چكيده :
در اين مقاله يك مدل جديد را برا ي تعيين اندازه بهينه بلوك در سيستم صف بلوكي با يك كانال خدمت دهي و دريافت خدمت در حين رانندگي، معرفي مي كنيم.
در يك سيستم بلوكي، صف انتظار به دو قسمت فعال و غير فعال تقسيم بندي مي شود. در قسمت غير فعال از رانندگان خواسته مي شود تا خالي شدن قسمت فعال صف، خودرو خود را خاموش كنند.

در اين مدل، يك اندازه مشخص براي بلوك ( بعنوان مثال ماكزيمم تعداد خودرو در قسمت فعال صف ) پيشنهاد مي شود كه در آن ميزان مصرف سوخت در كل سيستم مينيمم مي شود.
در اين مدل مي توان تاثير شدت رفت و آمد، تغييرات زمان سرويس و نسبت رانندگاني قبول كننده ( جهت خاموش كردن ماشين خود ) بر اندازه بهينه بلوك و مصرف سوخت در كل سيستم را تشخيص داد.

۱- معرفي
ما يك استراتژي مديريت صف با عنوان صف بندي بلوكي و خدمت گيري در حين رانندگي را براي كاهش مصرف سوخت در نظر مي گيريم. مشتريان با وسيله نقليه خود جهت دريافت خدمت از يك كانال خدمت دهي وارد سيستم مي شوند. نظام خدمت دهي براساس روش FIFO مي باشد.
صف به دو قسمت تقسيم بندي مي شود: صف فعال (قسمت فعال صف) و صف غيرفعال(قسمت غير فعال صف). ماكزيمم تعداد خودرو در قسمت فعال صف را اندازه بلوك گويند. از رانندگاني كه در قسمت غير فعال صف هستند خواسته مي شود كه موتور خودرو خود را خاموش كنند تا وقتي كه قسمت فعال صف خالي شود. (بعضي از رانندگان ممكن است پيروي نكنند.) هنگامي كه قسمت فعال صف خالي شد، وسائط نقليه در قسمت غيرفعال صف تا جايي كه مقدور است بسمت جلو حركت مي كنند و مجدداً از خودروهايي كه در قسمت غير فعال صف هستند خواسته مي شود كه اتومبيل خود را خاموش كنند.

Fricker و Tsay (1985) استدلال مي كنندكه ورود مشتريان با خودرو جهت دريافت خدمت، سبب مصرف بيهوده سوخت و بدتر شدن كيفيت هوا مي شود. آنها ترجيح مي دهند كه مشتريان، ماشين خود را پارك كنند و پياده جهت دريافت سرويس مراجعه كنند.

مدل صف بندي بلوكي در عين حالي كه راحتي مراجعان را حفظ كرده، ميزان سوخت مصرفي و در نتيجه تاثيرهاي مخرب بر محيط زيست را به حداقل مي رساند.
Doughety (1997) مدل بهينه كردن اندازه بلوك را بمنظور كمينه كردن سوخت مصرفي با ايجاد توازن بين هزينه روشن كردن ماشينها در قسمت غير فعال صف و هزينه كار كردن ماشينها در تمام زمانها، ارائه داد . اين مدل مشابه مدل كلاسيك كنترل موجودي (EOQ) است كه ميزان بهينه سفارش را محاسبه مي كند. او اندازه بلوك را بصورت زير پيشنهاد كرد:

p : متوسط تعداد وسيله نقليه در صف غير فعال.
f : ميزان سوختي كه موتور جهت روشن شدن مصرف مي كند.
i : نرخ مصرف سوخت براي ماشينهاي روشن.
s : متوسط زمان سرويس دهي.

Doughety پارامترهاي ديگري را در مدل هزينه اي خود مي آورد ولي اندازه بلوك وابسته به آن پارامترهاي اضافي نيست .
ما يك مدل بهبود داده شده را براي بهينه سازي اندازه بلوك معرفي مي كنيم كه در آن از پارامترهاي استاندارد مدل هاي صف بندي استفاده مي كند.
همانطور كه مي دانيم متوسط طول صف انتظار ( ) براي مدلهاي M/G/1 بصورت زير مي باشد:

: نرخ ورود به سيستم.
: نرخ سرويس دهي.
: واريانس زمان سرويس دهي.
: شدت رفت و آمد.

ما يك حالت كلي از واريانس زمان سرويس را در نظر مي گيريم. در اين مدل اثر و و نرخ پذيرش در صف غير فعال بر ميزان سوخت مصرفي ارزيابي مي شود.
Berglin (2003) از شبيه سازي رخدادهاي گسسته بمنظور طراحي و آناليز سيستم صف بندي بلوكي براي يك رستوران fast food استفاده كرد .

۲- مدل بهبود داده شده براي بهينه ساري اندازه بلوك
ما فرآيند ورود را براساس توزيع پواسن با نرخ ورود در نظر مي گيريم. Doughety هيچ فرضي در مورد ورود به سيستم صف در نظر نگرفته است .
ما سيستم صف با يك كانال ورودي و مدل M/G/1 در نظر مي گيريم. و . در اينحالت اگر باشد فرآيند سرويس دهي ، قطعي خواهد بود و مدل بصورت M/D/1 در خواهد آمد و اگر باشد سيستم صف بصورت M/M/1 و زمان سرويس دهي براساس توزيع نمايي خواهد بود. تحت فرض واريانس زمان سرويس دهي خواهيم داشت :

علاوه بر پارامترهاي ، ، ، ، كه توسط Doughety معرفي شد، ما b را بعنوان اندازه بلوك و بعنوان نسبت رانندگان تابع اين مدل بندي در قسمت غير فعال صف، طول متوسط خودرو و v سرعت خودرو كه در صف رو به جلو حركت مي كند.
ما ۳ فرض را در نظر مي گيريم :

۱- اينكه ، بعبارتي ، در غير اينصورت حدي براي متوسط طول صف نمي تواند وجود داشته باشد.
۲- ، در غير اينصورت اتومبيل بدون توقف مي تواند به آرامي در طول سيستم حركت كند.

