آشکارسازی اطلاعات بد و تعیین هویت

فصل ۵- آشکارسازی اطلاعات بد و تعیین هویت
یکی از کارهای اساسی یک برآورد کننده عبارت اند از تعیین خطاهای اندازه گیری و تعیین و حذف آنها است اگر ممکن باشد، اندازه گیری ها ممکن است حاوی خطاهای ناشی از دلایل مختلف باشد. خطاهای تصادفی معمولاً در سنجش های ناشی از دقت محدود مترها و وسایل ارتباطات وجود دارند. اگر redundancy زائده های کافی در بین سنجش ها وجود داشته باشد، چنین خطاهایی توسط برآورد کننده حالت، فیلتر

می شود. طبیعت این عمل فیلتر کردن بستگی به روش برآورد بکار رفته دارد. خطاهای اندازه گیری بزرگ می توانند وقتی رخ دهند که مترها دارای بایاس ها، یا اتصالات (یا ارتباطات) غلط باشد. خرابی های سیستم ارتباطات از راه دور یا نویز ایجاد شده توسط تداخل پیش بینی نشده نیز منجر به انحرافات زیاد در سنجش های ثبت شده می شود. قطع نظر از این موارد، یک برآورد کننده ممکن است با اطلاعات توپولوژیک غیرصحیح فریب داده شود که بعداً بصورت اطلاعات بد توسط برآورد

کننده تفسیر می شود. چنین موقعیتهایی (حالتهایی) به سختی کنترل می شوند و برطرف کردن خطاهای توپولوژی بعدا در فصل ۷ بحث می شوند. بعضی اطلاعات بد آشکار هستند و می توانند توسط کنترل های ساده، آشکار شده یا حذف شوند. اندازه گیری مقادیر ولتاژ منفی از اندازه گیری بزرگتر یا کوچکتر از مقادیر پیش بینی شده اند از آن جمله است. یا تفاوت های زیاد جریانهای ورودی و خروجی در یک گره ارتباطی در یک ایستگاه فرعی از جمله مثالهای چنین اطلاعات بد می باشند. متأسفانه تمام انواع اطلاعات بد به آسانی قابل آشکار شدن توسط این دستگاه ها نمی باشند.

بنابراین، برآورد کننده های حالت باید مجهز به ویژگی های پیشرفته تری باشند که آشکارسازی و تعیین هویت هر نوع از اطلاعات بد را آسان می کند. عملیات اطلاعات بد بستگی به روش برآورد حالت بکار رفته در اجرا دارد. این فصل بر روی آشکار سازی اطلاعات بد و روش های تعیین هویت تمرکز دارد که با روش WLS مرتبط هستند. سایر روش های برآورد حالت از قبیل روش هایی که در فصل ۶ بحث می شوند، پردازش اطلاعات بد را بصورت روش برآورد کننده حالت ترکیب می کند و بنابراین بحث آنها شامل جنبه های عملیات اطلاعات بد نیز می باشد هنگام استفاده از روش برآورد WLS، آشکار سازی و تعیین هویت اطلاعات بد فقط پس از فرایند برآورد توسط پردازش باقیمانده

های اندازه گیری انجام می شوند. تحلیل بر اساس خواص این باقیمانده ها است که شامل توزیع احتمالات پیش بینی شده آنها می باشد. اطلاعات بد ممکن است به راههای مختلفی ظاهر شود که بستگی به نوع، محل و تعداد اندازه گیری هایی دارد که در خطا هستند. آنها می توانند به این شرح طبقه بندی شوند :

