انتگرال تصادفي

فرآيند x(t)، انتگرال پذير MS است اگر
(۵-۳۹)
قضيه: فرآيند x(t) انتگرال پذير MS است اگر (۵-۴۰)
نتيجه: (۵-۴۱)
فصل ششم: زنجيرهاي ماركف:
فرآيندهاي ماركف يك تعميم ساده براي فرآيندهاي مستقل است براي مجاز كردن وابستگي برآمد فاصله به يكي از برآمدهاي قبلي كه به برآمدهاي قبل از آن وابسته نباشد. بنابراين در فرآيند ماركف x(t) گذشته روي آينده بي تاثير است اگر وضعيت فعلي فرآيند مشخص باشد. يعني اگر آنگاه: (۶-۱)

و اگر آنگاه:
حالت خاصي از فرآيندهاي ماركف، زنجير ماركف است. هر دو فرآيند و زنجير ماركف تبه به اينكه فضاي حالتشان گفته يا پيوسته است، مي توانند گسسته يا پيوسته باشند.
تعريف: زنجير ماركف با زمان گسسته يك فرآيند تصادفي ماركف است كه فضاي حالت آن مجموعه اي شمارا يا شما را نامتناهي بوده و در آن كه تعداد Lxn نتيجه آزمايش n ام مي نامند.
تئوري زنجيرهاي پيوسته(زنجيرهايي با فضاي حالت ناشما را يا شما را نامتناهي) بوسيله كلوموگروف آغاز و پل به وسيله دوبلين- دوب- لوي و بسياري ديگر اولويت يافت.
احتمالات انتقال: (۲۰)
احتمال تغيير وضعيت يك مرحله اي برابر احتمال شرطي است كه به صورت زير تعريف مي شود:
(۶-۳)
احتمال تغيير وضعيت يك مرحله اي برابر احتمال رفتن از حالت I به حالت j در يك دوره زماني با آغاز از n بيان مي شود.
اين نماد تاكيد مي كند كه در حالت كلي، احتمالات انتقال نه فقط توابعي از وضعيت ابتدايي و انتهايي اند، بلكه به زمان انتقال نيز بستگي دارند.
تعريف، وقتي احتمالات انتقال يك مرحله اي از متغير زمان( يعني مقدار n) منتقل باشند، آنگاه گوييم فرآيند ماركف داراي احتمالات انتقال مانا مي باشد. ماتريس ماركف يا ماتريس احتمال انتقال يك آرايه مربعي نامتناهي به صورت. مي باشد كه در آن سطر(i+1) ام توزيع احتمال مقادير Xn+1 تحت شرط(Xn=i) است.
هر گاه تغيير حالتها متناهي باشد آنگاه P يك ماتريس مربعي متناهي است كه مرتبه اش
( تعداد سطرها) مساوي تعداد حالتهاست. واضح است كه Pij ما در شرايط زير صدق
مي كنند:

سطر فرآيندي با مشخص بودن تابع احتمال انتقال يك مرحله اي و X0(به عنوان حالت آغازين فرآيند) كاملا معين است زيرا طبق تعريف احتمالات شرطي، داريم:

