دوگانی نوع Bector – Chandra در برنامه ریزی خطی فازی با استفاده از تابع نمایی

خلاصه :

در این مقاله یک جفت از مسائل اولیه – دوگانی در برنامه ریزی خطی فازی را مورد بررسی قرار می دهیم و نتایج دوگان را با استفاده از روش aspiration Level محاسبه می کنیم . در اینجا ما از تابع نمایی استفاده می کنیم و این برخلاف کارهای قبلی است که از تابع خطی استفاده می کردیم . به علاوه محیط فازی یک Gap (شکاف) دوگانی را هم بوجود می آورد و ما چگونگی انتخاب تابع نمایی را به طوری که بر این فاصله (شکاف) دوگانی تأثیر گذارد بررسی می کنیم . این مسئله (نتیجه) به خصوص در مورد مسائل برنامه ریزی خطی فازی در حالی که مقادیر توابع اولیه و دوگان ممکن است نامحدود باشد استفاده می شود .

مقدمه :

برنامه ریزی خطی یکی از پرکاربردترین ابزارهای تصمیم گیری برای حل کردن مسائل جهان واقعی است . یکی از مهمترین فرضیاتی که در این تکنیک به کار می رود این است که مقادیر ورودی دقت زیادی (کاملی) دارد . اگرچه (بیشتر اوقات) این طور نیست زیرا حالت (موقعیت) جهان بیشتر بر اساس بی دقتی است تا براساس دقت .

به علاوه تعدادی از محققین به مبحث برنامه ریزی خطی فازی علاقه مند هستند .

برنامه ریزی خطی فازی می تواند بر اساس این ۲ مفهوم رده بندی شود : ۱) محدودیت های فازی تصمیم ساز – ایده آل های تصمیم سازی با رعایت حالات (اهداف) و/ یا محدودیت ها . ۲) ابهام در ضرایب تابع هدف و/ یا محدودیت ها .

ترکیبی از این ۲ مفهوم به ما انواع مختلفی از مسائل برنامه ریزی خطی فازی را ارائه می دهد . از آنجایی که در این روش فقط یک نوع از برنامه ریزی خطی فازی را ندارد ] یعنی انواع مختلفی دارد[ این سخت است که انتظار داشته باشیم فقط یک نوع تئوری دوگانی واحد برای برنامه ریزی فازی خطی وجود داشته باشد . بیشتر نتایج دوگانی در برنامه ریزی خطی فازی با به کار بردن روش aspiration Level (ترازهای مطلوب) یا یک روشی که روابط کلی فازی را ارضا کند به دست می آید .

در این مقاله ما سعی می کنیم نتایج دوگانی را برای یک جفت مسألۀ اولیه – دوگانی برنامه ریزی خطی با به کار بردن روش aspiration Level که توسط Zimmermann در ] ۳۶[ توضیح داده شده به دست آوریم. روش aspiration Level که در این مقاله به کار برده شده است بر اساس این حقیقت است که در عمل یک تصمیم ساز راحت تر محدودیت های فازی را توصیف می کند یا به عبارت دیگر استفاده از aspiration Level برای هدف یا / و محدودیت ها تعداد زیادی از مسائل فازی با پارامترهای گوناگون را ارضا می کند . به علاوه روش aspiration Level مؤثرتر است در حالی که به سازگاری در منطق تصمیم ساز ندارد . aspiration Level بیشتر شبیه به یک جستجوگر است تا یک پارامتر وزنی . برای فهمیدن دوگانی در برنامه ریزی خطی فازی روش aspiration Level را به کار می بریم که بر اساس کاری که Zimmerman و Rodder ]23[ انجام داده اند ] برمی گردد به نظریۀ این دو شخص[

آن ها از ویژگی نقطۀ زینی تابع لاگرانژ شروع کردند .

که در اینجا w , x به ترتیب متغیرهای اویه ، دوگان هستند که یکی بر اساس min بودن و یکی بر اساس max بودن است . اگر y , x را به عنوان متغیرهای تصمیم برای دو عامل در بازارهای تولیدی در نظر بگیریم تئوری دوگانگی برای برنامه ریزی خطی رفتار بهینۀ هر عامل را بررسی می کند . در هنگام فازی سازی ساختار آنالیز شده با برنامه ریزی خطی ، رفتار بهینه سازی فرعی یا به طور کلی رفتار بهینه سازی می تواند با به کار بردن انواع خاصی از تابع عضویت بررسی می شود .

