فهرست مطالب
عنوان صفحه
تاريخچه ۱
احتمال ۴
احتمال نظري ۵
احتمال تجربي ۵
احتمال ذهني ۶
محاسبه احتمال ۶
جمع حوادث سازگار ۷
ضرب حوادث مستقل ۷
ضرب حوادث وابسته ۸
اصول اساسي قانون ضرب ۹
جايگشت (تبديل) ۱۱
ترتيب ۱۳
قاعده ترتيب ۱۴
تركيب ۱۵
ويژگيهاي تركيب ۱۸
توصيف احتمال يك حادثه ۱۸
خلاصه ۱۹

تاريخچه
هيچ كس نمي داند كه اعتقاد به شانس براي نخستين بار در چه زماني و مكاني مطرح شد. در هر حال اين امر در دوران ماقبل تاريخ ريشه دارد. با اين حال، اسناد كافي نشان مي دهد كه انسانهاي اوليه براي توجيه حوادث تصادفي به وسايلي متوسط مي شده اند. براي مثال در آسياي صغير در آيين پيشگويي مرسوم بود كه پنج قاپ را بيندازند. ترتيب ممكن از قاپها، نام خدايي را به همراه داشت (ماركس و لارسن، ۱۹۹۰). براي مثال چنانچه ترتيب (۴، ۴، ۳، ۱) به دست مي آمد (قاپ شش وجه دارد و به هر وجه آن يك شماره اختصاص داده مي شد). گفته مي شد زئوس منجي آمده است و چنين ترتيبي پنشاني از قوت قلب تلقي مي شد و تفسير آن اين بود كه آنچه در سر داري،‌ بي مهابا به انجام برسان. يا اگر ترتيب ۴، ۴، ۴، ۶، ۶ ظاهر مي شد معناي آن اين بود كه در خانه ات بمان و به هيچ كجا مرو.

به تدريج پس از گذشت هزاران سال، تاس جانشين قاپ شد. در مقبره هاي مصر كه ۲۰۰۰ سال پيش از ميلاد مسيح ساخته شده اند، تاسهاي سفالي به دست آمده اند. متداول ترين تاس بازي آن زمان هازاد نام داشت. هازاد توسط سربازاني كه از جنگهاي صليبي بازگشتند، به اروپا آورده شد. ورق براي نخستين بار در قرن چهاردهم رواج پيدا كرد.

مورخان در مورد اين كه اعتقاد به احتمال شروع نامشخصي دارد اتفاق نظر دارند. شايد دليل اين امر ناسازگاري آن با عامل بارز موثر در تحول فرهنگ غرب، يعني فلسفه يونان و خداشناسي مسيحيان در صدر مسيحيت باشد. يونانيان به عقيده شانس اكتفا مي كدرند در صورتي كه مسيحيان چنين اعتقادي نداشتند. در قرن شانزده احتمال سر از خاك برداشت. سازماندهي و احيا آن توسط جرولامو كاردان انجام گرفت. علاقه كاردان كه ظاهراً تحصيلاتي در رشته پزشكي داشت، به قوانين احتمال، ناشي از ميل وافر او به قمار بود. او در صدد دستيابي به يك الگوي رياضي بود تا با كك آن بتواند حوادث اتفاقي را تشريح كند. آنچه كه او سرانجام تدوين كرد تعريف كلاسيك احتمال است.

به اين صورت كه در صورتي كه تعداد نتايج ممكن حادثه اي كه همه داراي احتمال يكسان هستند را با n نشان دهيم و چنانچه m نتيجه از n نتيجه ممكن اتفاق بيفتد، احتمال آن حادثه مساوي است. براي مثال در صورتي كه تاسي بدون اريبي باشد،‌ ۶ ممكن (۶= n) خواهد شد (نتايج ۵ و ۶) و احتمال ۵ يا بزرگتر از آن مساوي يا خواهد بود.
كاردان ابتدايي ترين اصول احتمال را مطرح كرده بود. الگويي كه او كشف كرده بود ممكن است پيش پا افتاده به نظر برسد اما حاكي از گامي عظيم بود. بسياري از مورخان نقطه آغاز علم احتمال را سال ۱۶۵۴ مي دانند. در پاريس قمار باز ثروتمندي به نام شواليه دمور از چند رياضي دان برجسته از قبيل بلز پاسكال سوالهايي پرسيد كه معروفترين آنها درباره نقاط بود.

