مدولاسيون با حامل ديجيتال

براي انتقال اطلاعات توسط كانال‌هاي مخابراتي كه كانال‌هاي ميانگذر هستند ؛ مي‌بايست را اطلاعات توسط يك موج حامل با فركانس مناسب ارسال نمود .در انواع شيوه‌هاي مدولاسيون ديجيتال يكي از پارامترهاي دامنه یا فركانس یا فاز موج‌ حامل در گام‌هاي گسسته تغيير مي‌كند. در زير چهار شكل موج مختلف مدولاسيون براي انتقال اطلاعات باينري توسط كانال‌هاي ميانگذر نشان داده شده است .

شكل ۱- موج‌هاي مدوله شده مورد استفاده در شماهاي انتقال باينري

در مدولاسيون ASK دامنه ي شكل موج حامل بين دومقدار قطع و وصل تغيير مي كند كه پالس وصل عدد باينري ۱ و پالس قطع عدد باينري ۰ را نشان مي‌دهد .
در مدولاسيون FSK ، فركانس حامل بين دو مقدار تغيير مي‌كند كه يكي بيانگر ۱ و ديگري ۰ را نشان مي‌دهد . در مدولاسيون PSK ، فاز حا مل بين دو مقدار تغيير مي‌يابد . البته در روش‌هاي PSK و FSK دامنه‌ي موج حامل ثابت مي‌ماند و در تمام حالات بالا شكل موج مدوله شده يك شكل موج پيوسته براي همه ي زمان‌ها خواهد بود .

مدولاسيون آنالوگ حداقل پهناي باند را لازم دارد ولي تجهيزات مورد نياز براي توليد ، انتقال و آشكارسازي تا حدودي پيچيده است ، در مقابل مدولاسيون ديجيتال از نظر ساخت فوق العاده ساده هستند و درمقابل بعضي خرابي‌هاي كانال مصونيت خوبي دارد ولي نياز به پهناي باند بيشتر و افزايش توان مورد نياز در فرستنده است.

گيرنده بهينه براي شماهاي مدولاسيون ديجيتال باينري :
عمل گيرنده در يك سيستم مخابراتي باينري تشخيص يكي از دو سيگنال فرستاده شده S2(t), S1(t) درحضور اغتشاش مي‌باشد. كارايي گيرنده معمولاً برحسب احتمال خطا اندازه‌گيري مي‌شود و گيرنده‌اي را كه حداقل احتمال خطا را نتيجه دهد ، گيرنده‌ي بهينه گويند .

در صورتيكه اغتشاش در ورودي گيرنده سفيد باشد ، گيرنده‌ي بهينه به شكل يك فيلتر منطبق خواهد بود وفيلتر منطبق به صورت يك گيرنده‌ي همبسته انتگرال ‌گيري و تخليه قابل ساخت است .

سيگنال‌هاي باينري FSK ,PSK ,ASK را ميتوان با استفاده از روش‌هاي شبه بهينه غير هم زمانی آشكار سازي نمود كه از نظر ساخت آسانتر و احتمال خطاي بالاتري دارند و به طور وسيع در انتقال داده با سرعت پايين به كار گرفته مي‌شوند .

توصيف شماهاي باينري FSK , PSK , ASK:
شكل زير بلوك دياگرام يك سيستم ميانگذر انتقال داده‌هاي باينري كه از مدولاسيون ديجيتال استفاده مي‌كند را نشان مي‌دهد .

شكل ۲- سيستم انتقال داده‌هاي باينري ميان گذر
ورودي مدولاتور دنباله‌اي از بيت‌هاي باينري مي‌باشد و rb ميزان بيت ريت و Tb عرض بيت مي‌باشد . خروجي مدولاتور در فاصله‌ي زماني مربوط به بيت k ام ، تابعی از k امین بیت ورودیbk خواهد بود.خروجی مدولاتور Z(t) در فاصله زمانی k ام تغيير زمان يافته‌ي يكي از دو شكل موج پايه‌ي S2(t), S1(t) مي‌باشد كه Z(t) به صورت زير تعريف مي‌شود :

شكل موج‌هاي S2(t), S1(t) داراي عرض Tb و انرژي محدود هستند .
انتخاب شكل موج سيگنال براي انواع شماهاي مدولاسيون ديجيتال به صورت زير مي باشد .