(۶-۵)
و اگر فضاي حالت متوالي نباشد يا فرآيند فضاي حالت را به گونه اي متوالي طي نكند مي توان گفت:
(۶-۶)
نمونه هايي از زنجيره هاي ماركف: (۲۰)
۱) زنجيرهاي ماركف همگن: (۱۸)
تعريف: يك زنجير ماركف را همگن در زمان نامنداگر(m,n) Pij فقط به تفاضل n-m بستگي داشته باشد. و اگر اين احتمالات انتقال به زمان بستگي داشته باشند آنگاه فرآيند را ناهمگن مي گوئيم. اگر زنجير همگن باشد، احتمالات تغيير وضعيت را مانا مي ناميم و (۶-۷)
كه نشان دهنده احتمال شرطي يك زنجير ماركف همگن است زماني كه زنجير در n مرحله از حالتi به حالت j مي رود.
مدت زماني كه زنجير ماركف همگن y صدف مي كند در رسيدن به يك حالت(زمان رسيدن) بايد بي حافظه باشد، زماني كه حالت فعلي براي تعيين آينده كافيست. بنابراين در حالت گسسته اگر زمانهاي جاري tn به طور يكنواخت در tn=nt قرار بگيرند، y رابطه زير را برآورد مي سازد كه y يك متغير تصادفي هندسي است.
(۶-۸)
بنابراين مدتي كه يك زنجير ماركف گسسته زمان همگن در هر حالتي مي گذارند يك توزيع هندسي است.
زنجيره هاي ماركف همگن(فضايي) را در دو حالت بررسي كرده و در هر حالت فرض مي كنيم:
يك متغير تصادفي گسسته با مقدار صحيح نامنفي باشد
همچنين و
مشاهداتي مستقل از باشند و همچنين فضاي فرآيند مجموعه اعداد صحيح نامنفي است.
الف) فرآيند به ازاي را در نظر مي گيريم كه با تعريف شده است. ماتريس آن به شكل زير مي باشد. يكسان بودن سطرها مبين آن است كه متغيرهاي تصادفي مستقلند.
ب) رده مهم ديگر از مجموعهاي جزئي متوالي از ها ناشي مي شود. يعني:
(۶-۹)
فرآيند يك زنجير ماركف بوده و ماتريس احتمال انتقال آن به صورت زير حساب مي شود:
(۶-۱۰)
كه در اين محاسبات از فرض استقلال استفاده شده است.
در حالت كلي ماتريس به صورت
البته مي توان فضاي حالت را با مجموعه اعداد و صحيح يكي كرد. زيرا در اينصورت ماتريس احتمال اتصال به شكل متقارن تري در خواهد آمد. در اين صورت فضاي حالت از مقاير …و۲+و۱+و۰و۱-و۲-و… تشكيل مي شود و ماتريس احتمال انتقال به صورت زير خواهد بود:
(۶-۱۱)
۲) رفتارهاي تصادفي يك بصري: (۱۸)
رفتار تصادفي يك بعدي يك زنجير ماركف است كه فضاي حالتش زير مجموعه اي متناهي مانند a,a+1,a+2,…,b از اعداد صحيح است كه در آن ذره، اگر در وضعيت ناباشد، مي تواند با يك انتقال يا در نابماند و يا به يكي از وضعيتهاي مجاور ۱+ iو۱-I منتثل شود. قدم زدن تصادفي يك رفتار تصادفي يك بعدي زيرا يك تجسم فرآيند مسير شخصي كه از خود بيخود شده است كه به طور تصادفي يك قدم جلو يا عقب بر مي دارد را توصيف مي كند. در اين فرآيند اگر فضاي حالت مجموعه اعداد صحيح نامنفي گرفته شود ماتريس اتصال انتقال به شكل روبرو خواهد بود:
(۶-۱۲)
يعني هر گاه Xn=I آنگاه به ازاي
(۶-۱۳)
فرآيند قدن زدن تصادفي توصيف كننده حركت ذرات منتشر شده نيز مي باشد، هرگاه ذره اي تحت تصادمها و ضربه هاي تصادفي قرار گيرد، آنگاه موضوعش به طور تصادفي بالا و پائين مي رود. در اين حالت مي توان همچون حركت برواني از رفتار تصادفي متقارن استفاده كرد. منظور از رفتار تصادفي متقارن بر اعداد و صحيح يعني زنجيري ماركف با فضاي حالت تمام اعداد صحيح كه ماتريس احتمال انتقال آن داراي عنصر مقابل مي باشد:
(۶-۱۴)
معمولا رفت تصادفي متقارن فقط به حالت P=1/2 , r=0 اطلاق مي شود.
اگر در ماتريس احتمال انتقال فرآيند قدم زدن تصادفي ، وضعيت صفر مانند يك مانع انعكاسي عمل مي كند. يعني هر وقت ذره به حالت صفر رسيد، انتقال بعدي خود به خود به حالت يك باز مي گردد. اما اگر ، آنگاه صفر به صورت يك مانع جاذب عمل مي نمايد و ذره به محض رسيدن به صفر براي هميشه در آنجا مي ماند و هر گاه ، آنگاه صفر يك مانع انعكاسي جزئي است.
مدل ديگري از قدم زدن تصادفي، قدم زدن تصادفي دايره اي با فضاي حالت مي باشد.
دو مقدار نهايي به يكديگر گره زده مي شوند تا حلقه اي ساخته شود كه در آن بين قرار دارد.
قدم زدن تصادفي در اين مسير دايره اي شكل به گونه اي ادامه مي يابد كه هر حالتي يا به چپ و يا به راست منتقل مي شود. اين فرآيند را مي توان با ماتريس انتقال N*N اي به صورت زير نمايش داد.
(۶-۱۵)
كلي تر اينكه اگر همان امكان انتقال بين هر دو حالت وجود داشته باشد، آنگاه زماني كه k مرحله به سمت راست برويم همانند حركت در N-K مرحله در سمت چپ است كه ماتريس اين انتقال به صورت زير است:
كه در آن
يك مدل مشهور ديگر در فرآيندهاي قد زدن تصادفي مدل در نقش است. يعني يك رفتار تصادفي بر مجموعه اي متناهي از حالتها كه در آن حالتهاي مرزي انعكاسي هستند.
رفتار تصادفي به وضعيتهاي i=-a,-a+1,…,۰,۱,…,a با
ماتريس احتمال انتقال P محدود شده است كه احتمالهاي آن به صورت مثابل محاسبه شده است. (۶-۱۷)
رفتار تصادفي كلاسيك n بعدي به صورت زير تنظيم مي شود: فضاي وضعيت مجموعه تمام نقاط شبكه صحيح در (فضاي اقليدسي n بعدي)است. يعني، هر وضعيت يك n تايي k=(k1,k2,…,kn) از اعداد صحيح است و حالتهاي انتقال آن به صورت زير محاسبه مي شوند.

