خواص اينرسي سطوح افقي

۷٫۱) گشتاور ماند يك سطح افقي
۷٫۲) گشتاور ماند قطبي يك سطح مقطع افقي
۷٫۳) قضيه محورهاي موازي (يا تئوري انتقال) براي گشتاور ماند/ شعاع دوران
۷٫۴) روش سطوح مركب

در اين بخش خواص اينرسي سطوح افقي را مطالعه مي كنيم. يك دليل براي مطالعه اين موضوع در استاتيك اين است كه اين خواص در قواعد تعيين برآورد نيروي هيدرواستاتيك (فشار اب عمق يا فشار ايستايي) روي يك حجم غوطه ور، ظاهر مي‌شوند. (كه در بخش ۸٫۲ آزمايش مي كنيم) يك دليل مهم تر براي اين مطالعه اين است كه بعضي مواقع به عنوان يك پيش نياز براي دوره هاي مقاومت مصالح (يا تغيير شكل پذيري اجسام) كه از استاتيك پيروي مي كند، در نظر گرفته مي شود.

در دوره هاي بعد، دانشجو مي فهمد كه فشار روي يك تير بارگذاري شده متقاطع (عرضي)، تحت شرايط خاص اما مهم، گشتاور مانند بخش هاي تقاطع تير نسبت عكس دارد.
بطور مشابه خمش تير با گشتاور ماند كه قسمت مقاومت را براي شكيت تير نسبت عكس دارد.
همينطور گشتاور ماند قبلي يك معيار در پايداري محور انتقال بنده در پيچش، يا چرخش مي‌باشد.

چهار قسمت اوليه در اين بخش مي تواند توسط دانشجويي كه تنها با انتگرال ساده آشنايي دارد خوانده شود. اينها بخش هايي هستند كه بطور معمول در دوره اوليه مكانيك دگرديس پذيري مورد نياز مي‌باشد. سه بخش آخر، از انتگرال هاي دوگانه در زمانيكه با اجسام است سر و كار داريم، استفاده مي كنند.
گشتاور ماند جرم در ديناميك مورد نياز مي شود، ما اين موضوع مرتبط را در دومين سطح در جاييكه بحث ايجاب كند را بررسي مي كنيم.
۷٫۱) گشتاور ماند يك سطح افقي

براي سطح افقي نشان داده شده در شكل، گشتاور ماند نسبت به محور x و y چنين تعريف مي شوند: Ix و Iy
اين تعريف روشن مي سازد كه چرا يك گشتاورماند، گشتاور دوم ناميده مي شود، به خاطر مربع كورن فاصله از محور x براي Ix(و از محور y براي Iy)
ما گشتاور اوليه را در بخش ۶ نسبت به يك مفهوم مركز ثقل ديديم.

چون يك گشتاورماند از سطح مقطع هايي كه در مربع فاصله مضرب شده اند تشكيل شده است، داراي بعد است (طول)
معادله (۷٫۱) و (۷٫۲) همچنين به ما مي گويند كه يك گشتاور ماند هميشه مثبت و يك معياري براي اينكه، چه مقدار سطح و در چه فاصله اي از يك خط واقع شده است.
اگر بخواهيم پايه مبناي x و Y را مشخص كنيم

براي مثال بايد بنويسيم، Ixc اگر مبنا مركز ثقل باشد يا Ixf اگر مبنا نقطه ديگري مانند P باشد.
اكنون استفاده از تعاريف بالا براي يافتن گشتاور چندين شكل معمولي را در مثال هاي زير نشان مي دهيم.
مثال ۷٫۱) گشتاور ماند سطح مقطع مستطيل حول مركز ثقل x و y را به دست آوريد.
راه حل:

براي پيدا كردن Ixc به انتگرال نياز داريم.
استفاده از نوار عمودي نشان داده شده در دومين شكل سطح مقطع تفاضلي dA، را تصوير ميكند و اشاره مي‌كند كه مختصات y براي تمام قسمت هاي نوار يكسان است. داريم:
يك انتگرال مشابه با همانطور كه در زير نشان داده شده است را بدست مي‌دهد.
سؤال ۱٫‌۷) آيا محاسبه واقعاً لازم بود؟

آيا پاسخ از روي نتيجه اي كه در ابتدا براي بدست آمد قابل استنباط نبود؟
انتگرال هاي دوگانه آشنا، كه در توليد دوباره نتايج براي از آنها استفاده كرديم:
تذكر اينكه انتگرال اول (روي x) نوار bdy را كه قبلاً استفاده شد توليد مي‌كند.
سؤال ۲٫‌۷- آيا نوار hdx در محاسبات براي “dA” مورد استفاده قرار گرفت؟
مثال ۲٫‌۷) گشتاورماند يك سطح دايره اي را براي قطر نامشخص بدست آوريد.
حل: از آنجا كه روي خط سر حد، dA بدست مي آيد:

و همچنين
جايگذاري به جاي و توجه به اينكه

كه براي حدود انتگرال وقتي و وقتي ، در ادامه:
براي خواننده مطلع از انتگرال دوگانه، نتايج بالا را با بكارگيري مختصات قطبي و با تلاش كمتر چنين بدست مي آوريم:
كه البته يا نسبت به هر قطر دايره ديگري، همين است
مثال ۷٫۳) گشتاور ماند براي سطح سه گوش حول محور y را بيايد.
حل: براي ناحيه تفاضلي از نوار هاشور خورده در شكل استفاده كرديم، بنابراين ۷۱ و ۴۷۰ از y براي تعيين پايين ترين حد مرزي نوار استفاده كرديم:
اما براي گوشه مثلث در اولين ربع:
dA=
بنابراين
مسائل) بخش ۷٫۱
گشتاور ماند قطبي براي يك سطح افقي
در مطالعه تغيير شكل پذيري جامدات، «مسأله پيچش» توضيح مي‌دهد كه چه اتفاقي براي محور زمانيكه منحرف مي شود، مي افتد. به همان طريقي كه گشتاور ماند، اجزاي مقاومت محور در مقابل خمش را تشكيل مي دهد، گشتاور ماند قطبي اجزاي مقاومت آن در برابر پيچش را ايجاد مي‌كند. به همين دليل درباره گشتاور ماند قطبي در اين فصل توضيح خواهيم داد.
گشتاورماند قطبي براي يك ناحيه حول نقطه P چنين تعريف مي شود (شكل را ببينيد)

كه مبناي محورهاي (x,y) نقطه P مي‌باشد.
از آنجاييكه مختصات قطبي r چنين داده شده است: ، چنين ساده مي‌كنيم:
Ip:
به خاطر اسم « گشتاور ماند قطبي»
۷٫۴ روش سطح مقطع هاي مركب
در بخش ۶ ياد گرفتيم كه در يافتن مركز ثقل يك ناحيه مركب A، انتگرال گيري مي‌تواند به انتگرال هاي جداگانه روي فضاي مختلف در برگيرنده، تقسيم بندي شود بنابراين به عنوان مثال اگر پس:
همين ايده يا روش براي سطح مقطع هاي مركب، در محاسبه گشتاورها و گشتاورهاي ماند قطبي مي تواند بكار رود:
كه گشتاور ماند سطح مقطع حول محور x مي باشد، و بطور مشابه براي و چند مثال را كه با استفاده از سطح مقطع هاي مركب ساده شده است را بررسي مي كنيم.