تعریف حلقه :یک حلقه مجموعه ای است ناتهی مانند همراه بادوعمل دوتایی
(که معمولابه صورت جمع (+)وضرب(.) نموده می شوند) بطوریکه :
۱- یک گروه آبلی است.
۲- به ازای هر , ( ضرب شرکت پذیراست)

۳- و (قوانین بخش پذیری ازچپ وازراست)
هرگاه علاوه براین :
۴- به ازای هر¸ آنگاه گوئیم یک حلقه تعویض پذیراست.

هرگاه شامل عنصری مانند باشد. بطوریکه:
۵- به ازای هر a<R ,
آنگاه گوئیم یک حلقه یکدار است.

 

تذکر۱: حلقه را حلقه با واحد نیزمی نامندو را واحد حلقه گویند.
تذکر۲: برای نمایش نگاشت همانی ازعلامت نیز استفاده می شود.

قضیه۲٫۱: فرض کنید ? یک حلقه باشد.دراین صورت:
۱) به ازای هر ,
۲) به ازای هر ,

۳) به ازای هر ,
۴) به ازای هر ,
۵) به ازای هر , ( )( )

تعریف۳٫۱ : فرض کنیم ?,? حلقه باشند تابع یک همریختی حلقه ها است .
مشروط بر اینکه به ا زای هر R a,b

تبصره: رده تمام حلقه ها همراه با تما م همریختهای حلقه ها یک کا تگوری (ملموس)
تشکیل می دهد.

تذکر۳ : به جای “همریختی حلقه ها” می نویسیم “همریختی” یک همریختی حلقه ها در حالت خاص ,همریختی از گروههای جمعی زمینه می باشد.

تذکر۴ : یک تکریختی [بروریختی,یکریختی] از حلقه ها یک همریختی ازحلقه ها است که نگاشتی انژکتیو [سورژکتیو,بیژکتیو] باشد یک تکریختی ازحلقه ها را گاهی یک نشاننده Rدر S می نا مند.

تذکر۵ : هر یکر یختی یک خودریختی R نام دارد .

تذکر۶ : هسته همریختی از حلقه ها هسته آن بعنوان نگاشت گروههاجمعی
است یعنی به همین نحو ؛ نقش ؛
که به صورت =Im
نمایش داده می شود.

تذکر۷ : اگرR , S دارای واحدهای و باشند لازم نیست یک همریختی از حلقه ها رابه بنگارد.

تعریف۴٫۱: فرض کنیم R یک حلقه باشد ,هرگاه کوچکترین عدد صحیح مثبت nکه به ازای هر , =na موجودباشد ,آنگاه گوییم R دارای مشخص n است,اگر این n موجود نباشد گوییم R دارای مشخص صفر است (نماد : n R char )

قضیه۵٫۱: فرض کنیم R حلقه ای یکدار با واحد ,مشخصه باشد .
۱: هرگاه نگاشت با داده شده باشد آنگاه یک همریختی حلقه ها با هسته است.
۲ : n کوچکترین عدد صحیح مثبتی است که ,
۳: هرگاه R مقسوم علیه صفر نداشته باشد (بخصوص هرگاه R یک دامنه صحیح باشد )
آنگاه n اول است .

قضیه ۶٫۱ : هر حلقه R رامی توان در حلقه یکدار S نشانید حلقه S ( که منحصر به فرد نیست )
را می توان با مشخصه صفر یا با مشخصه حلقه R اختیار کرد .

تعریف۷٫۱ : فرض کنید R یک حلقه و S زیرمجموعه ای نا تهی از R باشد که تحت اعمال جمع وضرب در R بسته باشد. هرگاه S خودحلقه ای تحت این اعمال باشد ، آنگاه S رایک زیرحلقه R می نامیم. I را” ایده آل ” گویند اگرهم ایده آل چپ و هم ایده آل راست داشته باشد.
تعریف۸٫۱ : زیرحلقهI از حلقه R یک ایده آل چپ گویند مشروط بر اینکه

تعریف ۹٫۱: زیرحلقه I ازحلقه R یک ایده آل راست گویند مشروط بر اینکه

مثال۱ : هرگاه حلقه باشد ، آنگاه مرکز مجموعه
R r = rc , r R }
به آسانی معلوم می شود که C زیرحلقه است ، ولی ممکن است ایده آل نباشد.(به مثال زیر توجه کنید)

مثال ۲: هرگاه یک همریختی حلقه ها باشد ، آنگاه یک ایده آل در بوده و زیرحلقه است . لزوما” ایده آلی در S نیست.
: به ازای هرعدد صحیح n ، زیرگروه دوری k یک ایده آل درZ است.

