گشتاور پیچشی

حالت اول: زماني كه بازو حركت مي كند و پايه ثابت است. اين حالت به دو زمان قابل تفكيك است. زماني كه بازو شتاب دارد و زماني كه بدون شتاب با سرعت زاويه اي ثابت در حال حركت است. ما مي توانيم با تجسم حركت باز و متوجه شويم كه وقتي در آغاز حركت بازو قرار داريم و شتاب زاويه اي بازو را بسمت بالا مي برد، در پايان اين شتاب گيري كه هم و هم مقاديري غير صفر دارند. بيشترين مقدار لنگر به بازو وارد مي شود. در معادلات تقديم ناپاياي بدست آمده مقدارگذاري مي كنيم.

اين دو مقدار بدست آمده گشتاور در مختصات xyz مي باشد كه بايد به اين امر توجه شود.
حالت دوم:
زماني كه پايه حركت مي كند. در اين حالت بازو ثابت است. اين حركت نيز دو حالت بدون شتاب با سرعت زاويه اي ثابت پايه و زمان شتاب گيري پايه دارد كه حالت اول بدليل ثابت بودن و و به حالت تقديم پايا تبديل مي شود.
حالت شتابدار حركت پايه در زماني كه سرعت پايه نيز به مقدار نهايي خود رسيده است يعني لحظة رسيدن به . در اين حالت هم و غير صفرند.

يعني M در جهت منفي x عمل مي كند. اين از قانون دست راست در مورد حركت تقديمي هم قابل آزمون است.

=۱۶۱۸N.m
حالت سوم:
حركت عمومي دستگاه كه يك تقديم پاياست. در اين حالت معادلات بگونه زير ساده مي شوند:

كه اين معادلات بجز علامت منفي P كه بدليل حركت CCW بشقاب است همان معادلاتيست كه در كتب براي حركت تقديمي آمده است. با جايگذاري مقادير داريم:

اين در جهت –x عمل مي كند و اين از روش قانون دست راست نيز قابل بررسيست كه صنعت آن تأييد مي شود.
حال به اين مسأله بپردازيم كه اين M بدست آمده حول نقطه P محاسبه شده در واقعيتا به چه اعضايي وارد مي شود؟ چون همانگونه كه پيشتر توضيح داده شد D تنها نقطه اي روي گسترش رياضي مجموعه پايه است و ماهيت فيزيكي ندارد. پاية بشقاب كه مجموعه بازو و پاية اصلي است بايد همين مقدار M را تحمل كند. اين بدنه را مي توان بعنوان يك rigid body درنظر آورد. اگر چنين باشد مي توان M را جابجا كرد يعني در نقاطي مثل پاشنة بازو و محور پايه اثر M را بررسي كرد.
بررسي روش تحليل بازو

 

در بررسي استاتيكي بازو ابعاد ديگر آن بجز طول نيز مؤثرند. ما تا اينجا همواره فرضياتي براي ساده تر شدن تحليل بشقاب انجام داده ايم كه براي تحليل بازو بايد آن فرضيات را كنار گذاشته و فرضيات جديدي انجام دهيم. براي مثال ما نيروهاي خمش و پيچش را حول نقطه فرضي D بدست آورده ايم يا نقاط C1 و C2 را در بخش سيستماتيك بشقاب، منطبق بر هم گرفتيم كه در آن مرحله لطمه اي به كار تحليل ما نزده ولي در اينجا بايد نقطة مركز بشقاب (C2) و نقطة انتهاي بازو (C1) از هم جدا شوند چون فاصلة مركز بشقاب از رولر برينگ كف گرد متصل كننده بشقاب با بازو Cm40 فاصله دارد و اگر ضخامت حدودي كف گرد را نيز Cm20 درنظر بگيريم فاصله C1 تا C2 Cm60 است كه غير قابل چشمپوشيست همچنين اصلاً نقطه C1 عملاً ديگر وجود ندارد و فرض نادرستيست بلكه سطحي به قطر كف گرد نيروي بشقاب را متحمل مي شود.

نيروهيا وارده
گشتاور پيچشي اعمال شده در D در انتهاي بازو و مبدل به يك نيروي عرضي در راستاي Z مي شود. جهت انتخاب شده براي محورهاي xyz در حل حركت تقديمي، در حل استاتيكي بازو و جهتهاي مطلوبي هستند. بنابراين نيروهاي جهت y براي بازو نقش تنش محوري و گشتاورهاي جهت z و y نقش كشتاور خمشي را دارند. گشتاورهاي خمشي x و y را مي توان به همان شكل كه بر D وارد مي شوند بر انتهاي بازو اعمال كرد. گشتاور پيچشي در راستاي +y را بايد بر فاصلة تقسيم كرد تا نيروي عرضي معادل آن بر بازو در جهت Z بدست آيد، علاوه برذ اين نيروهيا ديناميكي بار استاتيكي نيز كه ناشي از وزن بشقاب است در انتهاي بازو اعمال مي شود.

