هندسه بردار ها

این مقاله دارای تصاویر است که در سایت قابل مشاهده نیست .
بردارها:
بردار: دارای بزرگی و جهت است، بردارها از قاعده ترکیب (برداری) خاصی پیروی می کنند.
لیست برداری: کمیتی است که هم بزرگی و هم جهت دارد و بدین سبب می توان آن را با یک بردار نمایش داد.
برخی کمیتهای فیزیکی، از جمله جابجایی، سرعت و شتاب کمیتهای برداری دارند.
همه کمیتهای فیزیکی جهت ندارند، مثلاً دما، انرژی، جرم و زمان جهت خاصی را در فضا نشان نمی دهند این نوع کمیتها را نرده ای گویند و محاسبه های مربوط به آن با قاعده های جبری عادی انجام می شود.
ساده ترین کمیت برداری، جابجایی یا تغییر مکان است. برداری که جابجایی را نشان می دهد، بردار جابجایی نامیده می شود.

جمع کردن بردارها به روش هندسي :
شکل۱-۱ روش هندسي مربوط به جمع کردن بردارهاي دو بعدي a و b را نشان مي دهد.
جمع برداري که به اين صورت تعريف مي شود دو خاصيت مهم دارد.
نخست ترتيب جمع کردن بردارها اهميتي ندارد. جمع کردن a و b همان نتيجه جمع کردن b با a را بدست مي دهد.
يعني (قانون جابجايي) a+b=b+a
دوم، هر گاه بيش از دو بردار داشته باشيم، براي جمع کردن مي توانيم آنها را به هر ترتيبي که بخواهيم گروه بندي کنيم اگر بخواهيم بردارهاي aوbوc را جمع مي کنيم مي توانيم نخست aوb را جمع کنيم و سپس مجموع اين دو را با c بدست آوريم . همچنين مي توانيم نخست bوc را جمع و سپس آن مجموع را با a جمع کنيم نتيجه اي را که به دست مي آوريم براي هر دو يکسان است يعني:
( قانون شرکت پذيري)
برادار b برداري است که همان بزرگي بردار b را دارد اما جهتش مخالف است . با جمع کردن اين دو بردار داريم:

بنابراين جمع کردن –b همان اثر تفريق کردن b را دارد . از اين خاصيت براي تعرةيف تفاضل دو بردار استفاده مي کنيم .
فرض مي کنيم: پس (تفريق برداري)
يعني براي تعيين بردار تفاضل ، بردار را با بردار جمع مي کنيم.
مؤلفه هاي بردارها :
مؤلفه ي يک بردار تصوير يک بردار بر روي يک محور است.
مولفه هاي يک بردار براي به دست آوردن مولفه هاي (نرده اي) هر بردار و معدن ، در راستاي محورهاي مختصات، از انتهاي بردار خط هايي بر محور هاي مختصات عمود مي کنيم.
مؤلفه هاي بردار عبارت انداز :

که در آن زاويه ميان محور x مثبت و بردار a است. علامت جبري يک نقطه جهت آن رادار روي محور مربوط نشان مي دهد. با در دست داشتن مؤلفه هاي بردار ، مي توان بزرگي سمتگيري آن را معين کرد:
و
مثال: هواپيماي کوچکي در يک روز ابري مسافت km215 را در جهت ۲۲ درجه شرقي محور شمالي مي پيمايد.
هواپيما از نقطۀ آغاز حرکتش چه مسافتي را به سمت شمال و چه مسافتي را به سمت مشرق پيموده است؟
حل: دستگاه محورهاي مختصات xy را طوري رسم مي کنيم که در آن جهت مثبت محور x به سمت مشرق و جهت مثبت محور y به سمت شمال باشد، براي آساني مبدأ مختصات را در محل فرودگاه در نظر مي گيريم.
جهت بردار جابجايي هواپيما d ، از مبدأ مختصات به طرف مقصد است.
براي پيدا کردن مؤلفه هاي d ، با استفاده از معادلۀ (۱-۴) به ازاي (مساوی ) داريم:

برداريکه :
برداري است که بزرگي آن دقيقاً ۱ و داراي جهت خاصي است.
بردارهاي يک در جهت هاي مثبت محورهاي x و y وz را ، به ترتيب با نمايش مي دهند. بردارهاي يکه براي بيان ساير بردارها بسيار مفيد هستند؛ مثلاً بردارهاي و را مي توان به صورت زير نوشت:
(۱-۷) (۱-۶)
بردارهاي يکه داراي بزرگي واحدند و به ترتيب ، در جهات هاي مثبت محورهاي x و y وz يک دستگاه مختصات راستگرد قرار دارند. بردار بر حسب بردارهاي يکه به صورت نوشته مي شود:
(۱-۸)
که در آن مولفه هاي برداري بردار مؤلفه هاي نرده اي آن بردارند.
جمع کردن بردارهاي با استفاده از مولفه هاي
براي جمع کردن بردارهاي به کمک مولفه ها ، از رابطه هاي زير استفاده کنيم:
(۱-۹) ، (۱-۱۰) ، (۱-۱۱)
در اينجا و بردارهايي هستند که بايد با هم جمع شوند و مجموع برداري است.
بردارها و قانون فيزيک
هر شرایط فیزیکی را که در آن بردارها دخالت داشته باشند با استفاده از دستگاههای مختصات ممکن می توان توصیف کرد . ما معمولاً از دستگاه مختصاتی استفاده می کنیم که وضعیت را ساده تر کند.
ضرب کردن یک بردار در یک نرده ای :
حاصلضرب نرده ای s در بردار ، یک بردار جدید است که بزرگی آن sv است. جهت این بردار،اگرs باشد هم جهت با بردار واگر s منفی باشد، در مخالف جهت بردار است. براس تقسیم کردن و s ، بردار را در ضرب می کنیم.
ضرب نرده ای (یا ضرب نقطه ای)
دو بردار و به صورت . نوشته می شود و کميتي نرده اي است که از رابطه زير بدست مي آيد:

در این رابطه زاویه میان بردارهای و است. حاصل ضرب نرده ای ، بسته به مقدار ، ممکن است مثبت، صفر يا منفي باشد. حاصل ضرب نرده اي ، از ضرب کردن بزرگي يکي از بردارها ، در مولفۀ بردار ديگر در راستاي بردار اول به دست مي آيد
با استفاده از نمادگزاري بردارهاي يکه مي توان نوشت:

اين رابطه را مي توان با استفاده از قانون توزیع پذیری بسط داد . توجه کنید که
مثال:
زاویه میان بردارهای و چقدر است؟
حل :

زاويه ميان بردارها در جمله اول صفر، و در جمله هاي ديگر درجه است بنابراين داريم:

ضرب برداري (با ضربدري)
دو بردار نوشته مي شود کميتي برداري مانند است، که بزرگي آن از رابطه زير بدست مي آيد :
در اين رابطه زاويه کوچکتر ميان بردارهاي و است. بردار بر صفحه شامل بردارهاي و عمود است و با قاعده دست راست معين مي شود توجه کنيد . با استفاده از نمادگذاري بردارهايي که مي توان نوشت :

مثال : اگر داشته باشيم و ، حاصل ضرب برداري را پيدا کنيد.
حل:

براي جملۀ اول زاويه ميان دو بردار صفر است. براي جمله هاي ديگر، برابر با است درنتيجه داريم:

بردار بر هر دو بر و عمود است.
مسائل مربوط به بردارها :
۱-دو بردار و را با هم جمع مي کنيم. نشان دهيد که بزرگي برآيند آنها نمي تواند بزرگتر از يا کوچکتر از باشد ، که در آن خطوط قائم معرف قدر مطلق کميت را نشان مي دهند؟
حل: به فرض باشد مي توان نوشت
اگر زاويه بين دو بردارa وb باشد پس
از آنجايي که است پس
و یا
در نتیجه خواهیم داشت :
۲- اتومبيلي مسافت km50 را در جهت شرق ، پس km30 را در جهت شمال ، و آنگاه km25 را در جهت شرق شمال طي مي کند، نمودار برداري اين حرکت را رسم کنيد و جابجايي کل اتومبيل را نسبت به نقطه شروع حرکت آن به دست آوريد.

برای جابجایی کل ( ) می توان نوشت

۳-گلف بازی به هنگام بازی برای اینکه خود را در حفره مورد نظر بیندازد سه ضربه به آن می زند. ضربه اول توپ را به اندازه m6/3 به سمت شمال، ضربه دوم آن را m8/1 به سمت جنوب شرقی، و ضربه سوم توپ را به اندازه m9/0 سمت جنوب غربی می اندازد. چه جابجایی لازم است تا توپ با اولین ضربه در حفره بیفتد؟

۴- مجموع جابجاییهای برداری cوd را که مولفه های آنها برحسب کیلوکتر در راستای سه محور عمود برهم به صورت زیر هستند پیدا کنید.

۵٫ دوبردار به صورت a=4i-3j+kو b=-i+j+4k داده شده اند پیدا کنید (الف) a+b (ب) a-b و (ج) برداری مانند c به طوری که a-b+c=0 باشد.