مشابه حالت يك بعدي، رفتار تصادفي متقارن در نمايش صورت گسسته اي از حركت براواني nبعدي است.
۳) زنجير ماركف صف بندي گسسته: (۱۸)

براي انجام كاري مشتريهادر صفي به نوبت مي ايستند. اگر دست كم يك مشتري در صف باشد، در هر فاصله زماني يك مشتري راه مي افتد. اگر مشتريي در صف نباشد، در اين فاصله هيچ كاري صورت نمي گيرد. در فاصله زماني كه كاري صورت مي گيرد، ممكن است مشتريهاي تازه اي وارد شوند.

فرض كنيد تعداد واقعي افرادي كه در فاصله زماني nام وارد مي شوند متغير تصادفي باشد تابع توزيع آن مستقل از فاصله زماني بوده و به صورت(۶-۱۹) ={k مشتري در يك فاصله زماني وارد شوند} Pr است. همچنين فرض مي كنيم ها از هم مستقل باشند. وضعيت دستگاه در شروع هر فاصله زماني مساوي تعداد مشترياني تعريف مي شود كه در صف منتظرند. هر گاه وضعيت فعلي ناباشد، آنگاه پس از گذشت يك فاصله زماني وضعيت به صورت (۶-۲۰) خواهد بود.
كه در آن len تعداد مشتريان تازه اي است كه در فاصله رسيدگي به كار يك مشتري وارد شده اند.

پس مي توان برحسب متغيرهاي تصادفي فرآيند به طور صوري بيان كرد: (۲-۱۶)
كه
ماتريس احتمال انتقال به صورت خواهد بود.
(۶-۲۲)

واضح است كه اگر ميانگين تعداد مشتريان تازه وارد يعني كه در يك فاصله زماني سرويس داده مي شوند از يك تجاوز كند، قطعا صف انتظار با گذشت زمان بدون حد و مرز طويلتر خواهد شد. از آن سو هر گاه آنگاه خواهيم ديد كه طول صف انتظار به يك وضعيت تعادل مانا نزديك مي شود و اگر ، يك حالت ناپايدار ايجاد مي شود.
۴) دنباله پيروزيها: (۱۸)
يك زنجير ماركف بر اعداد صحيح نامنفي با ماتريس احتمال انتقال به شكل (۶-۲۳) را در نظر بگيريد كه در آن
در اينجا وضعيت صفر نقش قابل توجهي دارد به اين صورت كه مي توان از هر وضعيتي به وضعيت صفر رسيد حال آنكه فقط از وضعيت نا به وضعيت ۱+ تا مي رسيم. حالت خاصي از اين ماتريس انتقال در پرداختن به دنباله پيروزيها در آزمايشات كلري كه هر يك دو وضعيت پيروزي(s) يا شكست(F) را مي پذيرد، حاصل مي شود. اين آزمايشها مستقل هستند پس فرآيند ماركف مي باشد.
۵) فرآيندهاي شاخه اي: (۱۸)
فرض كنيد موجود زنده اي در پايان عمرش تعداد و تصادفي نوزاد با توزيع احتمال (۶-۲۴) توليد كند كه در آن . همچنين تمام نوزادان مستقل از هم عمل مي كنند و در آخر عمرشان نوزاد مي خواهند دانست و بدين ترتيب نسلشان ادامه مي يابد. فرآيند X(t) كه در آن Xt اندازه جمعيت در نسل tام است يك زنجير ماركف مي باشد.
(۶-۲۵)
كه در آن ها مشاهدات مستقل يك متغير تصادفي هستند. در نسل nام، ناموجود مستقلا تعداد نوزاد توليد مي كنند.
۶) مدل انبارداري: (۱۸)

