سيري در رياضيات

رياضيدانها چگونه زبان يكديگر را ميفهمند؟
اگر به سرزمين جديدي سفر كنيد كه زبان مردم آنجا را ندانيد و نيز ندانيد كه در آنجا چه مي گذرد، سفر برايتان لذتي ندارد. در قلمرو رياضيات نيز چنين است. كسي كه زبان رياضي را نداند نمي تواند اين علم را درك كند. ارتباط و تبادل نظر رياضي روزگاري در بين رياضي دانان مشكل بود، اما آنها با اختراع زبان رياضي كه شامل علائم نوشتاري ويژه اي است، اين مشكل را از ميان برداشتند.

 

هندسه فضايي چيست؟
هنگامي كه يك سطحهندسي داراي ضخامت شود، از قلمرو هندسة مسطح خارج مي شود و وارد هندسه فضايي مي گردد. در اين شاخه از رياضيات با چهار شكل اصلي روبرو هستيم.: كره، مخروط، استوانه و چندوجهي. چندوجهي ها حجم هايي هستند كه طول، عرض وارتفاع دارند كه هر وجه(سطح) آنها يك چندضلعي است. فقط پنج نوع چندوجهي منتظم داريم كه عبارتند از:

الف ـ هرم يا چهار وجهي منتظم كه هر يك از چهار وجه ان يك مثلث متساوي الاضلاع است.
ب ـ مكعب يا شش وجهي منتظم كه هر يك از شش وجه ان يك مربع است.
پ ـ هشت وجهي منتظم كه هر يك از هشت وجه آن يك مثلث متساوي الاضلاع است.
ت ـ دوازده وجهي منتظم كه هر يك از دوازده وجه آن يك پنج ضلعي است.

ث ـ بيست وجهي منتظم كه هر يك از بيست وجه ان يك مثلث متساوي الاضلاع است.

نشانه ها، علامتها و تعريفهاي رياضي
+ به علاوه (به اضافه)، علامت جمع كردن است، مانند: ۴ + ۳
– منها، علامت تفريق كردن است، مانند: ۲ – ۴
* ضرب، علامت ضرب كردن است، مانند: ۲ * ۴
÷ بخش، علامت تقسيم كردن است، مانند: ۲ ÷ ۸
= مساوي، علامت مساوي بودن است، مانند: ۴ – ۹ = ۲ + ۳
نامساوي، علامت نامساوي بودن است، مانند: ۲ – ۴ ۴ + ۳

بزرگتر از، علامت بزرگتر بودن است، مانند: ۴ ۸ كه مي خوانند هشت بزرگتر است از چهار.
كوچكتر از، علامت كوچكتر بودن است، مانند: ۸ ۴ يعني چهار كوچكتر است از هشت.

بي نهايت، علامت بي نهايت است. بي نهايت يعني عددي كه بزرگتر است از هر عددي كه فكر كنيم يا بگوييم يا بنويسيم.
پي، علامتي است كه براي محاسبة محيط و مساحت دايره به كار مي رود. مقدار آن برابر ۱۴۱۵۹/۳ است.
درجه، علامت درجه است. درجه، واحد اندازه گيري زاويه است. يك دايره است.

‘ دقيقه، علامت دقيقه است. دقيقه براي نشان دادن بخشهايي از يك درجه بكار مي رود. هر درجه مساوي ۶۰ دقيقه است.
“ ثانيه، علامت ثانيه است. ثانيه براي نشان دادن بخشهايي از يك دقيقه بكار مي رود. هر ۶۰ ثانيه ۱ دقيقه است.
عمود، علامت عمود است. عمود خطي است كه با خط ديگري زاوية قائمه بسازد.

|| موازي، علامت دو خط راست است كه يا يكديگر موازي هستند. دو خط راست وقتي موازي هستند كه امتداد آنها همديگر را قطع نكند.

انسان اوليه چگونه مي شمرد؟
در آغاز، انسان اوليه براي نشان دادن عدد موردنظر خود زا زبان اشاره استفاده مي كرد. شايد به ببري كه كشته بود يا به سرنيزة همسايه اش اشاره مي كرد. يا شايد از انگشتانش براي نشان دادن عدد استفاده مي كرد. سه انگشت دست معني «سه» مي داد، خواه سه نيزه يا سه ببر دندان دشنه اي، يا سه غار يا سه سرنيزه.

مي دانيم كه در زندگي روزمره «عدد» كلمه يا نشانه اي است كه بر مقدار و تعداد معيني دلالت مي كند. اما لازم نيست آنچه را كه ما درباره اش گفتگو مي كنيم، مشخص كند. مثلاً «سه» يا «۳» مي تواند به معني سه هواپيما، سه قلم يا سه كتاب باشد.