علاوه بر اينها نيروي وزن خود بازو نيز در طول بازو بايد درنظر گرفته شود. مي توان از نيروهاي ناشي از شتاب جانب مركز كه بر اثر دوران پايه در طول بازو اعمال مي شود بدليل كوچك بودن صرفنظر كرد. شتاب نيز كه بسيار كم است. نيروهاي تقديمي هم در اينجا نداريم. نيروي عرض كه در جهت Z وارد مي شود تنها برروي ضلع بالايي پروفيل بازو اعمال مي شود و اگر آنرا بروي محور وسط تير منتقل كنيم يك نيروي عرضي بر شي در جهت x و يك گشتاور پيچشي در راستاي y خواهيم داشت. نيروي جك نيز بر نقطة j وارد مي شود و نيروي عكس العمل تكيه گاه دB را هم داريم. نيروي ناشي از وزن بشقاب هم به دو مؤلفه تقسيم مي شود. يكي محوري فشاري و يكي عرضي كه مؤلفه فشاري آنرا نيز اگر برروي محور وسط پروفيل بازو منتقل كنيم يك گشتاور خمشي در جهت X بوجود خواهد آمد. نيروي محوري ناشي از جك را بدليل كوچك بودن زاويه درنظر نمي گيريم يعني جك را عمود بر محور بازو در نظر مي گيريم و نيرويش را فقط عرض فرض مي كنيم. اين فرض در زمان بسته بودن جك به اندازة خطا خواهد داشت.

بحث تعدد مجهولات و راه حل آن
در اينجا به مسأله اي برمي خوريم ما مجموعه اي از بارها را داريم كه بر بازو وارد مي شوند. طول و عرض پروفيل بازو يعني ابعاد سطح مقطع بازو در حل استاتيكي نيروها دخيل است چون بعضي نيروها بايد از ضبع آن به وسط آن منتقل شود. همچنين در حل مسأله مقاومت مصالح بازو نياز به ابعاد بازو داريم تا بر اساس آن وارد بر مقطه اي از بازو را بدست آوريم. سپس آنرا در فرمولهاي تئوري كودمن قرار دهيم و بررسي كنيم و اگر واره را نهداشته باشيم بايد معكوس اين راه را در طراحي اجزاء برويم و بدست آمده را در فرمولهاي مقاومت مصالح قرار دهيم و ابعاد را بدست اوريم. در حل مسأله مقاومت مصالح نداشتن ابعاد بازو يعني حل پارامتري مسأله و حل پارامتري بسيار حجيم است و در نهايت متوجه مي شويم كه از پارامترهاي دخيل در I سطح مقطع كه براي ما مهم است بعضي از آنها وابسته به ديگري هستند. ما مي خواهيم براي مربوط كردن اين پارامترها به هم پيش از آغاز طراحي شكل نهايي پروفيل بازو را تعيين كنيم. اين عمل تجربي و شهودي ول مفيد است. سطح مقطع بازو را بشكل زير درنظر مي گيريم.

با اين فرض مي توانيم راحت تر كار كنيم. چون b و H را فرض مي كنيم و در فرمول I مقطع تنها يك مجهول t باقي مي ماند كه در نهايت از درون فرمول گودمن بيرون يم ايد. همچنين فرض مقدار براي b و H حل استاتيكي مسأله ما را ممكن مي كند.
فرض نخستين

تحليل استاتيكي
نخست به تفكيك بارهاي وارده مي پردازيم. زماني كه بازو در حال بلند شدن است يك گشتاور خمشي به اندازة N.m1276 در جهت x به آن وارد مي شود. و گشتاور پيچشي N.m2562 نيز حول نقطة D اثر مي كند كه با منتقل كردن آن به سطح تماس كف گرد و بازو و سپس انتقال آن به مركز و معادل گذاري پيچش و نيروي عرضي بصورت زير درمي آيد.

اين مقدار نيروييست كه بصورت عرضي به مقطع بازو وارد مي شود.
در زمان باند شدن بازو

حالت دوم زمان شتاب گرفتن پايه است. يك گشتاور خمشي در جهت –x به اندازة بازو را به پايين خم مي كند و يك نيروي عرضي ناشي از پيچش وارد بر نقطة D در جهت –x داريم.

يك گشتاور خمشي در جهت +Z نيز داريم كه باطو را بسمت چپ خم مي كند و مقدارش برابر است با
در زمان شتاب گرفتن پايه
حالت سوم حركت عمودي دستگاه است كه بصورت تقديم پاياست. تنها نيروي ديناميكي اين حالت است.
تقديم پايا

صحت علامت منفي با توجه به قانون دست راست در مورد سه بردار P و M و نيز تأييد مي گردد.
علاوه بر نيروهاي ديناميكي كه يك نيروي استاتيكي ناشي از وزن بشقاب بر روي بازو نيز اعمال مي شود كه مقدار آن همواره برابر در جهت –Z است. اگر به آنچه گذشت نگاه كنيم متوجه مي شويم كه در زمان شتاب گرفتن پايه بيشترين نيروها بر بازو تحميل مي شود بجز نيروي كه در زمان حركت بازو بيشتر است. ما اين نيرو را نيز همزمان با نيروهاي ديگر در زماذن شتاب گرفتن پايه درنظر مي گيريم. در اين زمان نيروي استاتيكي ناشي از وزن بشقاب به دو نيروي محوري و عرضي تبديل مي شود كه مقدار هر يك برابر است با:

وارد شده به ضلع بالايي مقطع اعمال مي شود بنابراين بايد آنرا به وسط مقطع آورد كه به اينگونه مي شود.

بنابراين مجموعة بارهاي وارده به اينگونه مي شود

ملاحظه مي شود كه نيروي و گشتاور در صفحه zy نيستند و در حل نيروي وارد بر جك و نيروي R وارد بر اتصال نقطة B تأثيري نمي گذارند. نيروي و گشتاور تنها در اتصال B ايجاد يك نيروي برشي دوطرفه مي كنند.
اگر به نمودار M در طول بازو نگاه كنيم متوجه مي شويم كه بيشترين M در نقطه j رخ مي دهد اما چون شكل مقطع از مقطع تغيير مي كند بايد تنشها را در اين مقطع نيز مورد بررسي قرار دهيم.