نوع مدولاسيون
۰ A cos wct
(or A sin wc t) ASK
-A cos wct
(or- Asin wc t) A cos wct
(or Asin wc t) PSK
A cos ((wc – wd)t)
(or Asin((wc – wd)t)) A cos ((wc + wd)t)
(or Asin ((wc + wd)t)) FSK
جدول۱- انتخاب شكل موج سيگنال براي انواع شماهاي مدولاسيون ديجيتال

خروجي مدولاتور از يك كانال Hc (f) عبورمي‌كند .اغتشاش كانال n(t) يك فرآيند تصادفي گوسي ايستان با ميانگين صفر و چگالي طيف توان معلوم Gn(f) فرض مي‌شود . سيگنال دريافتي به علاوه‌ي اغتشاش برابر خواهد بود با :

ساختمان گيرنده به صورت شكل زير مي باشد :

شكل ۳- ساختمان گيرنده
اين گيرنده بايد تعيين كند كه در هر فاصله زماني ارسال سيگنال كدام يك از دو شكل موج معلوم S2(t), S1(t)فرستاده شده ا ست .يك گيرنده‌ي واقعي از يك فيلتر ، يك نمونه بردار ويك وسيله آستانه تشكيل شده است .سيگنال به علاوه‌ي اغتشاش V(t) در انتهاي فاصله‌ي هر بيت بعد از عبور از فيلتر نمونه‌برداري شده و مقدار نمونه‌برداري شده با آستانه‌ي از قبل مشخص شده‌ي T0 مقايسه شده و بيت ارسالي برحسب اينكه V0(KTb) از آستانه‌ي T0 بزرگتر يا كوچكتر باشد به صورت ۱ يا ۰ ( بعضاً توأم با خطا ) آشكار سازي ميشود .

احتمال خطا :
به علت وجود اغتشاش در ورودي گيرنده ، گيرنده در جريان آشكار سازي خطاهايي را مرتكب مي‌شود. احتمال خطا تابعي از توان سيگنال در ورودي گيرنده ، چگالي طيف توان اغتشاش در ورودي گيرنده ، ميزان سيگنال و پارامترهايي از قبيل تابع تبديل فيلتر H(f) و مقدار آستانه خواهد بود .( معيار كارايي به كار برده شده در مقايسه با شماهاي مختلف مدولاسيون ديجيتال ، احتمال خطا مي باشد .)
پارامترهاي گيرنده از قبيل H(f) و مقدار ‌آستانه طوري انتخاب مي شوند كه احتمال خطا را حداقل نمايند . براي محاسبه‌ي احتمال خطا فرض‌هاي زير را خواهيم داشت :
۱- فرض مي‌كنيم {bk} دنباله‌اي از بيت‌هاي مستقل و متساوي الاحتمال باشد . در اين صورت S2(t), S1(t) متساوي الاحتمال هستند .
۲- اغتشاش كانال يك فرآيند تصادفي گوسي ايستان ، با ميانگين صفر و چگالي طيف توان Gn (f) فرض مي‌شود .
۳- تداخل بين سمبل‌هاي توليد شده توسط فيلتر ، كوچك فرض مي‌شود .
خروجي فيلتر در لحظه‌ي t=KTb برابر است با :
V0(KTb)=S0(KTb) + n0(KTb)
n0(t), S0(t) به ترتيب پاسخ فيلتر به ورودي‌هاي سيگنال و اغتشاش مي‌باشند .
مؤلفه‌ي سيگنال در خروجي در لحظه‌ي t=KTb برابر است با :

توسط رابطه زیر بدست می آید.t=KT ومؤلفه‌ي اغتشاش در خروجي در لحظه‌ي

اغتشاش خروجي يك فرآيند تصادفي گوسي ايستان با ميانگين صفر مي باشد . واريانس يا قدرت نويزبرابر است با :

و تابع چگالي احتمال n0(t) برابر با تابع زير خواهد بود :

گيرنده با مقايسه‌ي V0(KTb) با آستانه T0 ، K امين بيت را آشكار سازي مي‌ كند .
اگر فرض كنيم S2(t), S1(t) طوري انتخاب شده‌اند كه So2(Tb) < So1(Tb) و گيرنده k امين بيت را برحسب اينكه V0(KTb) < T0 و يا باشد به صورت ۰ يا ۱ آشكار سازي كند در اين صورت احتمال اينكه K امين بيت غلط آشكارسازي شود برابر با Pe بوده و

به دليل مساوي بودن احتمال وقوع ۰ و ۱ در دنباله‌ي ورودي و شكلهاي متقارن و نشان داده شده در زير مي‌توان نشان داد كه انتخاب بهينه براي آستانه ، مقدار V0 درمحل تلاقي دو تابع چگالي احتمال شرطي خواهد بود .

شكل ۴- چگالي احتمال شرطي V0 براساس bk
اين مقدار بهينه ‌آستانه برابر است با :

در اين صورت عبارت احتمال خطا به صورت زير خواهد بود :

فيلتر بهينه فيلتري است كه نسبت زير و يا مربع آن را حداكثر مي‌كند:

تابع تبديل فيلتر بهينه :
كار اصلي گيرنده اين است كه تعيين نمايد در هر فاصله‌ي سيگنال كدام يك از دو شكل موج معلوم S2(t), S1(t) در ورودي آن ظاهر شده است . گيرنده‌ي بهينه S2(t), S1(t) را از روي حالت آغشته به اغتشاش S2(t), S1(t) با حداقل احتمال خطا تشخيص مي‌دهد . با انتخاب مناسب h(t) به طوري كه نسبت حداكثر شود ، احتمال خطا به حداقل مي‌رسد .