۱- اطلاعات بد واحد : فقط یکی از سنجش ها در کل سیستم دارای یک خطای بزرگ است.
۲- اطلاعات بد چندگانه : بیش از یک اندازه گیری در خطا خواهد بود.
اطلاعات بد چندگانه ممکن است در سنجش هایی ظاهر شود که باقیمانده های آنها بطور قوی یا ضعیف مرتبط هستند، سنجش های مرتبط بطور قوی آنهایی هستند که خطاهای آنها بر روی مقدار برآورد شده از یکدیگر تاثیر زیادی می گذارند و باعث می شوند که مورد خوبی در خطا ظاهر شود هنگامی که سایر موارد حاوی یک خطای بزرگ باشد. برآوردهای اندازه گیری ها با باقیمانده های مرتبط تحت تاثیر خطاهای یکدیگر نمی باشند، وقتی که باقیمانده های اندازه گیری قویاً مرتبط

باشند، خطاهای آنها ممکن است برابر باشند، خطاهای انطباقی / خطاهایی هستند که با یکدیگر بطور منطقی و سازگار ظاهر می شوند. اطلاعات بد چندگانه می توانند بعداً به یکی از این سه گروه طبقه بندی شوند :
۱- اطلاعات بد غیر- تراکنشی چندگانه : اطلاعات بد در سنجش های دارای بقایای اندازه گیری مرتبط ضعیف

۲- اطلاعات بد غیر- انطباقی ولی تراکنشی چندگانه : اطلاعات بد غیر انطباقی در سنجش ها با بقایای مرتبط قوی.
۳- اطلاعات بد انطباقی و تراکنشی چندگانه : اطلاعات بد سازگار در سنجش های با بقایای مرتبط قوی.
تعیین مقدار تراکنش بین سنجش ها و تحلیل خطاها می توانند براساس حساسیت های بقایای اندازه گیری برای خطاهای اندازه گیری انجام شوند. خواص بقایای اندازه گیری ای که توسط روش برآورد حالت ۶ ساله بدست می آیند از قبل برای این منظور، بازنگری می شوند. عملیات اطلاعات بد بستگی به روش برآورد حالت بکار رفته در اجرا دارد. این فصل برروی آشکار سازی اطلاعات بدو روش های تعیین هویت های تمرکز دارد که با روش WLS بکار رفته متداول مرتبط است، سایر روش های برآورد حالت از قبیل مواردی که در فصل ۶ بحث می شوند، پردازش اطلاعات بد را بصورت بخشی از روش برآورد حالت ترکیب می شوند و بحث آنها شامل

جنبه های عملیات آنها بر روی اطلاعات بد نیز می باشد. هنگام استفاده از روش برآورد WLS ، آشکار سازی و تعیین هویت اطلاعات بد فقط پس از فرایند برآورد توسط پردازش باقیمانده های اندازه گیری انجام می شوند. تحلیل بر اساس خواص این باقیمانده ها است که شامل توزیع احتمالات پیش بینی شده آنها است، اطلاعات بد ممکن است به روش های مختلفی ظاهر شوند که بستگی به نوع، محل و تعداد اندازه گیری هایی دارد که که در خطا هستند.

اطلاعات بد چندگانه ممکن است در اندازه گیری هایی ظاهر شوند که بقایای آنها بطور قوی یا ضعیف مرتبط می شوند، اندازه گیری های مرتبط شده قوی آن اندازه گیری هایی هستند که خطاهای آنها بر روی مقدار برآورد شده یکدیگر تاثیر چشمگیری می گذارند که باعث می شود که موارد خوب نیز در خطا ظاهر شوند هنگامی که دیگری حاوی یک خطای بزرگ است، برآوردهای اندازه گیری ها با باقیمانده های مرتبط بطور چشمگیری تحت تاثیر خطاهای یکدیگر نمی باشند. وقتی که باقیمانده های اندازه گیری با خطاهای آنها مرتبط باشند، خطاهای آنها ممکن است

