راهبردهاي حل مسأله در رياضي

مقدمه
مسأله را مي توان به زبان ساده تعريف كرد. هر گاه فردي بخواهد كاري انجام دهد ولي نتواند به هدف خود برسد، برايش مسأله ايجاد مي شود. به عبارت ديگر هر موقعيت مبهم يك مسأله است. حل مسأله نوعي از يادگيري بسيار پيچيده است. مسأله و تلاش براي حل آن جزئي از زندگي هر فرد است. فرايند برخورد با شرايط زندگي همان مسأله است.
دو ديدگاه متفاوت در آموزش رياضيات نسبت به حل مسأله وجود دارد:

۱٫ رياضي ياد بدهيم تا دانش آموزان بتوانند مسأله حل كنند.
۲٫ رياضي را با حل مسأله آموزش دهيم.
در ديدگاه اول آموزش رياضي مطابق با محتواي موضوعي است و مفاهيم متفاوتي تدريس مي شوند. انتظار داريم دانش آموزان با استفاده از دانش رياضي خود مسائل متفاوت را حل كنند. اما در ديدگاه دوم آموزش رياضيات از طريق حل مسأله اتفاق مي افتد. يعني دانش آموز مسأله حل مي كند و در ضمن آن محتوا و مفاهيم جديد رياضي را مي سازد، كشف مي كند و يا ياد مي گيرد . در حال حاضر ، ديدگاه دوم در آموزش رياضيات بيش تر مطرح است. در اين نگاه حل مسأله نقطه ي تمركز يا قلب تپنده ي آموزش رياضيات است.

مهارت حل مسأله
اگر از معلمان رياضي سؤال شود كه مشكل اصلي دانش آموزان در درس رياضي چيست؟ به يقين خواهند گفت: آنها در حل مسأله ناتوان هستند.
درمطالعه ي تيمز نيز همين موضوع را شاهد بوديم. چون در اغلب مسأله هاي آزمون كتبي اين مطالعه عملكرد دانش آموزان پايين است. در واقع مي توانيم بگوييم دانش آموزان توانايي يا مهارت حل مسأله را ندارند.

يكي از دلايل اين ناتواني ، فقدان طراحي براي آموزش مهارت حل مسأله به دانش آموزان بوده است. يا به عبارتي معلمان به آنها ياد نداده اند كه چگونه مسأله را حل كنند. هر گاه دانش آموزان با مسأله اي روبروه شده و از حل آن عاجز مانده اند معلمان تنها به بيان راه حل يا پاسخ مسأله اكتفا كرده اند و نگاه هاي پرسش گر، كنجكاو ومتحير دانش آموزان با اين سؤال باقي مانده است: معلم ما چگونه توانست مسأله را حل كند؟ راه حل مسأله چگونه به فكر او رسيد؟ چرا ما نتوانستيم راه حل مسأله را كشف كنيم؟

در خيلي از مواقع معلماني كه سعي كرده اند به طريقي حل مسأله را به دانش آموزان خود ياد دهند، راه را اشتباه رفته اند و آموزش هاي نادرست داده اند. براي مثال به دانش آموزان گفته اند: عددهاي مسأله بسيار مهم اند. زير آن ها خط بكشيد. فراموش نكنيد كه بايد از آن ها استفاده كنيد. همين آموزش نادرست باعث شده است. دانش آموزان اطلاعات مسأله را به خوبي تشخيص ندهند. وقتي مسأله زيربراي دانش آموزان كلاس سوم مطرح شد، آن عدد ۷۴۷ را در عمليات مسأله دخالت دادند و با آن عدد عبارت هاي جمع و تفريق و … نوشتند:

« يك هواپيماي بوئينگ ۷۴۷ با ۲۳۷ مسافر در فرودگاه نشست و ۱۳۰ مسافر را پياده كرد. حالا اين هواپيما چند مسافر دارد؟
يا براي دانش آموزان گفته اند كه درمسأله بعضي از كلمه ها بسيار مهم است. براي مثال اگر كلمه روي هم را ديديد مسئله مربوط به جمع است و اگر كلمه ي اختلاف را ديديد حتماً بايد تفريق كنيد.

به همين دليل در مسأله زير كه در مطالعه ي تيمز (۲۰۰۳) آمده بود، عده اي از از دانش آموزان كلاس چهارم شركت كننده. در اين مطالعه به اشتباه افتادند و مسأله را به جاي ضرب، جمع كردند.

«در يك سالن سينما ۱۵ رديف صندلي وجود دارد. در هر رديف ۱۹ صندلي قرار دارد . اين سالن روي هم چند صندلي دارد؟ »
بهتر است اين روش هاي آموزش نادرست را به كار نبريم و به دنبال طرحي براي آموزش حل مسأله به دانش آموزان باشيم.

