اصول کلی درباره ی مدولها

تعریف: گیریم یک گروه آبلی جمعی باشد، آنگاه یک -مدول چپ نامیده می شود اگر:
به ازای هر عضو از و هر عضو از ، ضرب که متعلق است به تعریف شده باشد بطوریکه در اصول زیر صدق کند.

البته در بالا
نکته: مدول راست مشابها تعریف می شود.

تعریف: فرض کنیم نگاشتی از مدول بتوی – مدول باشد. گوئیم یک خطی یا یک همریختی است. اگر

بطوریکه
تعریف: گیریم یک -مدول چپ و باشد. مکن است اتفاق بیفتد که وقتی آنگاه عضو هستند. در اینصورت گوئیم زیر مدول است.( یا می گوئیم توسیع است.)

تذکر
الف- اگر زیر مدول باشد، ا«گاه نگاشت شمول ، یک -همریختی است.
ب- اگر زیر مدول باشد، آنگاه نگاشت طبیعی ،یک –همریختی است.
ج- اگر دو – همریختی باشند، آنگاه ترکیب آنها یک – همریختی است.
د- گیریم دو همریختی از بتوی باشد و برای هر ،اگر آنگاه ، در اینصورت نگاشتی از بتوی است و می توان به سادگی تحقیق کرد که یک – همریختی است.
این همریختی خاص، نوشته شد و با استفاده از این نمایش، ما(جمعی) برای همریختی های از بتوی تعریف کردیم. با این جمع، مجموعه همریختی های از به تشکیل یک گروه آبلی می دهند که با نشان می دهیم. البته اگر جابجایی باشد سادگی می توان نشان داد که یک – مدول هم است.(چرا؟)
(ه) فرض کنیم همریختی، باشند و فرض کنیم همریختی باشند .آنگاه

تعریف: الف- اگر هر گاه آنگاه را تکریختی (منومور فیسم) گویند.
ب- اگر را بتوی بنگارد، آنگاه را اپی مور فیسم گویند.
ج- اگر هم تکریختی، هم برو ریختی(اپی مور فیسم) باشد گوئیم ایزومور فیسم(یکریختی) است و می نویسیم
در این حالت نگاشت معکوس، ایزومور فیسم است و ایزومور فیسم های معکوسی نامیده می شوند.
تذکر: همریختی های ، ایزومور فیسم های معکوسی هستند اگر و تنها اگر هر دو نگاشت های همانی باشند.
منظور از زوج یک – مدول همراه با زیر مدولش است و منظور از – مدول است بطوریکه که در آن تصویر است.
فرض کنیم و زیر مجموعه وابسته باشد. آنگاه ولذا
با این مقدمه می توان نگاشت را تعریف کرد که به سادگی ثابت می شود که یک همریختی است. نگاشت نگاشت القایی نامیده می شود.
نگاشت القایی، این خاصیت مشخص می شود که دیاگرام زیر را جابجایی می کند:
و نگاشتهای قائم، نگاشتهای طبیعی اند.
توجه داشته باشید که اگر اپی مور فیسم باشد، آنگاه تیراپی مور فیسم است.
در اینجا لازم است توضیحی مختصر در مورد جابجایی بودن یک دیاگرام بدهیم.
الف) دیاگرام مربعی جابجایی است اگر

ب) دیاگرام مثلثی جابجایی است اگر

ج) دیاگرام جابجایی است اگر
حال به مطلب مربوط به نگاشت القایی بر می گردیم. فرض کنیم یک همریختی باشد که زیر مدول از را به عضو صفر از می نگارد و لذا
د این حالت، نگاشت القایی را به توبی می نگارد و با این واقعیت مشخص می شود که دیاگرام زیر جابجایی است.