قضیه۱۰٫۱: هرگاه ایده آلی درحلقه باشد به طوری که وبه ازای هر ،

آنگاه اول است

قضیه۱۱٫۱: درحلقه ناصفرویکدار همواره ایده آلهای]چپ [ماکزیمال وجوددارند. درواقع ، هرایده آل ]چپ[ در (جز خود ) مشمول یک ایده آل ]چپ[ ماکزیمال است .

فصل دوم

حلقه خارج قسمتها

تعریف۱٫۲: زیر مجموعه ناتهی s از حلقه ی R ضربی است مشروط به اینکه
S ba ⇒ S b,a
مثال :
۱:مجموعه S مرکب از تمام عناصری که در یک حلقه نا صفر یکدار مقسوم علیه صفر نباشد,ضربی است.
۲: مجموعه تمام عناصر نا صفر از یک دامنه صحیح ضربی است.
۳: مجموعه یکه S در یک حلقه یکدار یک مجموعه ضربی است.

قضیه۲٫۲:.هرگاه P ایده آلی در حلقه R باشد بطوریکه : R P
و به ازای آنگاه
P اول است و بر عکس آن برقرار است.
(طبق قضیه قبل ) هرگاه P یک ایده آل اول در حلقه تعویض پذیر R باشدآنگاه p و
P –R =S هردوضربی اند.

انگیزه مطالب زیر ر می توان در حلقه اعداد صحیح Z و میدان اعداد گویا Q به ساده ترین وجه دید. واضح است که مجموعه S مرکب از تمام اعداد صحیح ناصفر یک زیر مجموعه ضربی از ℤ است .شهودا میدان Q مجموعه تمام کسرهای که و
تحت شرط زیر گرفته می شود:

به طور دقیق Q را می توان به طریق زیر ساخت.
به آسانی معلوم می شود که bc – ad (d,c) a,b) )

بر مجموعه Z یک رابطه هم ارزی است. Q مجموعه رده های هم ارزی S Z تحت این رابطه هم ارزی تعریف می شود. رده های هم ارزی (b,a) با نموده می شود. و جمع و ضرب بصورت معمول تعریف می شوند.می توان تحقیق کرد که این اعمال تعریف شده اند
Q تحت آنها میدان می باشد,به آسانی معلوم می شود ,که نگاشت S→Z داده شده a یک تکریخت (نشاننده) است .

حال ساخت ذکر شده در بالا را به یک زیر مجموعه ضربی دلخواه حلقه تعویض پذیرR تعمیم می دهیم حلقه تعویض پذیریکدار R و همریختی R → R : را می سازیم.

هرگاه S مجموعه تمام عناصر ناصفر در دامنه صحیح R باشد ,آنگاه (R ) یک میدان بوده ( Q = R اگر Z=R( و یک نشاننده تکریختی R در R است.

قضیه۳٫۲:فرض کنیم S زیر مجموعه ی ضربی از حلقه تعویض پذیر R باشد رابطه تعریف شده بر مجموعهS R به ازای ،
s – r) ( , ) r,s) )
یک رابطه هم ارزی است .
هر گاه Rمقسوم علیه صفر نداشته باشد ,S آنگاه
s – r ( , ) r,s) )
فرض کنیم S زیر مجموعه ای ضربی از حلقه تعویض پذیر R بوده و ~ رابطه هم ارزی قضیه قبل باشد.

رده هم ارزی S ⨉R رابا نشان می دهیم .مجموعه تمام رده های هم ارزی S⨉Rتحت ~ با R نموده می شود و شرایط زیر بر قرار است .
(یک (به ازای , s – r)
(دو) به ازای هر و ,
(سه) هرگاه آنگاه R فقط از یک رده هم ارزی تشکیل شده است .

قضیه۴٫۲ : فرض کنیم یک زیر مجموعه ضربی حلقه تعویضپذیر R بوده و R مجموعه رده های هم ارزی S ⨉R تحت رابطه هم ارزی قضیه قبل باشد .
(یک) R حلقه ای تعویضپذیر و یکدار است که در آن جمع و ضرب با
ś s ( s ŕ ś r ) = ś ŕ s r
و ś s ŕ r = ( ś ŕ ) ( s r )
تعریف شده اند .
(دو ) هرگاه R حلقه ای ناصفر بدون مقسوم علیه صفر بوده و S ، آنگاه R یک دامنه صحیح است .