دو نفر، الف و ب، موافقت مي كنند كه بدون تقلب مجموعه اي بازي را تا زماني كه يك نفر از آنها شش دست برنده شود، ادامه دهند. هر كدام از اين دو نفر بر سر مبلغ يكساني شرط بندي مي كنند با اين قصد كه برنده كل، تمام مبلغ شرط بندي (بانك) را برنده شود. حال فرض كنيد به هر دليلي اين بازيها قبل از موقع پايان پذيرد، مثلا در نقطه يا مرحله اي كه فرد الف ۵ دست و فرد ب ۳ دست برنده شده باشد. در اين مرحله يا نقطه از بازي، پول شرط بندي شده چطور بايد تقسيم شود؟ پاسخ صحيح اين است كه فرد الف بايد كل مبلغ شرط بندي شده را دريافت كند. چرا مبلغ شرط بندي شده بايد به اين ترتيب تقسيم شود؟

با طرح سوالهاي دمور، حس كنجكاوي پاسكال برانگيخته شد و نظر خود را با پير فرما، كارمند دولت و احتمالاً برجسته ترين رياضي دان اروپا، در ميان گذاشت. فرما با روي گشاده از نظر پاسكال استقبال كرد و از همان موقع بود كه نظريه معروف تناظر پاسكال- فرما نه تنها براي حل مسائل نقاط مطرح شد بلكه شالوده اي براي كارهاي اساسي تر گرديد.خبر آنچه كه فرما و پاسكال يافته بود انتشار يافت و ديگران هم به مطالعه اين مساله پرداختند. معروفترين آنها دانشمند و رياضي دان هلندي كريستيان هاي جنز است كه نام او بيشتر به خاطر كارهايش در نورشناسي و نجوم در خاطرها مانده است. توجه هاي جنز در همان اوايل كارش به مسائل نقاط جلب شد. وي در سال ۱۶۵۷ كتاب محاسبات در بازيهاي احتمالي را منتشر ساخت كه قريب ۵۰ سال به عنوان كتاب درسي درباره نظريه احتمال تدريس مي شد (لارسن و ماركس، ۱۹۹۰). طرفداران هاي جنز او را بنيانگذار احتمالات مي دانند.

احتمال
مفهوم احتمال به صورتهاي مختلف در زندگي به كار برده مي شود، احتمال به صورت كلي به درست نمايي اتفاق افتادن حادثه تعريف شده است. اين درست نمايي غالباً با P نشان داده ميشود و عبارت از نسبت اتفاق افتادن حادثه اي كه انتظار وقوع آن مي رود. ارزش مقداري احتمال بين صفر تا ۱ قرار دارد. ارزش ۱ براي پيشامد حتمي و ارزش صفر براي نشان دادن اينكه شانس يا احتمال وقوع حادثه معيني وجود ندارد، به كار برده مي شود. در زندگي حوادث نادري وجود دارند كه احتمال وقوع آنها به صورت مطلق حتمي است. به طور كلي، هرگاه تمام حوادث مورد سوال به صورت دقيق و روشن تعريف شوند، احتمال وقوع يك حادثه معين، P ، مساوي است با تعداد شيوه هايي كه آن حادثه اتفاق مي افتد تقسيم بر تعداد كل حالتها. به عبارت ديگر، P مساوي است با تعداد حالتهاي مساعد تقسيم بر مجموع كل حالتها. براي مثال، در صورتي كه تاس بدون اريبي را رها كنيم احتمال اين كه هر يك از شش وجه آن به زمين بنشيند مساوي است و احتمال اين كه هر يك از شماره هاي ۲، ۴ يا ۶ به زمين بنشيند مساوي يا ۵/۰ است.

همان طور كه گفته شد احتمال وقوع حادثه معيني را با P نشان مي دهند. احتمال عدم وقوع همان حادثه را با q نشان مي دهند. مجموع P و q هميشه مساوي يك است (p+q=1). براي مثال، در صورتي كه سكه بدون اريبي را پرتاب كنيم، اگر احتمال آمدن طرف اول آن يا ۵/۰ است و جمع اين دو احتمال مساوي ۱ است (p+q=1). در صورتي كه وقوع يك حادثه در احتمال وقوع حادثه ديگر تاثيري نداشته باشد، آنها را مستقل گويند. حوادث مركب به حوادثي گفته مي شوند كه از دو يا چند حادثه ساده تشكيل شده باشند، مانند امكان آمدن دو تا ۴ در دو مرتبه انداختن تاس.

