آمار و احتمال
توزيع دو جمله ای :
اگر آزمايشی دارای ويژگی های زير باشد ، آزمايش تصادفی دوجمله ای است .
۱- آزمايش ها مستقل از يکديگر تکرار شوند
۲- آزمايش ها به تعداد دفعات معين مثلا n بار تکرار شوند
۳- آزمايش تصادفی به دو نتيجة ممکن موفقيت و شکست منجرگردد .

۴- احتمال موفقيت ها در همة آزمايش ها ثابت و برابر p باشد .
مثال ۱ : کدام يک از موارد زير می تواند به عنوان آزمايش دوجمله ای تلقی شود ؟
الف- نمونه گيری تصادفی از ۵۰۰ زندانی برای تعيين اينکه آيا آنها قبلا در زندان بوده اند يا خير .
ب- نمونه گيری تصادفی از ۵۰۰ زندانی برای تعيين طول مدت محکوميت آنها .

حل :
مورد « الف » شرايط لازم برای يک آزمايش دوجمله ای را دارد .
۱- آزمايش ها مستقل از يکديگرند
۲- تعداد آزمايش ها ( ۵۰۰ ) ثابت است

۳- هرآزمايش دو نتيجه دارد : يا در زندان بوده يا نبوده
۴- احتمال موفقيت ها ( مثلا زندانی نبودن ) در همة آزمايش ها ثابت است .
مورد « ب » شرايط لازم برای يک آزمايش دوجمله ای را ندارد زيرا طول مدت محکوميت زندانيان متفاوت بوده و بنابراين هرآزمايش بيش از دو نتيجه دارد .

متغير تصادفی و تابع توزيع احتمال
متغير تصادفی دو جمله ای عبارت است از تعداد موفقيت ها دريک آزمايش تصادفی دو جمله ای تابع توزيع احتمال دو جمله ای که در آن p احتمال موفقيت و x تعداد موفقيت ها در n آزمايش باشد به صورت زير تعريف می شود :

نکتة ۱ : توزيع احتمال دوجمله ای دارای دو پارامتر p , n می باشد .
مثال ۲ : يک آزمون چندگزينه ای دارای ۳۰ سئوال ، و هرسئوال دارای ۵ جواب ممکن است که يکی از آنها درست می باشد اگر به تمام سئوالات پاسخ داده شود ، چقدر احتمال داردکه دقيقا ۴ تای آنها پاسخ درست باشد ؟
حل :

اميد رياضی ، واريانس و تابع مولدگشتاور
۱- E ( X ) = np
2- Var ( X ) = npq
3-
مثال ۳ : احتمال اينکه مشتری ای که وارد فروشگاهی می شود چيزی بخرد ۶ /۰ است . اگر ۱۰ مشتری وارد فروشگاهی شده باشند اميد رياضی و واريانس تعداد مشتريان خريدکرده چقدر است ؟
حل :
اين موقعيت شرايط لازم برای يک آزمايش دوجمله ای را داردکه درآن ۶ /۰ = p ، ۴/۰= q و ۱۰ = n ، پس :
۲۴ /۰ = ۴ /۰ * ۶ /۰ * ۱۰ = npq = Var ( x) ، ۶ = ۶ /۰ * ۱۰ = np = E ( X)
مثال ۴ : تابع مولدگشتاورهابرای کميت تصادفی X به صورت۱۰ ( t e 8 /0 +2 /0 ) =M x ( t )
به دست آمده است ضريب تغييرات متغيرتصادفی X را بيابيد .
حل :
۱۰ = n ، ۸ /۰ = p ، ۲ /۰ = q → ۱۰ ( t e 8 /0 + 2 /0 ) = M X ( t )
27 /1= → ۶ /۱ = ۲ /۰ * ۸ /۰ * ۱۰ = npq = Var (x) ،
۸ = ۸ /۰ * ۱۰ = n .p = μ = E ( X )

توزيع پواسن :
اگر آزمايشی دارای ويژگی های زيرباشد ، آزمايش تصادفی پواسن است .
۱- احتمال رخداد بيش ازيک حادثه دريک فاصله زمانی يا مکانی بسيارکوچک تقريبا صفر باشد .
۲- احتمال رخداد يک حادثه درهرفاصله زماني يامکانی متناسب با طول آن فاصله باشد.
۳- احتمال رخدادها درفواصل زمانی يا مکانی مستقل ازهم باشد .

