كاربرد معادلات پيوستگي

مدلي براي احتراق سوختهاي دوپايه
چكيده:
سوختهاي دوپايه مواد همگني هستند كه از اختلاط نيتروسلولز و نيتروگليسيرين (باجايگيري مولكول هاي نيتروگليسرين روي زنجيره هاي مولكولي نيتروسلولز ) و اندكي افزودني هاي ديگر بدست مي آيند و يك مخلوط همگن را شكل مي دهند. هر دو جزء اصلي سوختهاي دوپايه قابل انفجار مي باشند. در اين نوع سوختهاي جامد توزيع سوخت و اكسيدان كاملا” همگن و يكنواخت است، يعني دركنار هر واحد ساختماني از سوخت يك مولكول از اكسيدان مي باشد تا فرآيند احتراق انجام گيرد. شرايط حاكم بر احتراق در ارتباط مستقيم با پارامترهايي مانند سرعت سوزش، انرژي سوخت و دماي نواحي احتراق مي باشد. در اين مقاله مدلي براي احتراق سوختهاي دوپايه بررسي مي گردد تا ارتباط سرعت سوزش با فشار محفظه، دماي ناحية FIZZ ZONE و مقدار انرژي سوخت مشخص گردد.
۱- مقدمه
احتراق واكنش بين دو جزء سوخت و اكسيد كننده است كه با آزاد سازي انرژي همراه مي باشد. در فرآيند احتراق، ناحيه اي از سوخت كه در آن واكنش هاي شيميايي رخ مي دهد و با مصرف شدن مولكول هاي سوخت ( Reactant) مولكول هاي محصولات ناشي از احتراق ( Product ) توليد مي شوند، ناحية شعله (جبهه شعله يا موج احتراقي Flame front) نام دارد. در اين ناحيه واكنش هاي سريع شيميايي موجب آزاد شدن نور و حرارت مي گردد.

فرآيند احتراق بر اساس نحوة شكل گيري شعلة آن، شامل دو نوع كلي زير است :
• شعلة Premixed: در اين شعله، مواد سوخت و اكسيد كننده قبل از رسيدن به جبهه احتراق بطور كامل با يكديگر مخلوط (حالت پيش مخلوط )مي شوند.
• شعلة Diffusion: دراين شعله اجزاء در حين عبور از ناحية شعله در يكديگر منتشر و مخلوط مي شوند.
سوختهاي دوپايه از اجزاء نيتروسلولز و نيتروگليسيرين تشكيل شده اند كه به دليل هموژن بودن آنها شعلة Premixed را ايجاد مي كنند. كاربرد اين سوختها از دهة ۱۹۴۰ ميلادي توسعه يافته و تاكنون ادامه دارد.
از احتراق سوختهاي دوپايه چند ناحيه احتراقي تشكيل مي گردد كه در شكل (۱) نواحي مختلف حاصل از سوزش سوخت هاي دوپايه نشان داده شده است. در احتراق اين نوع از سوختها پنج ناحيه جداگانه تشكيل مي شود. كه دوناحيه در فاز جامد وسه ناحيه آن در فاز گاز قرار دارد. نواحي فاز جامد عبارتند از ناحيه پيش گرم (Preheated Zone) و ناحيه خميري

