خلاصه

در این مقاله به بررسی ارتعاشات آزاد ورق دایره ای مواد تابعی مدرج دو بعدی در شرایط مرزی مختلف پرداخته شده است. ابتدا میدان های تغییرمکان بر اساس تئوری مرتبه سوم تغییر شکل برشی ردی تعریف میگردد و در ادامه میدان های تنش و کرنش بدست میآیند. سپس با استفاده از اصل همیلتون و اصل حداقل انرژی پتانسیل معادلات حرکت مواد تابعی مدرج دو بعدی بدست میآیند و در ادامه معادلات حرکت برحسب جابجایی بدست میآیند. ماده در نظر گرفته شده، مواد تابعی مدرج دو بعدی میباشد. که خصوصیات آن در امتداد شعاع و ضخامت تغییر میکنند. پس از بیبعد سازی معادلات، برای حل معادلات حرکت، از روش دیفرانسیل کوادراچر استفاده می شود. شکل مود های ارتعاشی اول، دوم و سوم برای ورق دایره ای در شرایط مرزی تکیه گاهی گیردار-گیردار، ساده-ساده،گیردار-آزاد و گیردار-ساده بررسی میشود. در نهایت مقادیر فرکانسهای طبیعی بیبعد استخراج شده با نتایج بدست آمده از مراجع دیگر اعتبار سنجی شده و دقت نتایج بدست آمده اثبات میگردد.

کلمات کلیدی: ارتعاشات آزاد، مواد تابعی مدرج دو بعدی، ورق دایره ای، تئوری مرتبه سوم تغییر شکل برشی ردی

مقدمه

امروزه به خاطر استفاده وسیعی که از ورق ها در صنایع، مکانیک، عمران و سازه ها می شود، مطالعه بر روی رفتار ارتعاشی ورق ها نقش مهمی در طراحی مهندسی سازه ها ایفا میکند، مطالعه در زمینه ارتعاشات ورق ها باعث بهینه کردن طراحی و کاهش هزینه های اقتصادی در پروژه ها و سبب افزایش بازدهی و راندمان میشود.[۱] مواد تابعی مدرج کاربرد زیادی در صنعت دارند. تعداد زیادی از کاربرد های این مواد توسط یاس و همکارانش [۲] و همچنین ژو و همکارانش [۳] بیان شده است. ردی[۴] ارتعاشات ورق دایره ای ایزوتروپیک را با استفاده از تئوری کلاسیک ورق ها، تئوری مرتبه اول و تئوری مرتبه دوم تغییر شکل برشی به وسیله ی حل دقیق برای شرایط مرزی گیردار و ساده و آزاد محاسبه کرده است. گوپتا و همکارانش [۵] ارتعاشات آزاد ورق دایره ای غیرهمگن، با ضخامت متغیر را بر اساس تئوری مرتبه ی اول برشی، مورد تحلیل قرار داده اند. ایشان فرکانس طبیعی و شکل مودی ورق مورد بحث را در سه حالت گیردار، آزاد و تکیه گاه ساده با استفاده از روش دیفرانسیل کوادراچر محاسبه کرده اند. یونگ کیاگ و همکارانش [۶] المان فوریه را برای تحلیل ارتعاشات آزاد ورق های نازک قطاعی سوراخ دار و دایره ای بررسی کرده اند. حسینی هاشمی و همکارانش [۷] معادلات فرکانس آزاد ورق های دایره ای ضخیم ایزوتروپ با شرایط مرزی مختلف بر اساس تئوری مرتبه سوم تغییر شکل برشی ردی، با استفاده از حل دقیق، مورد مطالعه قرار دادند. نای و همکارانش [۸] ارتعاشات ورق های قطاعی سوراخ دار مواد تابعی مدرج با لبه های شعاعی تکیه گاه ساده را مورد مطالعه قرار دادند. خواص مکانیکی مواد در جهت ضخامت متغیر در نظر گرفته شد و یک حل تحلیلی در راستای ضخامت با استفاده از روش دیفرانسیل کوادراچر یک بعدی ارائه دادند. بیزادی و همکارانش [۹] معادلات فرکانس آزاد ورق های دایره ای توخالی ایزوتروپ بر اساس تئوری مرتبه سوم تغییر شکل برشی ردی، با استفاده از حل دقیق را، مورد مطالعه قرار دادند. سرجی و همکارانش [۱۰] مسائل ارتعاش آزاد و کمانش و خیز صفحات مواد تابعی مدرج با خصوصیات مختلف در مواد تشکیل دهنده و ضخامت های مختلف را، بررسی کرده اند. براساس آخرین اطلاعات نویسندگان تاکنون بررسی ارتعاشات آزاد ورق دایره ای مواد تابعی مدرج دو بعدی در شرایط مرزی مختلف بر اساس تئوری مرتبه سوم تغییر شکل برشی ردی به روش دیفرانسیل کوادراچر صورت نگرفته است.

