مقدمه
يكي از عمده ‌ترين مسائلي كه انسان از زمان ساختن ساده‌ترين ابزارها با آن مواجه بوده است پديده شكست در اجسام مي‌باشد و درواقع براي استفاده از مواد به صورت ابزارهاي گوناگون بايد مقاومت آنها را نيز مي‌دانست. بنابراين به جرأت مي‌توان گفت كه علم مقاومت مصالح عمري برابر عمر تاريخ دارد. البته روند شناخت و برآورد مقاومت اجسام از روشهاي تجربي و ابتدايي شروع شده و به روشهاي كاملاً علمي قرن حاضر رسيده است.

علم مقاومت مصالح داراي شاخه‌هاي گوناگوني مي باشد كه رشد قابل توجهي داشته اند. يكي از شاخه هاي اين علم با كاربرد زياد و تحليل علمي نسبتاً مشكل، مكانيك شكست مي‌باشد. به توجه به لزوم بكارگيري مواد جديد و گوناگون در گسترة وسيع تكنولوژي معيارهاي نويني در روش هاي طراحي را الزامي نموده است. در اين ميان علم مكانيك شكست مورد توجه خاصي قرار گرفته است.
مكانيك شكست به عنوان نظم مهندسي در دهه ۱۹۵۰ و توسط آقاي Georg Rirwin در لابراتور تحقيقاتي ناوال (NRL) معرفي شد. درسالهاي بعد در دهه ۱۹۶۰ مفاهيم مكانيك شكست طي تحقيقات مختلف در دانشگاهها و مراكز تحقيقاتي گسترش داده شدند. اصول مكانيك شكست كاربردهاي مختلفي در طراحي مهندسي شامل آناليز شكست سازهاي تردد و پيش بيني گسترش ترك خستگي ، دارند. با توجه به اينكه ۸۰ درصد شكست‌هاي ترد ريشه در گسترش ترك خستگي دارند استفاده از مكانيك شكست مي‌تواند بسيارمفيد باشد.
در اين سيمنار سعي شده است اصول مفاهيم اوليه مكانيك شكست و كاربرد آن در روسازيهاي بتني به اختصار توضيح داده شود.

 

تاريخچه‌اي از مكانيك شكست
با پيشرفت تكنولوژي در عصر حاضر، پديده شكست در اجسام از اهميت بيشتري نسبت به گذشته برخوردار شد متلاشي شدن بسياري از هواپيماها و فضاپيماها در طي دهه اي گذشته لزوم درك دقيق تري از مكانيك شكست در اجسام را در علوم جديد ايجاب مي كند در واقع گسيختگي ناگهاني بسياري از تجهيزات در سازه هاي صنعتي نه تنها عواق جاني ناگواري در پي دارد بلكه ضررهاي چشمگير اقتصادي را نيز مسبب مي شود.

در طي سالهاي پس از جنگ جهاني دوم پيشرفت هاي زيادي در مكانيك شكست حاصل شد ولي تا دانسته‌هاي زيادي همچنان باقي است و زمينه براي تحقيقات بيشتر فراهم مي‌باشد.
تحقيقات اخير نشان داده است كه قيمت ضررهاي ناشي از شكست ‌هاي ناگهاني در ايالات

متحده آمريكا در سال ۱۹۷۸ بالغ بر ۱۱۹ ميليارد دلار گرديده كه در حدود ۴% توليد ناخالص ملي اين كشور را تشكيل مي‌دهد. اين مطالعات پيش بيني نموده است كه اگر تكنولوژي پيشرفته زمان حاضر در اين صنايع استفاده مي شد مي توانست حدود ۳۵ ميليارد دلار و در صورت بهره گيري از نتايج و تحقيقات بيشتر در اين زمينه، حدود ۲۸ ميليارد دلار ديگر صرفه جويي اقتصادي را در پي داشت.توجه مكانيك شكست به جلوگيري از شكست ترد مي باشد و به عنوان اصطلاح علمي كمتر از ۴۰ سال سابقه دارد هر چند كه توجه به شكست ترد جديد نيست. باستانيان به اين مساله