كالايي براي برآوردن تقاضاي مداوم انبار شده است. فرض مي كنيم ذخيره سازي در زمانهاي متوالي t1,t2,… صورت گيرد و كل تقاضا براي اين كالا روي بازه متغير تصادفي باشد كه تابع توزيع آن مستقل از فاصله زماني است:
(۶-۲۷)

موجودي انبار در آغاز هر فاصله زماني بازرسي مي شود. خط مشي انبارداري با مشخص كردن دو مقدار بحراني نامنفي S>s,s از قبل مشخص مي شود. اين خط مشي به اين صورت است كه اگر موجودي انبار از s بيشتر باشد بلافاصله به آن اضافه مي شود تا موجودي به سطح s برسد. اما اگر موجودي از s تجاوز كند چيزي به آن اضافه نمي شود. فرض مي كنيم Xn موجودي انبار درست بيش از افزودن كالا در tn باشد. وضعيتهاي فرآيند Xn عبارتند از مقادير ممكن حجم موجود در انبار، s,s-1,…,+۱,۰,-۱,-۲… كه در آن يك مقدار منفي به عنوان تقاضاي بدون عرضه تعبير مي شود. كه به محض تهيه كالا تحويل خواهد شد. طبق قوانين انبارداري ميزان موجودي در دو فاصله متوالي با رابطه مقابل بهم مربوطند: (۶-۲۸)

كه در آن كميت مورد تقاضاست كه در فاصله زماني nام، مبتني بر قانون احتمال ذكر شده بوجود مي آيد.
هر گاه ها دو به دو منتقل مي باشد، آنگاه موجوديهاي x0,x1,x2,… تشكيل يك زنجير ماركف مي دهد.
۷) مدل ژنتيك: (۱۸)

مدل ژنتيك ايده آل توسط اس.رايت معرفي شد تا نوسان فراواني ژن براساس جهش و انتخاب بررسي مي شود.
فرض كنيد با جمعيت ثابتي از N2 ژن از نوع a و نوع A سروكار داشته باشيم. تشكيل نسل بعد به وسيله N2 در آزمايش دو جمله اي مستقل به شرح زير انجام مي شود، هر گاه جمعيت والدين مشتمل بر j ژن از نوع a و(n-j2) ژن از نوع A باشد، آنگاه نتيجه هر آزمايش به صورت مقابل است:(۶-۲۹)
يعني: (۶-۳۰)

البته توجه كنيد كه وضعيتهاي ۰ و N2 كاملا جانيه به اين معني كه هر گاه ۰ يا N2،xn آنگاه به ازاي هم ، ۰ يا n2= Xn+k در يك مدل ژنتيكي ديگر مي توان فرض كرد هر ژن از تعدادي اجزاء مثلا N جزء تشكيل شده است. وقتي سلول شامل ژن آماده تقسيم مي شود، هر جزء دو برابر شده و هر يك از دو سلول شامل يك ژن با همان تعداد اجزاء مثل قبل مي شود. گوئيم فرآيند در وضعيت نا است اگر از ناجزء با قابليت جهش و(N-i) جزء نرمال تشكيل شده باشد احتمالات انتقال به صورت زير قابل محاسبه هستند:
(۶-۳۱)
معادلات چپمن- كلوموگروف: (۱۸)
تعريف: دنباله اي از حالتها كه بوسيله آنها فرآيندي مي تواند حركت كند را مسير فرآيند نامند.
از ويژگي ماركف نتيجه مي شود كه احتمال يك سير، دقيقا برابر حاصل ضرب احتمالهاي تغيير وضعيت يك مرحله اي است يعني:
(۶-۳۲)

در بعضي موارد حالت آغازين زنجير ثابت نبوده و يك متغير تصادفي است. در اين صورت تابع جرم احتمال X0(حالت آغازين) در محاسبه احتمالهاي مسيرهاي مختلف ظاهر مي شود.

