ظهور ساختارهاي جبري

جمع وضرب معمول كه بر روي مجموعه اعداد صحيح مثبت انجام مي شود اعمال دوتايي اند كه داراي خواص زير مي باشند. مثلا اگر a,b,c معرف اعداد صحيح مثبت دلخواهي باشد داريم.

۱)a+b=b+a موسوم به قانون جابجايي جمع
۲)a×b=b×a قانون جابجايي ضرب
۳)c+b +a=c+(b+a) قانون شركت پذيري جمع

۴)(c×b×a= b×a قانون شركت پذيري جمع
۵)(c×a)+(b×a)=(c +b)×a قانون توزيع پذيري ضرب نسبت به در اوائل قرن نوزدهم جبر صرفا حساب علامتي تلقي مي شد به عبارت ديگر به جاي كاركردن با اعداد معين به طريقي كه در حساب عمل مي شود، در جبر حروفي را كه معرف اين اعداد به كادمي مي جويم در اين صورت در اين صورت پنج عمل بالا در جبر بروي اعداد صحيح مثبت صادق اند ولي چون گزاره ها علامتي هستند اين خواص را ميتوان به عنوان خواص دستگاههاي عناصر ديگري كاملا متفاوت با اعداد نيز تلقي كرد به عبارت ديگر يك ساختار جبري مشترك پنج خاصيت اسامي وپيامدهاي آن به بسياري از دستگاهها متفاوت وابسته است لذا باچنين ديدگاهي جبر با حساب گسسته درارتباط است.

اين ديدگاه جديد در اوايل قرن نوزدهم با كار جورج پيكاك فارغ التحصيل ومعلم كمبريج وسرپرست كليساي ايلي پديدر شد وي با مقايسه جبر با اصول اقليدس توانست براي خود عنوان اقليدس جبر را كسب نمايد او بين جبر نمايدي وجبر حسابي تمايز قائل شد بدين ترتيب كه تفريق در جبر نمادي با تفريق در جبر

حسابي متفاوت است از اين جهت كه در اولي اين عمل همواره انجام پذير است ولي در دومي مثلا در تفريق a-b بايد داشته باشيم a>b توجيه تعميم اين قواعد جبر حسابي براي جبرنمادي توسط پيكاك اصل تداوم صورتهاي معادل ناميده شد. جبر نمادي پيكاك يك جبر حسابي عام است كه اعمال ان تا وقتي كه درجبر بطور مشترك پيش مي روند توسط اعمال جبر حسابي تعيين مي شوند ودر ساير موارد بر طبق اصل تداوم صورتهاي معادل معين مي گردند بعنوان مثال

در نظريه نمادها اگر a يك عدد گوياي مثبت و nعددي صحيح ومثبت باشد آنگاه an حاصلضرب n باد a درخود است از اين تعريف نتيجه مي شود كه به ازاي هر دو عدد صحيح مثبت مانند m و n ، بنابر اصل تداوم صورتهاي معادل پيكاك پذيرفت كه در جبر نمادي ماهيت پايه يا نمادهاي n,m هر چه باشند داريم در اوايل قرن

نوزدهم قابل تصور نبود كه جبري متفاوت با جبر معمولي حساب موجود باشد مثلا كوشش براي ساختن جبر سازگاري كه در آن قانون جابجايي ضرب برقرار نباشد نه تنها احتمالا در آن زمان به ذهن كسي نمي رسيد بلكه حتي اگر هم به ذهن كسي خطور مي كرد مطمئنا به عنوان فكر كاملا مسخره اي دورافكنده مي شد با همه اينها چگونه مي شد احتمالا جبري منطقي داشت كه در آن b×a مساوي a×bنباشد درباره جبر احساس چنين بود تا آنكه در سال ۱۸۴۳ ويليام اوائل هميلتن بنابر ملاحضاتي در فيزيك مجبور به اختراع جبري شد كه در آن قانون جابجايي ضرب برقرار نيست. ازلحاظ رياضيدانان عصر وي يك عدد مختلط عددي بود به شكل a+bi كه در آن a و b اعداد حقيقي بودند و جمع و ضرب اعداد مختلط با در نظر گرفتن a+bi بعنوان يك چند جمله اي خطي نسبت به گذاشتن به جاي i2 ، هر جا كه ظاهر مي شد، صورت مي گرفت. بدين طريق براي مجموعه رابطه (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+di) و براي ضرب:(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)I را داريم. اگر اين نتايج را بعنوان تعريف جمع وضرب زوجهاي اعداد مختلط برگزينيم دشوار نيست

