فيبوناچي رشته اي از اعداد

سري فيبوناچي رشته اي از اعداد است كه توسط لئونارد فيبوناچي دا پيزا رياضي دان قرن سيزدهم كشف شد (در اصل پس از يك دانشمند ايراني دوباره كشف شد.) ما كمي از پيشينه تاريخي اين مرد اعجاب انگيز نقل مي كنيم و بعد از آن در مورد اين سري كه باعث شهرت او شد صحبت مي كنيم. زماني كه اسم كوچك اليوت مشغول تدوين تئوري خود بود مبناي محاسبات خود را سري رياضي فيبوناچي قرارداد و اين سري پايه قواعد موج شد.

در اوايل سال هاي ۱۲۰۰ لئونارد فيبوناچي از شهر پيزا كتاب معروف خود – كتاب محاسبات – را چاپ كرد كه بزرگ ترين كشف تاريخ تا آن زمان را به اروپاييان نشان مي داد. در اين كتاب سيستم ده دهي براي اولين بار نامگذاري شد و عدد صفر به عنوان مبدا در اين مقياس به كار گرفته شد.

قبل از اين تاريخ عددگذاري و شمارش با سيستم يوناني و رومي انجام شد كه جمع و تفريق كردن و ضرب و تقسيم آن كار ساده اي نبود. مخصوصاً زماني كه محاسبه گر با اعداد بزرگي سروكار داشت. در پي تلاش هاي فيبوناچي و همين طور ساده تر شدن محاسبات با اين سيستم سرانجام سيستم رومي با سيستم محاسباتي هند و عربي جديد جايگزين شد. معرفي سيستم جديد به اروپا اولين دستاورد رياضي از زمان سقوط رم باستان در ۷۰۰ سال قبل بود.

اگرچه بعدها تاريخ فيبوناچي را فراموش كرد اما اين ادعاي درستي است كه بگوييم فيبوناچي بزرگ ترين رياضي دان قرون وسطي بود.

سري فيبوناچي

در كتاب ليبرآباكي معمايي حل شده كه جواب آن رشته اعدادي به اين شرح است:

۱ و ۱و ۲ و ۳و ۵ و ۸ و ۱۳و ۲۱ و ۳۴ و ۵۵ و ۸۹ و ۱۴۴و الي بي نهايت كه امروزه به عنوان سري فيبوناچي شناخته مي شود. معما به اين شرح بوده است:

در يك محيط بسته از يك جفت خرگوش چند جفت خرگوش مي توان به دست آورد. اگر هر جفت در هر ماه يك جفت ديگر به دنيا بياورد و هر جفت توليدمثل را از ماه دوم زندگي خود آغاز كند؟

براي حل معما بايد متوجه باشيم كه هرجفت خرگوش يك ماه طول مي كشد تا به حد بلوغ برسد و دوران بارداري نيز يك ماه طول مي كشد پس تعداد خرگوش ها در دو ماه اول ثابت مي ماند (يك ماه براي به بلوغ رسيدن و يك ماه طول دوره بارداري) پس سري به صورت ۱و ۱ تا آخر ماه دوم مي شود. اين جفت طي ماه دوم باردار مي شوند و در ابتداي ماه سوم يك جفت ديگر به دنيا مي آورند. پس تعداد جفت ها در ماه سوم برابر با ۲ است همين جفت در ماه آينده نيز جفت

ديگري را به دنيا مي آورند جفت ديگر نيز طي اين ماه به بلوغ مي رسد. پس تا انتهاي ماه چهارم سري به صورت ۱و۱و۲و۳ مي شود تا انتهاي ماه پنجم از سه جفت حاضر دو جفت قبلي دوباره باردار مي شوند و دو جفت جديد به دنيا مي آورند پس تعداد جفت هاي خرگوش ها به ۵ مي رسد و سري به صورت ۱ و ۱و ۲و۳ و۵ مي شود. در ماه بعدي سه جفت از خرگوش ها فرزند به دنيا مي آورند و سري به صورت ۱و ۱و ۲و۳ و۵ و۸ در مي آيد و به همين ترتيب پيش مي رود.