آموزش حل مسأله
آيا حل مسأله آموزش دادني است؟ يكي از دلايل فقدان طرحي براي آموزش حل مسأله به دانش آموزان ، اين است كه آموزشگران رياضي تا چندين سال پيش معتقد بودند كه حل مسأله آموزش دادني نيست بلكه يك هنر يا ويژگي و توانايي است كه بعضي از انسانها دارند و بعضي ندارند. بنابراين هيچ كس تلاش براي حل مسأله به دانش آموزان نمي كرد. اما تعداد كساني كه درمورد آموزش حل مسأله تحقيق مي كنند بيش تر است.

يكي از افرادي كه در مورد چگونگي حل مسأله و آموزش آن تحقيق كرد جرج پوليا است. حاصل كار او در كتاب «چگونه مسأله حل كنيم» منتشر شد. مرحوم احمد آرام اين كتاب را ترجمه كرده است. او در مقدمه ي كتاب خود مي گويد: « من يك رياضيدان هستم. متخصص آموزش رياضي نيستم، اما علاقمندم بدانم چرا من مي توانم مسأله رياضي را حل كنم و ديگران نمي توانند؟ چرا بعضي از دانشجويان مسأله رياضي را حل مي كنند ولي بعضي نمي توانند؟ او همين سؤال ها را دنبال كرد و مدلي براي تفكر حل مسأله و آموزش راهبردها ارائه كرد. پوليا دو حرف اساسي دارد. ۱- مدل چهار مرحله اي براي تفكر حل مسأله ۲- آموزش راهبردها كه البته نكته دوم در آموزش اهميت بيشتري دارد.

مدل چهار مرحل اي پوليا
فرايند تفكر حل مسأله براي افراد مختلف متفاوت است. پوليا تلاش كرده تفكر حل مسأله را به نوعي مدل سازي كند. او الگويي چهار مرحله اي را مطرح كرده است. در فرايند حل مسأله اين چهار مرحله چهار گام طي مي شوند تا يك مسأله رياضي به طور كامل حل شود. مدل چهار مرحله اي او به اين مشكل است:
۱- فهميدن مسأله

گام اول حل مسأله فهميدن آن است. اين گام نشان مي دهد، مسأله وقتي مسأله است كه نكته اي براي فهميدن داشته باشد. فهميدن مسئله يعني تشخيص داده ها و خواسته هاي آن و درك ارتباط بين آن ها. فهم يك مسأله در واقع بخش اصلي فرايند حل مسأله است. مسأله هاي پيچيده حل نمي شوند. چون اغلب در فهم آن ها مشكل داريم.
اغلب دانش آموزان در فهميدن مسأله اشكال دارند. يكي از دلايل آن اشكال در درك مطلب عبارات صورت مسأله است. معلمان مي توانند براي طي كردن اين گام ، سؤال هاي گوناگوني مطرح كنند به نمونه هاي زير توجه كنيد:

 

– داده هاي مسأله چيست؟
– خواسته هاي آن كدامند؟
– مسأله را به صورت خلاصه بيان كنيد.
– مسأله را به زبان و بيان خود توضيح دهيدو دوباره تكرار كنيد.
– مسأله را به صورت نمايشي اجرا كنيد.
– مسأله را با شكل ها و يا اشياء مدل سازي كنيد.
– آيا معني واژه ها، لغات و اصطلاحات به كار رفته در مسأله را مي دانيد؟
سؤال ها و توصيه هايي از اين دست كمك مي كنند، دانش آموز در مورد مسئله بهتر فكر كند و معلمان نيز مطمئن شوند كه آن ها مسأله را درك كرده اند.

۲- طرح ريزي كردن
در اين طرح مسأله از ابعاد متفاوت رياضي بررسي مي شود. يعني تعيين اين كه مسأله به كدام يك از شاخه هاي هندسه ، كسر ، جبر، و … مربوط است. چگونه مي توان آن را مدل سازي كرد؟ كدام روش يا راهبرد براي حل ان مناسب تر است؟ در اين مرحله ممكن است مجبور شويم به گام فهميدن برگرديم و اين افت و برگشت تا پيدا كردن يك راه حل مناسب ادامه مي يابد.

در آموزش عمومي (ابتدايي – راهنمايي) آن چه بيش تر از همه براي دانش اموزان معني دارد، تشخيص روش يا راهبرد مناسب براي حل مسئله است. به همين دليل اين گام را به انتخاب راهبرد مي شناسيم. راهبرد يعني يك روش يا راه حل عام كه در بسياري از مسائل كاربرد دارد.
آموزش راهبردهاي حل مسأله ، در واقع مهم ترين بخش حل مسأله است كه براي آموزش هنر حل مسأله راهي به دانش آموزان نشان مي دهد و آشكار مي سازد.
در ادامه اين بحث به توضيح راهبردهاي مورد نظر در آموزش عمومي مي پردازيم. در واقع بررسي راهبردهاي متعدد براي حل اين مسأله مهم ترين اقدامي است كه دانش آموز براي حل آن انجام مي دهد.