احتمال نظري
فرض كنيد تاسي را رها كرده‌ايد چون اين تاس داراي ۶ وجه است و احتمال آمده هر كدام از وجوه آن نيز مساوي است بنابراين احتمال آمده هر يك از وجوه اين تاس مساوي است. اين احتمال را نظري مي‌نامند زيرا بر اساس مفروضه‌هاي نظري محاسبه مي‌شود. براي مثال در صورتي كه در يك مسابقه ورزشي براي پيروزي تيمي ۴۰۰۰ ريال به ۱۰۰۰ ريال شرط بندي كنيم، در اين شرط بندي نظر ما اين است كه ۴ به يك به نفع ما خواهد بود، يعني در نظر ما، تيمي كه طرفدار آن هستيم از پنج بازي، امكان چهار موفقيت دارد. بنابراين احتمال اينكه تيم مزبور برنده شود، يا ۸/۰ است. اين امكان بيشتر جنبه نظري دارد.

احتمال تجربي
احتمال تجربي بر پايه مفروضه‌هاي نظري قرار ندارد، بلكه اساس آن تجربه است. متوسط تعداد دفعات برنده شدن تيم فوتبال را مي‌توان برحسب احتمال تجربي تفسير كرد، در صورتي كه احتمال برنده شدن در مسابقه‌اي را مي‌توان با اساس فراواني نسبي برد در مسابقه‌هاي گذشته به وسيله عددي بيان كرد. بنابراين اگر تيم خاصي از n بازي، r مرتبه برنده شود احتمال را فراواني نسبي بازيهاي برده شده مي‌نامند. در صورتي كه مسابقه‌هاي زيادتري با همين شرط انجام شود احتمال به دست آمده را تجربي گويند.

احتمال ذهني
واژه احتمال ذهني به منظور توصيف به وقوع پيوستن حوادث روزمره كه براساس دلايل ذهني قرار دارد به كاربرده مي‌شود. احتمال ذهني بيشتر به احساس يا عقايد ما بستگي دارد.

محاسبه احتمال
در احتمال محاسبات بر اساس دو قانون جمع و ضرب انجام مي‌شود. قانون جمع زماني به كار برده ميشود كه يكي از دو حادثه اتفاق بيفتد يعني حادثه اول يا حادثه دوم. درصورتي كه قانون ضرب در شرايطي به كار برده مي‌شود كه هر دو حادثه با هم اتفاق بيفتند.

در احتمالات حوادث ناسازگار به حوادثي گفته ميشود كه وقوع يكي از آنها مانع وقوع ديگري باشد. براي مثال وقتي سكه‌اي را يكبار به هوا پرتاب كنيم نشستن يك روي آن مانع از نشستن طرف ديگر آن مي‌شود يا بارندگي مانع تابش آفتاب مي‌شود. اين دو واقعه ناسازگارند. هنگامي كه دو واقعه ناسازگار باشند، احتمال اين كه يكي از اين دو واقعه با يكديگر اتفاق بيفتند، مساوي مجموع احتمالهاي هر يك از آنهاست. براي دو حادثه A و B قانون جمع به صورت زير بيان مي شود:
P (A B) = P (A) + (B)

براي مثال هنگامي كه تاسي را رها كنيم، احتمال اين كه ۱ يا ۲ بيايد به صورت زير محاسبه مي‌شود:
(۲)P + (1) ‍P = (2 يا ۱)P

جمع حوادث سازگار
هر گاه دو حادثه سازگار باشند، امكان وقوع آنها به صورت همزمان وجود دارد. براي مثال در صورتي كه از يك دسته كارت ۵۲ برگي كارتي را استخراج كنيم و بخواهيم اين كارت آس يا پيك باشد، در اين صورت امكان استخراج آس پيك وجود دارد. اين دو واقعه سازگار هستند. در چنين شرايطي عمل جمع به صورت زير انجام مي‌شود:
= P (A) + P (B) – P (A , B) (B يا A) P
در مورد بحث احتمال اين كه كارت استخراج شده پيك يا آس باشد به صورت زير محاسبه مي‌شود:
(پيك و آس) P- (پيك) P + (آس) P= (پيك و آس) P

ضرب حوادث مستقل
براي تعيين احتمال مشترك يعني احتمالي كه در آن امكان وقوع دو حادثه همزمان وجود داشته باشد اطلاع از اين دو حادثه مستقل يا همبسته‌اند ضروري است. حوادث مستقل به حوادثي گفته مي‌شود كه وقوع يا عدم هر يك در احتمال وقوع يا عدم وقوع حادثه ديگر تاثير نداشته باشد. براي مثال فرض كنيد دو تاس قرمز و سبز داريم و علاقه‌منديم احتمال آمدن۲ را در انداختن اين جفت تاس تعيين كنيم. احتمال آمدن ۲ براي تاس قرمز است و اين احتمال در تاس سبز تاثيري ندارد. چون احتمال آمدن ۲ در تاس قرمز، تاثيري در آمدن ۲ در تاس سبز ندارد، به همين دليل اين دو حادثه ازيكديگر مستقل هستند.
در صورتي كه دو حادثه مستقل از يكديگر باشند، احتمال اين كه هر دو تاي آنها اتفاق بيفتند مساوي حاصل ضرب احتمال وقوع هر يك از آنها است:
P (A , B) = (A) P (B)
اين احتمال در مثال مورد بحث به شرح زير محاسبه مي‌شود:

(۲ در باس سبز و ۲ در تاس قرمز) P
ضرب حوادث وابسته
اگر دو حادثه وابسته باشند، يعني احتمال وقوع يكي از آنها به احتمال وقوع يا عدم وقوع ديگري بستگي داشته باشد احتمال آن كه هر دوي آنها اتفاق بيفتند عبارت است از:
P (A ,B) = P (A) P (B /A)1
براي مثال فرض كنيد در ظرفي شش مهره قرمز و چهار مهره سفيد وجود دارد. ابتدا مهره اول و سپس مهره دوم را از ظرف مربوطه برمي‌داريم (مهره اول را به جاي خود نمي‌گذاريم). در اين حالت احتمال اين كه دومين مهره قرمز يا سفيد باشد بر نتيجه اولين مهره تاثير مي‌گذارد. احتمال اين كه به همين ترتيب نمونه‌اي دو تايي استخراج شود بر نتيجه دو مهره قرمز تاثير خواهد گذاشت:

(اولين مهره قرمز/ دومين مهره قرمز)P × (استخراج اولين مهره قرمز) P= (دو مهره قرمز)P
براي مثال فرض كنيد در ظرفي شش مهره قرمز و چهار مهره سفيد وجود دارد. ابتدا مهره اول و سپس مهره دوم را از ظرف مربوطه برمي‌داريم (مهره اول را به جاي خود نمي‌گذاريم). در اين حالت، احتمال اين كه دومين مهره قرمز يا سفيد باشد بر نتيجه اولين مهره تاثير مي‌گذارد، احتمال اين كه به همين ترتيب نمونه‌اي دو تايي استخراج شود بر نتيجه دو مهره قرمز تاثير خواهد گذاشت:
(اولين مهره قرمز/ دومين مهره قرمز) P× (استخراج اولين مهره قرمز)P= (دو مهره قرمز)P

اصول اساسي قانون ضرب
مسائل مربوط به احتمال كه مورد بحث پاسكال، كاردان و ديگران قرار گرفت از نظر مفهوم يكسان هستند. همه آنها به نسبت مي‌پردازند. اگر يك عمل يا يك بازي به n نتيجه تقريباً‌ يكسان منجر شود و در صورتي كه m نتيجه از آنها داراي شرايط معيني باشد، احتمال آن شرايط مساوي است.

پيدا كردن n و m گاهي اوقات آسان و در برخي از شرايط دشوار است. چنانچه حادثه مورد مطالعه همانند انداختن تاس ساده باشد. n و m را مي‌توان به صورت مستقيم به وسيله شمارش به دست آورد. اما موقعي وجود دارد كه امكان شمارش به صورت مستقيم وجود ندارد يا در صورتي كه اين امكان وجود داشته باشد شمارش وقت‌گير و مقرون به صرفه نيست. در چنين شرايطي از شاخه اي از رياضيات به نام رياضي تركيبي استفاده مي‌شود.

اين رشته از رياضيات به بررسي، انتخاب، ترتيب، شمارش ترتيب و تواليهاي مرتب نشده مي‌پردازد. رياضي تركيبي به بررسي ساخت نتايج همراه با يك موقعيت مي‌پردازد و به ما اجازه مي‌دهد تا n و m را به صورت منظم بشماريم. اين بحث را با تفكري كه هسته اصلي رياضي تركيبي است شروع مي‌كنيم. اين ايده يا تفكر به راههاي مختلف شمارش ترتيب و توالي حوادث منجر مي‌شود.