نشان دهيم كه جمع وضرب جابجايي وشركت پذير وضرب نسبت به جمع توزيع پذير. حال چون يك عدد مختلط مانند a+bi به طور كامل توسط دو عدد حقيقي b,a معين مي شود، اين فكر در هميلتن پيدا شد كه عدد مختلط را توسط زوج اعداد حقيقي مرتب اداره نمايش دهد.وي دو زوج از اين گونه اعدادمانند (c,d)(a,b) را برابر تعريف كرد اگر و فقط اگر b=d , a=c جمع وضرب چنين زوج اعدادي را وي به صورت (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc),(a,b)+(c,d)=(a+c+b+d) تعريف كرد اما

با نتايج بالا مطابقت داشته باشد با اين تعريفها بسادگي ميتوان نشان داد كه جمع وضرب زوج اعداد حقيقي مرتب جابجايي و شركت پذيرند، وضرب نسبت به جمع توزيع پذير است. البته به شرطي كه بپذيرم اين قوانين براي جمع وضرب اعداد حقيقي برقرارند. بايد توجه كرد كه دستگاه اعداد حقيقي در دستگاه اعداد مختلط نشانده شده است منظور از اين بيان اين است كه اگر يك عدد حقيقي مانند r با زوج اعداد متناظر (r,0) يكي گرفته شود، آن گاه اين تناظر تحت عمل جمع و ضرب اعداد مختلط حفظ مي شود زيرا داريم (a,0)+(b,0)=(a+b,0)(b,0)=(ab,0) در عمل به جاي عدد مختلطي به شكل (r,0) مي توان متناظر حقيقي آن يعني r را قرار داد براي بدست آوردن شكل قبلي يك عدد مختلط از شكل هميلتني آن توجه ميكنيم كه هر عدد مختلط (a,b) را ميتوان به صورت
(a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,0)+(b,0)(0,1)=a+bi

نوشته كه در آن (۰,۱) با نماد I نشان داده مي شود و (b,0),(a,0) با اعداد حقيقي b,a يكي گرفته مي شوند بالاخره ملاحظه ميكنيم كه :
i2=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1

دستگاه اعداد مختلط دستگاه اعداد بسيار مناسبي براي مطالعه بردارها و دوران در صفحه است. همپاي در تلاش براي ابداع دستگاه مشابهي از اعداد براي مطالعه بردارها و دو انها د رفضاي سه بعدي بود. در تحقيقات خود ، و بدين نتيجه رسيد كه نه تنها بايد زوج اعداد حقيقي مرتب (a,h) را كه اعداد حقيقي را در خود نشانده بود، در نظر بگيرد بلكه بايد چهار تاييهاي اعداد حقيقي مانند (a,b,c,d) را كه هم اعداد حقيقي و هم اعداد مختلط در آن نشانده شده بود، در نظر گيرد. به عبارت ديگر ،دو چنين تايي مانند (a,b,c,d) و (e,f,g,h) برابر تعريف مي شوند اگر و فقط اگر d=h,c=g,b=f,a=e هميلتن لازم ديد تا جمع وضرب چهارتاييهاي اعداد حقيقي مرتب را چنان تعريف كند، كه درحالت خاص روابط