این تحقیق ارائه شده بر اساس این حقیقت است که دوگانی بین مسائل برنامه ریزی خطی اولیه – دوگانی می تواند از دوگانی قراردادی به محدودیت فازی ارائه شده که توسط Bector و Chandra ارائه شده است تبدیل شود. اگر چه نتایج دوگانی ایجاد شده با یک محیط فازی باید با نتایج مشابه برای موقعیت های Crisp مطابقت داشته باشد در ]۱[ دیده می شود . این فهمیده می شود که نتایج دوگانی در مسائل برنامه ریزی خطی برای یک محیط فازی حالت های خاصی هستند که به نتایج مشابه برای موقعیت های Crisp منجر می شود . مفاهیم دوگانی برای محیط فازی به کار برده شده در این مقاله توسط تعداد قابل توجه ای از محققین پیشین به خوبی مورد حمایت قرار گرفته است .

]۹[ Hamacher ، ]۲۳[ Zimmerman and Rodder ، ]۴،۱ [ Bector and Chandra ، ]۳،۲ [ Bector ، ]۲۹[ vijay .

این مهم است که در هنگام اجرای فرمول های برنامه ریزی خطی فازی بر اساس aspiration Level vague (ترازهای مطلوب دارای ابهام) در یک تصمیم ساز ، تابع هدف و محدودیت های سیستم با یک تابع واحد تعریف شده اند . این تابع مثل یک فاکتور جانشینی برای مزیت های عملگر برای مشخص کردن نتایج مطلوب تابع عمل می کند . چندین تابعی که در برنامه ریزی خطی به کاربرده می شود به این صورت است . ۱) خطی ۲) تکه ای خطی ۳) نمایی ۴) هیپربولیک ۵) منطقی ۶) s-shaped

این لیست به هیچ وجه کل توابع موجود را نشان نمی دهد . یک تابع خطی به دلیل سادگی و نیز به خاطر تکیه بر ۲ نکتۀ ثابت سطوح (کردن) بالا و پایین بیشترین کاربرد را دارد . اگرچه یک تابع خطی در بعضی موقعیت های عملی عملکرد مناسبی ندارد . به علاوه اگر تابع به عنوان مزیت های فازی تصمیم ساز باشد برای توصیف ترازهای نامحدود ، مفید یا مغایر با عدم قطعیت به کار برده می شود . پس یک تابع غیر خطی عملکرد بهتری نسبت به تابع خطی دارد . به علاوه این باید مورد توجه قرار گیرد که بر خلاف توابع خطی برای توابع غیر خطی نرخ افزایش یا کاهش مقادیر مانند تابع پارامترهای مدل که ثابت نیست ، یک روشی است که مقدار واقعی نسبت به موارد خطی بهتر برمی گرداند.

بر اساس بررسی مطالب بالا این که توابع غیر خطی در برنامه ریزی خطی فازی مورد استفاده قرار گیرد مطلوب تر است و این قابل توجه است که نتایج دوگانی حتی با به کار بردن توابع تکه ای خطی ، هیپروبولیک و منطقی و s-shaped می توان به دست آورد . اگرچه نتایج به دست آمده به این روش با نتایج دوگانی مشابه در موقعیت های Crisp یکسان نیستند . سپس در اینجا ما تابع نمایی را برای به دست آوردن نتایج دوگانی در محیط فازی استفاده می کنیم که این نتایج نه تنها مطابقت بهتری با نتایج دوگانی مشابه برای موقعیت های Crisp دارد اما آن ها برای تابع هدف (مورد نظر) و شرایط سیستم که توسط تصمیم ساز نشان داده شده اند ترازهای مطلوب / تلورانس ترکیب می کنند .

مسئله مهم دیگری که هنوز باقی مانده است شکاف دوگانی ایجاد شده در محیط فازی است . در مقالۀ ارائه شده این مسئله بررسی می شود که آیا شکاف دوگانی می تواند متناسب با تغییر پارامترهای شکلی در تابع نمایی تغییر کند یا نه ؟

سپس هدف این مقاله ۲ تا است . اول : ما نشان می دهیم که نتایج دوگانی ] مطابق با Bector , Chandra ]1[ ) می تواند با تابع نمایی به جای استفاده از تابع خطی به دست آید . دوما ً : ما با استفاده از مثال عددی نشان می دهیم که برای یک aspiration Level داده شده و یک تلورانس مجاز شکاف دوگانی در محیط فازی با انتخاب پارامترهای شکلی مختلف تغییر می کند . در ادامۀ مقاله این طور بررسی می کنیم : بخش ۲ یک تجدید نظر نوشتاری در دوگانی در

برنامه ریزی خطی فازی است . در بخش ۳ جفت اولیه دوگانی در مسائل برنامه ریزی خطی با aspiration Level vague داده شده را با استفاده از تابع نمایی بررسی می کنیم . ما نتایج دوگانی مناسب را برای یک محیط فازی به دست می آوریم . در بخش ۴ نمایش عددی از نتایج دوگانی و حالت های وابستگی را ارائه می دهیم . در بخش ۵ بروشان را به مسائل برنامه ریزی خطی فازی با پارامتر های فازی و محدودیت های فازی گسترش می دهیم . همچنین بعضی حالات خاص از تابع نمایی و نتایج دوگانی را نشان می دهیم در آخر در بخش ۶ بعضی از ملاحظات را ارائه می دهیم .

۲) تجدید نظر نوشتاری

این مشخص شده که در برنامه ریزی خطی تئوری دوگانی یک حالت (جایگاه) مرکزی دارد . در این تئوری برای مسئلۀ داده شده که Primal(اصلی ، اولیه) نامیده می شود ما آنالیز را بر روی مسأله دیگری که دوگان نامیده می شود انجام می دهیم و رابطۀ بین این دو مسئله به منظور مشخص کردن راه حل بهینه برای هر دو مسئله به کار برده می شود . برای مطالعه (بررسی) دوگانگی در مسائل برنامه ریزی خطی این موضوع حتمی است . ] قطعا ً انجام می شود[ . در اینجا فرضیۀ دوگانی state – of – the – art را با تمرکز برروی روابط اصلی برای برنامه ریزی خطی فازی بررسی می کنیم . اگر چه دوگانگی در برنامه ریزی خطی ]۲۳[ Zimmerman و Rodder روابط کران دارخاصی را بین مقادیر اولیه و دوگان با استفاده از روش aspiration Level بدست آوردند . Bector و Chandra یک

سری مشکلات داخلی را برای فرمول های دوگانی فازی در ]۲۳[ نشان دادند که در موقعیت های خاص crisp روش به کار رفته در ]۲۳[ به برنامه ریزی خطی اولیه – دوگانی منجر نمی شد یک جفت اصلاح شده از مسائل برنامه ریزی اولیه – دوگانی پیشنهاد کردند که با تابع خطی را به کار می گرفت . آن ها توانستند نتایج دوگانی مطلوبی به دست آورند . ]۲۷[ verdegay مسائل دوگانی فازی را با استفاده از مسئلۀ برنامه ریزی خطی پارامتری توضیح داد و نشان داد که مسائل فازی اولیه و دوگانی در بعضی از شرایط مناسب یک راه حل فازی یکسان دارند . ضرایب فازی تابع هدف که در ]۲۷[ نشان داده شده است زیر مجموعه

ای از R هستند و محدودۀ نامعادله با استفاده از تابع خطی فرمول بندی می شود . (ضرایب محدودیت کردن) نامعادله هنوز مقادیر واقعی هستند . بر اساس رفتارهای هدف یابی و سازش در تصمیم ساز ]۱۶[ Lie etal یک روش سازنده برای دوگانی در چند ضابطه ای های فازی و چند کرانی (محدوده ای) فازی در برنامه ریزی خطی فازی ارائه داد . هر دوی مسائل اولیه و دوگانی فازی به عنوان مسائلی با هدف بهینۀ فازی در مسائل برنامه ریزی خطی معمولی مشخص می شوند . در این مقاله برای مسائل اولیه – دوگان با استفاده از توابع خطی جداگانه برای هر جفت از راه حل های فازی اولیه – دوگانی چندین تابع ضعیف دوگانی فازی را ساخته شد .