شكل۱- نواحي احتراق در يك سوخت جامد دوپايه

(Foam Zone). ناحيه پيش گرم در واقع همان ناحيه اي از فاز جامد ( سوخت) است كه درمعرض غير مستقيم حرارت ناشي از جبهة احتراق (‌شعله) قراردارد، ولي هنوز جبهه شعله به آن نرسيده است، بنابراين اين سطح هنوز هيچگونه فعل و انفعالي ندارد. ناحيه خميري مرز بين فاز گاز وجامد است. جبهه شعله با پيشروي در اين ناحيه سطح جامد را خميري مي كند، از مشخصات اين ناحيه تجزيه سوخت وافزايش ناگهاني درجه حرارت آن است. تجزيه سوخت در اين ناحيه با هم گسيختگي انرژي زاي باند CO-NO2 شروع مي شود و همزمان با اين اتفاق تجزيه ديگر اجزاء نيز شروع شده و تركيباتي از NO2 و NO از سطح درحال سوزش پديد مي آيد فرآيند تجزيه فوق غالباً – درناحيه احتراق – يك فرآيند گرماز است.نواحي فاز گازي عبارتند از سه منطقة : ناحية فيــز( Fizz zone )، ناحيه سياه (Dark zone) و ناحية لومينوس (Luminous zone). مهمترين ناحيه FIZZ ZONE مي باشد كه تغيير در آن معمولاً بيشترين تأثير را بر خواص بالستيكي سوخت و انرژي آن دارد در اين مقاله مدلي براي احتراق سوختهاي دوپايه پيشنهاد و ارتباط سرعت سوزش با فشار محفظه، دماي FIZZ ZONE و مقدار انرژي سوخت مشخص مي گردد و انطباق آن با نتايج تجربي بررسي مي شود. ]۱[، ]۲[، ]۳[، ]۷[
۲- تحليل تئوري احتراق سوختهاي جامد
تحقيقات انجام شده روي احتراق سوختهاي جامد باعث درك اتفاقاتي شده است كه درفاز گاز و فازجامد روي سطح سوزش سوخت جامد انجام مي گيرد.بر اين اساس دو ديدگاه كلي در مورد سوختهاي مركب وجود دارد:
در ديدگاه اول از اثر فاز جامد روي احتراق سوخت جامد صرفنظر مي گردد.
در ديدگاه دوم اثر فاز جامد به صورت جدي وارد مدلهاي رياضي شده است.
در ديدگاه اول فقط فاز گاز مد نظراست و صرفا” معادلات انرژي و بقاي جرم حل مي گردد ولي در ديدگاه دوم هم فاز جامد وهم فاز گاز مدل شده است و معادلات بقاء براي احتراق فاز جامد و گاز ابتدا خطي شده وسپس با اعمال شرايط مرزي مناسب حل مي گردد. لازم به ذكر است كه در تمام اين معادلات براي «نرخ پسروي سطح سوزش » از« قانون آرهنيوس» استفاده مي گردد، مدلهاي فاز گازي مي توانند روند سوزش و پارامترهاي وابسته به آن را پيش بيني كنند ولي نمي توانند اثرات پارامترهائي چون «اثر ذرات ريز فلزي و توزيع آنها »را توجيه كنند، همچنين مدلهاي فاز گازي نمي توانند اثرات پارامترهاي زير را پيش بيني كنند:
الف) اثر تغيير بايندر روي نرخ پسروي سطح درحال سوزش ( Changing the binder )
ب) دماي سطح در حال سوزش ( The surface temperature )
ج) آزاد سازي انرژي فاز جامد ( Condensed phase heat release )
د) حساسيت نرخ سوزش به تغييرات دما ( Temperature sensitivity )
ه) اثر كاتاليست ها( The effects of catalysts )
و) تغييرات n بافشار (r : سرعت سوزش (نرخ پيشروي جبهة احتراق )كه بصورت است )
از سوي ديگر مدلهائي نيز كه براساس فازجامد بنا شده است، قابليت مدل سازي انرژي آزاد شده از فاز جامد و نيز حساسيت نرخ سوزش نسبت به دما و اثرات كاتاليست ها را دارند ولي نمي توانند بستگي سرعت پسروي سطح سوخت به فشار را توجيه كنند. Summerfield و همكارانش در سال۱۹۶۰ مدلي بنام GRANULAR DIFFUSION FLAME ارائه كردند. در اين مدل فرض بر آنست كه حرارت لازم براي ادامه احتراق سطح درحال سوزش از شعلة نفوذي (DIFFASION FLAME) روي مرز كه از بخارات سوخت و اكسيدان ايجاد شده است به وجود مي آيد. سرعت احتراق با مكانيزم نفوذ درحين اختلاط بخارات سوخت و اكسيدكننده و واكنش همگن در فاز گاز مرتبط است. دراين مكان سطح سوزش خشك فرض مي گردد. رابطه اي كه مطابق با اين مدل براي نرخ سوزش استخراج مي گردد عبارتست از : كه ثابت هاي نيمه تجربي a و b به « واكنش همگن درفاز گاز» و «نرخ نفوذ» مربوط است. اين تئوري در مقادير زير ۱۰۰ bar نتايج خوبي نشان مي دهد.
۳- معادلات حاكم بر احتراق سوخت هاي جامد
در اين بخش سعي برآنست تا معادلات حاكم برمدل احتراق سوختهاي جامد ارائه گردد به اين منظور ابتدا يكسري فرضيات جهت ساده سازي ومدلسازي رياضي انجام مي گيرد كه در زيربه آنها اشاره مي شود:
الف) مسئله به صورت يك بعدي بررسي مي گردد، احتراق فاز گاز به صورت آرام (LAMINAR ) فرض مي شود، عمود برمقطع ميدان جريان خواص ثابت فرض مي شود، چون بررسي حالت گذرا كه ميدان جريان از آرام به متلاطم (TURBULENT) انتقال مي يابد بسيار مشكل است .
ب) انتقال از فاز جامد به فاز گاز در يك صفحه انجام مي شود.شكل (۲)