تابع احتمال در هر زنجير ماركف Xt بوسيله معادلات چپمن- كلوموگروف پشتيباني مي شوند.
مي توان با استفاده از رابطه(۶-۶) به يك رابطه كلي در همه زنجيرها رسيد.
به ازاي هر n>r>m داريم: (۶-۳۳)

ماتريس احتمال انتقال را با تبديل رابطه P(m,n):P(m,r)P(r,n) وقتي كه m<r<n و r=m+1,m+2,… به صورت(۶-۳۵)
P(m,n)=P(m,m+1)*P(m+1,m+2)*…*P(n-1,n) در نظر مي گيريم.
بنابراين براي بدست آوردن P(m,n) به ازاي هر nm، كافيست ماتريس احتمال انتقال مرحله اي اول را بدانيم.
P(0,1) , P(1,2) , P(2,3) ,…, P(n,n+1),…
به ازاي يك زنجير ماركف همگن همه احتمالهاي انتقال به صورت(۶-۳۶)
P(m,n)=Pn-m در مي آيد.
احتمالات انتقال n مرحله اي: (۲۰)
تعريف: احتمال تغيير وضعيت K مرحله اي، به صورت زير تعريف مي شود:
(۶-۳۷)
اين احتمال تغيير وضعيت برابر احتمال بودن در حالت jام، k دوره زماني پس از بودن در حالت iام است. به دليل اينكه فرآيندهاي همگن سروكار داريم، احتمال تغيير وضعيت k مرحله اي به زمان n بستگي ندارد.
براي بدست آوردن عبارتي كلي براي احتمالهاي تغيير وضعيت چند مرحله اي فهرستي از مسيرهاي ممكني كه فرآيند در رفتن از i به j در چند مرحله مي تواند دنبال كند را تصور كنيد پس احتمالهاي همه اين مسيرها را محاسبه و با هم جمع مي بنديم. پس داريم:
(۶-۳۸)
بويژه فرمول بازگشتي مرتبه اول مقابل را نتيجه مي گيريم:
(۶-۳۹)
در نهايت، توزيع احتمال شرطي در t=nt با فرمول زير بدست مي آيد:
(۶-۴۰)
و به طور كلي داريم: (۶-۴۱) كه
و براي يك زنجير همگن داريم: (۶-۴۲) P(n)=P(0)Pn
قضيه: احتمالهاي تغيير وضعيت n مرحله اي فرض بر اين است كه حالت آغازين معلوم است. وقتي حالت آغازين متغيري تصادفي باشد، از محاسبات ماتريسي نيز مي توان براي يافتن احتمالها استفاده كرد.
هر ماتريس احتمال انتقال N*N داراي N مقدار ويژه مي باشد. فرض مي كنيم اين مقادير ويژه ساده مجزا و مخالف صفر هستند.( اگر چه كه صفر هم مي تواند مقدار ويژه باشد). فرض كني( ) ,N … ,۲ ,۱=I تا نشان دهنده N زوج(بردار ويژه، مقدار ويژه) براي P است. بنابراين (۶-۴۳)
كه در آن ماتريسي مربعي و
به طوريكه uiها، I=1,…,N بردارهاي ستوني مستقل خطي u,N*1 يك ماتريس تا تكين N*N است.
از فرمول(۶-۴۳) داريم: (۶-۴۴) يا كه
كه K=1,2,…,N,Uk، نشان دهنده k امين بردار سطري است. بنابراين
(۶-۴۵)
از( ۶-۴۴) داريم: (۶-۴۶) يا
با جمع بستن فرمولهاي قبل به ازاي هر مقدار ويژه ، بردارهاي دو مجموعه از N معادله خطي به صورت مقابل بدست مي آيد:

(۶-۴۹) (۶-۴۸)
براي بدست آوردن مقدار ويژه به ازاي k=1,2,…,N معادله(۶-۵۰) حل مي كنيم.