]۶[ Jimenez , cendra یک فرم از دوگانگی فازی ارائه دادند که قضیه تجزیه و بعضی ویژگی های برنامه ریزی خطی با ضرایب مختلف را به کار می برد . آن ها یک مسئلۀ برنامه ریزی خطی را که با مقادیر فازی ارائه شده توسط تابع خطی را بررسی کردند و آن را با به کار بردن ۲ مسئلۀ دوگانی که مسائل برنامه ریزی خطی با شرایط فازی بودند حل کردند .

]۲،۳[ Bector نتایج دوگانی ]۱[ را برای بررسی با اهداف فازی به کار برد . ]۲۹[ vijay نتایج دوگانی آن ها را به مسائل برنامه ریزی خطی با پارامترهای فازی و ضرایب فازی با استفاده از تابع de fuzzification و تابع خطی گسترش داد . مثلا ً آن ها ماتریس را با PQy- offs فازی بررسی کردند . برای نتایج فازی برنامه ریزی خطی که روابط معتبر فازی را دنبال می کنند بعضی روش های جدید و جذاب ارائه شده است . مسئلۀ برنامه ریزی خطی و نیز دوگان آن را با به کار بردن روابط فازی ملاحظه کنید .

که و و مقادیر فازی در تابع هستند .

مسأله برنامه ریزی خطی دوگانی به صورت زیر مشخص شده است .

در اینجا بسط فازی رابطۀ معتبر P روی R و بسط دوگانی فازی P است با ترکیب روابط اولیه و دوگان می توان یک جفت اولیه – دوگان برای مسئلۀ برنامه ریزی خطی فازی ایجاد کرد . ]۱۲[ Inuiguchi مسائل برنامه ریزی خطی با روابط فازی و روابط دوگان (که S=max , T=min) و نیز نتایج دوگانی ضعیف و قوی را بررسی کردند . برای به دست آوردن نتایج دوگانی قوی نویسندگان فرض کرده اند وجود اهداف افزوده تولیدی بیرونی در یک مسیر واقعی فازی نتایج دسته های یکسان (مشابه) برای یک حالت کلی در ]۱۹،۲۰[ به دست می آید . برای مسائل برنامه ریزی خطی فازی ]۲۱[ Ramik مفاهیم عملی و راه حل های

efficient- ∝ را تعریف کرد از طریق راههای متفاوت نسبت به راه حل های پذیرفته شده در ]۱۲،۱۹،۲۰[ . نتایج دوگانی قوی در ]۲۱[ بدون نیاز به اهداف افزوده نتایج دوگانی قوی را بهبود می بخشد . ]۲۱[ Ramik یک سری از مسائل برنامه ریزی خطی با روابط فازی را مورد بررسی قرار داد که و روابط فازی دوگان هستند در عمل یا . Ramik برای feasible- β و راه حل های maximal , minimal – (β ،∝) تعریفی ارائه داده است . برای اندازه گیری احتمالات و ضروریات نتایج دوگانی قوی در ]۲۲[ نشان داده شده است . اگر چه این نتایج برای راه حل maximal (∝ ،∝) یا راه حل maximal – (∝-۱ ، ∝-۱) برای مسائل بهینه و minimal (∝-۱ ، ∝-۱) یا minimal (∝ ،∝) برای مسائل دوگان است . ]۳۲[ wu مسائل برنامه ریزی خطی اولیه و دوگان را به کار بردن نتایج اسکالر فرمول بندی کرد . رابطۀ فازی خاص ≥ برای مقایسۀ اعداد فازی استفاده شده است . البته هنوز رابطۀ فازی ≥ یک بسط فازی از رابطۀ معمولی باینری ≥ است .

استفاده از ترکیب دهی تکراری روی مجموعۀ همۀ اعداد فازی با راه حلی شبیه به این راه است که به کار ببریم برنامه ریزی چند ضابطه ای و نتایج دوگانی ضعیف و قوی را که در ]۳۲[ ارائه شده است . ]۳۰[ vijay یک مدل عملی zero – sum ماتریسی با اهداف فازی و PQy – offs فازی روش روابط فازی ارائه کرد . آن ها نشان دادند که در موارد خاصی مسائل متشابه منجر می شود به مسائل برنامه ریزی که دوگان برای حالت فازی و حالت crisp هستند . در این مقاله نتایج دوگانی دیگری برای برنامه ریزی بر اساس روش هایی مثل روش (۱۷[ Amiriand Nasivi که نتایج دوگانی برای برنامه ریزی خطی را با تابع Ranking (رتبه بندی)

خطی به دست می آورند ارائه شده است . Mahdavi – Amiri and Nasiri نتایج دوگانی و روش سیمپلکس دوگانی را برای برنامه ریزی خطی با استفاده از ضرایب فازی ذوزنقه ای ارائه داده اند . differential, subdifferential , sub gradion ]35[ zhang را با رعایت نقشه های فازی محدب به کار برد به منظور به دست آوردن مسائل max یا min نقشۀ فازی محدب روی یک مجموعۀ محدب . آن ها موقعیت های بهینه (ضروری یا مناسب) و نیز فرمول های دوگان لاگرانژی برای مسائل برنامه ریزی خطی را به دست آوردند . همچنین بعضی نتایج در مسائل برنامه ریزی غیر خطی فازی وجود دارد که در ]۳۳[ wu می توان دید . که در اینجا بررسی نشده اند . این قابل توجه است که این کارها بر اساس روش aspiration Level به منظور مشخص کردن سطح مطلوب در تصمیم ساز انجام شده است .

همچنین تأسف بار است که هیچ کدام از روش های اشاره شده شکاف دوگان را که در دوگان برنامه ریزی خطی فازی ایجاد می شود را بررسی نمی کند . ۱) یک تابع غیر خطی برای به دست آوردن (ایجاد کردن) نتایج دوگانی مناسب به کار می رود و برای موقعیت های crisp نتایج دوگان استانداردی را منجر می شود . ۲) شکاف دوگانی را بررسی می کند . نتایجی که در این مقاله به دست می آید با نتایجی که با روابط Setting Fuzzy به دست می آید به راحتی قابل مقایسه نیستند . بنبراین نتایجی که ما به دست می آوریم فقط با ویرایش موجود در روش aspiration Level مقایسه می شود .

دوگان برنامه ریزی خطی فازی (۳

جفت اولیه دوگان crisp در مسئلۀ برنامه ریزی خطی را در نظر بگیرید .

را یک n بعدی فضایی در نظر بگیرید و نیز ماتریس را در نظر بگیرید . هر دوی و در تئوری دوگانی به طور مؤثر در بخش وسیعی از تقاضاها در تجارت و اقتصاد به کار می رود . حالا ورژن (حالت) های فازی و را در نظر بگیرید که توسط Bector ، Chandra ]1[ ارائه شده و و نام گرفته است .

در اینجا و نشان می دهد که معادله انعطاف پذیر است و ممکن است با یک Fuzzy set توصیف شود که تابع می گوید آیا میزان مطلوبیت به اندازه کافی مناسب است یا خیر ؟ این معادله می تواند به صورت “به اندازۀ کافی بزرگتر” یا “به اندازۀ کافی کوچکتر” تفسیر شود که در ]۳۶[ Zimmerman آمده است . متغیرهای و سطوح aspiration برای دو تابع و هستند . همچنین و (i= 1,2,…,m) مقادیر ثابت انتخاب شده اختیاری و قابل قبول هستند که با تابع هدف و محدودیت های رابطه دارند . در ادامه فرم نمایی را ( که به فراوانی در تصمیم ساز به کار برده می شود در ] ۸،۲۸[ می بینیم) به منظور تعریف مطلوبیت سطح تصمیم ساز برای تابع هدف و محدودیت سیستم در نظر می گیریم .

و

که ∝ و و ∝ > 0 و ∞ > پارامترهای فازی هستند که میزان ابهام را مشخص می کنند و پارامترهای shape نامیده می شودند . در ادامه : Bellman – Zadeh,s ]5[ توابع فازی تعریف شده در بالا را به کار می برند نامعادلۀ به صورت زیر تبدیل می شود :

مسئلۀ می تواند به این صورت نوشته شود :

که سطر i اُم برای ماتریس A است و جزء i اُم برای b (i=1,2,…,m) است . ثابت های (j=0,1,2,…,n ) به طور ذاتی به عنوان خطاهای قابل قبول تابع های مورد نظر و محدود انتخاب شده اند ما معادل crisp را به دست می آوریم .

مسئلۀ می تواند به این صورت نوشته شود :

که سطر i اُم ماتریس و جزء j اُم ? و و ? > 0 و پارامترهای شکلی هستند که درجۀ ابهام را اندازه گیری می کنند . معادل crisp و مسائل برنامه ریزی غیر خطی هستند و برای مسائل بزرگ یا متوسط حل کردن با استفاده از مسائل برنامه ریزی غیر خطی مشکل است ولی این مسأله با استفاده از بعضی نرم افزارها برای مسائل برنامه ریزی غیر خطی قابل حل است بعضی از آن ها بر اساس روش ]۱۳[ GRG و یا ]۲۵[ که به طور مناسبی مسائل بزرگ را حل می کنند است . ما از LINGO که متأثر از است برای حل و استفاده می کنیم . بعد ما نتایج دوگان مناسب را برای هر دوی و به دست می آوریم .

فرمول های ۷ و ۸ و ۹ صفحه ی۳۲۹۵

نتایج دوگانی به دست آمده در بالا یک حالت کلی از نتایج دوگانی ضعیف crisp است نامعادله دوگانی ضعیف crisp ، در حالت کلی به صورت نامعادلۀ دوگانی است . در یک تحلیل دوگانی ضعیف (weak) نامعادلۀ فازی فرض می کند که تصمیم ساز قادر است تابع سود را max یا min کند و سپس همۀ حالت های ممکن تصمیم گیری در تابع سود را مورد بررسی قرار می دهد . سپس تصمیم ساز می تواند برای سودش از تصمیم های هم زمان خودش و رقیب توابع مفید را انتخاب کند . همچنین ما به دست می آوریم یک نوع خاص از روابط کران دار بین راه حل هایی که برآوردهای قیمتی و کمیتی را درتصمیم ساز ارضا می کنند .

در موقعیت های رقابتی که با بهینه سازی قوی مثل max کننده و min کننده مخالفت می کند . به منظور ارضای نامعادلۀ فازی بعضی از تلورانس ها برای راه حل های ارضا کنندۀ تصمیم ساز باید در نظر گرفته شود که در حالت کلی کراندار نباشد . با برقرار کردن نامعادلۀ فازی به تصمیم ساز اجازه می دهیم که برای تابع سود max یا min تصمیم گیری کند . بر اساس روابط کران دار ارائه شده در ]۷[ . آن شکافی که بین سطح به دست آمده و میزان مجاز در راه حل ارضا کننده وجود دارد (اختلاف بین RHS ، LHS در نامعادلۀ crisp (7) از نامعادلۀ دوگانی فازی weak ) به عنوان شکاف دوگانی مورد بررسی قرار می گیرد . ملاحضه ۳٫۱) در

برنامه ریزی خطی crisp متغیرهای دوگان بهینه برای برنامه ریزی خطی فازی به عنوان سایۀ قلیت در مجموعۀ aspiration Level در نظر گرفته می شود . چون ترکیب حاشیه ای برای ارضای کامل آشفتگی در ترازهای مطلوب( aspiration Level) را نشان می دهد . ملاحظۀ ۳٫۲) ∝ ، ، ? ، به عنوان شکل در تابع های مختلف در نظر گرفته می شود که۰< ∝ و ۰ و ۰<? و۰ . وقتی پارامترهای ∝ ، ، ? ، افزایش می یابد به ابهام کاهش می یابد . شکل تابع نمایی می تواند بر اساس پارامترهای ∝ ، ، ? ، تغییر کند . با مقادیر داده شده برای این پارامترها ، aspiration Level برای تابع هدف و محدودیت های سیستم ممکن است با دقت بیشتر توصیف شود .