شكل ۳- منحني تغييرات دما در ناحية سوزش شكل ۲- مراحل تغيير فاز در سوخت جامد

ج) دماي گاز پائين است و دماي شعله همان دماي آدياباتيك شعله حاصل از احتراق است ( ).
ه) انتقال حرارت هدايتي از پائين به بالادست (سطح فاز جامد) ناچيز فرض مي شود.
و) انرژي آزاد شده بوسيله واكنش شيميائي باعث مي شود فاز جامد دماي خود را از در داخل فاز جامد به در «مرز بين فاز جامد-گاز » روي سطح سوزش، برساند. اين انرژي همچنين باعث تغيير فاز و رسيدن دماي گاز به مي شود.
ز) از جذب انرژي تشعشعي و واكنش شيميائي در فاز گاز.و از اثرات لزجت صرفنظر مي گردد.
براي معادلات بقا در فاز جامد سه فرض ساده كننده ديگر براي معادلات فاز جامد صورت مي گيرد:
ح) فاز جامد، غيرقابل تراكم، همگن و ايزوتروپ فرض مي شود.
ط) «قابليت هدايت حرارت »و «حرارت ويژه (Cp) » در فاز جامد شديدا” به دما وابسته است.
ك) واكنش تجزيه و شيميائي روي مرز جامد، گاز رخ مي دهد.
از آنجا كه فشار در فاز جامد ثابت است ، براي مدل كردن فاز جامد از معادله انرژي استفاده مي گردد.طبق شكل (۳)
(۱)
عموما” سرعت سوزش r به صورت تابعي از زمان در نظر گرفته مي شود، بنابراين معادله بالا بايد به صورت عددي حل گردد.در معادله فوق براي حالت احتراق پايــا (پايدار) از تغييرات زمان صرفنظر مي گردد: ( : دانسيته سوخت)
(۲)
و شرايط مرزي براي حل معادله بصورت زير است :
(۳)
حال با يكبار انتگرال گيري رابطه زير بدست مي آيد:
(۴)
با انتگرال گيري مجدد رابطه زيربدست مي آيد( : ضريب پخش حرارتي):
(۵)
حال با قراردادن شرايط مرزي ثوابت و به صورت زير بدست مي آيد:
(۶)
براي شرايط در مرز گاز-جامد،اگر سرعت پسروي سطح سوزش در را برابر با نرخ سوزش r بدانيم، آنگاه معادله پيوستگي مطابق شكل (۳) به صورت زير است: (ug: سرعت گاز، hs,p: انتالپي فرايند در شرايط ايزوبار و ايزنتروپيك)
(۷)
(۸)
در معادلات فوق ترم آنتالپي شامل گرماي واكنش (HEAT OF REATION) و حرارت لازم براي تغيير فاز است. اگر اين آنتالپي را با نشان دهيم : (hs,g: انتالپي فرايند در شرايط گيبس ثابت و ايزنتروپيك)
(۹)
براي تنظيم معادلات بقا درفاز گاز نيز باتوجه به شكل (۳) ، معادله پيوستگي و معادلة بقاي ذرات واكنش دهنده به صورت زير است :
(۱۰)
كه نرخ توليد iامين ذره بوسيله واكنش شيميائي است.
از طرفي مي‌توانيم با استفاده از تعريف نسبت جرمي بنويسيم : (Yi: براي جزء iام مخلوط گازي)