 

حل مسأله
در گام سوم ، وقتي راهبرد مناسب براي حل مسأله مشخص شد، به حل آن اقدام مي كنيم، هنگام حل مسأله ممكن است به اين نتيجه برسيم كه راهبرد انتخاب شده مناسب نيست و به حل مسأله منجر نمي شود. بنابراين بايد به گام دوم برگرديم و راهبرد تغيير دهيم. يا حتي مجبور شويم براي فهميدن بخش هايي از مسأله به گام اول برگرديم.
حل مسأله صرفاً نوشتن عمليات و عبارت هاي رياضي نيست، گاهي با انتخاب راهبرد، رسم شكل و كشيدن يك شكل مناسب مسأله به طور كامل حل مي شود و ديگر نيازي به نوشتن عمليات نيست. يا حدس زدن پاسخ مسأله و آزمايش آن ، خواسته ي مسأله را مشخص مي كند. در حالي كه عمليات و راه حل مستقيمي براي رسيدن به جواب ننوشته ايم.
۴٫ نگاه به عقب

گام چهارم را اغلب دانش آموزان و معلمان طي نمي كنند. به عبارت ديگر پيدا كردن پاسخ و حل رياضي مسأله را پايان كار مي دانند در حالي كه در فرايند حل مسأله گام نگاه به عقب اهميت زيادي دارد. اين مرحله جلوه ها و معني هاي متفاوتي دارد. تفسير و ترجمه ي جواب رياضي مسأله در دنياي واقعي ، بررسي منطقي بودن پاسخ و اين كه جواب به دست آمده همان خواسته ي مسأله است يا نه بررسي صحت عمليات انجام شده بررسي مجدد مراحل مسأله ، تطبيق شرايط مورد نظر مسأله با پاسخ به دست آمده ، بررسي مسأله با يك راهبرد يا راه حل ديگر و در نظر گرفتن ساير حالتها و شرايط براي مسأله ، نمونه هايي از كارهايي هستند كه مي توان در گام آخر انجام داد.

راهبردهاي حل مسأله
همان طور كه اشاره شد، آموزش راهبردها مهم تر از تأكيد به مدل ۴ مرحله اي است. در واقع آموزش راهبردها، مهم ترين قسمت آموزش هنر حل مسأله است.
چند نكته:
۱- زماني كه آموزش يك راهبرد مورد نظر است، از دانش آموزان مي خواهيم، مسأله هاي داده شده را فقط با همان راهبرد مورد نظر حل كنند تا با آن به طور كامل آشنا شوند. اما با گذاشتن از آموزش راهبردها درهنگام حل مسأله آن ها مي توانند از هر راهبردي كه مايل هستند مسأله را حل كنند. به اين ترتيب ، يك مسأله مي تواند با راهبردهاي متفاوت دركلاس حل شود. در صورتي كه اين اتفاق دركلاس بيفتد باعث خوش حالي و سربلندي معلم خواهد شد.

۲- آموزش راهبرد يعني فراهم كردن شرايط و موقعيتي كه دانش آموز درك كند، راهبرد مورد نظر براي حل مسأله كارآيي دارد.
۳- تعداد راهبرد زياد است اما آموزش تعداد زيادي راهبرد به دانش آموزان طبق تحقيقات انجام شده مناسب نيست. زيرا مانع تفكر و خلاقيت دانش آموز خواهد شد. در اين جا چند راهبرد بررسي مي شوند:

الف: راهبرد رسم شكل: طبيعي ترين راهبردي كه به ذهن دانش آموز مي رسد رسم شكل است. بسياري از مسائل با كشيدن ي شكل مناسب يا مسأله به طول كامل حل يا راه حل آنها آشكار مي شود. اغلب معلمان اين راهبرد ( راه حل) را در حل مسأله ها از دانش آموزان نمي پذيرند به همين دليل اين راهبرد طبيعي كم كم كنار گذاشته مي شود. مثال زيرنشان مي دهد، چگونه مي توان از اين راهبرد در حل مسأله اي استفاده كرد.

« در يك مزرعه ۲۰ مرغ وگاو وجود دارد . تعداد پاهاي آن ها ۵۶ عدد است. چند مرغ و چند گاو در اين مزرعه وجود دارد؟ »
اين مسأله با استفاده از راهبردهاي رسم شكل، با اطلاعات دانش آموزان كلاس دوم دبستان قابل حل است.