مطابقت نداشته باشد. خطاهای انطباقی، خطاهایی هستند که با یکدیگر سازگار بنظر می رسند. اطلاعات بد چندگانه می توانند بعداً به سه گروه طبقه بندی شوند. ۱- اطلاعات بد غیر تراکنشی چندگانه : اطلاعات بد در اندازه گیری ها با باقیمانده های اندازه گیری مرتبط ضعیف.
۲- اطلاعات بد غیر انطباقی ولی تراکنشی چندگانه : اطلاعات بد غیر انطباقی در اندازه گیری ها با باقیمانده های مرتبط.
۳- اطلاعات بد انطباقی و تراکنشی چندگانه : اطلاعات بد منطقی در اندازه گیری ها با باقیمانده های مرتبط قوی.
تعیین کیفیت میزان تراکنش بین اندازه گیری ها و تحلیل خطاها می تواند بر اساس حساسیت های باقیمانده های اندازه گیری برای سنجش خطاها، انجام شود. خواص باقیمانده های اندازه گیری که توسط روش برآورد WLS بدست می آیند در زیر بازنگری میشود.

۱-۵ خواص باقیمانده های اندازه گیری
معادلات اندازه گیری خطی شده را در نظر بگیرید:
بطوری که E (e)=0 و COV (e) = R است که یک ماتریس قطری براساس این فرض است که خطاهای اندازه گیری مرتبط نمی باشند. توجه کنید که باقیمانده های اندازه گیری ممکن است هنوز مرتبط باشند. حتی اگر خطاهای مستقل درنظر گرفته شوند. آنگاه برآورد کننده WLS از بردارها حالت تغییر داده شده چنین می شود :

و مقدار برآورد شده چنین است:
(۳-۵)
در جایی که و گاهی اوقات موسوم به ماتریس hat بخاطر قرار دادن یک کلاه (hat ) بر روی ∆z نامیده می شود. یک ایده درباره اندازه گیری موضعی در اطراف یک متر مفروض می تواند بدست آید، که توسط کنترل کردن ورودی های خاص مربوطه در ماتریس k این ردیف مربوطه در ماتریس k حاصل
می شود. یک ورودی، قطری بزرگ نسبت به عناصر قطری در k ، ایجاب می کند که مقدار برآورد شده مربوط به آن اندازه گیری توسط مقدار اندازه گیری شده آن تعیین شود؛ یعنی redundancy موضعی ضعیف است. علاوه بر این، ماتریس k می تواند دارای خواص زیر باشد :
k.k. ……………..k = k (5.4)
k.H = H (5.5)
(I – k) . H = 0
اکنون باقیمانده های اندازه گیری می توانند به این شرح محاسبه شوند :

= ……………
(۵٫۶) = (I – K ) e {

= Se (5.7)
ماتریس S موسوم به ماتریس حساسیت باقیمانده، حساسیت باقیمانده های اندازه گیری را برای خطاهای اندازه گیری نشان می دهد. و خواص زیر را دارد :
۱- یک ماتریس متقارن نمی باشد مگر اینکه کوواریانس خطاها همگی مساوی باشند؛ یعنی R= KI جایی که K هر اسکالری است.
S.S.S …… S = S
S.R.ST = S.R
برآورد WLS براساس این فرض است که خطاهای اندازه گیری مطابق با یک توزیع گاوسی به شرح زیر می باشند.
برای تمام :i eiN N (O,Rii)
با استفاده از رابطه خطی بین باقیمانده های اندازه گیری و خطاهای داده شده توسط معادله (۵,۷ ) میانگین و کوواریانس و بنابراین توزیع احتمال باقیمانده های اندازه گیری می تواند به شرح زیر بدست آید :
o = E(r ) =

( ۵٫۸ )
COV ( r ) = Ω = E ( r r T )
=
=
= SR (5.9 )

بنابراین : r ~ N ( 0 , Ω )
Offdiagonol اجزای خارج قطر از کوواریانس باقیمانده ماتریس Ω می تواند برای تعیین هویت آنها در مقابل اندازه گیری های تراکنشی ضعیف استفاده شود.
اگر / آنگاه اندازه گیری I , j قویاً تراکنشی می کند. در غیر اینصورت، اینجا اندازه گیری ها بصورت ضعیف در نظر گرفته می شوند که تراکنشی یا غیر تراکنشی می باشند. آستانه E بستگی به توپولوژی و اندازه گیری شبکه دارد. ماتریس کوواریانس Ω دارای خواص جالبی است که در بحث بعدی تعیین هویت اطلاعات بد مفید خواهد بود، بعضی از این خواص به این شرح هستند.
۲- Ω یک ماتریس متقارن و واقعی (حقیقی) است
۳-