حالت خاص I : گيرنده فيلتر منطبق :
اگر اغتشاش كانال سفيد باشد يعني ،در اين صورت تابع تبديل فيلتر گيرنده‌ي بهينه توسط رابطه‌ي زير داده مي‌شود :

پاسخ ضربه‌ي فيلتر بهينه :

پاسخ ضربه‌ي دو معادله آخر بر S2(t), S1(t) منطبق مي‌شود و به همين دليل فيلتر را فيلتر منطبق گويند .

حالت خاص II: گيرنده همبسته
نوعي گيرنده است كه از نظر ساخت با فيلتر منطبق متفاوت است .
خروجي گيرنده در لحظه‌ي t = Tb

اين گيرنده درعمل به صورت گيرنده نشان داده شده در شكل ساخته مي‌شود :

شكل ۵- گيرنده‌ي همبسته‌ي انتگرال گير و تخليه. پهناي باند فيلتر قبل از انتگرال گير براي بدون اعوجاج z(t) بايد به اندازه‌ي كافي بزرگ باشد .
در اين نوع ساخت انتگرال گير بايستي در پايان هر فاصله‌ي سيگنال صفر شود (يعني خازن بايستي تخليه شود ) تا اينكه از تداخل بين سمبل‌ها جلوگيري شود . همچنين نمونه برداري و تخليه خازن بايستي دقيقاً همزمان باشند . به علاوه سيگنال مرجع محلي S2(t)-S1(t) بايستي هم فاز با مؤلفه‌ي سيگنال در ورودي گيرنده باشد ، يعني گيرنده همبسته ‌آشكارسازي همزماني را اجرا ميكند .

شماي ASK باينري :
شمای ASK باينري يكي از انواع اوليه‌ي مدولاسيون ديجيتال به كار برده شده در تلگراف بي‌سيم در قرن حاضر است . شكل موج ASK باينري را مي‌توان به صورت زير بيان نمود .

فركانس موج حامل )
فرض مي‌‌كنيم D(t) يك شكل موجي تصادفي باينري مستطيلي با عرض بيت Tb باشد.

T بيانگر تأخير زماني تصادفي با توزيع يكنواخت در فاصله‌ي [۰, Tb] مي‌باشد .
شكل ۶- چگالي طيف توان سيگنال تصادفي ASK باينري fc>>rb
اين نمودار بيانگر اين است كه z(t) يك سيگنال با پهناي باند بي‌نهايت مي‌باشد پهناي باند Z(t) را برابر پهناي باند يك فيلتر ايده ‌آل ميان گذر با فركانس مركزي fc و با ورودي Z(t) تعريف ميكنند. ميتوان نشان داد كه براي سيگنال ASK چنين فيلتري داراي پهناي باندي تقريباً برابر با rb 3 هرتز خواهد بود . براي ارسال ASK با توجه به شكل پالس‌ها ، به كانالي با پهناي باند تقريباً rb 2 تا rb 3 نياز است .
میتوان دنباله‌ي ارسالي {bk} را توسط سيگنال Z(t) آغشته به اغتشاش درگيرنده به يكي از دو صورت زير آشكار سازي نمود . روش اول ‌آشكار سازي همزماني انتگرال گيري و تخليه وروش دوم استفاده از ‌آشكار ساز غير همزماني پوش مي‌باشد .دليل اصلي در به كار بردن ASK سادگي آن است . از اين رو به دليل پيچيدگي مدارات آشكار ساز همزماني ( همزماني فاز سيگنال ارسالي و حامل محلي ) به ندرت آشكار ساز همزماني ASK به كار مي‌رود .

ASK همزماني :
گيرنده نشان داده شده در شكل ۵ را مي‌توان براي آشكارسازي همزماني سيگنال ASK به كار برد .
فرض مي‌ كنيم كه ورودي گيرنده يك سيگنال ASK است كه با اغتشاش گوسي سفيد جمع شده باشد . گيرنده ، انتگرال حاصلضرب سيگنال به علاوه‌ي اغتشاش را مشابه بدون اغتشاش سيگنال ، روي يك فاصله‌ي سيگنال حساب مي‌كند .فرض مي‌ك نيم كه سيگنال محلي S2(t)- S1(t)= A cos wct به دقت با فركانس و فاز حامل دريافتي همزمان شده باشد . خروجي انتگرال گير با آستانه‌ي تعيين شده مقايسه شده و در پايان هر فاصله‌ي سيگنال ، گيرنده تعيين مي‌كند كه كداميك از دو سيگنال S2(t), S1(t) در ورودي آن و در همان فاصله‌ي سيگنال ظاهر شده است . البته به دليل وجود اغتشاش در آشكار سازي ، خطا اتفاق مي‌ افتد . اگر

مؤلفه‌ هاي سيگنال در خروجي گيرنده در انتهاي يك فاصله برابرند با :

مرز بهينه
گيرنده K امين بيت ارسالي را در صورتي كه خروجي در فاصله‌ي K امين بيت بزرگتر از باشد با يك و در غير اين صورت با صفر آشكار سازي مي‌كند . عبارت احتمالي خطا از روابط زير بدست مي ‌آيد :