– ابتدا ۲۰ دايره به جاي سرها مي كشيم . براي هر كدام ۲ خط (۲پا) درنظر مي گيريم تا اين جا مي شود ۴۰ پا، ۱۶ پاي باقيمانده را با اضافه كردن ۲ تا ۲ تا رسم مي كنيم.
ب) راهبردهاي زير مسأله: مسأله هاي پيچيده و چند هدفي معمولاً از چند مسأله ساده تشكيل شده اند. گاهي حل يك مسأله و يا زنجيره اي از زير مسأله ها به حل مسأله اصلي منجر مي شوند. تشخيص زير مسأله ها و حل آنها ، راهبرد مهمي براي حل مسأله هاي تركيبي است. مسأله زير با استفاده از اين راهبرد حل شده است:
– «رضا ۳۷ عدد گروه جمع كرده است. تعداد گروه هاي علي ۱۷ تا بيشتر از اوست . اين دو نفر روي هم چند گروه جمع كرده اند؟ »
اين مسأله در واقع از دو مسأله كوچك تشكيل شده است كه با حل آن ها مي توان پاسخ را پيدا كرد.

۱٫ تعداد گردوهاي علي چند تا است؟
۲٫ تعدادگردو هاي رضا و علي روي هم چند تاست؟
پس
۱٫ تعداد گردو هاي علي ۵۴=۱۴+۳۷
۲٫ تعداد گردوهاي رضا و علي ۹۱=۳۷+۵۴

در اين راهبرد ، دانش آموزان بايد ياد بگيرند ، چگونه زير مسأله ها را تشخيص دهند. آن ها را جداگانه بنويسد و سپس به حل تك تك آن ها اقدام كنند.
ج) راهبرد حل مسأله ساده تر: گاهي مسأله پيچيدگي هايي دارد كه نمي توان آن را به راحتي حل كرد . اما وقتي آن را ساده مي كنيم، يا حل و يا روش حل آن ظاهر مي شود. وقتي مسأله درحالت ساده تر بررسي شد يا يك الگو يابي مي توان آن را به حالت كلي تعميمي داد. ساده كردن عددها و داده ها نيز بخشي از اين راهبرد است. در مسأله زير با ساده كردن عددها مي توان به راه حل نزديك شد.

« در يك كارخانه، لوله هايي به طول متر توليد مي شود. در يك روز ۲۴۴ عدد لوله توليد شده است. در اين روز چند متر لوله توليد شده است؟ »
شكل ساده شده ي مسأله چنين است: يك كارخانه لوله هايي به طول ۲ متر توليد مي كند. اگر ۲۰۰ عدد لوله توليد شود، چند متر لوله توليد شده است؟ يعني با تغيير دادن عددها و ساده كردن آن ها، مي توان به راه حل مسأله كه ضرب است نزديك شد.

د) راهبرد حذف حالت نامطلوب : وقتي از تمام حالت هاي ممكن پاسخ يك مسئله و با استفاده از داده ها، فرض ها و اطلاعات مسأله حالت هاي نامطلوب يكي يكي يا دسته دسته حذف مي شوند، خود را به پاسخ نزديك مي كنيم. حذف حالت هاي نامطلوب ، يعني كنار گذاشتن حالت هايي كه با شرايط و فرضيات مسأله تطبيق نداند تا رسيدن به پاسخ و حالت مطلوب كه مورد نظر مسأله است. به مثال زير توجه كنيد.

يك بازي دو نفره به اين صورت انجام مي شود كه يك نفر عددي بين ۱ تا ۱۰۰ در ذهن خود مجسم مي كند. نفر بعد با سؤال كردن از او ، به طوري كه فقط پاسخ بلي يا خير بشنود، بايد به عددي دست يابد كه در ذهن نفر اول است. سؤال آيا اين عدد دو رقمي است مناسب نيست چون اگر پاسخ مثبت باشد، فقط ۹ عدد (حالت نامطلوب) حذف مي شود و ۹۰ عدد ديگر باقي مي ماند.

سؤال آيا اين عدد زوج است، مناسب است، چو در هر صورت يعني از حالت ها حذف مي شوند. بهترين سؤال براي شروع اين است: آيا اين عدد بين ۱ تا ۵۰ قرار دارد؟ به اين ترتيب نيمي از حالت ها حذف مي شوند. اگر پاسخ مثبت بود، سوال بعدي اين است كه آيا عدد بين ۱ تا ۲۵ است؟ به همين ترتيب ، با نصف كردن ، عددهاي نامطلوب كم كم حذف مي شوند تا به عدد مورد نظر دست يابيم.