دانشجويي را در نظر بگيريد كه براي تعطيلات آخر هفته خود برنامه‌ريزي مي‌كند. كارهايي كه او مي‌تواند انجام دهد در جدول زير ذكر شده است.
كاملا روشن است كه در آخر هفته او بايد يكي از ۶ رشته فعاليتهاي زير را انجام دهد. او مي‌تواند در شب جمعه يكي از سه فعاليت و در شب شنبه يكي از دو فعاليت را انجام دهد. در صورتي اين دانشجو بخواهد شب يكشنبه ۵ فعاليت ديگر را انجام دهد، مجموعه فعاليتهاي او به ۳۰ فعاليت (۳۰= ۶× ۵) افزايش پيدا مي‌كند. زيرا هر يك از فعاليتهاي قبلي در ۵ ضرب مي‌شود. بسط و توسعه اين مثال به K فعاليت اساسي‌ترين قانون موجود در رياضي تركيبي يعني قانون ضرب را نشان مي‌دهد.

اگر مرحله ۱ را بتوان به n1 صورت و مرحله ۲ را به n2 صورت … و مرحله k را به n¬k صورت انجام داد.احتمال اينكه تمام مراحل به ترتيب معين ظاهر شوند مساوي است با
به عبارت ديگر در صورتي دويا چند حادثه وابسته باشند و احتمال آنهال به ترتيب p1 تا Pn باشد، احتمال اينكه تمام اين حوادث به ترتيب معيني رخ دهند مساوي حاصل ضرب هر يك از احتمالها.

جايگشت (تبديل)
در قسمت پيش ملاحظه شد كه الگوهاي ترتيبي كاربرد گسترده‌اي دارند. الگوي تركيبي ديگري كه به طور مستمر از آن استفاده مي‌شود يا جايگشت نام دارد. مي‌توان افراد يا اشياء را به طرق مختلف كنار هم قرار داد. براي مثال سه عدد۰، ۱، ۲ را مي‌توان به شش طريق كنار هم قرار داد (۰۲۱- ۰۱۲- ۲۱۰- ۱۰۲- ۱۲۰). شش طريق مذكور را تبديل يا جايگشت سه عدد ۰، ۱، ۲ گويند. چنانچه ملاحظه ميِشود هر جا جايگشت با جايگشت ديگر فقط از نظر قرار گرفتن اعضا تفاوت دارد. همانطور كه در مثال مطرح شده مشاهده مي‌شود تعداد گروههاي جايگشت سه عنصر مساوي ۶ است. در صورتي كه اين تعداد را با P3 نشان دهيم مي‌توان آن را به صورت زير نشان داد:

با كمي دقت مي‌توان گروههاي سه عنصري را از روي گروههاي جايگشت ۲ عنصري نوشت. براي روشن شدن مطلب فرض كنيد قصد داريم يكبار جايگشتهاي دو عنصر b و a و يك بار جايگشتهاي سه عنصر c و b و a را تعيين كنيم. در صورتي كه در جايگشت ab يكبار c را در سمت چپ و سپس بين b و a و در پايان در سمت راست b قرار دهيم جايگشتهايي به صورت cab , acb و abc درست خواهد شد. و اگر همين عمل را براي جايگشت ba انجام دهيم سه جايگشت سه تايي ديگر به .وجود خواهد آمد كه در نتيجه مجموع كل جايگشتها به ۶ خواهد رسيد.

يا به عبارت ديگر
۶ = ۱× ۲* ۳ = P3
تعداد جايگشتهاي ممكن براي ۴ حرف C, B, A و D مساوي ۲۴ است. يعني
۲۴= ۱× ۲× ۳× ۴ = P3 4 = P4
درصورتي كه n شيء مجزا داشته باشيم تعداد جايگشتهاي آنها مساوي ۱* ۲ *… * (۲- n) (1-n) خواهد شد. به عبارت ديگر تعداد گروههاي حاصل از تبديل يا جايگشت روي يك مجموعه n عنصري كه آن را با Pn نمايش مي‌دهند عبارت است از :
Pn = nPn – ۱
Pn = n (n-1) (n-2) (n –۳) …۳ ۲
حاصل فوق كه آن را با n نمايش مي‌دهند فاكتوريل n خوانده مي‌شود. N! مساوي است با
حاصل ضرب اعداد ۱ تا n و آن را به صورت زير نشان مي دهند:
Pn=n!
در صورتي كه در تبديل يا جايگشت، عناصر تكراري وجود داشته باشد از فرمول زير استفاده مي شود:
(۱-۹)
در اين فرمول N عنصر وجود دارد كه nتاي آن از يك نوع، m تا از نوع ديگر و به همين ترتيب k تاي ديگر از نوع ديگر است.