اشنایی با ریاضیات

آشنایی با ساختمان منطقی جمله هایی که مطالب ریاضی بوسیله آنها بیان می شوند مستلزم مفاهیم گزاره، گزاره نما، و اسم نماست. این مفاهیم که بخشی از منطق ریاضی مقدماتی محسوب می شوند می توانند مفاهیم و احکام ریاضی را قابل فهم و قابل توضیح نمایند. در عصر حاضر ایفای نقش منطق ریاضی در توجیه و قابل انتقال نمودن مفاهیم در پیشرفت و تکامل کامپیوتر بر هیچکس پوشیده نیست.

۲٫۱ حساب گزاره ها
۱٫۲٫۱ تعریف: گزاره جمله ای خبری است که یا راست است یا دروغ اگرچه راست یا دروغ بودن آن معلوم نباشد.
برای هر گزاره یک ارزش راستی یا دروغی یا مختصراً یک ارزش قائل می شویم. مثلاً هر یک از جملات«عدد ۳ فرد است»،«عدد ۶ زوج است» و« اصم است» گزاره هستند. هر یک از گزاره های اول و دوم راست هستند ولی راست یا دروغ بودن گزاره سوم یا مقدمات کنونی، برایمان معلوم نیست ولی در هر حال یا راست است یا دروغ.گزاره ها بطورکلی به سه دسته تقسیم می شوند: گزاره شخصی، گزاره کلی و گزاره جزئی( یا وجودی) نوع اول گزاره ای است که از شیء معینی خبر می دهد. و در این بخش مورد بحث ماست. نوع دوم و سوم را در بخش آینده تعریف و بررسی خواهیم کرد.

از ترکیب گزاره ها گزاره های مرکب حاصل می شود این عمل با رابطهای گزاره ای امکان پذیر است.
۲٫۲٫۱ رابطهای گزاره ای: گزارها را با حروف p ، q ،v ،s و یا با حرف اندیس دار نظیر ، ،… نشان می دهیم و هر نوع ترکیبی از آنها با الفاظ زیر که رابطهای گزاره ای نامیده می شوند امکان پذیر است.

«چنین نیست که»،«و»،«یا»،« اگر»،« اگر و فقط اگر»
علایم ~ ، &، ، ( یا )، ( یا ) نیز به ترتیب برای این رابط ها بکار خواهند رفت. اینک به توضیح آنها می پردازیم:
۳٫۲٫۱ نقیض: اگر Pگزاره ای باشد«چنین نیست کهP» را نقیض P می گوییم و با علامت ~P نشان میدهیم. علامت ~ را ناقص و گزاره ای را که ناقص در آن عمل می کند دامنة عمل ناقص می نامیم. پیداست که اگر گزاره ای راست(دروغ) باشد نقیض آن دورغ( راست) است.

بعنوان مثال نقیض گزاره«۶ عدد اول است» گزارة«چنین نیست که ۶عدد اول است.» و گزاره«۶ عدد اول نیست» خواهد بود.
۴٫۲٫۱ ترکیب عطفی: اگر pو q دو گزاره باشد گزاره«p,q » را ترکیب عطفی p با q می گوییم و با علامت نشان میدهیم. علامت& را عاطف و p وq را مؤلفه های
عاطف نامیم. ترکیب عطفی فقط و فقط وقتی راست است که هر دو مؤلفه آن گزاره های راستی باشند.

از الفاظی که از نظر منطقی مترادف عاطف است لفظ« ولی= اما» است مثلاً گزاره«۶ زوج است ولی اول نیست» به معنی« ۶ زوج است و ۶اول نیست» خواهد بود که البته گزاره ای راست است.

۵٫۲٫۱ ترکیب فصلی: اگرp وq دو گزاره باشند گزارة«p یاq » را ترکیب فصلی p با q نامیده به علامت p v q نشان میدهیم. این گزاره فقط و فقط وقتی دروغ است که هردو مؤلفه آن دروغ باشند. توجه کافی به تفاوت این« یا» که یاء منطقی نامیده می شود با لفظ عادی« یا» که در استعمال عادی برای ترکیب گزاره ها بکار میرود مبذول دارید. در استعمال عادی لفظ«یا» گزارة ترکیب شده فقط وفقط وقتی راست است که یکی از مؤلفه ها راست و دیگری دروغ باشد این نوع«یا» را یاء مانع جمع می نامیم.
در منطق لفظ«یا» همواره به معنی منطقی بکار می رود و «یای» مانع جمع را با تکرار لفظ«یا» و نیز با لفظ« الا» مشخص می کنند. مثلاً گزاره های
« یا ۵ فرد یا ۵ز وج است»
« ۵ فرد است والا زوج است»