برخي از جذابيت هاي رياضي سري فيبوناچي

۱- حاصل جمع هر دو عضو پياپي در اين سري عضو بعدي (بزرگ تر) در اين سري مي شود. به ترتيب ۱ به علاوه يك مي شود ۲ كه دو به علاوه يك مي شود سه كه سه به علاوه ۲ مي شود پنج و باز پنج به علاوه ۳ مي شود ۸ و به همين ترتيب ادامه مي يابد.

۲- يكي از ويژگي هاي اين سري اين است كه هر عضو به توان دو برابر است با عضو قبلي ضرب در عضو بعدي به علاوه يا منهاي ۱:

…..،۵۵،۳۴،۲۱،۱۳،۸،۵،۳،۲،۱،۱

۱+۸*۳= ۵ T5

۱-۳ ۱*۵= ۸ ۸ T

۱+۱۲*۸ = ۱۳* ۱۳

…..،

۳- عدد في، نسبت طلايي: بعد از پشت سر گذاشتن چند عضو از اعضاي سري نسبت هر عضو به عضو بزرگ تر بعدي مانند نسبت ۰۶۱۸/۰ به ۱ مي شود و هر عضو نسبت به عضو كوچك تر قبلي مانند نسبت ۱۶۱۸/۱ به ۱ مي شود. با پيش روي در سري اين نسبت دقيق تر مي شود. اين نسبت را في نام گذاري كردند كه عددي لايتناهي است… ۰۶۱۸۰۳۴/۰

في تنها عددي است كه حاصل جمع آن با عدد يك برابر معكوس آن است:

۰۶۱۸/۱=۰۶۱۸۸/۰ + ۱

اين سري جذابيت هاي رياضي ديگري هم دارد كه در اينجا به جهت اطاله كلام از ذكر آن ها خودداري مي كنيم. آن ها به اين عدد نسبت طلايي مي گويند

هر طولي را مي توان با استفاده از اين نسبت به دو قسمت كوچك تر و بزرگ تر تقسيم كرد كه نسبت قسمت بزرگ تر به قسمت كوچك تر برابر ۰۶۱۵۸/۰ باشد.

اين نسبت در طبيعت به كرات ديده مي شود. ويليام هوفر در دسامبر سال ۱۹۷۵ در مجله اسميتسون مي نويسد:… نسبت ۰۶۱۸۰۳۴/۰ به ۱ پايه رياضي شكل هاي روي كارت هاي بازي و معبد خدايان يونان- گل آفتابگردان ميوه درخت كاج گلدان هاي يوناني و شكل منظومه راه شيري (اسپيرال) است. خيلي از هنرها و صنايع دستي يوناني ها مبنايش همين نسبت است.

در حقيقت بدن انسان نيز از هر نظر چه حجم و نگاه خارجي و چه از نظر ساختار اعصاب يكي از تابلوهاي زيباي اين نسبت الهي است.

انسان از ناف به نسبت في تقسيم مي شود. در موسيقي ارتعاش نت اي به نت سي ۰۶۲۵۰۰/۰ است كه تنها ۰۰۰۶۹۶۶/۰ با نسبت طلايي فاصله دارد. اين نسبت نقش پيچيده اي در پديده هايي مانند ساختار كريستال ها، سال هاي نوري فاصله بين سيارات و پريودهاي چرخش ضريب شكست نور در شيشه تركيب هاي موسيقي ساختار سياره ها و حيوانات بازي مي كند. علم ثابت كرده است كه اين نسبت به راستي نسبت پايه و مبناي خلق جهان است.

مستطيل طلايي

مستطيل هايي كه اضلاع آن ها بر پايه نسبت طلايي ساخته شده باشند نسبت ۱۶۱۸/۱ به ۱ مستطيل هايي طلايي نام دارند.

كارهاي هنري زيادي مي توان با شناخت مستطيل هاي طلايي انجام داد. لئوناردو داوينچي يكي از افرادي بود كه ارزش والاي نسبت طلايي را فهميد و آن را نسبت بسيار مناسبي دانست.