مثال ۱٫۵: سیستم ۳-bus و ترکیب بندی اندازه گیری آن در مثال ۲ در فصل ۲ را در نظر بگیرید، با استفاده از مدل اندازه گیری DC ، ماتریس hat ، k را بدست آورید؟ ماتریس حساسیت S و ماتریس کوواریانس Ω برای باقیمانده ها را بدست آورید. خواص ماتریس کوواریانس باقیمانده Ω را بدست آورید.
جواب: معادله اندازه گیری چنین است
در جایی که

با استفاده از ماتریس کوواریانس خطای اندازه گیری داده شده داریم
RAA = [ ]
ماتریس gain دریافتی فعال کوپل زدایی شده مربوطه چنین خواهد بود
GAA= 107[ ]
ماتریس HAT k می تواند چنین ساخته شود:
K = HAA . G-1AA . HTAA= [ ]
و ماتریس S حساسیت چنین است
S = 1-K = [ ]
ماتریس کوواریانس باقیمانده Ω چنین خواهد بود
Ω = S. RAA = 10-h [ ]
Ω حقیقی و متقارن است. ورودی های خارج قطر می تواند برای حفظ کمتر از میانگین هندسی و ریاضی از ورودی های قطر تایید شود. دو مورد از آنها به صورت زیر هستند :

۵٫۲ طبقه بندی اندازه گیری های سیستم های قدرت ممکن است انواع اندازه گیری های را در سیستم بدون مدل توپولوژیکی آشکار انجام دهند. این اندازه گیری ها خواص مختلف را نشان می دهند و بر روی پسامد برآورد حالت تاثیر می گذارند که بر مقدار آنها و محل آنها تاثیر می گذارد که بستگی به مقدار آنها و محل آنها دارد. بنابراین، ممکن است به یک یا چند مقدار زیر تعلق داشته باشد.

اندازه گیری بحرانی: یک اندازه گیری بحرانی، اندازه گیری ای است که حذف آن از مجموعه اندازه گیری منجر به یک سیستم غیر قابل مشاهده می شود. بنابراین ممکن است به یکی از مقوله های زیر تعلق داشته باشد.
اندازه گیری بحرانی : یک اندازه گیری است که حذف آن از اندازه گیری منجر به یک سیستم غیر قابل مشاهده می شود. ستون ماتریس کوواریانس باقیمانده، Ω مربوط به یک اندازه گیری بحرانی برابر با صفر خواهد بود. علاوه بر این، باقیمانده اندازه گیری از یک اندازه گیری بحرانی همواره صفر خواهد بود.

اندازه گیری Redundant : یک اندازه گیری ای است که بحرانی نباشد. فقط اندازه گیری های Redundant ممکن است باقیمانده های اندازه گیری غیر صفر داشته باشند.
زوج بحرانی: دو اندازه گیری Redundant که حذف همزمان آنها از مجموعه اندازه گیری سیستم را غیر قابل محاسبه می کنند.
k- tuple بحرانی: یک k- tuple بحرانی حاوی k اندازه گیری Redundant است که حذف تمام آنها منجر به غیر قابل مشاهده شدن سیستم می شود. هیچکدام از این k اندازه گیری متعلق به یک tuple بحرانی از مرتبه پایین تر نیست.
آن k ستون از ماتریس کوواریانس باقیمانده Ω ، مربوط به اعداد k- tuple بحرانی است بطور خطی وابسته است.