توجه داشتند و براي جلوگيري از شكست سازه ها را به گونه اي طراحي مي كردند كه همواره در فشار باشند. بسياري از سازه هاي مصريان، روميان و ايرانيان باستان همچنان پابرجا هستند و از نظر علمي مهندسي جديد تحسين برانگيز مي‌باشند. طراحي پل روميان حالت قوسي داشته و باعث ايجاد تنش هاي فشاري در سازه‌ مي‌شدند. شكل قوسي در اغلب سازه‌هاي قديمي ايراني از قبيل سقف هاي گندبي نيز فراوان ديده مي شود. با توجه به اينكه دانش مكانيك آن زمان محدود بود ساخت بناها با طراحي موفق مستلزم سعي و خطاهاي بسياري بوده است.

انقلاب صنعتي دگرگوني عظيمي در مواد به كار رفته در سازه ها بوجود آورد و آن استفاده از آهن و فولاد بود استفاده از فولاد در سازه هاي صنعتي اين امكان را بوجود آورد كه بتوان از قابليت كششي مواد نيز استفاده كرد. با وجود اين تغيير در مصالح گاهي منجر به شكست‌هاي پيش بيني نشده مي‌گرديد. يكي از معروف ترين حوادث از نوع فوق گسيختگي مخزني در كارخانه قند بوستون بود كه منجر به هدر رفتن دو ميليون گالن شيره قند، مرگ ۱۲ نفر و مجروح شدن ۴۰ نفر و ضايعات بسيار گرديد كه علت آن همچنان مبهم مانده است.

تحقيقات اوليه در مكانيك شكست
يكي از اولين تلاشها براي مطالعة مقاومت مصالح به صورت سيستماتيك توسط لئونارد داوينچي اعلام شده و بر روي مقاومت تيرها و سيم ها تحقيق كرد. او متوجه شد كه مقاومت سيم ها با طول آنها نسبت عكس دارد.

گاليله در سال ۱۶۳۸ تحقيقاتي در زمينة مقاومت كششي انجام داد كه آن را «مقاومت مطلق در برابر شكست» ناميد و با انجام آزمايش بر روي مقاومت يك مبله نشان داد كه مقاومت ميله با سطح مقطع آن متناسب است و مستقل از طول مي‌باشد.
تحقيقات اصلي در قرن ۱۹ و با تغيير مصالح از چوب و آجر و سنگ به فولاد انجام شد. نخستين بار تأثير گسترش ترك و نقش آن در گسيختگي خستگي توسط رانكلين (۱۸۴۳) و در رابطه با شكست محورهاي راه آهن بحث شد.

تأثير ترك در مقاومت شكست در اواخر قرن ۱۹ مورد توجه قرار گرفت ولي طبيعت دقيق تأُثير آن مشخص نشد. در سال ۱۹۱۳ اينگليس روش تحليل تنش در اطراف يك سوراخ بيضي شكل در صفحه ارائه نمود. گريفيث هفت سال بعد (۱۹۲۰) با استفاده از اين روش تحليل براي حل انتشار يك ترك ناپايدار به كار گرفت. وي با استفاده از قانون اول ترموديناميك توانست تئوري شكست را براساس يك تعادل ساده انرژي پايه گذاري كند.

بر طبق اين تئوري، شرط ناپايداري در رشد ترك و شكست در يك جسم آنست كه تغيير در انرژي كرنش حاصل از رشد ترك براي غلبه بر انرژي سطحي مواد كافي باشد. براي توضيح بيشتر به فصل بعد مراجعه شود) مدل كريفيث بدرستي رابطه بين مقاومت و ابعاد ترك در شيشه را پيش بيني مي‌كرد. تلاش بعدي جهت تعميم مدل گريفيث براي فلزات تا قبل از ۱۹۴۸ ناموفق بود زيرا اين مدل فرض مي كند كه كار لازم براي شكست منحصراً ناشي از انرژي سطحي مواد است كه در واقع اين فرض تنها براي موارد كاملاً ترد صادق است.