ملاحظۀ ۳٫۳) این قابل توجه است که برای ۱= λ و ۱ = η نامعادلۀ (۷) به صورت دنبال می شود که نتیجۀ دوگان استاندارد برای تئوری دوگان برنامه ریزی خطی ضعیف است . همچنین وضعیت برای ۱ >λ > 0 و ۱ >η > 0 به صورت فازی باقی می ماند . برای سطوح تلورانس داده شده زیر حالات با روابط زیر مقداردهی می شود .

ملاحظۀ ۳٫۴ : در مجموع با استفاده از نامعادلۀ ۷ و اضافه کردن (۱) به (۴) می رسیم به :

این باید در نظر گرفته شود که معادلۀ ۱۰ ، اختلاف aspiration در و در را به ترتیب بازگو می کند . در سطوح تلورانس و . در مجموع برای ۱= λ و ۱ = η ما همچنین داریم پس از ترکیب کردن نامعادلات ۷ و ۱۰ به دست می آید . w,x هستند بهینه برای مسئلۀ crisp (LP) و (LD) . اگر چه (CP-1) و (CD-1) در مفاهیم قراردادی ما دوگان نیستند اما فقط معادل crisp جفت فازی و هستند و ممکن است دوگانی معکوس یا مستقیم بین آن ها وجود نداشته باشد . به هر حال ، مانند طرح دوگانی برنامه ریزی خطی crisp می توان گستره ای که نامعادلۀ فازی با crisp ]7[ به عنوان یک معادله برقرار می باشد بررسی کرد . قضیۀ ۳٫۲ : را برای (CP-1) امکان پذیر در نظر بگیرید و را برای (CD-1) امکان پذیر در نظر بگیرید . بنابراین :

بهینه هستند برای (CP-1) و بهینه هستند برای (CD-1) .

دلیل : را برای (CP-1) و را برای (CD-1) مقادیر ممکن در نظر بگیرید : سپس با به کار بردن قضیۀ ۳٫۱ به دست می آوریم .

از (i) ما به دست می آوریم که :

این نشان می دهد که برای مسأله ای که max مقدار آن صفر است مقادیر بهینه هستند .

حالا از رابطۀ (i) داریم :

(۱۱)

همچنین از رابطۀ (ii) داریم :

(۱۲)

با جمع کردن (۱۱) و (۱۲) به دست می آید :

هر یک از جملات در رابطۀ جمع بالا مثبت است زیرا است . به علاوه هر کدام از این جملات هم باید برابر صفر باشد .

از آنجایی که و (به خاطر اینکه است ) به دست می آوریم :

برای و و و با حذف کردن و و ∝ و ? داریم :

و

یا

نتایج قضایای ۳٫۱ و ۳٫۲ مشابه نتیجۀ دوگانی که توسط ]۱[ Chandra , Bector که از تابع خطی استفاده کرد است .

در مقالۀ ارائه شده از آنجایی که ما دوگانی را در محیط فازی بررسی می کنیم حتی اگر دوگانی قوی جفت دوگانی – اولیه (CP-1) و (CD-1) وجود داشته باشد ولی هنوز شکاف دوگانی صفر نیست . دوگانی قوی با رابطۀ فازی به دست می آید .

ملاحظۀ ۳٫۵ :

در موقعیت های (وقتی ) این رابطه را دنبال می کنیم .

با استفاده از (i) و (iii) در قضیۀ ۳٫۲ ما به دست می آوریم . دوگانی قوی در حالت

در بخش بعد تابع نمایی را بررسی می کنیم که به علت داشتن پارامترهای shap مختلف بر شکاف دوگانی اثر می گذارد .

مثال عددی
دو مسئله برنامه نویسی خطی دوگان ساده از بکتور و چاندرا (۱) (Bector & Chandra) را در نظر بگیرید :

برای را در نظر بگیرید و مسئله متناظر با (۱-CP) معادل است با :

مطلوب ترین حل از (۱-CP) در است . بهترین مقدار (۱-CP) ، است و متناظراً . شکل ۱ وضع تابع مورد نظر (LP) را با توجه به سطح مطلوب نمایش می دهد .