در ابتدا، انسان اوليه مي توانست تا دو بشمارد. امروزه هنوز در جهان، قبايلي ابتدايي مانند بوميان بدوي استراليا ـ ابورجين ها ـ وجود دارند كه فقط سه عدد مي شناسند: يك، دو و بسيار. اگر يك نفر از اين قبيله سه عدد بومرانگ يا بيشتر داشته باشد، براي شمارش آن فقط عدد بسيار را به كار مي برد. البته بيشتر انسانهاي اوليه تا ده، يعني مجموع تعداد انگشتان دستان مي شمردند. بعضي فقط تا ۲۰ يعني مجموع تعداد انگشتان دست و پايشان مي شمردند.
هنگاميكه با انگشتان دست شماره مي كنيد، تفاوتي نمي كند كه از انگشت كوچك دست يا از انگشت شست شروع كنيد. اما بين برخي از اقوام براي اين كار قاعده هايي وجود داشت. مثلاً «زوني» ها (قبيله اي از سرخپوستان آمريكاي شمالي) شمردن را از انگشت كوچك دست چپ شروع مي كردند. يا سرخپوستان اتوماك امريكاي جنوبي شمردن را از انگشت شست آغاز مي كردند.

آدمي چون متمدن تر شد، از تركة چوب، ريگ و گوش ماهي براي نمايش اعداد استفاده مي كرد. آنها سه تركه يا سه ريگ را در كنار هم رديف مي كردند كه معني «سه» را برساند. عده اي با ايجاد شيار بر روي چوب يا گره هايي كه به يك طناب مي زدند منظورشان را از عددي كه مي خواستند بيان كنند مي رسانيدند. به اين ترتيب هميشه چوبخط يا طناب حساب را با خودشان همراه داشتند يا آن را در جايي حفظ مي كردند.

 

صفر را چه كسي اختراع كرد؟
دستگاه عددنويسي بابليها يك نقص كلي داشت. در اين دستگاه علامتي براي صفر وجود نداشت. ابتدا اين مشكل را با گذاشتن يك فاصله برطرف مي كردند.

بابليان در ۲۰۰۰ سال پيش از ميلاد، يك علامت «جدا كننده» براي نبودن يك رقم بكار مي بردند. آنها به كمك اين علامت مي توانستند عدد = ۶۱ را از عدد = ۲ مشخص كنند. الواحي از ۵۰۰ تا ۲۰۰ سال پيش از ميلاد در دست است كه بر روي آنها علامتي براي نشان دادن فقدان يك رقم، يعنيصفر به كار رفته است. در جدولهاي ضرب بابلي كه شامل همة ارقام تا ۶۰ * ۶۰ است، علامت به جاي صفر به كار رفته است. از آنجا كه بابليان با هنديان داد و ستد داشتند، گمان مي رود كه مفهوم صفر را از آنان گرفته باشند، ولي به هرحال اين مسلمانان بودند كه در قرن نهم يا دهم ميلادي مفهوم صفر را وارد اروپا كردند.

تقريباً در ۸۰۰ كيلومتري شمال شرقي مصر و ۸۰۰ كيلومتري شمال غربي بين النهرين، سواحل سوريه در اطراف درياي مديترانه قرار دارد. در آنجا، در ۳۵۰۰ سال قبل، در سرزمين باستاني فنيقيه، اقوامي دريانورد زندگي مي كردند. دريانوردان فنيقي از بندرهاي تيروس و صيدون، مديترانه را در مي نورديدند. در حدود ۳۰۰۰ سال پيش، كشتيهاي آنان از منتها اليه غربي مديترانه گذشتند. بي شك آنها از تنگة جبل الطارق گذشتند و در سمت شمال تا سواحل انگلستان و در سمت

جنوب تا سواحل غربي آفريقا پيش رفتند. با آنكه كشتي هاي كوچك آنها محكم بود، آنان همواره نزديك به ساحل كشتيراني مي كردند تا از سرزمينها و نشانه هاي آشنا دور نباشند. اما با گذشت زمان، دل به خطر سپردند و به خود جرئت دادند تا دور از ساحل نيز دريانوردي كنند. آنها به ميان درياهاي باز راندند. البته اين در هنگامي بود كه از رياضيات دريانوردي به اندازة كافي اطلاع داشتند.

چگونه براي نخستين بار محيط كرة زمين را اندازه گرفتند؟

اراتوستن رياضيدان يوناني، در حدود ۲۲۵ سال قبل از ميلاد مي زيست. او كتابدار كتابخانة بزرگ اسكندريه در مصر و نخستين كسي است كه زمين را اندازه گرفته است. اراتوستن رياضيات را در مورد دو تا از مشاهدات خود به كار بست: او در كتابها خوانده بود كه نزديك اولين آبشار نيل در شهر سين يا آسوان امروزي در جنوب مصر، در روز معيني از سال در هنگام ظهر، امكان داشت تابش نور خورشيد را در يك چاه عميق به خوبي مشاهده كرد، زيرا خورشيد مستقيماً از بالاي سر مي تابيد و هيچ نوع سايه اي ايجاد نمي كرد. اما در همان موقع و همان روز در اسكندريه كه در ۸۰۰ كيلومتري شمال آسوان قرار داشت، اشياي قائم حتي

در هنگام ظهر سايه اي داشتند. پس خورشيد قائم نمي تابيد. به اين ترتيب اراتوستن مي توانست دو نكته را مورد توجه قرار دهد، يكي اينكه زمين كروي است و ديگر اينكه شعاعهاي خورشيد موازيند. او در شهر اسكندريه ستوني قائم در زمين برپا داشت و در لحظه اي كه خورشيد در شهر سين به طور قائم به ته چاه مي تابيد، زاوية ساية اين ستون را حساب كرد. اراتوستن مي دانست كه زاوية اندازه گيري شده، برابر زاويه اي است كه ميان سين و اسكندريه نسبت به مركز زمين وجود دارد.

اندازة اين زاويه درجه بود. فاصلة بين اسوان و اسكندريه هم ۸۰۰ كيلومتر بود. اراتوستن توانست با دو برهان هندسي كه دانشمندان قديمي تر يوناني پرورانده بودند، محيط زمين را محاسبه كند. نخست آنكه معلوم شده بود كه زواياي متقابل به رأس، با هم مساويند. دوم آنكه ثابت شده بود كه از تلاقي يك خط مستقيم با دو خط موازي، زواياي مساوي به وجود مي آيد. به علاوه اراتوستن مي دانست كه هر دايره درجه است. همچنين وي از روي اندازه گيريهايش مي دانست كه درجه برابر با ۸۰۰ كيلومتر از سطح زمين (فاصلة اسوان تا اسكندريه) است.

از آنجا كه ۴۸ بار درجه برابر (يعني يك دايرة كامل) است، وي ۸۰۰ كيلومتر را در ۴۸ ضرب كرد و به اين ترتيب محيط زمين را در ۳۸۴۰۰ كيلومتر محاسبه كرد. با وسايل دقيق امروزي، دانشمندان محيط دايرة استوايي زمين را ۵/۴۰۰۷۶ كيلومتر مي دانند.

نمودار وِن چيست؟
نمايش هندسي يا نمايش مجموعه را نمودار وِن مي نامند. اين روش اولين بار به وسيلة «وِن» رياضيدان معروف انگليسي به كار برده شد. ون در حالت كلي مجموعه را با قسمتي از نقاط صفحه محدود به يك دايره، يك مستطيل يا هر منحني بستة ديگري نمايش داد و هر نقطة داخل شكل را يك عضو مجموعه فرض كرد. مي توان تصاوير اجسام را با علائم قراردادي مشخص كردو
(ما = ماشين، ك = كتاب، ج = جعبه آبرنگ، كش = كشتي،
تو = توپ، جر = جرثقيل، ب = بيلچه، س = سطل،
ر = راكت)
در اين تصوير مجموعة احمد به شكل زير است:

مجموعه اسباب بازيهاي هواي بد را با با حرف A و مجموعة اسباب بازيهاي هواي خوب را با حرف B مشخص مي كنيم. مجموعة همة اسباب بازيهايي را كه احمد دارد با حرف M‌نشان مي دهيم. M را مجموعة مرجع مي نامند.

شمارش مولكولهاي شيميايي
كاربرد علم گراف در اكثر رشته هاي مختلف شناخته شده است. اين بار از گراف در شيمي صحبت مي كنيم. لازم است خواننده ابتدا تعريف رأس و درخت را در گرافها بداند.
يك نمونه قديمي از كاربرد درختها در مسائل مربوط به شمارش مولكولهاي شيميايي است. يك هيدروكربن (يعني، مولكولي كه فقط داراي اتمهاي كربن و ئيدروژن است) را مي توان به صورت يك گراف نشان داد كه در آن اتم كربن به صورت يك رأس درجه ۴ و هر اتم هيدروژن يك رأس درجة يك است. گرافهاي بوتان و ايزوبوتان در شكل زير آمده است:

با وجود اينكه فرمول شيميايي هردو است. چون در اين مولكولها ترتيب اتمها متفاوت است، لذا اين دو مولكول متفاوتند. اين دو مولكول بخشي از دستة عمومي مولكولهاي موسوم به آلكانها يا پارافينها، با فرمول هستند. به طور طبيعي اين پرسش مطرح مي شود كه اين فرمول چند مولكول دارد.

گراف هر مولكولي با فرمول يك درخت است. زيرا اين گراف همبند است و تعداد رأس و يال آن به ترتيب و مي باشد. همچنين هرگاه ترتيب اتمهاي كربن شناخته شود، مولكول كاملاً مشخص مي شود. زيرا در اين صورت اتمهاي هيدروژن بگونه اي اضافه مي شوند كه درجة رئوس اتمهاي كرن را به ۴ برسانند. بنابراين مي توان اتمهاي هيدروژن (شكل پايين) را ناديده گرف، و مسئله به تعداد تعيين درختهاي n رأسي تبديل مي شود كه درجة هر يك ۴ است.

 

ليكي در سال ۱۸۷۵ اين مسإله را با شمارش طريقه هايي كه مي شود درختها را از رئوس مركزي آنها بنا كرد، حل كرد. تشريح اين استدلال پيچيده تر از آن است كه اينجا بحث شود.