تجربه كشتي‌هاي ليبرتي (Liberty)
در روزهاي اول جنگ جهاني دوم ايالات متحده آمريكا در چهارچوب قرار دارد لنر ليز مبادرت به ارسال كشتي و هواپيما به بريتانيا نمود. اين كشتي‌ها توسط مهندس معروف امريكاي هنري كيزر ساخته شد. كشتي‌هاي ليبرتي براي حمل بار طراحي شده بودند، ۴۴۱ فوت طول و ظرفيت حمل بار معادل ۹۰۰۰ تن را داشتند. تا قبل از اين تاريخ كشتي‌ها با كمك پرچ كردن ساخته مي شدند اما بدليل نياز شديد زمان جنگ از جوشكاري استفاده شد كه آن زمان روش جديدي محسوب مي

شد. اين عمل باعث كاهش چشمگيري در زمان ساخت كششتي‌ها شد. در طول چهار سال ۱۹۴۰ تا ۱۹۴۴ ، ۲۷۰۸ عدد از اين كشتي ها ساخته شد. ولي در سال ۱۹۴۳ هنگامي كه يكي از كشتي ها بين سيبري در آلاسكا در حركت بود به دو نيم تقسيم شد. شكستهاي بعدي در بسياري از بدنه هاي ديگر كشتي‌ها در فاصله زماني كوتاهي اتفاق افتاد به طوريكه از ۲۷۰۰ كشتي، ۴۰۰ كشتي دچار شكست در بدنه شدند. اين حوادث به خصوص در درياهاي سرد و خشن اتفاق افتاد. تحقيقات بعدي با توجه به اصول مكانيك شكست نشان داد كه علل اساسي

شكست ناشي از عوامل زير بود:
– جوشكاري توسط افراد نيمه ماهر انجام شده بود و ترك‌هاي ريز در قسمتهاي جوش شده باقي مانده بود.
– اكثر شكست‌ها از نواحي اتصالات گوشه‌اي كه داراي تمركز تنش‌ زيادي بودند شروع شده بود.
– فولاد به كار رفته براي ساخت كشتي‌هاي ليبرتي از چقرمگي كمي برخوردار بوده است.
چنانچه در ساختن اين كشتي ها با حفظ همان نوع فولاد از اتصالات پرچ شده استفاده مي‌شد، عملاً امكان گسترش ترك از بين مي رفت. اتصالات جوش شده درواقع پيكره واحدي را تشكيل مي دهد و تركي كه از ناحيه خاصي شروع مي شود و در شرايط احراز بحراني بدون توقف بسرعت

گسترش مي يابد. در برخي از كشتي‌ها گسترش ترك باعث دو نيم شدن كشتي در جهت عرضي شد. پس از وقوع حوادث فوق، در كشتي‌هاي بعدي از قطعات تقويتي استفاده شد كه به نواحي داراي تمركز تنش پرچ مي‌شدند و نقش متوقف كننده ترك را ايفا مي‌كردند.
تجربه هواپيماهاي كمت

اين هواپيماها ابتدا در سال ۱۹۵۲ ساخته شدند و اولين هواپيماهاي مسافري با دو موتور جت بودند كه قادر به پرواز ۴۰٫۰۰۰ فوت بودند. بعد از گذشت يك سال از بهره برداري سه هواپيما دچار حادثه شدند كه خسارات جاني و مالي بسياري به همراه داشتند. پس از بررسي‌هاي انجام شده بر روي بخش هاي بدنه يكي از هواپيماها دليل ايجاد حادثه يك ترك خستگي كوچك كه از يك پنجره بيش از حد داغ شده آغاز شده بود، عنوان شد. اين ترك كوچك باعث از هم پاشيدن بدنه هواپيما شده بود.
تحقيقات در مكانيك در مكانيك شكست پس ازجنگ دوم جهاني

تجربه كشتي‌هاي ليبرتي و هواپيماهاي كمت باعث شد تا گروهي از محققان در آزمايشگاه تحقيقاتي دريايي در واشنگتن دي – سي امريكا مطالعات جدي را براي بهبود دانش مكانيك شكست در اجسام سازماندهي كنند. سرپرستي اين گروه را دكتر ايروين بعهده داشت. پس از مطالعات اوليه اينگليس و گريفيث، ايروين معتقد بود كه ابزار اساسي براي تحليل شكست در