به یک معنی هستند که مشخص کننده یای مانع جمع است.
۶٫۲٫۱ ترکیب شرطی: اگر p و q دو گزاره باشند گزارة« اگر p آنگاه q » را ترکیب شرطی p باq می نامیم و آنرا به علامت ( یا ) نشان می دهیم.
در اینجا مؤلفه p مقدم و مؤلفه q تالی گفته می شود . ترکیب شرطی فقط وقتی دروغ است که pگزارة راست و q گزارة دروغ می باشد.
تذکر۱: ارزشهای گزارة عطفی و گزاره از ترتیب مؤلفه ها مستقل است ولی ارزش گزارة شرطی چنین نیست، یعنی ممکن است راست ولی دروغ باشد و یا بالعکس دروغ و راست باشد
تذکر ۲: بیان ترکیب شرطی« اگر p آنگاه q » در ریاضیات و نیز در زبان عادی به صورت های متنوعی امکان پذیر است که عبارتند از:
اگر p ، q ؛
هرگاه p آنگاه q ؛
در حالتی که p ، q ؛
q اگر p ،

q به شرطی p ؛
P و فقط وقتی که q ؛
P شرط کافی برای q است؛
q شرط لازم برای p است ؛
شرط لازم برای p آن است که q ؛
P مستلزم q است؛
q از p لازم می آید؛
.
۷٫۲٫۱ ترکیب دو شرطی : گزارة
« اگر p آنگاه q و اگر q آنگاه p » (۱)

ترکیب عطفی دو گزارة شرطی و است که می توان آن را به صورت زیر
نوشت:
معادل با (۲)
این گزاره را ترکیب دو شرطی دو گزارة p و q می نامیم و آنرا به علامت
(۳)
نشان میدهیم ارزش این گزاره فقط و فقط وقتی راست است که مؤلفه های p و q هم ارزش باشند اگرچه را به عنوان رابط گزاره ای تعریف کردیم ولی باید به مفهوم آن هم توجه داشت.
تذکر ۱: مشابه ترکیب شرطی در مورد ترکیب دو شرطی نیز بیانهای مختلفی برای وجود دارند که عبارتند از:
شرط لازم و کافی برای p آن است که q؛
P فقط و فقط وقتی p که q ؛

فقط و فقط وقتی که q ؛
اگر p آنگاه q و بالعکس؛
شرط لازم برای p آن است که q و شرط کافی برای p آن است که q .
تذکر ۲: در ریاضیات موردی هست که استفاده از ترکیب شرطی به جای ترکیب دو شرطی متداول است و آن در« تعریف» های ریاضی است. مثلاً تعریف« مثلث ABC را متساوی الاساقین می نامیم. در صورتی که دارای دو ضلع مساوی باشد» در واقع بدین معنی است که« مثلث ABC فقط و فقط متساوی الاساقین است که دارای دو ضلع مساوی باشد» و یا معادل است با« مثلث ABC را فقط و فقط متساوی الاساقین خوانند که دارای دو ضلع متساوی باشد.»

۸٫۲٫۱ ترکیبات منطقی و فرمول های حساب گزاره ای: رابطهای گزاره ای یعنی ~ ،&، ، و را ملاحظه کردیم که اولی در یک گزاره و سایرین در دو گزاره عمل می کنند. ترکیبات گزاره ها بوسیله آنها ترکیبات منطقی و عبارت حاصل از ترجمه یک گزاره را به زبان منطق( یعنی نوشتن آن با رابط های گزاره ای و حروف) یک فرمول حساب گزاره ها یا مختصراً یک فرمول می نامیم. گزاره های سازه ای یک ترکیب منطقی نیز گزاره هایی هستند که ترکیب منطقی از آنها ساخته می شود( بوسیلة رابط های گزاره ای)

در نوشتن ترکیبات منطقی بصورت فرمولها اساساً باید دامنه یا دامنه های هر عمل را با پرانتز مشخص کرد استفاده از پرانتز در منطق مشابه ریاضیات است.
در ترکیبات منطقی باید به رابط اصلی توجه کافی شود. مثلاً در گزارة ، ~ رابط اصلی است در حالی که در گزارة ، رابط اصلی است. بکاربردن پرانتزها بعضاً الزامی است مثلاً ترکیب منطقی معنی ندارد، ولی معنی دار است که رابط عطفی دوم( از چپ به راست) رابط اصلی شمرده می شود.
د ربکارگیری پرانتز ها قراردادهای زیر را نیز داریم که توجه به آنها موجب تسهیل در ساده نویسی می گردد.