(۱۱)
همچنين سرعت i امين ذره ( ) رامي توان براساس مجموعي از متوسط سرعت گاز ( ) وسرعت نفوذ iامين ذره نسبت به بردار سرعت متوسط ( ) چنين نوشت :
(۱۲)
(۱۳)
باتوجه به رابطه پيوستگي براي فاز گاز ( ) و فرض آنكه قانون فيكس
(FICKS DIFFUSION LAW ) بر قرار است و تمام ذرات داراي ضريب نفوذ (D) يكسان هستند، درآنصــورت:
(۱۴)
باتوجه به رابطه (۱۴) معادله(۱۳)بصورت زير بازنويسي مي گردد :
(۱۵)
درمعادله بقاي انرژي از e براي كل انرژي داخلي (جنبشي وحرارتي) و كاري كه توسط نيروهاي فشاري ( ) انجام مي شود،استفاده مي گردد، لازم به ذكر است كه هر ذره با خود آنتالپي خويش را نيز با نرخ منتقل مي كند.درآنصورت خواهيم داشت :

(۱۶)
باتوجه به تعريف معادلة (۱۶)را به فرم زير نيز مي توان نوشت :
(۱۷)
و باتوجه به رابطه (۱۰)رابطه فوق بصورت زير بازنويسي مي گردد :
(۱۸)
وبا قراردادن درطرف چپ رابطه فوق داريم :
(۱۹)

كه در رابطه فوق : مي باشد و Cgi مقداري است كه از رابطةبدســت مي آيـد و اسـت كه Q حرارت ناشي از واكنــش است(HEAT OF REACTION) و سرعت واكنش است. بنابراين سمت راست رابطه (۱۹) بصورت زير بازنويسي ميشود :
(۲۰)
و نهايتا” به كمك روابط (۲۰) و (۱۹) معادله بقاي انرژي بصورت زير بازنويسي مي گردد :

(۲۱)
reaction diffusion conduction press. convection
اگر فرض شود كه حرارت ويژه تمام ذرات يكي است معادلات حاكم بصورت زيرساده تر مي گردد:

بنابراين معادله (۲۱) بصورت زير ساده تر مي گردد :
(۲۲)
معادله فوق معادله بقاي انرژي براي حالت گذرا است. درحالت پايا معادله (۲۲) بصورت زيرساده ميشود:
(۲۳)
معادله (۲۳) بافرض آنكه واكنش شيميائي در لاية بسيار نازكي در فاصله از مرز گاز وجامد اتفاق مي افتد، مي تواند مورد حــل قرار گيرد:
(۲۴)

(۲۵)

حال اگر باشد معادله(۲۳) بصورت زير در مي آيد :
(۲۶)
وبا اعمال شرط مرزي و داريم :
(۲۷)

(۲۸)