۵٫۳ آشکار سازی اطلاعات بد و تعیین هویت :
آشکار سازی به تعیین هویت اینکه آیا مجموعه اندازه گیری حاوی اطلاعات پایه است یا خیر، گفته می شود. تعیین هویت روش بیان اندازه گیری های واقعی حاوی اطلاعات بد است، آشکار سازی و تعیین هویت اطلاعات بد بستگی به ترکیب بندی کل مجموعه سیستم در یک سیستم نیرو (توان) دارد. اطلاعات بد می تواند آشکار شود اگر حذف اندازه گیری مربوطه سیستم را بطور غیر قابل مشاهده نمایش ندهد. بعبارت دیگر اطلاعات بدی که در اندازه گیری های بحرانی ظاهر می شوند
نمی توانند آشکار شوند. یک اندازه گیری واحد حاوی اطلاعات بد می تواند تعیین هویت شود اگر و فقط اگر :

– بحرانی نباشد و به یک زوج بحرانی تعلق نداشته باشد.
منطق پردازش اطلاعات بد باید بتواند محدودیت های ذاتی آشکار سازی و تعیین هویت اطلاعات بد واحد را تایید کند. اگر شرایط فوق مشاهده شوند، اطلاعات بد واحد می توانند توسط روش های ذکر شده بعدی آشکار شده و تعیین هویت شوند. حالت اطلاعات بد چندگانه به سختی می تواند اداره شود و بعداً در بخش های ۲-۷-۵ و ۸-۷ بحث می شوند.
۴-۵آشکار سازی اطلاعات بد- یکی از روش های بکار رفته برای آشکار کردن اطلاعات بد، آزمایش chis-guares است. وقتی که اطلاعات بد آشکار می شوند، لازم است تا تعیین هویت شده و حذف یا تصحیح شوند تا حصول یک برآورد حالت بایاس نشده امکان پذیر شود. روش های تعیین هویت اطلاعات بد بعدا در بخش ۶-۵ بحث می گردد.
۱-۴-۵ توزیع chisquares X2: یک مجموعه از متغیرهای تصادفی مستقل N X1X2……XN را در نظر بگیرید. در جایی که هر Xi مطابق با توزیع نرمال استاندارد توزیع شود.
Xi N N (0 , 1 )
آنگاه یک متغیر تصادفی جدید Y چنین تعریف می شود:

که دارای یک توزیع X2 با N درجه آزادی است یعنی:
Y ~ X ~2
درجات آزادی N ، تعداد متغیرهای مستقل را در مجموع مربعات نشان می دهد. این مقدار کم می شود اگر هر کدام از متغیرهای Xi یک زیر مجموعه وابسته خطی را تشکیل دهند. اکنون، تابع f (x) را در نظر بگیرید، که بر حسب خطاهای اندازه گیری نوشته می شوند:
F (n) = = Σ = Σ
(۵٫۱۰)

در جایی که Ci خطای اندازه گیری i ام است و Rii ورودی قطری ماتریس کوواریانس خطای اندازه گیری است و m کل تعداد اندازه گیری ها است، با فرض اینکه e`I s دارای یک توزیع نرمال است یعنی eNi~ N (0, 1)
آنگاه تابع F(x) دارای یک توزیع X2 با حداکثر مقدار (درجه ) آزادی (m-n ) است. در یک سیستم قدرت، چون حداقل n اندازه گیری باید در معادلات بالانس نیرو ارضاء گردد، حداکثر (m-n ) خطای اندازه گیری بطور خطی مستقل خواهد بود. بنابراین، بیشترین درجه آزادی می تواند (m-n ) باشد یعنی اختلاف بین تعداد کل اندازه گیریها و حالت های سیستم.
۲-۴-۵ استفاده از توزیع برای آشکارسازی اطلاعات بد:
نموداری از تابع تراکم احتمال (P.d. f) X2 در شکل ۱-۵ نشان داده شده است مساحت زیر منحنی P.d. f احتمال یافتن X را در ناحیه مربوطه نشان می دهد مثلاً

(۵٫۱۱)
احتمال بزرگتر بودن X از یک آستانه معین xt را نشان می دهد. این احتمالات با افزایش مقادیر xt کم می شود که ناشی از دنباله tuil در حال تجزیه توزیع است با انتخاب یک احتمال خطا، مانند e .05 و آستانه xt می تواند طوری انتخاب شود. که

اگر شکل ۱-۵ را داشته باشیم، این آستانه مربوط به xt= 25 است که توسط
خط چین عمودی مشخص می شود. آستانه بزرگترین مقدار قابل قبول را برای x نشان می دهد که هیچ اطلاعات بدی را ایجاب نمی کند، اگر مقدار اندازه گیری شده از x از این آستانه تجاوز کند، آنگاه با احتمالات ۹۵/۵ ، x اندازه گیری شده فاقد یک توزیع x2 خواهد بود یعنی وجود اطلاعات بد مورد تردید خواهد بود.

جداول حاوی chisquares مقادیر تابع توزیع انباشته را برای درجات آزادی مختلف ارائه می کند که می تواند در مقالات آماری مختلف یافت شود. جعبه ابزار آماری matlab می تواند برای ارزیابی مقادیر خاص استفاده شود. همانطور که در مثال زیر دیده می شود.
شکل ۵٫۲ اندازه گیری مستقل از یک کمیت را در نظر بگیرید که به این شرح است
متغیر اندازه گیری شده
مقدار اندازه گیری شده
در نظر بگیرید که اندازه گیری ها از نمونه ای بدست می آیند که دارای یک توزیع نرمال استاندارد است یعنی:
برای تمام :I Xi~ N (0, 1)
از توزیع X2 برای کنترل اطلاعات بد با اعتماد ۹۰% استفاده کنید.
جواب : اجازه دهید که مجموع مربعاj متغیرهای اندازه گیری شده را تشکیل دهیم

احتمال بدست آوردن این مقدار (۱۱٫۹۸) وقتی که Y دارای یک توزیع X24 باشد می تواند با استفاده از تابع جعبه ابزار آماری matlab (Y, DF ) CH 12 CDF بدست آید. DF درجات آزادی است که برای این مثال h است. این احتمال که توسط P نشان داده می شود چنین بدست می آید.
P = CH 12 CDF (11, 98, h ) = 0.9825

از آنجایی که ۰٫۹۸۲۵<0.99 است، اطلاعات بد با اعتماد ۹۹% مورد تردید نخواهد بود. از طرف دیگر، آستانه آزمایش در سطح اعتماد ۹۹% می توانند با استفاده از یکی دیگر از توابع matlab موسوم به ( P,DF ) CH 12 INV بدست آیند در جایی که P سطح احتمال اعتماد است که برابر با ۰٫۹۹ برای این مثال می باشد. اجرای این تابع آستانه مربوط y را می دهد، که بزرگترین مقدار قابل قبول برای y را بدون تردید درباره هر اطلاعات بدی با اعتماد ۹۹% ارائه می کند.
Yt = CH 12 NV (0.99, h) = B.28
مجددا، چون داریم

Yt = 13.28 > y =11.98

اطلاعات بد برای این مثال مورد تردید نمی باشد.

۵٫۴٫۳ آزمایش X2 برای آشکار کردن اطلاعات بد در برآورد حالت WLS
تابع هدف برآورد حالت WLS (x ) y می تواند برای تقریب کردن تابع f (x) فوق و یک آزمایش آشکار سازی اطلاعات بد بکار برود که موسوم به آزمایش chisquare برای اطلاعات بد است، که می تواند بر اساس خواص توزیع X2 توصیه شود.
مراحل آزمایش X2 chisquares به شرح زیر هستند
مسئله برآورد WLS را حل کنید و تابع هدف زیر را محاسبه کنید؟

جایی که
= بردار حالت برآورد شده از بعد r است.
: اندازه گیری برآورد شده I است.
Zi : مقدار اندازه گیری شده اندازه گیری I است.
Ti2 =Rii : واریانس خطا در اندازه گیری I است.
M = تعداد اندازه گیری ها است.