۱٫۸٫۲٫۱ قرارداد: دامنه عمل ناقص فقط و فقط وقتی د رپرانتز قرار داده می شود که رابط اصلی این دامنه یک رابط دوطرفه باشد، بنابراین مثلاً نقیض را به صورت و نقیض گزارة را به صورت می نویسیم و نیز نقیض گزارة بصورت سادة نوشته می شود زیرا در گزارة رابط اصلی«~ » است.
۲٫۸٫۲٫۱ قرارداد: اگردامنه عمل یک رابط دوطرفه در طرفی نقیض یک گزاره باشد. این دامنه را در پرانتز محصور نمی کنیم. مثلاً در ترکیب فصلی گذاشتن پرانتز ها ضرورتی ندارد و آنرا به صورت می نویسیم.همچنین ترکیب شرطی با حذف پرانتز هایی که لازم است به صورت سادة نوشته می شود.
مثال: گزارة« اگر و آنگاه » را به زبان منطق ترجمه کنید.
جواب: اگر p ، q و r به ترتیب گزاره های« »،« » و « » باشند آنگاه ترجمة گزاره چنین خواهد بود:

۳٫۸٫۲٫۱ قرارداد: گزاره های و بصورت های و خواهند بود و تعمیم آن به هر تعداد نامتناهی با قراردادن پرانتزها از چپ به راست، گزاره ها را با معنی خواهد کرد. همچنین گزارة« p مگر آنکه q » را به معنی اگر آنگاهp ، و یا به صورت در نظر می گیریم. مثلاً« او را نمی بخشم مگر آنکه عذرخواهی کند» که به معنی« اگر عذرخواهی نکند او را نمی بخشم» است.
تذکر: تشخیص ساختمان منطقی گزاره ها با بیان عادی آنها لازم و ضروری است. این امر بیشتر در گزاره های شرطی مورد توجه است. مثلاً در گزارة« در مثلث ABC اگر آنگاه و بالعکس» مثلث بودن ABC مقدم یک ترکیب شرطی است که تالی این ترکیب شرطی گزارة دو شرطی:
« اگر و فقط اگر »

می شود درواقع گزاره مذکور به صورت زیر قابل بیان است
( ABC مثلث است)
۹٫۲٫۱ ارزش راستی فرمولها: اگر در فرمولی نظیر یا یا حروف گزاره ای سازای آنرا نمایش گزاره های دلخواه بشماریم، هر فرمول نمایش گزاره ای بیشماری خواهد بود. برای تسهیل بیان، هر دستگاه از ارزشهای حروف گزاره های یک فرمول را یک ارزشدهی در آن فرمول می نامیم.( برای اختصار ارزش راست بودن را به T و دروغ بودن را به F نمایش میدهیم) مثلاً در گزاره اگر p راست و q دروغ باشد یک ارزشدهی در است.

تعداد ارزشدهی های یک گزاره به تعداد گزاره های سازای آن بستگی دارد. مثلاً در گزاره p ( شامل یک گزارة سازا) فقط دو ارزشدهی وجود دارد ولی دارای چهار ارزشدهی ، ، و است به همین ترتیب در گزاره ای با سه گزارۀ سازا هشت ارزشدهی خواهیم داشت. و بطورکلی در گزاره ای با n گزاره سازا دقیقا ارزشدهی امکان پذیر است.
برای تعیین تمام حالات ممکن ارزشدهی یک فرمول کلیة حالات گزاره های سازا را در جداولی تنظیم می کنیم و برای خود فرمول نیز یک یا چند ستون در نظر می گیریم سپس براساس تعاریف ارزش گزاره ها، ارزشدهی فرمول را معین می کنیم و ستون حاصل را جدول ارزش راستی فرمول موردنظر می نامیم.
جدول ارزش راستی هر یک از گزاره های ، و را در زیر نشان داده ایم:

T
T
T
F T
F
T
F T
T
F
F

T
F
F
F T
F
T
F T
T
F
F

F
T T
F
تذکر: ارزش یک فر مول صرفاً با ارزشهای حروف سازای آن( یا به عبارتی گزاره های آن) مشخص می شود و از هر امر دیگر نظیر معانی حروف مستقل است.
۱۰٫۲٫۱ راستگوها: فرمولی را که همواره( یعنی به ازای هر نوع ارزشدهی) راست( یا دروغ) باشد راستگو( یا دروغگو) می نامیم.
مثلاً فرمول راستگو و دروغگو است.

