دوره‌های چندگانه تخصص دارایی‌های تصادفی توسط برنامه‌نویسی پویا

چکیده‌ی مطالب
این مطالعه به استفاده از برنامه‌نویسی پویا برای راه‌اندازی دوره‌های چند گانه مدل تخصیص دارایی‌ها و فرمول‌های تحلیلی به نسبتهای مطلوب برای سرمایه‌گذاری در اوراق قرضه کوتاه مدت و بلند مدت می‌پردازد. آنگاه در این روش حداکثر احتمال استخدام به منظور برآورد پارامترهای مربوطه وجود دارد در نهایت مدل ما از طریق پیاده‌سازی الگاریتم بازگشتی به عقب برای یافتن تخصیص عددی بهینه بودجه بین اوراق قرضه کوتاه ‌مدت و بلند مدت برای یک سرمایه‌گذار با ابزار قدرت‌ و افق سرمایه‌گذاری از ده سال می‌باشد. نتایج ما نشان می‌دهد که سرمایه‌گذار به نسبت بیشتری از اوراق قرضه کوتاه مدت نگه می‌دارد اگر افق سرمایه‌گذاری خود را کوتاهتر کند اگرچه این ریسک برخلاف میل او باشد.

کلمات کلیدی:

دوره‌های چند گانه تخصیص دارایی‌ها، برنامه‌نویسی تصادفی پویا، تابع الگاریتم بلمن، ابزار قدرت، دو فاکتور مدل Vasicek، الگاریتم بازگشت به عقب.

۱- مقدمه
یکی از مراحل مهم در فرآیند مدیریت سرمایه‌گذاری برای سرمایه‌گذاران، انجام تصمیم‌گیری، جهت سرمایه‌های اختصاصی به منظور میزان سرمایه‌گذاریها می‌باشد تا به این وسیله اهداف خود را برای سرمایه‌گذاری برآورده کنند. آنها باید تصمیم بگیرند که چگونه باید خود را با بودجه تخصیص داده شده در سرمایه‌گذاریهای متفاوت وفق دهند. تخصیص دارایی و یا

انتخاب نمونه کارها معمولاً براساس این فرضیه می‌باشد که سرمایه‌گذاران با استفاده از معیار میانگین و واریانس [۱۳]Markowitz به تخصیص بودجه خود در میان دارایی‌های مختلف

بپردازند. این تخصیص به این صورت است که اساساً نزدیک‌بینی یا کوتاه اندیشی در آن جز در یک دو راه بهینه نادیده گرفتن همه چیز اتفاق می‌افتد. برای تخصیص داراییها با مشکلات بیش یک دوره موسن نشان داد که که رویکرد کوته نظر در امر سرمایه‌گذاری تنها در صورتی مطلوب است که سرمایه‌گذار تابع لگاریتم سودمند باشد به این معنا که در چند دوره مشکلات تخصیص داراییها، استراتژی کوته نظر برای کارکردهای سودمند دیگر مطلوب می‌باشد.

در چندين دوره مشكلات تخصيص سرمايه، افق سرمايه‌گذاري، سرمايه‌گذار به دوره‌هاي n تقسيم‌بندي شده است. در انتها هر يك از آنها به سند داراييهاي جمع‌آوري شده در هر دوره‌اي كه انجام گرفته باز مي‌گردند و مي‌توانند تصميم جديدي در مورد تركيب سبد سرمايه‌گذاري بيش از دوره‌ي بعدي اتخاذ نمايند. تصميمات سرمايه‌گذاري او با هدف افزايش سرمايه و استفاده از ثروت در پايان سرمايه‌گذاري انجام مي‌گيرد. از اينرو تخصيص بهينه دارايي‌ها علاوه بر ايجاد تنوع در سراسر داراييها همچنين بايد در طول مدت زمان نيز داراي تنوع باشد.

