جبر بول و گيت هاي منطقي

اعمالي كه در دستگاههاي الكترونيكي و يا با كامپيوترها انجام مي پذيرد از يك برنامه program پيروي مي كند پاسخهاي كه به وضعيتهاي متغير يك برنامه داده مي شود از يك منطق معين تبعيت مي نمايند منطق علم استدلال يا علم نتيجه گيري از مفروضات است.
در علم Logic قوانين و اصولي وجود دارد كه در آنها استنتاج صحيح و اصولي از داده‌ها انجام مي گيرد.

عبارات منطقي بصورت سمپلها و معادلات نوشته مي شود و ساده ترين سمبلها در اين منطق درست يا نادرست و يا به عبارتي بسته يا بار بودن يك كليد است در هر حال خروجي مي تواند نشان دهنده يك وضعيت باشد.

در سال ۱۸۵۴ رياضي دان انگليسي به نام جورج بول George Bole روابط منطقي را با استفاده از سيستم باينري به صورت يك سر فرمولهاي رياضي بيان نمود كه شامل يك مجموعه از الگوها و تعدادي اصول مي باشد كه تشابهي با اصول جبر معمولي ندارد.

در سال ۱۹۳۸ نيز دانشمند ديگري به نام سي.اي. شانون يك جبر بول دو مقداري را به نام جبر سوئيچينگ معرفي نمود كه در طراحي مدارات سوئيچينگ به كار گرفته مي شود.

جبر بول نيز همانند هر سيستم رياضي داراي يك فرضيات اوليه مي باشد كه از آنها قوانين و تئوري هاي مورد نظر را مي توان نتيجه گرفت و به عنوان يك ساختار جبري معين بكار گرفت.

روابط و قوانين اين جبر براي طراحي مدارات منطقي و سيستم هاي ديجيتالي مورد استفاده قرار مي گيرد در جب بول فرض اصلي بر اين است كه داراي يك متغير باينري هستيم كه اگر x يك متغير باينري باشد و اگر مقدار آن باشد در اين صورت حتماً مقدارش برابر خواهد بود و اگر باشد حتماً خواهد بود و حالتي ديگري براي متغير x متصور نيست اين دو مقدار (۱و۰) به مقادير صحت Trutr-valve و جدول مقادير ارزشي ۰ و ۱ را جدول دستي مي نامند.

قبل از بيان اصول و تئوري هاي عنوان شده در جبر بول با توجه به اصول مطرح شده بخش مجموعه ها قابل ذكر است كه مجموعه S مي تواند شامل عناصر مشخصي همانند A و B باشد در اين صورت و مي‌باشد يعني A عضوي از S و B نيز عضوي از S است در اين صورت مي توان گفت عنصر N عضوي از S نمي باشد. يك مجموعه با تعداد مشخصي از عناصر تشكيل شده است لذا مجموعة عناصر را با يك جفت اكولاد نشان مي دهند.

مجموعة اعداد طبيعي از ۱ شروع مي شود و هر عضو ديگر آن با افزودن يك واحد به عدد قبلي به دست مي آيد.
در اين صورت عملگري كه مي تواند در اين مجموعه صحيح باشد و موجب شود عناصر بدست آمده در مجموعه اعداد طبيعي قرار گيرد عملگرهاي جمع و ضرب مي‌باشد+ و نتيجه مي توان گرفت يك عملگر زماني بر روي عناصر يك مجموعه معتبر است كه عنصر جديد به دست آمده حاصل از ضرب يا جمع دو عنصر از مجموعه مورد نظر در آن مجموعه قرار گيرد.

به بيان بسيار ساده مي توان گفت عملگر ضرب و عملگر جمع بر روي اعداد طبيعي نتايجي را كه حاصل نموده كه در سري مجموعه اعداد طبيعي قرار دارد لذا نتيجه مي‌گيريم كه مجموعه اعداد طبيعي نسبت به دو عملگر+ و بسته است.

همانگونه كه مي دانيم صفر در مجموعه اعداد طبيعي قرار ندارد در اين صورت مي توان گفت كه عنصر صفر در مجموعه اعداد طبيعي قابل شناسه نمي باشد.
ولي اگر مجموعة اعداد صحيح را در نظر بگيريم مي توان گفت صفر يك عنصر شناسه در مجموعة اعداد صحيح مي‌باشد و سه عملگر جمع + ضري. تفريق – نيز در اين مجموعه معتبر مي‌باشد.

حال كه تقريباً مفاهيم مجموعه، عناصر مجموعه، عملگر و نقش آن و شناسه و بسته بودن مشخص گرديد.
به بيان اصول و تئوري هاي مطرح شده در جبر بول مي پردازيم.