حال فرض کنیم که همریختی هایی از بتوبی باشند، همریختی از بتوبی باشد. آنگاه

بعلاوه وقتی یک حلقه جابجایی است و آنگاه

تصویر و هسته:
گیریم یک – همریختی باشد. اگر بنویسیم آنگاه که تصویر نامیده می شود، شامل تمام اعضایی به شکل است که و همچنین که هسته نامیده می شود. از اعضایی تشکیل شده که به صفر نگاشته می شوند. بطور خلاصه داریم:

حال می خواهیم دو نماد جدید معرفی کنیم:
یادآوری می کنیم که یک تکریختی است اگر و تنها اگر یک اپی مور فیسم است اگر و لذا یک ایزومورفیسم است اگر تنها اگر
قضیه۱: فرض کنیم یک اپی مور فیسم باشد. آنگاه نگاشت القایی نیز ایزومورفیسم است.
برهان:
چون یک اپی مور فیسم است لذا نیز اپی مور فیسم است. بنابراین کافیست نشان دهیم منومور فیسم( تکریختی) است. یعنی اینکه
فرض کنیم و گیریم
اگر آنگاه یعنی لذا
در نتیجه بنابراین و قضیه ثابت می شود.
چون یک اپی مور فیسم است.( با هسته ی ). قضیه نشان می دهد که یک ایزومور فیسم مانند وجود دارد.
به همین دلیل اغلب ظاهر نمی شود هر چند در مواقع خاص این در مفهوم و نقشهای متفاوتی بازی می کنند.

مدولهای تولید شده توسط زیر مجموعه ها
فرض کنیم یک -مدول و خانواده ای از اعضای باشد. سیستم از پارامتر های دلخواه است. زیر مجموعه ای از شامل تمام اعضایی که بفرم ( و تقریبا برای تمام ها ) می توانند نوشته شوند. تشکیل یک زیر مدول از باشد، گوئیم مولدهای هستند.
فرض کنیم مولدهای باشند اگر برای هر بصورت منحصر بفرد معین شود. آنگاه پایه ی هستند. مدولی که دارای پایه ای باشد، مدول آزاد نامیده می شود.
فرض کنیم یک -مدول آزاد با پایه ی باشد و فرض کنیم یک – مدول باشد و خانواده ای از اعضای با همان اندیس باشند. آنگاه همواره یک – همریختی یکتا مانند وجود دارد که واضح است که بصورت تعریف می شود. فرض کنیم خانواده ای از نمادها باشد، مجموعه تمام جمعهای صوری ، در نظر می گیریم که هر عضو است و تقریبا برای همه ی ها برای این جمع صوری به راحتی می توان جمع و ضرب تعریف کرد. اگر این کار را انجام دهیم، نتیجه آن یک – مدول خواهد بود. حال را با جمع صوری برای در نظر می گیریم که در آن

هر عضو مدول نمایشی منحصر بفرد به شکل دارد. بنابراین مدول، آزاد است و پایه آن است. این مدول ، مدول آزاد تولید شده توسط نمادهای نامیده می شود.
قضیه۲: برای هر – مدول مفروض ، مدول آزاد و اپی مور فیسم وجود دارد. اگر توسط عضو تولید شود. آنگاه می تواند با پایه ای از عضو انتخاب شود.
برهان
گیریم یک سیستم از مولدهای باشد و سیستم اندیس دار منشاء به نمادهای متمایز باشد. فرض کنیم مدول آزاد تولید شده توسط بوده و یک همریختی باشد که آنگاه دارای خاصیتی است که مورد نیاز تکمیل اثبات قضیه است.
قضیه۳: فرض کنید یک مدول آزاد، یک همریختی و یک اپی مور فیسم از همریختی باشند. آنگاه همریختی وجود دارد بطوریکه دیاگرام زیر جابجایی باشد.

برهان
فرض کنید پایه ای برای باشد، آنگاه عضوی از است.( به زاری هر ) چون یک اپی مور فیسم است سپس عضو از چون وجود دارد که چون آزاد است. بنابراین یک همریختی وجود دارد بطوریکه و بنابراین
و در نتیجه روی پایه ی با هم برابرند و در نتیجه روی تمام اعضای با هم برابرند. یعنی

حاصلضرب مستقیم و حاصلجمع مستقیم
مفهوم حاصلجمع مستقیم مدولها و حاصلضرب مدولها که در اینجا بحث خواهیم کرد. برای نظریه مان مهم و اساسی است. فرض کنیم خانواده ی از مدولهای باشد که در آن اندیس دلخواه است. خانواده ی که به ازای هر متعلق به است را در نظر می گیریم و جمع و ضربی از اعضای تعریف می کنیم. با این جمع و ضرب، یک مدول تولید می شود که با نمایش می دهیم و ضرب مستقیم از مدولهای می نامیم.
از این ضرب مستقیم می توانیم زیر مدولی شامل تمام خانواده های که ( به ازای تقریبا همه ی ها) انتخاب کنیم. این زیر مدول را با نشان داده و جمع مستقیم خارجی مدولها می نامیم.
اگر متناهی باشد آنگاه ضرب مستقیم و جمع مستقیم خارجی با هم برابرند.
خصوصیت اصلی ارتباط بین ها و حاصلضرب مستقیم آنها را می توان با تعریف همریختی های کانونی بصورت زیر نشان داد.

که در اینجا چه نگاشتی از عضو بتوبی عضوی از است که در آن مولفه ی فرام برابر و سایر مولفه ها صفرند. همچنین نگاشتی از عضوی از بتوبی مولفه ی فرام آن است. این نگاشتها دارای ویژگی زیر هستند.

برای حاصلجمع مستقیم ، نگاشتهای کانونی مشابهی داریم:

که دارای ویژگی های زیر هستند:

در حالت کلی فرض کنیم که خانواده ای از مدولها باشد. خانواده ی از همریختی را که است را در نظر بگیریم. این -همریختی ها، همریختی را تعریف می کنند که عضو از به توبی نگاشته می شوند. اگر همریختی یک ایزومور فیسم باشد. آنگاه گوئیم یک نمایش انژکتیو از بعنوان یک حاصلجمع مستقیم از مدولها ست. در این صورت همریختی هایی منحصر بفرد مانند وجود دارند بطوریکه:

در واقع اگر انگاه نگاشت را به می برد.
بنابراین می خواهیم گفت یک نمایش کامل از بعنوان جمع مستقیم است. برای نمایش کامل داریم:

فرض کنید خانواده ای از مدولهای بوده و خانواده ای از همریختی ها باشد که این خانواده از همریختی ها، همریختی را معین می کند که عضو به نگاشته می شود. اگر همریختی یک ایزومورفیسم باشد، گوئیم یک نمایش پروژکتیو از بعنوان ضرب مستقیم است. در این حالت همریختی های وجود دارند که:

گوئیم یک نمایش کامل از بعنوان ضرب مستقیم از مدولهاست.
حال فرض کنیم یک مدول و خانواده ای از زیر مدولها باشد. اگر هر درای نمایش یکتایی به فرم باشد، که و به ازی تقریبا همه ها آنگاه گوئیم حاصلجمع متقسیم داخلی زیر مدولهای است. بنابراین یکریختی کانونی بین و حاصلجمع مستقیم خارجی وجود دارد که به نگاشته می شود. همچنین همریختی های را داریم که همان ویژگیهای بیان شده فوق را دارند یعنی:

و در اینجا نگاشت اولی نگاشت شمول و نگاشت درس یک عضو از را به جمله ی فرام از نمایش آن بعنوان جمع می برد.
قضیه۴: فرض کنیم یک سیستم از مدولها و همریختی ها باشد که در روابط زیر صدق کند:

آنگاه یک نمایش کامل را از بعنوان جمع مستقیم است اگر و تنها اگر به ازای هر اگر متناهی باشد، آنگاه شرط لازم و کافی برای این است که نمایش کامل از بعنوان ضرب مستقیم است.
برهان
فرض کنیم که به ازار هر برقرار باشد و همریختی را که را به می نگارد در نظر می گیریم. ما می خواهیم نشان دهیم که این نگاشت ایزومورفیسم است.
ابتدا توجه می کنیم که اگر انگاه و این نشان می دهد که یک تکریختی است. حال کافی است نشان دهیم پوشاست. فرض کنیم آنگاه و بویژه به ازای تقریبا هر بنابراین به ازای تقریبا ه ر داریم . در نتیجه حال چون لذا تصویر آن در برابر است با لذا اپی مور فیسم است. در نتیجه یکریختی است. در نتیجه نشان دادیم که نمایش جمع مستقیم است. این واقعیت که وقتی یک نمایش جمع مستقیم است، آنگاه برقرار است. قبلا ثابت شده است.
حال فرض می کنیم که متناهی، باشد فرض کنیم که عضوی دلخواه از باشد ، آنگاه تصویر در نگاشت است که توسط مشخص و تعریف می شود. بنابراین در هر حالت یک اپی مور فیسم است که می توان گفت که یک نمایش حاصلضرب مستقیم است. بنابراین چون لذا می بینیم که اعضایی از هستند که دارای تصویر برابری در هستند. در نتیجه که نشان می دهد حکم ثابت شده است. در نهایت، فرض کنیم برای تکمیل اثبات، کافی است ثابت کنیم که تکریختی است. که می توان گفت باید نشان دهیم اگر به ازای هر آنگاه و این بدیهی است زیرا
تعریف: فرض کنیم زیر مدولی از مدول باشد اگر حاصلضرب مستقیم داخلی دو زیر مدول باشد. که یکی از آنها است. آنگاه می گویئم جمعوند مستقیم است.
تعریف: یک تکریختی مستقیم، نامیده می شود اگر جمعوند مستقیم باشد. اپی مورفیسم مستقیم نامیده می شود اگر جمعوند مستقیم باشد. در این حالت می گوئیم فاکتور( عامل) مستقیم است.
نهاد اختصاری: فرض کنید یک همریختی باشد. اگر همریختی دیگری از بتوی وجود نداشته باشد. بهتر است از نماد استفاده کنیم، این نمادها برای همریختی را نماد اختصاری گوئیم. در این نماد، ترکیب دو همریختی بصورت یا نوشته می شود. برای مثال اینکه نشان دهیم دیاگرام زیر جابجایی است، می نویسیم

در نماد اختصاری، اگر آنگاه تصویر تحت همریختی بصورت یا نوشته می شود.
گزاره ۱:
همریختی مستقیم است اگر و تنها اگر یک همریختی موجود باشد بطوریکه اپی مور فیسم مستقیم است اگر و تنها اگر همریختی موجود باشد بطوریکه
برهان:
قسمت اول گزاره را ثابت می کنیم. قسمت دوم مشابه است. ابتدا فرض کنیم که مستقیم باشد. قرار می دهیم. آنگاه زیر مدول از وجود دارد که ( جمع مستقیم) تکریختی ، ایزو مور فیسم از بتوی را تعیین و مشخص می سازد. بعبارت دیگر یک ایزو مور فیسم است که نگاشت کانونی مربوط به تجزیه است. فرض کنیم ایزومور فیسم معکوس باشد و قرار دهیم .
آنگاه
بر عکس فرض کنیم همریختی داریم که قرار می دهیم. باید نشان دهیم که (جمع مستقیم) اگر آنگاه که داریم:

بنابراین که نشان دادیم که هر عصر از می تواند بصورت نوشته شود که و ، حال فرض کنیم که که می خواهیم نشان دهیم که و در نتیجه ثابت می کنیم که ( جمع مستقیم). برای ملاحظه می کنیم که اما به ازای عضو دلخواه از لذا و بنابراین و چون نتیجه می دهد که پس اثبات کامل می شود.
نتیجه : هر اپی مور فیسم که در آن آزاد است. مستقیم است.
برهان
فرض کنیم نشانگر نگاشت همانی روی باشد. با استفاده از قضیه ۳ می توان یک همریختی پیدا کرد، بطوریکه اگر دیاگرام جابجایی باشد. در نتیجه حال اثبات نتیجه با استفاده از قضیه۳ بدست می آید.

دنباله های همریختی ها
فرض کنیم یک دنباله۳ جمله ای از مدولها و همریختی ها باشد. گوئیم یک صفر رشته است اگر یا اگر
گوئیم دقیق است اگر
بعنوان مثالهای مهم، یک تکریختی است اگر و تنها اگر دقیق باشد، همچنین یک اپی مور فیسم است و اگر و تنها اگر دقیق باشد.
در حالت کلی، دنباله که ممکن است متناهی، نامتناهی یا نیم نامتناهی باشد، صفر رشته نامیده می شود اگر هر دسته سه تایی یک صفر رشته باشد؛ و دقیق نامیده می شود اگر هر دسته سه تایی دقیق باشد.
اگر زیر مدولی از باشد آنگاه دنباله کانونی دقیق است.
تعریف: نباله دقیق مستقیم یا شکافته نامیده می شود اگر جمعوند مستقیم باشد.
بعنوان مثال اگر جمع مستقیم از به باشد، آنگاه دنباله کانونی دقیق شکافته می شود.
همچنین هر دنباله دقیق شکل که در آن آزاد است، شکافته می شود.
گزاره۲:
اگر دنباله مفروض از مدولها و همریختی باشد. آنگاه برای اینکه دنباله دقیق شکافته باشد، لازم و کافی است که همریختی های موجود باشد که:

تذکر: ملاحظه ی می کنیم که با استفاده از قضیه ۴ ، معادل این است که

یک نمایش کامل از به عنوان جمع مستقیم باشد.
برهان: فرض کنیم که یک دنباله دقیق شکافته باشد. آنگاه
و ( جمع مستقیم) به ازای زیر مدول دلخواه از است.
فرض کنیم همریختی های کانونی مربوط به این تجزیه مستقیم باشند آنگاه و ایزومورفیسم هستند. چون ایزومور فیسم های معکوس هستند اگر قرار دهیم آنگاه

چون ( با استفاده از فرض)
بعلاوه

وبنابراین
برعکس: فرض کنیم که همریختی های را داشته باشیم به طوری که برقرار باشد ابتدا نشان می دهیم که دقیق باشد. چون پس یک تکریختی است و چون پس یک اپی مور فیسم است. همچنین چون پس .
فرض کنیم در این صورت

بنابراین در نتیجه: لذا دقیق است. برای اینکه نشان دهیم شکافنده است، کافی است نشان دهیم که مستقیم است، و این از گزاره ۱ چون بدست می آید.
فرض کنیم که لذا و بنابراین که در نتیجه

و بنابراین
همریختی را که را به می نگارد در نظر می گیریم. این همریختی روی صفر می شود لذا یک همریختی را القا می کند که

همریختی را در نظر می گیریم که بسادگی مشاهده می شود که این همریختی روی صفر می شود و لذا – همریختی زیر را القا می کند:

که و ( عضو دلخواه) و
حال چون داریم: در نتیجه یک همریختی بصورت
القا می کند که هسته آن برابر است با اگر نشان دهیم همانی نشان داده ایم که یک منومورفیسم است و بنابراین برابر صفر است. بعبارت دیگر آن نتیجه می دهد که و این برهان را کامل می کند.
فرض کنیم و قرار می دهیم آنگاه چون هر عضو حاصلجمع متناهی از اعضای به فرم است. کافی است نشان دهیم که داریم.
بنابراین
و لذا برهان قضیه تکمیل می شود.
قضیه۵: گیریم دنباله ای دقیق از مدولهای راست باشد و فرض کنیم یک مدول چپ آزاد باشد . آنگاه دنباله دقیق است. در نتیجه ی مشابه برای حالتی که نقش مدولهای راست چپ را عوض کنیم وجود دارد)
برهان: استفاده از قضیه ۴ کافی است نشان دهیم یک تکریختی است. فرض کنیم می خواهیم نشان دهیم.
چون آزاد است، فرض کنیم پایه ای برای باشد آنگاه با توجه به نتیجه قضیه۳ ، که برای تقریبا همه ی ها، لذا خواهیم داشت . و بنابراین برای تقریبا همه ی ها چون یک تکریختی است، بنابراین برای تقریبا همه ی ها و در نتیجه

خواص اساسی
قضیه۶: نگاشت با تعریف یک یکریختی است. اگر جابجایی باشد یک همریختی است.

برهان
بدیهی است چون پس:

بنابراین یک همریختی است بعلاوه اگر

بناراین از به می رسیم و این نشان می دهد که یک تکریختی است.
حال کافی است نشان دهیم پوشا( بروریختی) است.
فرض کنیم آنگاه نگاشت یک همریختی است. برای این همریختی و این نشان می دهد که یک همریختی است. در آخر، فرض کنیم جابجایی، باشد و آنگاه
یعنی فقط همریختی نیست بلکه همریختی هم است.
فرض کنیم همریختی باشند و متغیری از باشد آنگاه یک خطی است(از بتوی ) در اینصورت یک همریختی است از بتوی بنابراین
نگاشت به نظر می رسد که همریختی است و آنرا با نشان می دهیم. معمولا می نویسیم.

وقتی یک حلقه ی جابجایی باشد، آنگاه یک همریختی از
به است.