از زماني كه هنرمندان و معماران به عمد شروع به استفاده از نسبت طلايي كردند نشان داده شد كه مخاطبان شيفتگي و شيدايي بيشتري نسبت به كارهاي آن ها از خود نشان دادند. مستطيل هاي طلايي مانند نسبت طلايي فوق العاده ارزشمند هستند. در بين مثال هاي بي شمار از وجود اين نسبت و يكي از برجسته ترين آن ها مارپيچ هاي DNA است. اين دو مارپيچ فاصله دقيقي را با هم براساس نسبت طلايي حفظ مي كنند و دور يكديگر مي تابند.

در حالي كه نسبت طلايي و مستطيل طلايي جلوه هاي زيبايي را از طبيعت و ساخته هاي دست انسان به نمايش مي گذارد، جلوه ديگري از اين شكوه وجود دارد كه زيبايي هاي تحرك را به نمايش مي گذارد. يكي از بزرگ ترين نمادهايي كه مي تواند رشد و حركات كاينات را نشان دهد، اسپيرال طلايي است.

اسپيرال طلايي

با استفاده از مستطيل طلايي مي توان اسپيرال طلايي را ترسيم كرد. هر مستطيل طلايي مي تواند به مربع هايي تقسيم شود و مستطيل هاي طلايي جديدي را به وجود بياورد و اين كار از نظر تئوري مي تواند تا بي نهايت ادامه پيدا كند. در هر مرحله از سير اسپيرال نسبت طول كمان به قطر آن ۱۶۱۸/۱ است. قطر و شعاع در چرخش نيز با نسبت ۱۱۶۱۸ نسبت به قطر و شعاع ۹۰ درجه آن سوتر متناسب هستند.

اسپيرال طلايي كه به آن اسپيرال لگاريتمي و اسپيرال متساوي الزاويه نيز مي گويند هيچ حدي ندارد و شكل ثابتي است. روي هر نقطه از اسپيرال مي توان به هر يك از دو سو تا بي نهايت حركت كرد. از يك سو هرگز به مركز نمي رسيم و از سوي خارجي نيز هرگز به انتها نمي رسيم. هسته اسپيرال لگاريتمي وقتي با ميكروسكوپ مشاهده مي شود همان منظره اي را دارد كه وقتي به اندازه هزاران سال نوري به جلو مي رويم، دارد. ديويد برگاميني در كتاب رياضياتش خاطرنشان مي كند كه منحني ستاره هاي دنباله دار از خورشيد كاملاي شبيه به اسپيرال لگاريتمي است. عنكبوت شبكه تارهاي خود را به صورت اسپيرال لگاريتمي مي بافد. رشد باكتري ها دقيقاً براساس رشد منحني اسپيرال است. هنگامي كه سنگ هاي آسماني با سطح زمين برخورد مي كنند، مسيري مانند اسپيرال لگاريتمي را طي مي كنند.

ميوه درخت كاج، اسب هاي آبي، صدف حلزون ها، صدف نرم تنان، موج هاي اقيانوس ها، سرخس ها، شاخ هاي جانوران و نحوه قرار گرفتن گلبرگ هاي گل آفتابگردان و چيدمان گل مرواريد همه به صورت اسپيرال لگاريتمي است. گردباد و منظومه ها از نگاه بيرون كاملاً در مسيري به صورت اسپيرال حركت مي كنند.

فيثاغورث براي تشريح نظم مجموعه اي شامل ۵ ستاره را انتخاب كرد كه هر كدام نسبت به ستاره كوچك تر از خود براساس نسبت طلايي بود. رياضي دان معروف قرن هفدهم، جاكوب برنولي اسپيرال طلايي را روي سنگ قبر خود حكاكي كرد. اسحاق نيوتن اسپيرال طلايي مشابهي را بر بالاي تخت خواب خود حكاكي كرد (اين تختخواب امروز در انجمن تحقيق روي جاذبه زمين در نيوبوستن وجود دارد.)