اجسام فراهم شده است. مهمترين نقش ايروين در اين رابطه ، تعميم تئوري گريفيث براي فلزات بود. وي خاطر نشان ساخت كه براي رشد ترك، علاوه بر انرژي سطحي بايستي انرژي لازم براي غلبه بر جريان پلاستيك در اطراف ترك نيز فراهم شود. او روان و موت نيز مستقلاً تئوري مشابهي را ارائه نمودند. در سال ۱۹۵۶ ايروين مفهوم نرخ رهايي انرژي را عنوان نمود كه تعميم تئوري گريفيث بود ولي به صورت كاربردي براي حل مسائل مهندسي استفاده مي شد. در اين ميان نظر ايروين و همكاران توسط وستركارد در سال ۱۹۳۹ منتشر شده بود كه در آن روشي براي تحليل تنش و تغير مكان در نوك يك ترك ارائه گرديده بود. ايروين با استفاده از اين روش نشان داد كه تنش و تغيير

درنوك يك ترك را مي توان باعامل ثابتي ارتباط داد كه رابطة مستقيم با نرخ رهايي انرژي دارد. اين عامل بعداً به ضريب شدت تنش شناخته شد. در همين سالها ويليامز روش ديگري را براي تحليل تنش و تغيير مكان در نوك ترك ارائه نمود كه اساساً با روش ايروين يكسان بود.

پس از جنگ جهاني دوم ، نقطه عطف دستاوردهاي تحقيقاتي در زمينه مكانيك شكست حوالي سالهاي ۱۹۶۰ مي باشد كه بنيادهاي مكانيك شكست الاستيك خطي بخوبي شناخته شده بود. پس از غالب تحقيقات معطوف به بررسي پلاستيسيتة نوك ترك بود. هنگامي كه تغيير شكل پلاستيك قابل توجهي در جسم بوجود آيد فرضيات مكانيك شكست الاستيسيتة خطي (LEFM) معتبر نخواهد بود. در فاصله كوتاهي طي سالهاي ۶۱-۱۹۶۰، محققان متعددي در صدد ترميم روشهاي تحليل پلاستيك تنش در اطراف نوك ترك شدند. ايروين با استفاده از LEFM مدل « تصحيح منطقه پلاستيك» را ارائه نمود و داگديل و باربنلات هر يك مبادرت به توسعة مدل‌هاي واقعي تري براساس نوار باريكي از ماده تسليم شده در نوك ترك نمودند. ولز معيار شكست ديگري بر مبناي تغيير مكان در نوك ترك (CTOD) در ماده اي با تغيير شكل پلاستيك زياد در هنگام شكست را

پيشنهاد داد. در سال ۱۹۶۸ رايس با فرض رفتار الاستيك غيرخطي براي ماده اي با تغيير شكل پلاستيك موفق شد مفهوم نرخ رهايي انرژي را براي مواد با رفتار غيرخطي تعميم دهد. او نشان داد كه نرخ رهايي انرژي غيرخطي را مي‌توان بر مبناي انتگرال خطي J در يك مسير اختياري در اطراف ترك محاسبه نمود در همان سال‌ها هاتچينسن ، رايس و رزنگرن موفق شدند انتگرال J را به ميدان تنش در نوك ترك براي يك ماده با رفتار غيرخطي ارتباط دهند. تحليل هاي فوق خاطر نشان ساخت كه J مي تواند بعنوان يك عامل شدت تنش غيرخطي و همچنين بعنوان نرخ رهايي انرژي در نظر گرفته شود.

در سال ۱۹۷۶، شيه و هاتچينسن موفق به ارائه چهارچوب تئوريك براي كاربرد مفهوم مكانيك شكست در طراحي شدند كه بر مبناي آن رابطه رياضي بين چقرمگي، تنش و ابعاد ترك بر مبناي J مشخص مي‌شد. شيه همچنين با برقراري بين J و تغيير مكان نوك ترك CTOD نشان داد كه هر يك از دو مشخصة فوق مي تواند معياري را براي شكست اجسام در نظر گرفته شوند. توسعه مكانيك شكست اجسام در سالهاي ۱۹۸۰ به بعد بيشتر متوجه رفتار شكست مدار غيرخطي و وابسته به زمان نظير ويسكوالاستيك وويسكوپلاستيسيته گرديد

 

.
۳-۱- طراحي با روش مكانيك شكست
شكل ۲-۱ نموداري از دو روش طراحي سنتي و روش مكانيك شكست را نشان مي‌دهد. در روش طراحي سنتي سازه‌ها و ماشين هاي صنعتي، محاسبات تنش در اجزاء براساس مقاومت حد جاري و يا نهايي اجسام در كشش يا فشار انجام مي‌گيرد. كاربرد اين روش براي مواد شكننده يا اعمال ضريب اطميناني مناسب و در نظر گرفتن كمترين تغيير شكل مجاز ميسر مي‌باشد. در روش طراحي با استفاده از مكانيك شكست، سه عامل تنش اعمال شده ، ابعاد ترك ( هر چند كوچك) و چقرمگي از معيارهاي طراحي بشمار مي‌آيند.

در تحليل شكست از دو روش مي توان استفاده كرده معيار انرژي و يا روش ارزيابي شدت تنش.
۱-۳-۱- معيار انرژي :
مطابق روش انرژي، گسترش ترك (شكست) هنگامي اتفاق مي افتد كه انرژي لازم براي رشد ترك وغلبه بر مقاومت ماده فراهم شده باشد. مقاومت ماده ممكن است شامل انرژي سطحي، كار پلاستيك و يا ساير تلفات انرژي در هنگام رشد ترك باشد.
گريفيث نخستين كسي بود كه معيار انرژي را براي شكست اجسام شكننده مانند شيشه به كار برد. درحاليكه پايه گذار مفهوم انرژي شكست كه در حال حاضر در مكانيك شكست بكار مي رود را مي توان ايروين [۶] دانست. نرخ رهايي انرژي، G، عبارتست از نرخ تغيير در انرژي پتانسيل نسبت به سطح ترك براي يك ماده با رفتار الاستيك خطي است. هنگامي كه اني انرژي معادل نرخ رهايي انرژي بحراني. ، درجسم مي‌شود، شكست اتفاق مي افتد كه انرژي فوق شاخصي براي چقرمگي مواد است.

براي تركي بطول a2 در يك ورق با ابعاد بي نهايت كه تحت تنش كششي قرار دارد (شكل ۳-۱) نرخ رهايي انرژي بر واحد سطح عبارتست از :
(۱-۱)
كه در آن E مدول الاستيسيته، تنش اعمال شده در فاصله‌هاي دوراز ترك و a نصف طول ترك است. هنگامي كه نرخ انرژي رها شده به حالت بحراني (شكست) مي‌رسد، ، معادله (۱-۱) بيان كننده تركيب تنش و طول ترك بحراني را مشخص مي‌كند. باين ترتيب نتيجه مي‌شود:
(۲-۱)توجه گردد كه براي مقدار ثابت ، نقش بحراني باعكس ريشه طول ترك، تغيير مي كند.
نرخ رهايي انرژي ، G ، عامل محرك براي شكست را فراهم مي كند و در صورتي كه عبارت از

مقاومت ماده در مقابل شكست است. براي اين كه مفهوم ذكر شده با تحليل تنش در روش «مقاومت مصالح» مقايسه شود (شكل ۲-۱) ، تنش اعمال شده بر يك جسم، عامل محرك براي تغيير طول پلاستيك بوده در حاليكه تنش تسليم، مقاومت ماده در مقابل جاري شدن است.
يكي از مفاهيم اساسي در مكانيك شكست اين است كه چقرمگي شكست مستقل از اندازه و ابعاد هندسي جسم داراي ترك مي باشد. بنابراين مي توان مقاومت ماده در مقابل شكست را مانند تنش تسليم با انجام آزمايش بدست آورد.