دررابطه بالا m همان شار جرمي ( ) است.حرارت واكنش را نيز مي توان بصورت زير بدست آورد :
(۲۹)
و پس از انتگرال گيري
(۳۰)
از طرف ديگر حرارت واكنش در روي سطح سوزش را نيزمي توانيم به صورت زير محاسبه كنيم :
(۳۱)
بكمك مدل ارا‌ئه شده براي احتراق سوخت هاي دوپايه مي توانيم برخي خواص مشخصة ناحية احتراق آنها را به كمك استفاده از مقادير
ثابت گازي و ترموشيميايي و نيز اطلاعات مربوط به سوخت محاسبه كنيم، برخي از اين اطلاعات عبارتند از فشار و دماي متوسط
گازهاي ناشي از احتراق، وزن مولكولي متوسط محصولات در فاز گازي، نرخ سوزش سوخت جامد و ضريب هدايت حرارتي در سوخت
جامد وضريب هدايت حرارتي متوسط در فاز گازي (محصولات احتراق). بدين ترتيب پس از تعيين پروفيل دما در ناحية احتراق و با اين
فرض كه در ناحية جامد هيچ نوع حرارت ناشي از تغيير فاز نداشته باشيم، براي شار حرارتي خروجي از سطح سوخت جامد داريم:
]۴[، ]۵[، ]۶[، ]۷[، ]۸[، ]۹[ و ]۱۰[
(۳۲)

(۳۳)
كه حرارت واكنش گرماگير براي Gasification در سطح سوخت جامد است، حال اگر و رابعنوان ارتفاع موج حرارتي در سوخت جامد و در فاز گازي در نظر بگيريم آنگاه مي توانيم آنها را بصورت زير معرفي كنيم:
(۳۴)

۳- نتايج تجربي
يكي از پارامترهاي مهم در طراحي سوخت، سرعت سوزش آن مي باشد كه به طور معمول از تستهاي تجربي بدست مي آيد. در معادلات
(۵ و۶) ارتباط دمايي لايه هاي سوخت و سرعت سوزش بدست آمده است كه با افزايش دماي گرين و لايه هاي سوخت سرعت سوزش
افزايش مي يابد. در معادله (۳۰) نشان داده مي شود كه با افزايش انرژي سوخت دماي نواحي مختلف شعله افزايش مي يابد كه براي
منطقه fizz zone در يك سوخت با بايندر دوپايه اين ارتباط در شكل (۴) نشان داده شده است (اندازه گيري دما توسط يك فتوترمومتر با بيم
ليزر صورت پذيرفته است). همچنين در شكل (۴) ملاحظه مي گردد كه با افزايش فشار بدليل كامل شدن فرايند احتراق در ناحية
fizz zone دما افزايش مي يابد. در شكل (۵) نحوة افزايش سرعت سوزش با افزايش انرژي سوخت و فشار محفظه نشان داده مي شود. د
ر شكلهاي (۴ و ۵) مقدار حاصل از محاسبه تئوري با خطوط نقطه چين نشان داده شده است.

شكل۵- ارتباط سرعت سوزش با فشار محفظه و انرژي سوخت شكل۴- ارتباط دماي Fizz zone با انرژي سوخت در فشارهاي مختلف

۴-بحث و نتيجه گيري
۱- با توجه به معادلات مطرح شده در تحليل احتراق سوختهاي دوپايه مي توان با استفاده از خصوصيات سوخت جامد و بدست آوردن پروفيل دما در سطح سوزش، ضخامت امواج حرارتي را در نواحي سوخت جامد و گازهاي ناشي از احتراق محاسبه كرد.
۲- با افزايش انرژي سوخت سرعت سوزش و دماي نواحي مختلف شعله افزايش مي يابد.
۳- دماي اوليه سوخت در سرعت سوزش آن مؤثر است و با افزايش آن سرعت سوزش زياد مي گردد.
۴- با افزايش فشار، احتراق در ناحية fizz zone كاملتر شده و دماي آن ناحيه افزايش مي يابد كه بهترين حالت در سوختهاي دوپايه در فشار بالاتر از ۱۰۰ اتمسفر ايجاد مي گردد.