متغير تصادفی و تابع توزيع احتمال :
متغير تصادفی X که بيانگر رخدادهای تصادفی پواسن دريک فاصله زمانی يامکانی معين است را متغير تصادفی پواسن گويند اگر متوسط تعداد موفقيت درهرفاصله زماني يامکانی برابر λ باشد ، تابع احتمال پواسن به صورت زيرتعريف می شود :

. . . و ۲ و ۱ و ۰ = x
نکتة ۲ : توزيع احتمال پواسن دارای يک پارامتر λ می باشد .
مثال ۱ : به طورمتوسط درهردقيقه ۲ اتومبيل برای تحويل بنزين وارد پمپ بنزين می شوند احتمال اينکه ۲ اتومبيل در ۵ دقيقه وارد پمپ بنزين شوند ، چقدر است ؟

حل :
اتومبيل دقيقه
۲ ۱
۱۰ = λ ۵
نکتة ۳ : اگر در توزيع دوجمله ای n بزرگ و p خيلی کوچک باشد می توان از توزيع پواسن استفاده کرد به طورکلی وقتی ۲۰ ≤ n و ۰۵ /۰ ≥ p باشد ، توزيع پواسن تقريب خوبی برای توزيع دوجمله ای و وقتی ۱۰۰ ≤ n و ۱۰ ≥ np باشد ، تقريب بسيارعالی برای آن محسوب می شود يعنی :
Np = λ ،

مثال ۲ : احتمال اينکه محصولی ضمن توليد معيوب شده ۲ % است . ۲۰۰ واحد محصول را به طورتصادفی انتخاب می کنيم ، احتمال اينکه حداقل يک محصول معيوب باشد چقدر است ؟
حل :
۵ > 4 = λ = np → ۰۲ /۰ = p ، ۲۰۰ = n
982 / 0 = – 1 = ( 0 = x ) f x -1 = ( 1 ≤ x ) f x

 

اميد رياضی ، واريانس و تابع مولدگشتاور
۱- λ = E ( X )
2- λ = Var ( X)
3- = ( t ) M x
مثال ۳ : براساس تجربه مشخص شده است که يک تلفنچی ۴ % از تلفن ها را اشتباه وصل می کند . اگر امروز ۲۰۰ تلفن وصل کرده باشد ، واريانس تلفن هايي که اشتباه وصل شده است را پيدا کنيد .

حل :
۸ = ۰۴ /۰ * ۲۰۰ = p ، n = λ
۸ = λ = Var ( X )

توزيع نرمال :
مهمترين توزيع احتمال پيوسته در سرتاسر علم آمار ، توزيع نرمال است . نمودار آن به نام منحنی نرمال ناميده شده و هم شکل زنگوله است .

متغيرتصادفی X که دارای توزيع زنگوله ای شکل باشد متغيرتصادفی نرمال ناميده می شود اگر X يک متغيرتصادفی نرمال با ميانگين μ و واريانس باشد تابع چگالی آن به صورت زير خواهد بود :

که درآن . . . ۱۴۱۵۹ / ۳ = π و . . . ۷۱۸۲۸ / ۲ = e است . وقتی که مقادير μ و σ مشخص شده باشند منحنی نرمال دقيقا مشخص شده است . معمولا وقتی متغيرتصادفی X دارای توزيع نرمال با ميانگين μ و واريانس است آن را به صورت زير نمايش می دهيم :

نکته ۴ : توزيع احتمال نرمال دارای دو پارامتر μ و می باشد .
مثال ۱ : تابع فراوانی توزيع X به صورت است . ميانگين و انحراف معيار اين توزيع را به دست آورده و مقدار A را حساب کنيد .
حل :

از مقايسة تابع با تابع توزيع نرمال نتيجه می شودکه : ۴ = μ و ۱= و از اينجا ۷۰۷ / ۰ = σ از طرفی :