مشكلات گسترده تخصيص دارايي از يك دوره به چند دوره را مي‌توان توسط سيستمهاي برنامه‌نويسي پويا انجام داد. برنامه‌نويسي پويا که توسط رياضيدان مبتكر آمريكايي ايجاد شده است براي حل مشكلات چند دوره بهينه‌سازي مشكلات به وسيله شكستن آنها در يك دوره بهينه‌سازي مشكلات بكار مي‌رود. از اين‌رو در حاليكه تخصيص داراييها را براساس معيار بهينه‌سازي Markowitz بيش از يك دوره بر اساس برنامه‌نويسي پويا بيش از چند نقطه مي‌باشد.

برنامه‌نويسي پويا با عناصر تصادفي به هم پيوسته به عنوان برنامه‌نويسي پويا Merton شناخته شده است اولين درخواست از اين تكنولوژي براي مصرف – تخصيص نمونه كارها و يك مدل تداوم زماني است كه در آن سرمايه‌گذار به بهينه‌سازي طول عمر خود با انتخاب ابزار مورد انتظار، براي مصرف بهینه و انتخاب نمونه كارها مي‌پردازد. به ويژه براي يك سرمايه‌گذار با ابزار قدرت Merton راه‌ حل صريح و اشتقاقي براي مصرف بهينه و تخصيص مطلوب سرمايه براي يك دارايي داراي ريسك داراييهاي بدون ريسك مي‌باشد.

اشكال عمده‌اي از مدل مصرف بهينه Merton كه مدل فرضي نمونه كار داراييهاي بدون ريسك كه شامل داراييهایي است كه داراي بازگشت ثابت است. به عبارت ديگر نرخ بهره فرض شده ثابت مي‌باشد. در حقيقت نرخ بهره بطور ثابت در نوسان بوده بنابراين اين فرضيه آشكارا با واقعيت تناقض دارد. علاوه بر اين بسياري از مطالعات تجربي مانند Schaefer [20] و stambaugh [21] و litterman و scheinkmanثابت كرده‌اند كه حداقل دو عامل براي توضيح عملكرد بهره لازم است.

هدف اين مطالعه سه چيز است: اول؛ اينكه همانطور كه در ابتدا ذكر شد تخصيص مطلوب علاوه بر تفاوت در سراسر دارايي بايد در طول زمان سيم داراي تفاوت باشد از اين‌رو ما به مطالعه‌ي اختصاص سرمايه در چند دوره با استفاده از روش برنامه‌نويسي تصادفي پويا مي‌پردازيم. دوم؛ اينكه براي فرمول ما تطبيق واقعيت با نرخ سود اتفاقي است و حداقل دو عامل در آن نقش دارد و ما به خاطر توضيح عملكرد آنها از دو عامل مدل vasicek براي توصيف تحول نرخ استفاده مي‌كنيم. سوم؛ از زمانيكه اوراق بهادار بطور فزاينده‌اي در ميان سرمايه‌داران مشهور در طي۳۰ سال گذشته به اوراق قرضه تبديل شده است ما به بررسي تخصيص دارايي بين اوراق قرضه كوتاه مدت و بلند مدت پرداخته‌ايم. براين اساس اين مطالعه از

برنامه‌نويسي تصادفي پويا براي تعيين بهينه چند تخصيص بين اوراق قرضه كوتاه مدت و بلند مدت براي يك سرمايه‌گذار با افق سرمايه‌گذاري ۱۰ ساله استفاده مي‌كند.
ادامه اين مقاله با عنوان درآمد حاصل از قرار زير مي‌باشند. در بخش (۲) از برنامه‌نويسي تصادفي پويا براي راه‌اندازي مدل تخصيص داراييهاي چند دوره‌اي و در نهايت فرمول تحليلي براي تناسب مطلوب ثروت در كوتاه مدت و بلند مدت استفاده شده است. در بخش (۳) ما روش احتمال حاكثر در برآورد پارامترهاي مربوط به مدل را مورد استفاده قرار داديم. بخش (۴) نشان مي‌دهد كه چگونه از مدل الگاريتم سراسري بازگشت به عقب استفاده مي‌شود. در بخش (۵) ما ارائه نتايج به نسبتهاي مطلوب براي سرمايه‌گذاري اوراق قرضه در كوتاه مدت و بلند مدت مي‌پردازيم؛ بخش (۶) نتايج حاصل از اين مقاله مي‌باشد.

 

۲- استخراج تخصيص بهينه داراييها توسط برنامه‌نوسي تصادفي پويا
در اين بخش ما با استفاده از برنامه‌نويسي تصادفي پو.يا به راه‌اندازي مدل چند دوره‌اي تخصيص داراييها مي‌پردازيم. فرض مي‌كنيم كه يك سرمايه‌گذار به اختصاص ثروت خود ميان اوراق قرضه كوتاه مدت و بلند مدت جهت به حداكثر رساندن قدرت ابزار مورد انتظار خود در انتهاي افق سرمايه‌گذاري مي‌پردازد. با فرض مصرف صفر قبل پايان زمان T و اجازدهي U[c(t),t] در تابع بلمن I[w(t),t] است:
(۱)
در معادله(۱) اين تابع سودمند نقش مهمي را در ساخت تابع الگاريتم بلمن بازي مي‌كند ]۱۶-۱۰[ داشتن يك راه‌حل صريح و روشن براي مدلهاي خود ساميولسن ]۱۹[ مرتن ]۱۵و۱۴[ ريچارد ]۱۸[ برنان و همكاران ]۳[ و باربرس و همكاران همگي مي‌پندارند كه سرمايه‌گذاران داراي ابزار قدرت هستند (در اينجا y پارامتر ريسك گريزي مي‌باشد).

از ديگر مزاياي استفاده از ابزار قدرت اين است كه منجر به دستيابي به راه‌حل آشكار و واضح مي‌شود و آن ثروت مستقل مي‌باشد. استفاده از ابزار قدرت بطور كلي در اكثر مقالات برمن و همكارانش مورد حمايت قرار گرفته است. نتايج تجربي نشان مي‌دهد كه نوعي تابع سودمند وجود دارد كه يك سرمايه‌گذار آن را به وسيله كاهش ريسك گريزي مطلق و ريسك گريزي نسبي ثابت توصيف مي‌كند اين خاصيتها با ابزار قدرت همسو هستند. از اين‌رو ما در اين مقاله ابزار قدرت را مورد استفاده قرار مي‌دهيم.

يكي از دو عامل vasicek مدل نرخ بهره مي‌باشد كه براي توصيف پويايي نرخ بهره مورد استفاده قرار گرفته شده است. كه يكي از آنها براي ارزش‌گذاري نرخ كوتاه مدت و ديگري براي ارزش‌گذاري نرخ طولاني مدت بكار مي‌رود. مدل vasicek بطور گسترده‌اي توسط سرمايه‌گذاران بنگاهي و رسمي همچون محققان مورد استفاده قرار گرفته شده است. بياييد در اينجا r(t) را به عنوان نرخ كوتاه مدت و (t) را به عنوان نرخ طولاني مدت در نظر بگيريم سپس نرخ كوتاه مدت و طولاني مدت را به شكل زير مدل سازي كنيم:
(۲)