۲-۳-۱- روش ضريب شدت تنش
شكل ۴-۱ وضعيت تنش هاي صفحه اي در الماني واقع در نزديكي نوك ترك از يك ماده الاستيك را نشان مي دهد كه در آن اجزا تنش هر يك متناسب با مقدار ثابت مي باشد. اگر اين مقدار ثابت معلوم گردد وضعيت كلي تنش در نوك ترك را مي‌توان از معادلات شكل (۴-۱) بدست آورد. اين عامل كه «ضريب شدت تنش» ناميده مي شود بطور كامل وضعيت تنش را در يك ماده الاستيك مشخص مي كند (‌مفهوم انديس I در در فصل دوم روشن خواهد شد).

در حال بحراني وضعيت تنش و كرنش در نوك ترك كه منجر به شكست جسم مي‌شود، ضريب شدت تنش به حالت بحراني مي‌رسد. بنابراين نيز عامل ديگري براي اندازه گيري چقرمگي شكست در اجسام مي باشد. براي ورق نشانداره شده درشكل (۳-۱)، ضريب شدت تنش صورت زير مي باشد:
(۳-۱)

هنگامي كه مي‌شود، شكست اتفاق مي افتد. در اين حالت، عامل محرك براي شكست و مقاومت ماده در مقابل شكست است. همچنين فرض بر آنست كه يك خاصيت ماده مستقل از ابعاد هندسي جسم است. با مقايسه معادلات (۱-۱) و(۳-۱) رابطه عامل محرك براي شكست و مقاومت ماده در مقابل شكست است. همچنين فرض بر آنست كه يك خاصيت ماده مستقل از ابعاد هندسي جسم است. با مقايسه معادلات (۱-۱) و (۳-۱)‌ رابطه و G بصورت زير مي‌گردد:
(۴-۱)

رابطه مشابهي نيز براي و برقرار مي باشد. بنابراين روش هاي انرژي و شدت تنش در مكانيك شكست براي مواد الاستيك خطي اساساً يكسان هستند.
۳-۳-۱- تلرانس خرابي
در اجزاء ماشين و يا سازها معمولاً تركهاي ريزي در هنگام ساخت و يا حمل و نقل بوجود مي‌آيد كه عملا اجتناب ناپذير بوده و يا ترميم آنها مستلزم صرف هزينه‌اي سنگين مي‌باشد. در مكانيك شكست، مبنايي براي محدوديت رشد اين تركها تعريف مي گردد كه تلرانس خرابي نام دارد. فرض كنيد تركي در يك سازه در اثر خستگي و يا خوردگي با گذشت زمان در حال رشد باشد (شكل ۵-۱). اگر چقرمگي شكست ماده معلوم باشد، روابط موجود در مكانيك شكست مي‌توان در طول ترك بحراني براي گسيختگي سازه را پيش بيني نمايد. معمولا طول مجاز ترك با تقسيم طول بحراني ترك بر ضريب اطمينان مناسبي تعريف مي شود.
به اين ترتيب سازه و يا اجزاء ماشين مجاز به ادامه كار خواهد بود، تا اين كه ابعاد ترك به اندازه بحراني برسد. مثالهايي از رشد ترك وابسته به زمان را مي‌توان دربارهاي ناشي از خستگي، تأثيرات محيط، خزش و رشد ترك ويسكوالاستيك مشاهده كرد.
۱-۲- مقدمه:
مفاهيم مكانيك شكست كه قبل از سال ۱۹۶۰ بدست آمده بود فقط براي موادي كه قانون هوك پيروي مي كنند صادق بود. گر چه برخي تصحيحات در روابط مكانيك شكست براي پلاستيسيته در مقياس كوچك انجام پذيرفته بود ولي تحليلهاي فوق صرفاً براي سازه‌هايي با رفتار الاستيك خطي معتبر بود. از سال ۱۹۶۰ تئوريهاي مكانيك شكست براي رفتارهاي مختلف غيرخطي مواد مانند پلاستيسيته، ويسكوالاستيسيته و ويسكوپلاستيسيته گسترش يافت. بنابراين درك مفاهيم اساسي مكانيك شكست الاستيك خطي براي دريافت مفاهيم پيشرفته تر در اين زمينه ضروري است كه در اين فصل مورد بررسي قرار خواهد گرفت. اين بحث با بررسي مختصري از شكست در مقايس اتمي آغاز مي شود.