فرمولهای راستگو از قوانین منطق و فرمولهای دروغگو از تناقضات منطق محسوب می شوند. با تنظیم جدول ارزش یک فرمول می توان راستگوها و دروغگوها را مشخص کرد. بدین ترتیب که اگر در ستون آخر جدول ارزشدهی فرمولT ظاهر شده باشد فرمول مورد نظر راستگو است و اگر همه ارزشهای ظاهر شده F باشند فرمول مورد بحث دروغگو خواهد بود. برخی از دروغگوها نام خاصی نیز دارند مثلاً به اجتماع نقیضین معروف است. در جدول زیر چند راستگو را ملاحظه می کنیم که برخی از آنها به نام خاصی نیز معروفند. اثبات راستگو بودن آنها با استفاده از جدول ارزشدهی آن میسر است. می توان از آنها در هر فرمول دیگری بهره جست و ارزش فرمول را بدست آورد.
(۱)
(۲)
(۳)
(۴)
(۵)
(۶)
( قانون عکس نقیض) (۷)
( قانون دمورگن) (۸)
(۹)
(۱۰)
(۱۱)
تذکر: چون ارزش راستی، یک راستگو از ارزشهای راستی حروف سازای آن مستقل است، بدیهی است که اگر در یک راستگو حروف سازای آن را بطور یکنواخت به فرمولهای دلخواهی تبدیل کنیم فرمول جدید نیز راستگو خواهد بود. بوسیلة این قاعده می توان از هر راستگو، راستگوهای بیشماری را استخراج کرد.

مثلاً از (۲) می توان راستگوی را نیز استخراج کرد که به جای p و q به ترتیب و بطور یکنواخت قرار داده ایم و .
۱۱٫۲٫۱ معادلات منطقی و خواص آنها: از مفاهیم مهم وابسته به مفهوم راستگو مفهوم فرمولهای معادل است. فرمولu را با فرمول v معادل می نامیم اگر یک راستگو باشد هر راستگوی دوشرطی یک معادله منطقی نامیده می شود. از تعریف فرمول های معادل معلوم میشود که هر فرمولی که معادل یک راستگو( دروغگو) باشد خود راستگو( دروغگو) است. بالاخره برای تشخیص این که دو گزارة فارسی با هم معادلند یا نه، ابتدا آنها را به صورت فرمول می نویسیم، اگر فرمولهای حاصل با هم معادل باشند آن گزاره ها با هم معادلند.
معادلات منطقی خواصی شبیه خواص تساوی دارند که عبارتند از:

(آ): هر فرمول با خود معادل است.
(ب): اگر فرمولی معادل فرمول دیگری باشد و دومی نیز با اولی معادل است( می توان گفت که دو فرمول معادل یکدیگرند)
(پ): اگر فرمول u معادل فرمول v و فرمول v معادل فرمول w باشد آنگاه فرمولu با فرمول w معادل است.
(ت): اگر در یک فرمول بجای فرمولی که جزئی از ساختمان آن است فرمولی معادل آن قرار دهیم فرمول حاصل، معادل فرمول اولیه است.
تذکر۱: هر گزارة دو شرطی به یک گزارة دو شرطی معادل خود تبدیل می شود و این نکته در استدلال اهمیت تمام دارد، زیرا از هر گزاره می توان معادل آن را نتیجه
گرفت و برای اثبات یک گزاره( مثلاً یک قضیه هندسه) کافی است معادل آن را ثابت کنیم. مثلاً گزاره:
« اگر M بر عمودمنصف AB واقع باشد، و بالعکس»
معادل است با گزاره:

« اگر آنگاه بر عمودمنصف AB واقع نیست و بالعکس».
تذکر ۲: هر ترتیب منطقی را می توان به صورتی معادل آن ولی عاری از یا بیان کرد.
مثلاً معادل است با و نیز با گزارة محاسبات با عاطف و فاصل به مراتب آسانتر از ترکیب شرطی است و ارزیابی گزاره هایی که شامل فاصل باشند با جداولی ساده تر امکان پذیرند.