(۳)
در اينجا dzr(t) و dz1(t) يك فرآيند wiener استاندارد مي‌باشد. و به اندازه‌گيري قدرت بازگشت به نسبت سطوح ميانگين و و و كه همان تغييرات ناپايدار آني در نرخ كوتاه مدت و بلند مدت مي‌باشد، مي‌پردازد.
اجازه دهيد در اينجا pr(t) قيمت اوراق قرضه كوتاه مدت و pL(t) قيمت اوراق قرضه طولاني مدت باشد. چون قيمت و درآمد براي اوراق قرضه طولاني مدت باعث ايجاد تغييرات در نرخهاي بهره نسبت به اوراق قرضه كوتاه مدت مي‌شود بنابراين اوراق قرضه با نرخ سود طولاني مدت داراي قدرت ريسك بالاتري نسبت به اوراق قرضه كوتاه مدت مي‌باشد از امتياز استفاده از ريسك برخوردارند. بر اين اساس، فرض مي‌كنيم كه درآمد مورد انتظار در اوراق قرضه طولاني مدت داراي نرخ كوتاه مدت به اضافه امتياز ريسك مي‌باشد بنابراين پويايي بهاي آنها مي‌شود.
(۴)
(۵)
در اينجا VL فراريت p1 (t) و در قيمت بازار در نرخ ريسك سود مي‌باشد. توضيحات ارزش اوراق قرضه كه در بخش فوق توضيح داده شد همسان با نظريه‌ی پاداش نقدينگي در مفهوم ساختاري است. اين نظريه صعود در منحني نرخ سود را پيش‌بيني مي‌كند در حقيقت مدارك تجربي از داده‌هاي ايالات متحده آمريكا در چهل سال گذشته نشان مي‌دهد كه منحني نرخ سود در اكثر مواقع داراي رشد صعودي بوده و تنها در اوايل دهه ۱۹۸۰ اين منحني حركت نزولي داشته است. اگر ما داراي كسري در سرمايه‌گذاري باشيم W(t) ثروت در اوراق قرضه كوتاه مدت و الباقي ۱-W(t) در اوراق قرضه طولاني مدت و W(t) ثروت پويا مي‌باشد و در اين حالت داريم:
(۶)
با تعویض و از معادله‌ی (۴) و (۵) در معادله (۶) و ساده کردن آنها ما خواهیم داشت: (۷)
براي اين مورد ما مي‌خواهيم به تخصيص دارايي‌هاي يك سرمايه‌گذار ميان اوراق قرضه كوتاه مدت و بلند بپردازيم بنابراين بار ديگر به اين صورت بنويسم:
در معادله (۱)
همين طور به شكل زير:
(۸)
چون در اينجا هيچگونه مصرف (خريد- فروش) انجام گرفته نشده و هيچ پولي به دارايي اوراق قرضه از زمان ۰ و زمان T اضافه نشده معادله شماره (۸) مي‌تواند به شكل زير ساده شود:
(۹)
كه با بسط دادن I[w+dw, r+dr, 1+d1, t+dt] به وسيله نظريه تايلدر و موقوف كردن آن به چهار استدلال به عنوان مثال (w,r,1,t) وI[w,r,1,t] براي ساده‌سازي بدست مي‌آيد:
(۱۰)
تفاسير داده شده براي dr, d1, dw در معادلات (۲)و(۳)و(۷) ما داريم:
×××
با تعويض
×××
در معاله شماره (۱۰) پس انتظار مي‌رود كه:
(۱۱)
با جانشین‌سازی معادله‌ی (۱۱) در معادله‌ی (۹) و سپس ساده‌سازی، معادله‌ی بهینه‌سازی بلمن بصورت زیر ]۱۶و۱۰[ بدست می‌آید:
(۱۳)
مفهوم Wr از معادله‌ی بهینه‌سازی بلمن حذف شده چون در اینجا از ابزار قدرت استفاده شده است. به عبارت دیگر نسبت بهینه‌سازی w(t) از ثروت w(t) مستقل است با ساده‌سازی معادله (۱۳) می‌دهد:
(۱۴)
در اینجا
×××
با شرایط نخست برای بالاترین مقدار در معادله (۱۴) که برای بهینه‌سازی دارایی‌ها در w*(t)=w*[r,1,t] می‌باشند و در اوراق قرضه کوتاه مدت سرمایه‌گذاری شده است بصورت زیر بدست می‌آید:
(۱۵)
متقابلاً، داراییهای بهینه‌سازی که در اوراق قرضه بلند مدت سرمایه‌گذاری شده بطور ساده بصورت ۱-w*(t) می باشد.

۳- برآورد پارامتر توسط روش احتمال حداکثر

برای یافتن نسبت عددی مطلوب در اوراق قرضه کوتاه مدت و بلند مدت بر اساس معادله (۱۵) ما بايد به برآورد اولين پارامتر مربوطه در معادلات (۲)، (۳) و(۵) از بخش (۲) بپردازيم. در اين مطالعه داده‌هاي روزانه برگرفته از بانك اطلاعات اقتصادي (آنلاين) ايالات متحده آمريكا كه براي تخمين سه ماهه نرخ صورتحساب وزارت خزانه‌داري ايالات متحده و نرخ سررسيد ثابت صورتحساب خزانه‌داري از ۲ ژانويه ۱۹۶۲ تا ۲۹ دسامبر ۲۰۰۶ از كل ۲۸۹/۱۱ نظر براي هر دوي اين بانك داده‌ها مورد استفاده قرار گرفته است ما همچنين نرخ سه ماهه را براي ارائه نرخ كوتاه مدت r(t) و نرخ ۲۰ ساله براي نشان دادن نرخ طولاني مدت L(t) بكار برديم. صورت داده شده از يك كوپن با ارزش ۴ دلار كه در هر ۶ ماه پرداخت شده قيمت (به عنوان مثال pI(t)) در اوراق قرضه طولاني مدت بصورت زير محاسبه شده است:

(۱۶)
برآورد انجام گرفته توسط روش احتمال حداكثر (ML) انجام گرفته شده است. برآورد ML بر مبناي نمونه‌هاي بزرگ بنا شده است. اين برآورد مجانبي هستند كه بطور نرمال توزيع شده‌اند چون ما داراي مشاهدات كلي ۲۸۹/۱۱ براي هر يك از سه دسته از داده‌ها هستيم برآوردهاي بدست آمده از روش احتمال حداكثر بايد بسيار دقيق باشد حتي اگر توزيع داده به شكل نرمال اتفاق نيفتاده باشد.

روند توزيع در معادلات (۲) و (۳) در شكلهاي مجزا بصورت زير بيان شود:
(۱۷)
(۱۸)
در اينجا و از انحراف معيار معمول مستقل هستند. بنابراين ما داريم:
كه به اين صورت توزيع شده است*** . با n مشاهدات مستقل، لگاريتم تابع توابع محتمل ××× (به عنوان يك تابع ، Br و ) و تابع محتمل ×××× (به عنوان تابع ، BL و ) مي‌توان به شكل زير نوشته شوند:
(۱۹)
(۲۰)
روند توزيع در معادلة (۵) مي‌تواند به شكل مجزا بصورت زير تفسير گردد:
(۲۱)
در اينجا یك انحراف معيار معمول مي‌باشد كه به اين شكل داده شده:
×××
مي‌باشد كه بطور معمول توزيع شده با ميانگين و واريانس=(VL)2 با n مشاهدات مستقل الگاريتم توابع مختلط كه به عنوان يك تابع و V1 و مي‌توان به شكل زير نوشته شود:
(۲۲)
برآورد احتمال حداكثر به وسيله حداكثر معادلة (۱۹) با نسبت ، Br و معادله (۲۰) با نسبت ، BL و و معادله (۲۲) با نسبت به V1 و مي‌باشد. جدول شمارة (۱) برآورد احتمال حداكثر براي هشت پارامتر ارائه مي‌دهد.

۴- پياده‌سازي عددي توسط الگاريتم بازگشت به عقب

در اين بخش ما از طريق الگاريتم بازگشتي به عقب به تعيين نسبتهاي مطلوب در اوراق قرضه كوتاه مدت و طولاني مدت براساس معادله (۱۵) مي‌پردازيم. بر اين اساس ما افق سرمايه‌گذاري (۰,T) را بر m طول دوره تقسيم مي‌كنيم . در اينجا T در برگيرنده يك دوره‌ی ده ساله است. ما از آخرين دوره شروع مي‌كنيم و در كار از عقب به زمان جلو حركت مي‌كنيم تا به دوره‌ی نخست برسيم. در آغاز هر دوره يا زمان t (در اينجا ….و و و t=0) یک شبكه دو بعدي با نرخ كوتاه مدت r(t) و طولاني مدت l(t) بصورت دو محور شكل گرفته‌اند در اينجا r(t) و l(t) از ۰۰/۰ تا ۲۰/۰ چيده شده‌اند. نقطه (i,j) در شبكه زماني t با و مطابقت دارد در اينجا i=j=0,1,2,…۲۰ و منظور ما يافتن عددي نسبت مطلوب w*(t) براي هر نقطه در شبكه زماني t مي‌باشد براي يافتن نسبت مطلوب w*(t) ما بايد اول ارزش k[r,1,t] را محاسبه كنيم. جابجايي ××××× در معادله (۱۴) مي‌شود.