۹ – به مقدار جدول توزیع chisquares مربوط به یک اعتماد آشکار سازی با احتمال p نگاه کنید (مثلاً ۹۵ % ) و (m-n ) درجه آزادی.
اگر این مقدار X2(m-n)p باشد. در اینجا P= Pr(J(x8)) ≤ X2(m-n)/p است.
اگر بله، آنگاه اطلاعات بد مورد تردید خواهد بود، در غیر اینصورت، اندازه گیری ها بدون اطلاعات بد خواهد بود.
سیستم ۳-bus را در نظر بگیرید و ترکیب بندی اندازه گیری آن در شکل نشان داده شده است اطلاعات شبکه مربوطه در زیر ارائه می شوند.
خط
به باس از باس

تعداد متغیرهای حالت، n برای این سیستم برابر با ۵ است که از سه مقدار ولتاژ و دو زاویه فاز ولتاژ باس تشکیل می شود و زاویه فاز باس slack از فهرست حالت مستثنی می شود. بطور کلی m = 10 اندازه گیری وجود دارد یعنی ۲ اندازه گیری اندازه ولتاژ، ۲ زوج جریان (اکتیو) واقعی و ۲ زوج تزریق راکتیو / حقیقی وجود دارد. بنابراین درجات آزادی برای توزیع x2 تقریبی از تابع هدف y(x6) چنین خواهد بود:

m-n = 10-s = s
اندازه گیری ها با حل جریان نیروی حالت پایه تولید می شوندو سپس خطاهای توزیعی گاوسی اضافه می شوند. یکی از اندازه گیری ها، P2 بعداً عمداً تغییر داده
می شوند تا اطلاعات بد را شبیه سازی کنند. راه حل برآوردحالت و مقادیر تابع هدف که برای هر دو حالت بدست می آیند، در جداول زیر نشان داده می شوند.
آستانه آزمایش در سطح اعتماد ۹۹% توسط تابع matlab بدست می آید H 121NV به این صورت : yt = CH121NV (0, 95/5)= 11/1

در اولین حالت، چون است، اطلاعات بد مورد تردید نخواهد بود، با اینحال آزمایش اطلاعات بد را برای حالت دوم آشکار خواهد کرد زیرا مقدار مربوطه از ۲۲/۸ از آستانه آزمایش x2 از ۱۱٫۱ تجاوز می کند.
۵٫۴٫۴ استفاده از باقیمانده های نرمالیزه برای آشکار سازی اطلاعات بد
همانطور که شرح داده شد، آزمایش x2 بدلیل تقریب خطاها توسط باقیمانده ها در معادله ( ۵٫۱۰ ) غیر دقیق است. بنابراین ممکن است اطلاعات بد برای موارد معین آشکار گردد. یک آزمایش دقیق تر برای آشکار کردن اطلاعات بد می تواند با استفاده از باقیمانده های نرمالیزه شده توصیه شود. مقدار نرمالیزه شده از باقیمانده برای اندازه گیری I می توانند توسط تقسیم کردن ساده مقدار مطلق آن به ورودی قطر مربوطه در ماتریس کوواریانس باقیمانده بدست آید:
( ۵٫ ۱۲ )
بردار باقیمانده نرمالیزه شده rn آنگاه دارای یک توزیع نرمال استاندارد خواهد بود یعنی rNi ~ N ( 0,1) .
بنابراین بزرگترین عنصر در rN می تواند در برابر یک آستانه آماری مقایسه گردد تا درباره وجود اطلاعات بد تصمیم گیری شود. این آستانه می تواند براساس سطح مطلوب حساسیت آشکار سازی انتخاب شود.

۵٫۵ خواص باقیمانده های نرمالیزه شده
می توان نشان داد که اگر یک اطلاعات بد واحد در مجموعه اندازه گیری موجود باشد (مشروط به اینکه یک اندازه گیری بحرانی یا عضوی از یک زوج بحرانی موجود نباشد) بزرگترین مقدار باقیمانده نرمالیزه شده مربوط به اندازه گیری مخلوط erroneous است