۱)قانون عينيت:اولين تئوري كه از قانون عينيت نتيجه گرفته مي شود كه برا جبر معمولي متفاوت است نشان دهنده عمل “۰” AND , “+”OR بر روي يك متغير يا دو متغير يكسان از يك مجموعه دودوئي است. همانگونه كه مي دانيم يك مجموعه دودوئي فقط دو عنصر دارد لذا اگر يك عنصر يا متغير را در نظر بگيريم خواهيم داشت.
يك OR يك ۱=۱+۱ (۱

يك AND يك ۱=۱٫‌۱ (۲
مشاهده مي شود با توجه به تعاريفي كه براي نوع عملگرها در سيستم دودوئي وجود دارد تفاوتي بين اين جبر و جبر معمولي وجود دارد.
براي X با توجه به مجموعه اعداد دودوئي دو مقدار ۰ و ۱ را قائل مي باشيم لذا اگر باشد


*نتيجه مي گيريم كه مجموعة اعداد دودوئي نيست به دو عملگر “۰” AND, “+” OR يك مجموعه بسته است.
۲-مطالب گفته شده در بند يك به عنوان تئوري اول از قانون عينيت بيان مي شود كه دوگان آن در جبر بول بعنوان تئوري دوم بيان شده است.
(۱ (۱
(۲ (۲
با توجه به سيستم دودوئي و يك ارزش ديگر در مجموعه دودوئي يعني صفر و دو عملگر “+” و “.” اصل ديگر با توجه به روابط روبرو حاصل مي شود.


قانون جابجائي: در اين قانون مي توان نتيجه گرفت كه چگونه دو متغير A و B با دو عملگر “.” AND, “+” OR چگونه مي توانند به جاي يكديگر بنشيند. در اين صورت اگر A و B دو متغير باشد روابط ذيل با توجه به قانون جابجائي بدست مي آيد.
A+B=B+A(1
A.B=B.A(2

۵-قانون شركت پذيري يا قنون اتحاد:
اگر مجموعه S داراي سه عضو بايد وB و A عملگر “.” AND, “+”OR روي مجموعه شركت پذير است.
(A+B)+C=A+(B+C)(1
(A.B).C=A.(B.C) (2

۶-قانون توزيع پذيري
اگر دو عملگر “+” و “.” را در نظر بگيريم اصل توزيع پذيري بر روي مجموعه S با سه متغير اينگونه بيان مي گردد.
A.(B+C)=(A . B)+(A .C) (1

A+(B .C)=(A+B) .(A+C) (2
با توجه به دو رابطه بالا در اصل توزيع پذيري مشاهده مي شود كه علائم منطقي جايشان را با يكديگر عوض نموده اند.
۷-قانون يكي ديگر از اصول جبر بول مي‌باشد در اين اصل دو عملگر “. “, “+” بر روي يك متغير و معكوس آن بيان مي گردد.


در اين صورت مي توان گفت عمل DR زماني بين A و برقرار مي‌باشد كه منطقاً يكي از آنها صفر و ديگري ۱ خواهد بود و در نتيجه خروجي ۱ خواهد بود.
و در صورتي كه عمل AND بر روي A و صورت پذيرد نتيجه آن حتماً صفر خواهد بود.

۸-قانون دمورگان: اين قانون در جبر بول كه در مورد نفي كردن روابط بيان مي شود به عنوان يكي ديگر از تئوري مطرح در اين جبر بيان مي گردد.
اگر مجموعه J داراي دو متغير A و B باشد و بخواهيم نفي تابع J را به دست آوريم لذا بر اساس اين قانون مراحل ذيل را انجام مي دهيم.
الف: هر يك از متغيرهاي تابع را نفي مي كنيم.
ب: عمل OR را به AND تبديل مي نمايم. (الف
ج: عمل AND را به OR تبديل مي نمائيم. (ب
۹-تئوري ديگري كه با توجه به قانون دمورگان مي توان نتيجه گرفت تئوري رجعت يا برگشت به حالت قبل از نفي است بدينصورت كه اگر متغير A را دوبار نفي كنيم همان متغير مجدداً بدست مي آيد.
يا اگر بخواهيم نفي تابع را بدست آوريم با توجه به قانون دمورگان چون تابع فقط يك متغير دارد.
۱۰-با استفاده از موارد مطرح شده در تئوري دو و و قانون توزيع پذيري نتيجه ديگري به نام تئوري جذب مطرح مي گردد كه در ساده كردن روابط مورد استفاده قرار مي گيرد مثال اگر مجموعه J داراي دو متغير باشد كه يكي از متغيرها نسبت به دو متغير AND شده OR شده باشد نتيجه رابطه متغيري خواهد بود كه با دو متغير ديگر OR يا AND شده باشد كه هر دو حالت نشان داده شده است.

از دو حالت فوق نتيجه مي گيريم كه يكي از متغير با استفاده از اصول بكار گرفته شده جذب يا حذف شده است.
با توجه به ده بند ارائه شده مشاهده مي شود جبر بول داراي اصول و تئوري هاي مختلف مي‌باشد كه با عنايت به اصل اوزيع پذيري و ديگر اصول عنوان شده مي توان گفت
الف: عملگر دودوئي OR “+” جمع را تعريف مي‌كند.
ب: عملگر دودوئي And “.” ضرب را تعريف مي‌كند.
ج: شناسه جمع، ۰ است.
د: شناسه ضرب، ۱ است.
هـ : معكوس جمع: تفريق است.
و: معكوس ضرب تقسيم مي‌باشد.
اصول هانتينگتون:
جبر بول يك ساختار جبري مي‌باشد كه با توجه به عناصر يك مجموعة مانند S و عملگرهاي OR و AND مي توان اصول آن را بيان نمود دانشمندي به نام هانتينگتون در سال ۱۹۰۴ اصول فرموله شده اي را براي بيان استدلالي جبر بول ارائه نمود.