰ ۱- ۲- ۳- … x


… 3
2/3
4- 2
1
3/8- 1
2/1
3/4- 0
0
0 1-
2/1-
3/4 2-
1-
3/8 3-
2/3-
4 …

… y=x

y=x/2

y=-4x/3

از آنجا که جهت مقادير ( ۰ و ۰) همواره رخ مي دهد , خم مربوطه همواره از مبدأ مختصات مي گذرد. خمهاي مزبور خطوطي راست اند , زيرا از y=mx , مختصات نقاط به دلخواه انتخاب شده P,…,P2 ,P1
همواره در y1/x1 = y2/x2 = … = y/x = m صدق مي کنند , که در آنها m , به ازاي هر تابع , ثابت است ( شکل ) .

اگر Px , … , P2x , P1x تصاوير نقاط P , … , P2 ,P1 بر روي محور x ها باشند , آنگاه مثلثهاي OPPx,… ,OP2P2x , OP1P1x متشابه اند . از آنجا که نقاط Px, … ,P2x, P1x بر خطي راست واقع اند , نقاط P , … , P2 , P1 نيز بايد بر خطي راست واقع شوند . به علت ثابت بودن m , مختصات متناظر نقاط متفاوت متناسب اند , y1/x1 = y2/x2 . مقدار y مستقيماً متناسب با مقدار x است , ثابت m عامل تناسب ”factor of proportionality” است . اگر نرخ شغل L متناسب با زمان کارt به ساعت باشد , رابطه بين آن دو با تابع خطي L= mt نمايش داده مي شود . ثابت تناسب مزبور نرخ به ساعت را نمايش مي دهد.