۳- اتومبيل كه در طول صف حركت مي كند با اتومبيلي كه روشن است وحركت نمي كند با نرخ ثابتي سوخت مصرف مي كنند.
با همان استدلالي كه Doughety (1997) انجام داد ما ميزان سوخت مصرفي مورد انتظار، F(b) ، را در واحد زمان با فرض در نظر گرفتن b بعنوان اندازه بلوك محاسبه مي كنيم. F(b) ، برابر با كل سوخت مصرفي خودروها در قسمت فعال صف بعلاوه كل سوخت مصرفي خودروهاي در قسمت غير فعال صف كه از اجراي خواسته ما سرباز مي زنند، بعلاوه كل سوخت مصرفي خودرو هاي در قسمت غير فعال صف كه خواسته ما را اجرا مي كنند ، مي باشد، بعبارتي داريم:

مشتق اول F(b) برابر است با:

هنگامي كه اين مقدار را برابر صفر قرار دهيم و از مدل M/G/1 جايگزين شود اندازه اسمي بلوك ( ) بدست مي آيد:

مقدار زير راديكال مثبت مي باشد چون: ، در نتيجه داريم:
همچنين مقدار تابع F(b) را مينيمم مي كند چون داريم:
نكته: مقدار مستقل از مقدار مي باشد.

۳- آناليز مدل
اندازه محاسبه شده براي b ، تحت شرايطي مقدار مصرفي سوخت را مينيمم مي كند. در برخي شرايط بهتر است كه اصلاً اين مدل پياده نشود. مقدار سوخت مصرفي در اينحالت مي باشد.

هنگامي كه است مدل صف بندي بلوكي داراي صرفه جويي در مصرف سوخت است.
تاثيري در مقدار b بهينه ندارد اما مقدار صرفه جويي هزينه مصرف سوخت متناسب با مي باشد.
براي اينكه باشد بايد دو شرط زير را داشته باشيم:

از آنجاييكه مقدار ، بايد صحيح باشد، بنابراين شرط لازم وكافي براي سودآوري مدل صف بلوكي به صورت مقابل است:

در غير اينصورت اگر باشد پيشنهاد مي شود كه همه خودروهاي موجود در صف موتورهاي خود را روشن نگه دارند.
اگر براي ما مشخص شد كه سيستم صف بلوكي سودآور است در اينصورت مقدار بهينه مي تواند يا باشد بستگي به اين دارد كه كدام مقدار) F( يا ) F( كمتر است.
محاسبات ما بطور مشخص از محاسبات Doughety در مورد مقدار متفاوت است. مدل او هيچ وابستگي به يا نداشت درحاليكه در مدل ما هر دو پارامتر بر مقدار بهينه موثر است.

۴- مثالها
در اين قسمت دو مثال از بهينه سازي اندازه بلوك را مي آوريم.
براي هر دو مثال ، مقدار و و و ، است.
مثال۱: ، داريم:

براي مقادير مختلف و مي توان مشخص كرد كه آيا سياست صف بلوكي سودآور است يا نه. اگر چنين باشد ما مقدار بهينه اندازه بلوك را مشخص مي كنيم. جدول ۱ نتايج را نشان مي دهد. نشان مي دهد كه آيا اين سياست سودآور است يا نه. مقدار اسمي اندازه بلوك، است و مقادير F(b) براي و محاسبه شده است. براي اين مثال، اين روش صف بندي درحالتيكه باشد هميشه سودآور است. هرچقدر افزايش يابد نقطه سربه سر شدت رفت و آمد ( ) كاهش مي يابد. بعنوان مثال اين روش براي وقتي سودآور است كه باشد.
مقدار بهينه بلوك از مقدار بيشتر است بجز در حالتيكه و هر دو زياد باشند. پس در اينحالت، اثر صف بندي بلوكي، نسبتاً كم است.
مثال ۲: حال مقدار در نظر مي گيريم. درنتيجه متوسط مدت زمان سرويس دهي بيشتر از نسبت است و داريم:

در جدول ۲، نتايج اين مثال با همان مقادير و كه براي مثال ۱ عنوان كرديم آورده شده است.
همانطور كه مشاهده مي شود در مثال ۲، حالتهاي بيشتري وجود دارد كه در آن مدل صف بندي بلوكي سودآور است. در مقايسه با مثال يك، اندازه بهينه بلوك كوچكتر از مقدار هستند بجز در مواقعي كه و هر دو كوچك هستند.
در اينحالت اثر مدل صف بندي بلوكي قال توجه است.

۵-نتايج
مدل صف بندي بلوكي تحت شرايط رفت و آمد هاي سنگين بيشترين كارايي را دارند. مقدار ، با افزايش مقدار واريانس زمان سرويس افزايش مي يابد.

پايان