(a,0,0,0,0)+(b,000)=(a+b,0,0,0)
(b,0,0,0,0)=(ab,0,0,0,0)+(a,0,0,0,0)
(a,b,0,0,0,0)(c,d,0,0)=(ac-bd,ad+bc,0,0)

را داشته باشد. باكواتونيون حقيقي ناميدن چنين چهارتاييهاي اعداد حقيقي مرتب هميلتن دريافت كه بايد تعريفهاي زير را براي جمع وضرب كواتونيونهاي خودتدوين كند:

(a,b,c,d)+(e,f,g,h)=(a+e,b+f,c+g,d+h),
(a,b,c,d)(e,f,g,h)=(ae-bf-cg-dh,af+be+ch-dg)
,ag+ce+df-bh,ah+bg+de-cf)
به ازاي عدد حقيقي دلخواهي مانند m، با يكي دانستن كوانيون (m,0,0,0) با m(a,b,c,d)=(0,b,c,d)m=(ma,mb,mc,md) با اين تعريفهاي مي توان نشان داد كه اعداد حقيقي واعداد مختلط بين كواترنيونها نشانده شده اند، جمع وضرب كواترنيونها جابجايي وشركت پذيرند وضرب كواترنيونها شركتپذير ونسبت به جمع توزيعپذير است. اما قانون جابجايي ضرب برقرار نسبت به جمع توزيعپذير است. اما قانون جابجايي ضرب برقرار نيست .براي ملاحظه اين مطلب در حالت خاص و كواترنيون (۰,۰,۱,۰),(۰,۱,۰,۰) را در نظر بگيريد ميتوان ديد كه (۰,۱,۰,۰)(۰,۰,۱,۰)=(۰,۰,۰,۱)

در حالي كه :(۰,۰,۱,۰)(۰,۱,۰,۰)=(۰,۰,۰,-۱)=-(۰,۰,۰۱) يعني قانون جابجايي ضرب شكسته مي شود در واقع اگرواحدهاي كواتونيوني (۰,۰,۰,۱),(۰,۰,۱,۰),(۰,۱,۰,۰),(۱,۰,۰,۰) را به ترتيب با k,j,I,1 نشان دهيم، ميتوانيم تحقيق كنيم كه جدول ضرب زير حكمفرماست يعني نتيجه مطلوب در خانه اي كه مشترك بين سطري كه سر سطر آن اولين عامل ضرب است وستوني كه سرستون آن عامل ضرب دوم است، پيدا مي شود.

K j i 1 x
K J I 1 1
-j K 1- I I
I 1- -k J J
-1 -I J K k
هميلتن گفته است كه فكر كنارگذاشتن قانون جابجايي ضرب، پانزده سال بعد از تفكر بي ثمر، موقعي كه بازنش در كناره رويال كانال نزديك دو بلين اندكي پيش از تاريك شدن هوا قدم مي زده، مثل برق در ذهنش خطور كرد وي از اين فكر دور از باور چنان به هيجان در مي آيد كه قلمتراش خود را از جيب درآورده جدول ضرب بالا را بر يكي از سنگسال پل براوم حك مي كند امروزه لوحداي كه در سنگساي پل كار گذاشته شده روايتگر اين ماجر است مي توان كواتونيون (a,b,c,d) را به شكل a+bi+cj+dk نوشت وقتي دو كواتزنيون بدين شكل نوشته مي شوند ميتوان آنها را نظير چند جمله ايهايي بر حسب k,j,I در هم ضرب كرد وسپس حاصلضرب را به كمك جدول ضرب بالا به همان شكل درآورد.
متن لوح هميلتن به شكل زير است

اينجا به هنگام قدم زدن در
شانزدهم اكتبر ۱۸۴۳ ويليام
راوئن هميلتن در بوقي از نبوغ
فرمول اساسي ضرب كواترنيونيها
i2=j2=k2=ijk=-1