حالا برای را بگیرید . مسئله متناظر (۱-CD) می شود :

بهترین حل برای (۱-CD) ، است . بهترین مقدار (۱-CD) ، است که متناظراً می شود .

شکل ۱ : مقادیر اولیه مورد نظر در مدت اندازه مطلوب

برای این حل های اولیه ، هر دو اختلاف ۷ و ۱۰ قانع کننده است .

در صورت استفاده از توابع نمایی ، اختلاف دوگانی ۰٫۰۱۷۰۸۸ واحد است ( تفاوت بین L.H.S,R.H.S نابرابری (۷) ) . از طرف دیگر ، اختلاف دوگانی همان طور که گفته شد ، در صورتی که از توابع خطی استفاده شود ۰٫۶۲۵ واحد است اهمیت اختلاف دوگانی وقتی مشخص می شود که برای تلورانسی که برای محدود کردن مقادیر مورد نظر مسائل ساده و دوگان در یک محیط فازی داده می شود ، اختلاف بین ترازهای بدست آمده و محدود مجاز مقادیر مطلوب بسیار کم است .

به عبارت دیگر ، تصمیم گیرنده ها با انعطاف پذیری قابل قبولی آماده هستند تا راه حل های مطلوبی که توابع مفید آن ها را به حداقل یا حداکثر مقدار خود می رساند انتخاب کنند .

با تغییر دادن مقادیر پارامترهای شکلی ، ممکن است سطوح مورد انتظار تابع مورد نظر و محدودیت های سیستم با دقت بیشتری توصیف شود . بدین گونه ، ما اثر پارامترهای شکلی مثل را روی راه حل های قانع کننده و در نتیجه روی اختلاف دوگانی بررسی می کنیم . ما (۱-CD) و (۱-CP) را با مقادیر متفاوت برای پارامترهای شکلی حل کرده ایم و نتایج در جدول ۱ ثبت شده است .

 

جدول ۱ نشان می دهد که در همه موارد که امتحان شده اختلاف دوگانی برای نتایجی که با استفاده از فورمول های (۱) بدست می آیند ، بسیار کوچک می باشد . اختلاف دوگانی کوچک ممکن است به مقدارهای مورد نظر دقیق تری برای LP , LD مربوط شود . ( برای مثال R.H.S در (۷)) . همچنین اختلاف کوچک به L.H.S نابرابری هم بستگی دارد چون عبارت L.H.S که تلورانس داده شده برای محدودکردن مقادیر مورد نظر اولیه و دوگان در محیط فازی را نشان می دهد ،

پارامترهای شکلی را در بر می گیرد . این مطلوب است که پارامترهای شکلی به طور ابتکاری آزمایشی توسط تصمیم گیرنده انتخاب می شوند چون آن ها اختلاف دوگانی را اصلاح می کنند . ما با تغییر دادن پارامترهای شکلی روی یک فرمت تابع های نمایی سرمایه گذاری می کنیم : آن ها (توابع ) فواید فازی مختلف تصمیم ساز را پیدا می کنند . چون ما در این تحقیق از روش ایده آل و آرمانی استفاده می کنیم عاقلانه نیست که تصمیم ساز ترازها سطح های خیلی شدید یا خیلی ضعیف را انتخاب کند . اگر ترازها خیلی بالا باشد هیچ جوابی بدست نمی آید و تصمیم ساز می خواهد ترازها را کم کند . از طرف دیگر ، اگر

ترازها خیلی پایین باشد ، جواب های بسیاری بدست می آید که شاید همه امکان پذیر باشد . وقتی از روش های مطلوب استفاده می شود ، تصمیم ساز ترازهای ایده آلش را فشرده تر می کند . اختلاف دوگانی کم که در این تحقیق نشان داده شده برای تعیین کردن دقیق تر و تنگ تر ترازهای ایده آل یا محدوده ی مورد نظر اولیه یا دوگان مفید خواهد بود . ترازهای ایده آل دقیق و تنگ تر با در برداشتن مزیت های تصمیم ساز می تواند در پیدا کردن راه حل های توافقی مختلف بیشتر مفید باشد .