(سه) هرگاه R حلقه ای ناصفر بدون مقسوم علیه صفر بوده و S مجموعه تمام عناصر ناصفر R باشد ، آنگاه R یک میدان است . که” میدان خارج قسمتی دامنه صحیح R “نام دارد . لذا ، اگر Z = R میدان خارج قسمتی درست میدان اعداد گویا ی Q است .
و (سه) را می توان به این صورت هم بیان نمود: هرگاه R یک حلقه ناصفر بدون مقسوم علیه صفر باشد , آنگاه حلقه خارج قسمتهای تام R یک میدان است.واضح است که حلقه خارج قسمتهای تام یک دامنه صحیح چیزی جز میدان خارج قسمتی آن نیست.

برهان (یک): به محض آنکه بدانیم جمع وضرب در R اعمال دو تایی تعریف شده ای هستند (مستقل از انتخاب . بخصوص , به ازای هر , و همانی جمع است .
معکوس جمعی عبارت است از – .به ازای هر , . و همانی ضربی در R است.
برای نشان دادن اینکه جمع تعریف شده است , ابتدا ملاحضه می کنیم که چون Sضربی است , عنصری است . اگر و باید نشان دهیم که

طبق فرض , S ی وجود دارند به طوری که

معادله اول را در و معادله دوم را در ضرب می کنیم .
با جمع معادلات حاصل , به دست می آوریم

بنابراین , (زیرا S )
اثبات مستقل بدون ضرب از r به همین نحو است .
برهان(دو): هرگاه مقسوم علیه صفر نداشته و , آنگاه اگر و فقط اگر در R , در نتیجه,در ,
اگرو فقط اگر در ,۰= .
چون ۰= اگر و فقط اگر۰= یا ?= , نتیجه می شود که یک دامنه صحیح است.

برهان(سه): هرگاه آنگاه معکوس ضربی مساوی است.
حلقه در قضیه بالا را یک” حلقه خارج قسمتها” یا” حلقه کسرها” یا
” حلقه خارج قسمتی R “بر S می نامند.
یک حالت خاص مهم وقتی رخ می دهد که S مجموعه تمام عناصر ناصفر در دامنه صحیح R باشد. در این صورت ، یک میدان است .
به طورکلی , فرض کنیم R یک حلقه تعویضپذیر نا صفر بوده و S مجموعه تمام عناصر ناصفر R باشد که مقسوم علیه صفر نداشته باشد .
.هرگاه S ناتهی باشد(که در صورت یکدار بودن R همواره چنین است ),آنگاه حلقه خارج قسمتها (یا کسرها)ی تام (یاکامل) حلقه R نامیده می شود.

بنابراین داریم هرگاه Z 😕 نگاشت داده شده با باشد ,آنگاه ? بوضوح یک تکریختی است که Z رادر Q می نشاند . به علاوه , به ازای هر n ناصفر , (n)? یک یکه در Q است.

قضیه۵٫۲ : فرض کنیم S یک زیر مجموعه ضربی حلقه تعویضپذیر R باشد .
(یک) نگاشت R → R : داده شده با ( به ازای هر S s ) یک همریختی تعریف شده از حلقه هاست به طوری که ( s ) ، به ازای هر S s ، یک یکه در است .
(دو) هرگاه S و S شامل هیچ مقسوم علیه صفر نباشد ، آنگاه یک تکریختی است.
بخصوص ، هر دامنه صحیح را می توان در میدان خارج قسمتی خود نشانید .
(سه) هرگاه R یکدار بوده و S از یکه ها تشکیل شده باشد ، آنگاه یک تکریختی است.
بخصوص ، حلقه خارج قسمتهای تام { = میدان خارج قسمتی } میدان F با F یکریخت است .
برهان(یک): هرگاه S ، s ، آنگاه ś = ، که از آنجا یک همریختی حلقه هاست و به ازای هر ، R ، معکوس ضربی ( s ) = s است .

برهان(دو): هرگاه در R ، ،آنگاه ، که از آنجا به ازای ی ، . چون S ، . چون S مقسوم علیه صفر ندارد ، باید داشته باشیم .

برهان (سه): بنابرقسمت برهان دو یک تکریختی است . هرگاه که در آن در یکه است ، آنگاه ، که از آنجا یک بروریختی است .
در قضیه فوق برهان( دو),رسم است که دامنه صحیح R را با نقش آن تحت یکی کرده و R را زیر حلقه میدان خارج قسمتی آن می گیرند.چون در این حالت S ؛
S با R یکی گرفته می شود.
قضیه زیر نشان می دهد که حلقه های خارج قسمتها را می توان کاملا” با خاصیت نگاشت عمومی مشخص کرد.این قضیه گاهی به عنوان تعریف حلقه خارج قسمتها گرفته می شود.