۲-۲- شكست در مقياس اتمي
يك ماده هنگامي شكست مي خورد كه تنش و كار كافي براي غلبه بر پيوندهاي بين اتمي آن فراهم شده باشد. شكل (۱-۲) نمودار تغييرات انرژي پتانسيل و نيرو را در مقابل فاصله بين اتمها نشان مي‌دهد. شرايط تعادل هنگامي برقرار مي شود كه انرژي پتانسيل كمترين مقدار خود را داشته باشد. براي افزايش فاصله اتمي از حالت تعادل، نيروي كششي لازم بايستي بتواند بر نيروي چسبندگي بين اتمها غلبه نمايد. انرژي اتصال عبارتست از :
(۱-۲)
كه در آن فاصله اتمي در حالت تعادل و P نيروي اعمال شده است.
مقاومت چسبندگي در سطح اتمي را مي‌توان با ايده آل فرض كردن رابطه نيرو- تغيير مكان بصورت يك نيم موج سينوسي پيش بيني نمود:
(۲-۲)
كه در آن فاصله در شكل ۱-۲ تعريف شده است. براي سهولت، مبدأ در در نظر گرفته شده است . براي تغيير مكانهاي كوچك، رابطه نيرو – تغيير مكان بصورت خطي مي‌باشد:
(۲-۲)
و سختي پيوند اتمي (ثابت فنر) عبارتست از :
(۳-۲)
با ضريب طرفين اين معادله در تعداد پيوندها بر واحد سطح و طول مبنا ، k به مدول الاستيسيته E و به تنش چسبندگي تبديل خواهد شد. اگر تقريبا معادل فاصله بين اتمي فرض شود، پس از حل براي خواهيم داشت:
(۴-۲)‌
و يا
(۵-۲)
باين ترتيب انرژي سطحي به صورت تقريبي برابر خواهد شد با :
(۶-۲)
انرژي سطحي بر واحد سطح، برابر نصف انرژي شكست است، زيرا وقتي كه ماده شكست مي‌خورد، دو سطح شكست ايجاد مي‌گردد. با قرار دادن معادله (۴-۲) در (۶-۲) و پس از حل براي نتيجه مي شود:
(۷-۲)
۳-۲- اثر تمركز تنش ترك
روابط بدست آمده در بخش (۱-۲) نشان مي دهند كه مقاومت چسبندگي مواد از نظر تئوريك تقريبا معادل است، با اين حال مقاومت شكست مواد حاصل از آزمايش معمولاً سه تا چهار مرتبه كمتر از مقدار فوق مي‌باشد. آزمايشات انجام شده توسط لئوناردو داوينچي و گريفيث و ديگران نشان مي‌دهند كه اختلاف بين مقاومت واقعي مواد شكننده و پيش بيني هاي تئوريك بعلت وجود تركهاي بسيار ريز در اين گونه مواد است. شكست اتفاق نخواهد افتاد مگر اين كه تنش در حد اتمي از مقاومت چسبندگي مواد تجاوز كند. بنابراين تركهاي ريز با افزايش تنش‌هاي محلي باعث كاهش مقاومت كلي ماده مي‌شوند.

اولين تلاش براي نشان دادن اثر تمركز تنش تركهاي ريز بوسيله اينگليس [۱] انجام شد كه طي آن سوراخهاي بيضوي بطول a2 و عرض b2 در ورقهاي تخت تحت تنش‌هاي عمود بر محور اصلي بيضي مورد تحليل قرار گرفت ( شكل ۲-۲). او فرض كرد كه سوراخ تحت تأثير شرايط مرزي ورق قرار ندارد. يعني عرض ورق و طول ورق. تنش در نوك محور اصلي (نقطه A) عبارتست از:
(۸-۲)
شكل ۲-۲ سوراخ بيضوي در يك ورق تخت
نسبت بصورت ضريب تمركز تنش تعريف مي شود. وقتي است، سوراخ دايروي شده و مي باشد كه با نتيجه بدست آمده از تئوري الاستيسيته يكسان است. با اضافه شدن طول محور اصلي a نسبت به b، سوراخ بيضوي بشكل ترك دو سر تيز ظاهر مي شود.