در سال ۱۸۴۴، هرمان گونتر گراسمان اولين چاپ اثر مهم خود حساب توسيعها را منتشر كرد كه كه در آن دسته اي از جبرها باتعميم بيشتري نسبت به جبر كواترنيون هميلتن بسط يافته بودند به جاي اينكه فقط مجموعه هاي چهار تايي از اعداد حقيقي در نظر گرفته شوند گراسمان مجموعه هاي مرتب از n عدد حقيقي را در نظر گرفت به هر مجموعه اي مانند (x1,x2,….xn) گراسمان عدد ابر مختلطي به شكل x1e1,x2e2+….+xnen را نسبت داد كه در آن en,…,e2,e1 واحدهاي بنيادي جبرا هستند . دو عدد ابر مختبط از اين نوع نظير چند جملهايست بر حسب en,…,e2,e1 جمع وضرب مي شوند دراين صورت جمع دو چنين عددي عددي از همان نوع بدست مي دهد.براي آنكه حاصلضرب دو عدد از اين گونه عددي از همين دونوع را به وجود آورد، ساختن جدول ضربي براي واحدهاي en,…e,e مشابه با جدول ضرب هميلتن براي واحدهاي k,j,I,1 لازم است.
قبل از اتمام اين بخش يك جبر غيرجابجايي ديگر در نظر مي گيريم جبر ماتريسي كه توسط رياضيدان انگليسي آدژيكي در سال ۱۸۵۷ ابداع شد كيلي دررابطه باتبديل خطي از نوع زير متوجه ماتريسها شد

كه در آن d,c,a اعداد حقيقي اندومي توان آن بعنوان نگاشتي در نظر گرفت كه نقطه (x,y) را به نقطه مي برد. اين تبديل را ميتوان با آرايه مربعي زير در قالب نماد درآورد: كه ما آنرا يك ماتريس (مربعي از مرتبه دوم ) مي ناميم. چون دو تبديل در صورتي وفقط در صورتي يكسان هستندكه داراي ضرايب يكسان باشند ماتريسهاي را بنا به تعريف برابر مي گيريم اگر وفقط اگر d=h, c=g,b=f,a=e اگر به دنبال تبديل بالا تبديل
اين كار به تعريف زير براي ضرب ماتريسها منجر مي شود:
=
جمع ماتريسها به صورت زير تعريف مي شود:

واگر m عددي حقيقي باشد، تعريف زير را مي كنيم

در جبر ماتريسها كه اينگونه بدست مي آيد مي توان نشان داد كه جمع هم جابجايي وهم شركت پذير است واينكه ضرب شركت پذير ونسبت به جمعتوزيعپذير است ،اما ضرب همچنانكه بامثال ساده زير نشان داده ميشود جابجايي نيست،

با بسط جبرهايي با قوانين ساختاري متفاوت با قوانين جبر معمولي ،همليتن، گرآسمان، وكيلي سيل بندهاي جبر مجرد نوين را گشودند.در واقع با تضعيف يا حذف اصول موضوعه گوناگون جبر معمولي، يا با گذاشتن يك يا چند اصول موضوع به جاي اصول ديگر، كه با بقيه اصول موضوعه سازگار باشند، دستگاههاي گوناگون متعددي را مي توان مطالعه كرد به عنوان برخي از دستگاهها، دستگاههاي زير را داريم:
گروهواره ها، شبه گروهها، طوقه ها و نيمگروهها، نكواره ها گروهها، حلقه ها، حوزه هاي صحيح ،شبكه ها،حلقه هاي تقسيم ، حلقه هاي بولي ، هياتها، فضاهاي برداري، جبرهاي ژوردان و جبرهاي لي ؤكه دو جبر اخير مثال هايي از جبرهاي غيرشركت پذيرند به گونه اي كه تا به امروز بالغ بر ۲۰۰ تا ازچنين ساختارهاي جبري را مطالعه كرده اند كه بيشتر آن به قرن بيستم تعلق دارد.