اميد رياضی ، واريانس و تابع مولدگشتاور :
۱- E ( X ) = μ
۲- Var ( X ) = σ ۲
۳-
مثال ۲ : تابع مولدگشتاورها برای کميت تصادفی X به صورت بيان شده است . ضريب تغييرات کميت تصادفی X ، چقدر است ؟
حل :

ازمقايسة M x ( t ) با تابع مولدگشتاور نرمال نتيجه می شودکه ۵۰ = μ و ۱۶= يا ۴ = σ و ضريب تغييرات مساوی خواهد شد با :

خواص توزيع نرمال :
۱- توزيع نرمال نسبت به خط μ = x دارای تقارن است .
۲- در توزيع نرمال پارامترهای مرکزی يعنی ميانگين ، ميانه و مد با هم برابرند ، پس :
μ=me= mo
3- توزيع نرمال دارای يک نقطه ماکزيمم به ازای μ = x می باشد که مقدار ماکزيمم برابر با است .
۴- توزيع نرمال دارای دو نقطة عطف به ازای σ ± μ = x می باشدکه دارای عرضی برابر با است .
۵- در دو طرف ميانگين ، منحنی به مجانب خود يعنی محور x ها نزديک می گردد .

۶- با تغيير پارامتر μ شکل توزيع تغييرنمی کند ولی با تغيير شکل توزيع نيز تغييرمی کند.
۷- مساحت زير منحنی نرمال و محور x ها برابر ۱ است .

۸- مساحت زير منحنی نرمال به وسيلة خط μ = x به دو قسمت مساوی که هريک مساوی است ، تقسيم می شود . يعنی همواره بيشتر از ۵۰ درصد از اندازه ها بيشتر ازميانگين و ۵۰ درصد از اندازه هاکمتر ازميانگين است .

مثال ۳ : فرض کنيد توزيع عمر يخچال های توليدی يک کارخانه با ميانگين ۳۰ و واريانس ۱۵ نرمال باشد . احتمال آنکه طول عمريکی از يخچال ها که به طورتصادفی انتخاب می شود کمتراز ميانگين چقدراست ؟
حل :
چون محور تقارن منحنی توزيع نرمال μ = x می باشد و مساحت سمت چپ آن است بنابراين .
توزيع نرمال استاندارد :
اگريک متغيرتصادفی مانند X دارای ميانگين μ و واريانس باشد آنگاه اگرميانگين اين متغير تصادفی را از آن کسر و برانحراف معيار آن تقسيم کنيم ، داريم :

به متغير تصادفی حاصل که معمولا آن را با حرف Z نشان می دهيم « متغيراستانداردشده » و به اين عمل استاندارد کردن می گويند . ميانگين متغير استاندارد شده صفر و واريانس آن يک می باشد و به صورت نشان می دهند .
ثابت می شودکه اگر توزيع X نرمال باشد توزيع Z هم نرمال خواهد بود و لذا تابع چگالی آن به صورت :

است ، به چنين توزيعی ، توزيع نرمال استانداردگويند .
مثال ۴ : اگر اندازة دو نفر از جامعه نرمالی ۱۰ و ۱۶ و اندازة اين دو نفر برحسب متغير استاندارد Z صفر و ۲ باشد ، ميانگين و انحراف معيارکدامند ؟
حل :

نکتة ۵ : تابع مولدگشتاور توزيع نرمال استاندارد به صورت زير است :

مثال ۵ : تابع مولدگشتاورها برای متغير تصادفی X به صورت بيان شده است.
اميد رياضی و واريانس کميت x 3 = y را پيدا کنيد .
حل :

بنابراين کميت Y برطبق قانون نرمال با اميد رياضی ۰ و واريانس ۹ توزيع خواهد شد .
سطح زير منحنی نرمال :
برای محاسبة احتمال اينکه متغير تصادفی X کميتی بين x1 تا x2 را اختيارکند ، همان طور که دربحث توزيع های پيوسته گفته شد ، عبارت است از :

و در خصوص توزيع نرمال داريم :

محاسبة انتگرال فوق ، عملی مشکل و وقت گير است اين مشکل به وسيلة استانداردکردن داده های آماری حل می شود .