۱ کارشناس ارشد مهندسی مکانیک- طراحی کاربردی

۲ دکتری تخصصی مهندسی مکانیک- طراحی کاربردی و عضو هیئت علمی دانشگاه (مرتبه علمی دانشیار)

۱

دومین همایش ملی پژوهش های کاربردی در » مهندسی برق، مکانیک و مکاترونیک«
۲nd National Conference on Applied Researches in Electrical, Mechanical and Mechatronics Engineering

میدان تغییر مکان
میدان تغییر مکان براساس تئوری مرتبه سوم تغییر شکل برشی ردی برای ورق دایره ای به صورت زیر تعریف میشود: [۷],[۹]
( ۱) × ( ) ( )

(۲) ( ) ( )

(۳) ( ) ( )

روابط کرنش- میدان تغییر مکان

روابط کرنش- میدان تغییر مکان را برای تغییر شکل های کوچک و خطی، به شکل زیر تعریف میشود :[۷],[۱]

(۴) (۵) (۶) (۷) (۸)

روابط مواد تابعی مدرج دو بعدی

براساس مدل کسر حجمی ردی برای مواد تابعی مدرج دو بعدی که در دو جهت ضخامت و شعاع تغییر میکنند،خواهیم داشت:[۱۲], [۲]
(۹) ( ( ) ( )) ( )

(۱۰) ( ( ) ( )) ( )

( ۱۱) ×
در اینجا , , نماد های، مدول الاستیسیته ،چگالی و ضریب پواسن میباشد. همچنین نماد های سرامیک و فلز است و نیز نمای نسبت

کسر حجمی در راستای ضخامت و نمای نسبت کسر حجمی در راستای شعاع میباشد. نمودار های۱و۲ حالت کلی مدل کسر حجمی ردی برای ورق های مواد تابعی مدرج دو بعدی را نشان می دهد. در حالت ورق کاملا سرامیک است. در حالت ترکیب سرامیک و فلز خطی میباشد. و با افزایش میزان فلز نسبت به سرامیک افزایش مییابد، به طوری که اگر به سمت بینهایت میل کند، سازه کاملا فلزی می شود. a شعاع و h ضخامت ورق دایره ای میباشد.

×

× برای ورق × برای ورق
نمودار -۱ حالت کلی مدل کسر حجمی ردی نمودار -۲ حالت کلی مدل کسر حجمی ردی
( ) ( )
های مواد تابعی مدرج دو بعدی های مواد تابعی مدرج دو بعدی

۲

دومین همایش ملی پژوهش های کاربردی در » مهندسی برق، مکانیک و مکاترونیک«
۲nd National Conference on Applied Researches in Electrical, Mechanical and Mechatronics Engineering

روابط تنش- کرنش
با توجه به قانون هوک،[۱] روابط تنش-کرنش را برای مواد تابعی مدرج دو بعدی به صورت زیر خواهیم داشت: