انتگرال

s
1- انتگرال گيري
۲- تئوري تابع پيچيدگي
۳- انتگرال هاي مركب

فصل ششم :
انتگرال گیری :
۱ . ۶ ) انتگرال گیری Riemann – Stieltje
فرض کنید که f یک تابع کران دار در محدوده ی [a,b] می باشد. اگر D یک فسمتی از [a,b] باشد می دهد :

پس
سپس مجموع این دو معادله می دهد
(۱۱ . ۶)
و تقریب زدن با انتگرال گیری Riemann می دهد، زمانیکه آن در (۴ – ۱۲۳ و C1 ) وجود دارد.
در گستره ی بیشتر از این فرآیند را می توان در کارهای Stieltjes مشاهده کرد، وی معرف دومین تابع می باشد یعنی g ، فرض بر افزایش [a,b] ( در یک محدوده ی کران دارد) و جایگزینی در (۱۱ . ۶) توسط . این روش جدید منجر به انتگرال گیری از f با محدوده ی g می گردد. و جمع بستن این معادله با (۱۱ . ۶) می دهد.

(۱۲ . ۶)
(۱۳ . ۶)
آنها با کم کردن (۱۱ . ۶) زمانیکه را به دست می آورند.
تشخیص کمترین و بیشترین مقدار f(x) در ضابطه ی [a,b] توسط M , m ، ما خواهیم داشت :

پس برای تمام تجزیه های D ، کمترین جمع بندی (۱۲ . ۶) و بالاترین جمع ها شامل (۱۳ . ۶) خواهد بود راحت است که شاهد معرفی روش های جدید در افزایش پایین ترین و بالاترین و کم شدن آنها در جمع باشیم. (ببینید تمرین ۶(a).1 . از این به بعد که ماتزل جمع را کمتر از یا برابر با هر صعود جمعی در نظر می گیریم. برای هر محدوده ای از [a,b] را درنظر می گیریم. اگر حالا، D محدوده ی بین تمام روش های مشاهده شده درنظر بگیریم را داریم.

پس
P 140 :
تعریف . نوشتن و

در جائیکه صعودی و نزولی تمام محدوده ی D از [a,b] می باشد. اولین توضیح در مورد پایین ترین انتگرال از f با مراجعه به g در [a,b] می دهد دومین انتگرال است بالا (صعودی).
توجه داشته باشید که در جایی که f یک محدوده بین [a,b] و g است در حال افزایش خواهد بود، همچنین توسط (۱۴ . ۶)

تعریف : اگر
F گفته می شود که با رابطه ی g در محدوده ی [a,b] انتگرال گیری می شودو ارزش عمومی صعودی و نزولی انتگرال گیری ها، مشخص می شود توسط :

که این رابطه به نام Riemann و یا (RS) نامیده می شود. که به معنی انتگرال گیری f با رابطه ی g می باشد.

تابع g انتگرال گیر نامیده می شود، و تابع f انتگرال ده.
کلاس تابع قابل انتگرال خواهد بود با رابطه ی g در محدوده [a,b] که توسط R(g.a.b) مشخص می شود.
بهتر است با کامل کردن تابع RS , f که توسط انتگرال گیری به دست می آید.

(زمانیکه دست راست وجود داشته باشد) و

(برای تمام تابع های f , g ).
زمانیکه انتگرال گیری RS نزول می کند به انتگرال گیری Riemann . تابع Riemann انتگرال گیری می شود در (۱۲۳) C1 که تقریباً با انتگرال گیری های قبلی که صعودی و نزولی داشتیم در این جا نداریم اما تعادل دو تابع در واحد ۷۲ . ۶ ثابت خواهد شد. دو تابع مفید هستند، مرتبه ی تابع انتگرال Riemann در محدوده ی [a,b] توسط R (a,b) مشخص خواهد شد. و صعودی و نزولی بودن Riemann توسط s(D,f) . s(D,f) جمع بندی خواهد شد.

مثال ها :
(i) هر تابع ثابت k یک انتگرال گیری RS با رابطه ی هر صعودی تابع g را دربر دارد. و

این روش از این حقیقت سرچشمه گرفته که، برای تمام

(ii) گذاشتن f در تابع تعریف می شود با :
اگر X گویاست
اگر X غیرگویاست
سپس تابع و در هر فاصله. تا زمانیکه g یک تابع صعودی است.

پس، اگر g ثابت باشد،
در پایان این مرحله ما شرایط اولیه انتگرال گیری Riemann – Stieltjg را بیان کردیم فرض کنید.
زمانیکه، ما در تابع افزایش انتگرال گیری داشته باشیم، مشخص می شود. ما با این روند داد می دهیم تا جواب قطعی برسیم.

قضیه ۱۱ . ۶ :
یک شرایط اضطراری که را داشته باشیم می دهد و محدوده ای از [a,b] از D چنین می دهد که :

۱۵ . ۶ ) دلیل (اثبات) :
(i) اگر اگر

سپس، می دهد، قسمتی از وجود دارد که :

پس :

حالا بگذارید D قسمتی از ادامه ی تمام روش های تشریحی از را اشاره کنیم.
پس :

و پس (۱۵ . ۶) اجرا می شود. (اتفاق می افتد)
۱۴۲ p )
(ii) فرض کنید که برای هر یک D وجود دارد که قبل ۱۵ . ۶ اتفاق می افتد، پس :

و در ادامه ی آن داریم :
این جایگزین برای تمام و داریم :
قضیه ی بعدی در مورد انتگرال گیری Riemann . Stirltjes در دو مثال وجود دارد اما اهمیت مورد از همه چیز مهم تر است. در این اثبات و بعد از آن بلندترین فاصله ی فرعی از محدوده D را با مشخص می کنیم.
قضیه ۱۲ . ۶ )
(i) اگر f ادامه ی محدوده [a,b] باشد پس
(ii) اگر f در محدوده ی [a,b] یکنواخت باشد و g ادامه دار (صعودی هم باشد) پس :

اثبات :
(i) برای هر محدوده ی D از [a,b] ما داریم، با دقت می توان فهمید که :

وقتی که f یک کران دار یکنواخت در بازه ی [a,b] است، و ماکس آن برابر با شاید بتوان با واحد کوچکتری مثل به طور مختصر نشان داد قضیه ۱۱ . ۶ نشان می دهد که :
(ii) فرض کنید که f افزایش می یابد. پس :

توسط g یِ کردن دار یکنواخت و پس
قسمت (ii) در قضیه فوق در قسمت قضیه ۲۴ . ۶ به طور کامل توضیح داده خواهد شد.
اکنون ما در حال ثابت کردن این قضیه هستیم که انتگرال گیری RS طولانی تر از هر دو انتگرال گیر شده و انتگرال گیر می باشد.
قضیه ی ۱۳ . ۶)
(i) (a) اگر و سپس برای هر ثابت و

(b) اگر و بعد

(ii) (a) اگر و بعد برای هر k غیرثابت داریم.

(b) اگر و و بعد :
و

اثبات :
(i) (a) این قضیه به عنوان تمرین ۲ و (a) 6 واقع شده است.
(b) ابتدا ما باید توجه داشته باشیم که، زمانی

(۱۶ . ۶)
حالا، داریم ، و وجود دارد پس :

و اگر D تمام محدوده ی را داشته باشد.

آز آنجایی که توسط (۱۶ . ۶) داریم :

و این اتفاق برای هر می افتد.

ثابت شده است که :

P 144 )
این دو تا برابری نشان می دهد که اگر و سپس

(ii) اثبات شده ی (a) خیلی آسان است که از (b) در تمرین ۳ و (x) 6 استفاده شده است.
قضیه ۱۴ . ۶ )
(i) اگر و بعد
(ii) اگر و و بعد
اثبات :
(i) k چنان وجود دارد که برای
سپس :

و سپس، و در هر فاصله ای از [a,b]
(17 . 6 )
حالا فرض کنیم و داریم D که :

ما داریم ، اگر (ii)

از آنجایی که :

و دست راست قضیه ممکن است به دلخواه کوتاهتر کنید.
قضیه ۱۵ . ۶ )
اگر پس و

اثبات :
از آنجائیکه .

پس
همچنین از آنجایی که ، اگر طبق تمرین ۵ (a) 6 و قضیه ۱۳ . ۶ ادامه دهیم خواهیم داشت:

خیلی راحت می توان یک مثالی زد که نشان داد بدون معنا نخواهد داشت (ببینید تمرین ۶ و (a) 6)
اصل : اگر a <b<c
(i)
(ii)
اثبات :
ما (i) را ثابت کردیم. و ثابت کردن (ii) نیز راحت می باشد.
فرض کنید و تکه هایی از در محدوده [a.c] و [b.c] و [a,b] داریم که :

بیایید D را در محدوده ای از [a.c] بگیریم و تمام محدودیت های را نیز دارا باشد. مخصوصاً D که درون خود دارای بازه ی b نیز است.
حال بیایید در محدوده ای از [b,c] و [a,b] باشد که شخصاً توسط D کاهش یافته اند پس :

با اضافه کردن این نامساوی ها و استفاده از (۱۸ . ۶) داریم :

و این روش برای تمام مراحلی که دارد استفاده می شود.
قضیه ۱۶ . ۶)
(i) اگر و اگر [c.d] در هر فاصله ای از [a,b] قرار داشته باشد سپس :
اثبات :
(i) طبق اصل داریم :

(ii) دوباره، طبق اصلی داریم که :

و سپس :

در حالیکه هر کدام از سه طرف های سمت چپ غیرمنفی هستند پس هر واحد صفر می باشد.
توجه، (نکته) :
۱ ) توسط (i)، اگر f یک تکه ی یکنواختی باشد.
یعنی، اگر [a,b] ممکن است به اعداد محدودی از فاصله در f یکنواختی تقسیم شود.
۲ ) در مشاهده ی تعریف از زمانیکه ما نیاز نداریم که فرض کنیم
در (i) a <b<c
قضیه ۱۷ . ۶ ) (متغیرها را عوض کنید) :
بگذارید . اگر یک کران باشد، و بازه در محدوده در حال افزایش چنان باشد که و سپس و

اثبات :
رابطه ی در محدوده و فاصله ی D از [a,b] و در فاصله ی D* از . اگر D* , D برابر باشند.
P 147 :

پس :
و
مثال های دیگری در مورد انتگرال گیری RS آمده است که می توانید در تمرین ۱۰ – ۸ می توانید ببینید.
تمرین (a) 6 :
1 ) نشان دهید اگر D’ یک محدوده ی بازی [a,b] است که تمام خواص محدوده ی D را داراست. و :

۲ ) ثابت کنید که زمانی k یک ثابت است.

۳ ) ثابت کنید که :

۴ ) اگر . نشان دهید که اگر صعودی باشد،
و
۵ ) نشان دهید که اگر برای پس :

۶ ) یک تابع f بسازید که برای هر غیرثابت اما
۷ ) تابعی را پیدا کنید از g , h , f (در حالیکه g در حال صعودی است) چنان که :

۸ ) فرض کنید که و برای نشان دهید که عددی مثل میان اینف موم و سوپرمان در [a,b] چنان وجود دارد که :

(در این معادله اولین ارزش میانی قضیه می باشد)
۹ ) نشان دهید، اگر f یک کران دار در [a,b] (و g صعودی است) و

از آنجایی که
۱۰ ) بیایید و F را در بازه ی [a,b] تعریف کنیم.

ثابت کنید که :
(i) F یک کران دار در هر موقعیتی از g می باشد.
(ii) F یک سوالی جدا از f کران دار است و با g فرق دارد و چنان وجود دارد که :

۱۱ ) بیایید g را صعودی در محدوده های [a,b] فرض کنیم. نشان دهید که اگر f یک محدوده در [a,b] است و در حالی وجود دارد
پس .
۱۲ ) یک تابع در یک محدوده ی کران دار C تعریف شده که از سمت چپ در C کران دار بوده طوری که اگر

سمت راست کران داری نیز همین طور تعریف شده است.
فرض کنید f کران دار است و g صعودی در بازه ی [a,b] . ثابت کنید که اگر g , f یک غیر کران دار چپی هستند و بعد
۱۳ ) فرض کنید، برای … و ۲ و ۱ = n و بعد در محدوده ی [a,b] قرار ندارند. ثابت کنید که و

طوری که
۱۴ ) نشان دهید که اگر f غیرمنفی است و کران دار در محدوده ی [a,b] است و g صعودی است و بعد

به طوری که
۱۴۸ P :
2 . 6 ) ویژگیهای دیگر انتگرال گیری Riemann – Stieltjes :
این مرحله عمده ی آن بیشتر از ۱ . ۶ پیشرفته می باشد، آشنایی با آن لازم نیست برای خوانندگان و یا کسانیکه به طور مختصر در مورد انتگرال گیری Riemann – S مطالعه می کنند.
ما نشان می دهیم که اگر انتگرال گیری از روش RS گرفته شده است یا یک انتگرال گیری بدون تعریف Riemann است پس انتگرال RS – یک انتگرال معمولی Riemann کاهش پیدا می کند.
قضیه A 21 . 6 )
بگذارید اگر تابع صعودی g مختلف در محدوده ی [a,b] باشد و پس

اثبات :
اگر قضیه برای غیرمنفی های f ثابت شود مشخصاً برای کران دارهای غیرمنفی نیز این اتفاق می افتد یعنی برای هر
بنابراین ما می توانیم بنویسیم در حالیکه C چنان انتخاب شده که :

برای . ما ممکن است فرض کنیم که f یک غیرمنفی در بازه [a,b] است. از آنجائیکه g’ همچنین غیرمنفی در هر محدوده ای از [a,b]
(21 . 6)
از آنجائیکه یک رابطه ی منظمی نشان می دهد که پس D در محدوده ی [a,b] چنان انتخاب می شود که نابرابری :
(۲۲ . ۶)
(۲۳ . ۶)
اگر D انتخاب شود توسط :

توجه کنید که اینفما از در و توسط و سوپرمام . توسط . توسط (۲۱ . ۶). و عدد چنان است که و

همچنین توسط قضیه ارزش میانگین، عدد چنان وجود دارد که و
(۲۴ . ۶)
سپس تو (۲۳ . ۶) داریم :

اما اگر،
سپس توسط (۲۲ . ۶) داریم :

این اتفاق برای تمام اتفاق می افتد بنابراین :

این دقیقاً شبیه به این است که نشان دهیم

قضیه B 21 . 6 )
بیایید و بیایید G یک انتگرال نامحدود از g باشد

در حالیکه k یک ثابت است. اگر g غیرمنفی باشد در محدوده ی [a,b] (و G صعودی) سپس و
اثبات :
اثبات قبلی با g , g’ جایگزین هم شده بودند و g توسط G جایگزین شده بود ولی خواص هم را داشتند. تنها تفاوت در لغت متشابه (۲۴ . ۶) است و خوانده می شود.

که توسط جابجایی میان (به تمرین ۸ . (a) 6 نیز توجه داشته باشید)
بعداً خواهید دید که (در قضیه ۱۴ .۶ ) اگر g’ انتگرال R باشد و g یک انتگرال نامحدود از g’ خواهد بود. بنابراین قضیه B در حقیقت شامل قضیه A نیز می باشد.
داشتن انواع مختلف انتگرال گیری بسیاری را از واداشتن به ادامه ی کار باز می دارد تابع واقعی در محدوده ی [a,b] گفته می شود که یک پرش غیرادامه ی در عبارت x در بازه ی (a,b) دارد که اگر وجود داشته باشند.
و هر دو برابر نباشند : تعریف آنها دقیقاً مطابق با x = a یا x = b برابر خواهد بود همچنین در تمرین ۱۲ . (a) 6 ما را انتگرال کران دار g درباره ی [a,b] می نامیم. که در حال صعودی است و هر غیر ادامه ای از g باید به طور مختلف پرش داشته باشد.
آسان ترین (ساده ترین) انتگرال غیر ادامه ای تابعی است و کران دار باشد و به و برای یک پرش در یک مورد. اگر پرش آخر این موردها نباشد تابعی شکل همچنین دارد.
برای
برای
با استفاده از . به عبارت دیگر شکلی از آنها به صورت :
برای برای
برای برای
قضیه ی ۲۲ . ۶ )
فرض کنید g در بازه ی [a,b] کران دار باشد به جز برای یک جای خالی در نقطه ی u . سپس اگر و تنها اگر f ادامه دار در سمت چپ باشد زمانیکه g غیر ادامه دار در سمت چپ و ادامه دار از سمت راست زمانیکه g غیر ادامه دار است در سمت راست. اگر پس :

اثبات :
زمانیکه f , g یک کران از سمت و چپ و راست دارند، سپس توسط تمرین ۱۲ . (a) 6

فرض کنید حالا که هیچ کران دار معمولی وجود ندارد ابتدا بگذارید باشد ما باید نشان دهیم که و اینکه :
(۲۵ . ۶)
این اتفاق به وضوح زمانی رخ می دهد که باشد یعنی زمانیکه g در بازه ی [a.u] کران دار باشد. زمانیکه ، t را چنان انتخاب کنید که a < t<u و از سمت چپ D در بازه ی [a.u] با a , t , u کران دار باشد.
سپس :

از آنجائیکه حالا f ادامه دار در سمت چپ در u است، اول و آخر این تجزیه منجر به از آنجائیکه . پس و (۲۵ . ۶) اتفاق می افتد.

اصل ۱ )
هر تابع صعودی مجموعه ای از تابع های صعودی ادامه دار است و شمارش تمام تابع ها هرکدام افزایش یافته و ادامه دار خواهد بود به جز در یک نطقه ی تنها.
اثبات :
g را یک تابع ادامه دار در نظر بگیرید در بازه ی [a,b]. با تمرین ۱۰ . (c) 1، یک سری از غیر ادامه دارهای g قابل شمارش هستند. توجه داشته باشید که غیرادامه ای در جائیکه k محدوده هایی بیش از یک سری قابل شمارش باشد که ممکن است محدود باشد و یا شاید خالی. اگر تابع تعریف می شود :
(۲۶ . ۶)
برای
برای
برای
برای تعریف زمانیکه بگیرد. و خط اول را محدود کنید که (۲۶ . ۶). وقتی که ، آخرین خط را محدود کنید. وقتی که نامحدود است همگرا خواهد بود. در بازه ی [a,b] . برای همگرا بودن (مجموع آنها قابل محدود شدن بوده توسط g(b) – g(a) و

از آنجائیکه محدود است یا نامحدود تابع :

(زمانیکه خالی است o را تعریف شده بگیرید) ادامه دار هستند به جز در یک نقطه . پس :
G* = g-j
ادامه دار است در تمام نقاط . اما، توسط تعریف ادامه دار است در . از آنجائیکه همچنان ادامه دار است در آن ادامه دارد که g* در بازه ی [a,b] ادامه دار است.
تابع g* صعودی است. برای اثبات این ما باید ابتدا توجه داشته باشیم که محدوده ی و بسیار محدود می باشد.
حالا بیایید ، سپس مجموع طول هر عدد محدود ادامه داشته باشند در محدوده ی کمتر از آنها و یا برابر با همین امر بنابراین درست است در مورد تمام در . پس :
یعنی :

تابع صعودی g را g* بگیرید و j تعریف شده در اثبات اصل که نامیده شده جزئی ادامه دار است و جزئی خالی است از g . برای نگهداری تجزیه ی مسئولانه این نتیجه از g ما به اصل دیگری نیاز داریم.
اصل ۲ :
فرض کنید که تابع های در [a,b] صعودی است و همگراست در یک تابع h در بازه ی [a,b] سپس h صعودی است در بازه ی [a,b] و اگر برای هر k ، پس :
(۲۷ . ۶ )
اثبات :
اگر ، برای هر k و پس :

پس h صعودی است در بازه ی [a,b].
حالا فرض کنید که برای هر k بگذارید.

سپس از آنجائیکه :

آن این را به همراه دارد که :
همگرا می باشند.
را بگیرد. و یک چنان وجود دارد که برای .

از آنجائیکه برای هر D از محدوده ی [a,b] تجزیه می شود.

زمانیکه
هر را بگیرید سپس محدوده ی D را چنان بگیرید که :

و استفاده از (۲۸ . ۶) داریم :

پس برای هر

از آنجائیکه این برای هر درست است پس و اتفاق می افتد.
قضیه ی ۲۳ . ۶ )
فرض کنید که g یک تابع صعودی در [a,b] و غیر ادامه دار در نقطه ی می باشد. بیایید g = g*+j بگیرید، در حالیکه g* کران دار ادامه دار است و j نقطه ی خالی از g . اگر حالا پس و

حالا از قضیه ۲ که و
از آنجائیکه g* = g – j صعودی است، را تمرین ۴ و (a) 6 ، و

این انتگرال گیری که در آخر ارائه شد باعث می شود که انتگرال گیری RS به طور مشخص در عملکرد تجزیه قابل دسترسی باشد. نشان می دهد، برای فاصله ای که به طور فیزیکی قابل محاسبه است در انتگرال گیری قادر به عهده دار آمدن با جمع نقاطی که به خوبی ادامه دار هستند. ما همچنین قادر به ثابت کردن قضیه (ii) 12 . 6 هستیم.
قضیه ۲۴ . ۶ )
اگر f یکنواخت باشد و g در بازه ی [a,b] صعودی و اگر f , g از سمت چپ و راست مشترک باشد پس .
اثبات :
بیایید j + g* = g در حالیکه در نگاه محدودیت در فاصله ای از g , f قضیه ۲۲ . ۶ نشان می دهد که برای تمام k . بنابراین با اصل ۲ ، . همچنین، توسط قضیه (ii) 12 . 6
اگر، در قضیه ۲۴ . ۶ ، f (به خوبی g ) صعودی گرفته شود، سپس و تقارن موقعیت بیشتر x نشان می دهد توسط فرمول برای انتگرال گیری.
قضیه ۲۵ . ۶ ) (انتگرال گیری با نقاط)
اگر تابع های g , f در بازه ی [a,b] صعودی هستند و هیچ همگرایی چپ و راست ادامه دار ندارند پس :

اثبات :
از آنجائیکه g , f تابع های صعودی هستند، ما داریم برای هر فاصله ی D

اما گرفتن ، D ممکن است انتخاب شود که :

اضافه کردن این دو نابرابرها و استفاده از (۲۹ . ۶) برابر تمام داریم :

تمرین (b) 6 :
1 ) نشان دهید اگر f در بازه ی کران دار باشد پس برای

در حالیکه [t] بزرگترین انتگرال است کمتر و یا مساوی با t می باشد (وقتی که مجموع سمت چپ صفر درنظر گرفته می شود.)
۲ ) سری های کاملاً همگرا هستند. تابع صعودی را پیدا کنید. به نام g در بازه ی [۱ و ۰] و یک تابعی چنان که :

۳ ) تابعی بسازید f , g (n = 1,2,….) در یک محدوده ی [a,b] با شرایط زیر :
(i) برای n = 1 , 2 , … gn صعودی باشد در[a,b] و
(ii) در بازه ی [a,b] اما
۴ ) تابع gn (n= 1,2,…) در بازه ی [a,b] صعودی است و در بازه ی [a,b] نشان دهید که اگر f صعودی باشد در [a,b] برای هر n داریم و
۳ . ۶ ) انتگرال گیری نامناسب Riemann – Stieltjes :
انتگرال های نامناسب Riemann در (۱۳۸) C1 مشخص شده اند. یک تعریف برای انتگرال های نامناسب RS به سختی شناسایی می شوند.
تعریف : بیایید g را یک تابع صعودی در بگیریم. اگر
برای هر وجود دارد، سپس این لیمیت یک انتگرال شده ی نه مناسب RS نامیده می شود که از نوع اول می باشد و باید توجه شود که :
انتگرال های نامناسب شرایطی را دارند مانند سری های نامحدود و قضیه های پیشین.
اثبات ها را برای خوانندگان حذف کرده ایم.
قضیه ۳۱ . ۶ ) (بحران عمومی برای همگراها)
اگر برای هر r>a ، a لزماً و اختصاراً تابع است برای وجود دارد که، گرفته می شود یک چنان وجود دارد که :
در حالیکه
برای انتگرال های نامنفی اولین بحران این است که بیشتر اثباتات همگرا بودن یا غیرهمگرا بودن انتگرال ها است.
قضیه ۳۲ . ۶ )
فرض کنید که برای هر .
وجود دارد پس . وجود دارد و برای اگر (i)
وجود ندارد پس . وجود ندارد و برای اگر (ii)
زمانیکه f یک نشانه ی متغیر ( و ) برای هر >a 1). ساده ترین بحران برای همگرا بودن همگرایی از (ببینید ۲ و (c)6) می باشد. این نتیجه تعریف کاملی از همگرایی بودن را می رساند.
اگر برای هر و وجود دارند پس کاملاً همگرا نامیده می شود. اگر وجود داشته باشد اما وجود نداشته باشد پس گفته می شود که کاملاً غیرهمگراست.
امثال : اینها اشاره دارند به راحترین و مهمترین موارد، که در انتگرال R وجود دارد.
کاملاً همگرا، از آنجائیکه (i)

وجود دارد و
کاملاً غیرهمگرا است (ii)
اول
از آنجائیکه اولین واحد در سمت راست معادله cos 1 . دومین واحد همچنین همگراست چون . به طوریکه وجود دارد.
برای اثبات اینکه از هم جدا هستند، توجه داشته باشید که :

دو نوه دیگر انتگرال ها با محدودیت خاص توجه ما را جلب نمی کنند. تعریف از کاملاً مشخص است. به خوبی تعریف شده است که :

مجموع این دو انتگرال کاملاً بستگی به a دارد.
دومین نوع انتگرال نامناسب دقیقاً مثل اولین نوع است و تعریف کمی از آن را خواهیم داشت.
تعریف : بیایید g را یک تابع صعودی در بازه [a,b) در نظر بگیریم.
اگر
در حالیکه o < h< b-a (پس f در هر فاصله ای از [a+h , b] مشخص شده است). و اگر وجود داشته باشد، پس این لمیت یک انتگرال نامناسب RS از نوع دوم نامیده می شود و ما باید توجه داشته باشیم که :
راحت یا
نکات :
۱ ) اگر f در بازه ی [a,b] مشخص شده باشد و از آنجائیکه o<h<b-a پس . (ببینید تمرین ۱۱ و (a) 6). از اینرو تعریف از شبیه به تنها زمانیکه f نزدیک a مشخص نشده باشد احصار می شود.
۲ ) فرض کنید که و بعد وجود دارد اما انتگرال نامناسب نیاز به برابری در انتگرال معمولی ندارد. (ببینید تمرین ۶ و (c) 6). دو انتگرال همزمان عمل می کند، وقتی که g ادامه دار در a است و بنابراین، به طور مشخص در مورد انتگرال R قرار می گیرد. (ببینید تمرین ۱۰ و (a) 6).
تعریف از (یا ) شبیه به آن است که
همچنین، اگر و برای وجود دارد به عنوان یک انتگرال نامناسب که فقط مشخص شده است، ما می نامیم (به طور مسجم) مجموع این انتگرال های نامناسب.
دو نوع از انتگرال های نامناسب ممکن است با هم اتفاق افتد. ما برای به عنوان تعریف می کنیم زمانیکه وجود دارد حتی به عنوان یک انتگرال معمولی یا به عنوان نوع دوم از انتگرال نامناسب.
سری های انتگرال نامناسب، ما یکبار دیگر بار دو روند محدود کردن سروکار خواهیم داشت.
قضیه ۳۳ . ۶ فرض کنید که g یک تابع صعودی در بازه ی است که تابع های همه غیرمنفی در بازه ی هستند که :
(۳۱ . ۶)
وجود دارد و برابر هستند برای هر x>a ، در حالیکه انتگرال ها معمولی هستند و یا نامناسب اگر، حالا، یکی از توضیحات
(۳۲ . ۶)
وجود داشته باشد، پس دو معادله ی نابرابر دیگر هستند.
اثبات :
فرض کنید که اولین توضیح در (۳۲ . ۶) وجود داشته باشد. از آنجائیکه مشاهده ی قضیه ی ۷۳ . ۴ با یک ادامه دارها و یک انتگرال مختلف وجود دارد برای و زمانیکه دو توضیح در (۳۲٫ ۶) برابر هستند، ما مقدارها را در هر کدام از آنها نگهداری می کنیم و در بعدی وارد می کنیم.

در بیشتر عملکردها در قضیه های ۳۳ . ۶ تغییر دهنده های مجموع و انتگرال در (۳۱ . ۶) مشخص شده توسط همگرایی از
بدیهی است که قضیه ۳۳ . ۶ در نوع دوم انتگرال نامناسب جا داشته باشد.
همگراهای یکسان :
توجه در همگراهای یکسان ممکن است باعث شود که در هر دو نوع انتگرال نامناسب اتفاق افتد. لزوماً به نوع اول باید رسیدگی شود.
تعریف : فرض کنید که تابع g در صعودی است که E یک ست (لازم نیست لزوماً با متری تجهیز باشد) و اینکه f یک تابع با ارزش دربازه ی .
اگر :
(۳۳ . ۶)
برای هر وجود دارد اگر
به عنوان
سپس انتگرال (۳۳ . ۶) نامیده می شود همگرایی یکسان در E .
قضیه ی ۳ . ۵)
ممکن است عملکردی مانند انتگرال نامناسب داشته باشد. شباهت زیاد اینها (۳۱ . ۵ و ۳۲ . ۵) به راحتی قابل تشخیص است. و باقی مانده قابل توسعه دادن .
قضیه ی ۳۴ . ۶) (انتقاد عمومی از همگراهای یکسان)

فرض کنید که وجود دارد در حالیکه b>a و ، یک تابع لازم برای برای یکسان کردن همگراها برای هست که باید گرفته شود.
و x ی چنان وجود داشته باشد که
در حالیکه
اثبات :
ضرورت موقعیت آشکار است. برای اثبات ضرورت ما ابتدا باید توجه داشته باشیم که توسط قضیه ۳۱ . ۶ برای هر وجود دارد.
از آنجائیکه در زمانیکه
و تا آنجائیکه وجود دارد، آن خواهد داشت که

اما این قضیه برای هر اتفاق می افتد و بنابراین
برای
قضیه ی ۳۵ . ۶ )
فرض کنید که وجود دارد به طوریکه b>a و اگر یک تابع M در بازه ی چنان است که
و برای
و همگراست، پس همگراست (کاملاً و یکسان هستند در E اثبات این مورد بیشتر شبیه قضیه های ۳۱ . ۶ و ۳۴ . ۶ هستند.
مثال : اگر C هر عدد مثبتی باشد
یکنواخت همگراست برای . برای اثبات این ما قادر به استفاده از M – test هستیم برای زمانیکه و ، قضیه ۳۳ . ۶ نشان می دهد که همگرایی یکنواختی برای y>o نمی باشد، در حالیکه اگر n یک انتگرال باشد.

در ۷ . ۸ ما باید در مورد تابع بحث کنیم، توسط میانگین همگرایی یکنواخت انتگرالی، در شکل

تمرین (c) 6 :
1 ) قضیه ۳۱ . ۶ را ثابت کنید.
۲ ) نشان دهید که اگر برای هر x>a و وجود دارد پس وجود خواهد داشت.
۳ ) نشان دهید که وجود دارد.
۴ ) ثابت کنید که که کاملاً ناهمگراست.
۵ ) ثابت کنید که برای هر کران دار
از آنجائیکه نتیجه بگیرید که، اگر f یک تابع صعودی مثبت در باشد پس :

هر دو همگرایی و یا ناهمگرایی را دارد. (مورد انتگرالی است که طبق قضیه به وجود آمده است C1 ).
6 ) بگیرید و نشان دهید که وجود دارد، اما اگر g غیر ادامه دار باشد در a و پس :

۷ ) ارزیابی کنید
۸ ) مقدار را در معادله زیر به دست آورید
۹ ) بیایید c>o نشان دهید که
همگرایی یکنواخت در هر فاصله ی چنان است که . با تجزیه و تحلیل دو مرتبه، شبیه قضیه ۳۳ . ۶ برای انتگرال گیری های نامناسب از نوع دوم ثابت کنید که

۱۰ ) نشان دهید که
همگرایی یکنواخت در هر فاصله ای از امانه در بازه ی .
۱۱ ) ثابت کنید که و همگرایی یکنواخت در بازه ی .
۱۲ ) نشان دهید که
(i) همگرایی برای
(ii) همگرایی یکنواخت برای
(iii) همگرایی یکنواخت برای نباشد.
۴ . ۶ ) تابع های کران دار وابسته :
منظور ما از این نوع تابع، دو نوع می باشد. اول در انتگرال گیری RS استفاده می شود و دومی کران دار می باشد که در بازه های محدود مورد استفاده قرار می گیرد.
بیایید f را یک تابع حقیقی در بازه ی محدود [a,b] درنظر بگیریم. اگر D یک تکه از [a,b] باشد می دهد :

بگذارید :

تعریف : اگر V (D,F) در تمام بازه های D در [a,b] کران دار باشد، تابع f دارای تابع متغیر در [a,b] نامیده می شود و

و نامیده می شود کران دار وابسته در [a ,b]
توجه :
(i) اگر f در [a,b] یکنواخت باشد، آنگاه f در [a,b] دارای کران دار وابسته خواهد بود.

(ii) اگر f در بازه [a,b] ادامه دار باشد و کران دار اشتقاقی در (a,b) آنگاه f در (a,b] دارای کران دار وابسته خواهد بود. (ببنید تمرین ۱ و (d) 6)
(iii) یک تابع کران دار وابسته، کران دار است.
(iv) (a) یک تابع کران دار وابسته نیاز به ادامه دار بودن ندارد (تا زمانیکه، مثلاً یک تابع یکنواخت نیاز به ادامه دار بودن ندارد)
(b) یک تابع ادامه دار نیاز به کران دار وابسته بودن ندارد.
بیایید f را بگیریم.

سپس f در همه جا پیوسته است. اما کران دار وابسته در فاصله های معین نمی باشد. مثلاً در فاصله ی [۱ و ۰] اگر گرفته شود.

سپس

بنابراین چنانچه پس f در بازه ی [۱ و ۰] کران دار وابسته نیست. به راحتی می توان نشان داد که عملیات های ابتدایی تابع های کران دار وابسته ثمره ی کران دارهای وابسته هستند.
قضیه ی ۴۱ . ۶)
اگر f , g تابع های کران دار وابسته در [a,b] هستند پس |f| fg , f+g به علاوه پس نیز کران دار وابسته هستند.

قضیه ۴۲ . ۶ )
(i) اگر f یک کران دار وابسته در [a,c] باشد و اگر a<b<c آنگاه f یک کران دار وابسته در بازه های [a,b] و [b,c] خواهد بود.
(ii) اگر f یک کران دار وابسته در [a,b] و در [b,c] باشد، آنگاه f یک کران دار وابسته در [a,c] خواهد بود و
اثبات :
(i) بیایید را در فاصله ی [a,b] و [b,c] بگیریم و را در فاصله ی [a,c] . سپس

بنابراین f تابع کران دار وابسته در [a,b] و در [b,c] و همچنین.
(۴۲ . ۶) خواهد بود.
(ii) بیایید D را در هر بازه ای از [a,c] درنظر بگیریم و بیایید D* را D بگیریم. و b را یک نقطه ی در میان این بازه و این نقطه نباید در D باشد. پس D” , D’ در بازه ی [b,c] و [a,b] با D* مطرح می گردد. پس :

از آنجائیکه f کران دار وابسته در بازه ی [a,b] است پس :
(۴۳ . ۶)
(۴۱ . ۹ ) می دهد (۴۳ . ۶) و (۴۲ . ۶)
اکنون ما می توانیم یک تابع کران دار وابسته در هر بازه ای بسازیم.
قضیه ی ۴۳ . ۶)
یک تابع کران وابسته است. اگر و تنها اگر این تابع در میان دو تابع صعودی باشد.
اثبات :
یک تابع صعودی کران دار وابسته است و توسط (۴۱ . ۶) اختلاف دو تابع در کران دار وابسته بود نشان است. حالا فرض کنید که f یک کران دار وابسته در بازه ای [a,b] می باشد. در نگاه به قضیه ۴۲ . ۶ تابع کران دار وابسته تعریف شده در بازه [a,b] مشخص شده باشد آنگاه می دهد :
برای
برای
صعودی است. سپس بگذارید :
و زمانیکه

بنابراین صعودی است در بازه ی [a,b] . همچنین
نتیجه : هر تابع غیرپیوسته ای X کران دار وابسته با افزایش ناگهانی همراه است.
اگر u هر تابع صعودی باشد، آنگاه (در قضیه ۴۳ . ۶) صعودی هستند و . پس نمایش یک تابع کران دار وابسته به عنوان اختلاف دو تابع صعودی برابر نیستند. قضیه ۴۳ . ۶ نشان می دهد که چرا تابع های کران دار وابسته ممکن است یک انتگرال گیر باشد، قضیه ی بعدی همچنین مربوط به انتگرال گیری RS می باشد.
قضیه ی ۴۴ . ۶ )
بیایید f یک کران دار وابسته در [a,b] باشد، سپس در سمت چپ (راست) در نقطه در بازه ی [a,b] پیوسته باشد، اگر و تنها اگر f در سمت چپ (راست در پیوسته باشد).
اثبات :
ما فرض می کنیم پیوستگی چپ در نقطه ی چنان است که ابتدا فرض کنید که از سمت چپ در پیوسته باشد. مثلاً :
برای، از آنجائیکه به عنوان

آن نشان می دهد که از آنجائیکه
حالا فرض کنید که f دربازه ی چپ در پیوسته است. اگر تابع های صعودی چنان هستند که آنگاه :

P 166 :
مشخص کنید تابع های در بازه ی [a,b] با :

سپس در بازه های [a,b] تابع های صعودی هستند، و همچنین برای ما داریم.

از آنجائیکه سمت راست صفر می شود .
پیوسته راست در یک نقطه ی نیز شبیه همین امر می باشد.
نتیجه : اگر f در بازه ی [a,b] کران دار وابسته باشد. آنگاه دو تابع صعودی (چنان هستند که ) پیوسته هستند از سمت چپ (راست) در حالیکه f از سمت (چپ) و راست پیوسته می باشد.
اگر f یک تابع کران دار وابسته در بازه ی [a,b] باشد، مشخص کنید که تابع در بازه ی [a,b] با
(۴۴ . ۶)
پس اینکه به راحتی می توان مشاهده کرد تابع های صعودی هستند. همچنین توسط قضیه ۴۴ . ۶ ، در سمت چپ (راست) پیوسته هستند در حالیکه f در سمت چپ (راست) پیوسته است. تابع نامیده می شوند، تابع های مثبت و منفی f . (تمرین ۳ . (d) 6 عملکرد دلیل این قضیه را بیان می کند). این تابع ها قادر به درک و شناسایی تابع های کران دار وابسته در میان تابع های صعودی مختلف هستند. ما ابتدا نشان می دهیم که کوچکترین تابع های صعودی هستند (۴۴ . ۶).
اصل : بیایید f را یک کران دار وابسته در [a,b] بگیریم اگر s, r تابع های صعودی در [a,b] چنان هستند که :
(۴۵ . ۶)
برای پس
اثبات : x را چنان بگیرید که و بیایید D را در بازه ی [a,x] بگیرید. سپس

از آنجائیکه این اتفاق برای تمام بازه های [a,x] می افتد.

از دومین معادله در (۴۴ . ۶) و (۴۵٫ ۶) بر می آید که
قضیه ۴۵ . ۶)
بیایید f یک کران دار وابسته در [a,b] باشد. اگر u یک تابع صعودی در [a,b] باشد و u(u)=o پس صعودی هستند دربازه ی [a,b] چنان که :

همچنین هر مقدار از تابع صعودی r,s برگرفته از دو معادله هستند که عبارتند از :

از آنجائیکه u صعودی است در بازه ی [a,b] و u(a)=o
اثبات :
برای اثبات اولین مورد کاملاً واضح است اما دومین مورد هر نقطه ای را به نام های چنان بگیرید که و بگذارید.

سپس محدودیت های را به کاملاً مثبت و منفی هستند در تابع های وابسته از f در بازه ی و

بنابراین، با اصل یعنی :

اما اختیاری هستند و پس در بازه ی [a,b] صعودی هستند.
تمرین (d)6 :
1 ) ثابت کنید نکته (ii)
2 ) قضیه ۴۱ . ۶ را اثبات کنید.
۳ ) بیایید f را در [a,b] کران دار وابسته بگیریم. در بازه ی D از [a,b] بگیرید.
بگذارید :

(پس Q (D,f) , P (D,f) مجموع گروههایی است که برای آنکه بیایید.
در حالیکه هر سوپرمام بیش از بازه ی [a,b] هستند.
ثابت کنید که :

و استنباط کنید که برای

۴ ) فرض کنید و مشخص کنید که تابع F در [a,b] توسط

ثابت کنید که f یک کران دار وابسته در [a,b] است و اینکه همچنین نشان دهید که اگر پس :

۵ ) مشخص کنید تابع های در بازه ی [a,b] چنان که
(i) ( ) همگرایی غیربرابر در [a,b] باشد.
(ii) هر کران دار وابسته در [a,b] باشد.
(iii) در بازه ی [a,b] کران دار وابسته نباشد.
۵ . ۶ ) انتگرال گیری تابع های کران دار وابسته :
یک تابع g کران دار وابسته قادر به توضیح g = r-s در حالیکه s,r تابع های صعودی هستند خواهد بود. بنابراین تعریف می شود :

زمانیکه تابع از سمت راست قابل انتگرال گیری می باشد. اما توضیح y به عنوان یک اختلاف تابع صعودی برابر نمی باشد و ما نشان می دهیم تعریفمان را از غیروابسته به مقدارهای r,s می باشد. بیایید یک مقدار دیگر از تابع های صعودی چنان بگیریم که

هردو وجود داشته باشند، سپس، از آنجائیکه قضیه ۱۳ . ۶ می دهد.

آن چیست که ما نیاز داشتیم :
زمانیکه f غیرپیوسته است سپس حتی اگر f قابل انتگرال گیری باشد با مقداری r,s ، مقداری دیگر قابل انتگرال گیری نمی باشد. برای مثال، s,r را بگیرید تابع های صعودی u ممکن است انتخاب شود که s+u , r+u غیرپیوسته باشد در نقطه یکسان مثلاً f .
بنابراین f را قابل انتگرال گیری با g می نامیم و مقدارهای s ,r را چنان می گیریم که r,s وجود داشته باشند .
تابع های چنان هستند که واضح است که اگر f قابل انتگرال گیری به باشد، آنگاه f با g قابل انتگرال گیری خواهد بود و
(۵۱ . ۶)
برای یک تجزیه از g در تابع های صعودی می باشد. قضیه ی بعدی نشان می دهد که اگر f یک انتگرال گیرنده به g باشد آنگاه و چنان وجود دارند که . در حقیقت توسط (۵۱ . ۶) مشخص شدند.
قضیه ی ۵۱ . ۶ )
فرض کنید g کران دار وابسته در محدوده ی [a,b] باشد، اگر f بر [a,b] قابل انتگرال گیر باشد توسط g ، سپس f همچنین با رابطه ی هر کدام از تابع های کران های داریم g از .
اثبات :

بیایید s ,r دو تابع صعودی در [a,b] چنان باشید که f , g = r-s با رابطه ی هر کدام از s,r انتگرال گیر باشد. بگیرید . محدوده های D از [a,b] چنان است که :
(۵۲ . ۶)

از آنجائیکه
دو مقدار از (۵۲ . ۶) می دهد (در مقدار معمولی)
(۵۴ . ۶)
همچنین اگر آنگاه با (۵۳ . ۶)

(۵۵ . ۶)
از (۵۴ . ۶) و (۵۵ . ۶) ما نتیجه می گیریم

پس
از آنجائیکه یک تابع صعودی است
تمرین ۴ (a) 6 نشان می دهد که . همچنین
بیشتر فضا یا از انتگرال RS با یک انتگرال گیرنده صعودی هستند به راحتی تبدیل به انتگرال با رابط تابع کران دار وابسته می شوند. در جائیکه اختلاف هایی در کران دار بودن انتگرال های وابسته معمولاً منجر به نتیجه ی یکسان می گردد.
فاصله ی انتگرال ها به خوبی انتگرال گیرنده ها یک خط می گردد : اگر هر فاصله ای باشند
(۵۶ . ۶) و
(۵۷ . ۶)
در جائیکه در هر مورد از هر دو انتگرال ها در سمت راست هر عملکردی شبیه به سمت چپ را نشان می دهند. این امر مانند قضیه ۱۳ . ۶ می باشد. ما حال محدودیت که باعث الزامیت در قسمت (a) (ii) از قضیه می شود را تا انتگرال گیری افزایشی را بر می داریم. قضیه ۱۴ . ۶ همان طور که قبلاً نشان داده است مانند قضیه ۱۵ . ۶ مقدار برابری با داده های قبلی ندارد.
قضیه ۵۲ . ۶ اگر g در بازه ی [a,b] کران دار وابسته باشد و آنگاه و

اثبات :
با قضیه ۵۱ . ۶ و ۱۵ . ۶ . |f| با رابطه انتگرال گیر می باشد. همچنین استفاده از رابطه ی قضیه ی ۱۳ . ۶ داریم :

اصل.
گاهی اوقات نوشته می شود در این مورد قضیه ۵۲ . ۶ شکلی به صورت زیر دارد.

قضیه ۱۶ . ۶ برای انتگرال کران دار وابسته ای اتفاق می افتد. دید جدید قضیه ۱۷ . ۶ به راحتی این موضوع را نشان می دهد.
قضیه ۵۳ . ۶ ) (متغیرها تغییر یافته)
فرض کنید در حالیکه g یک کران دار وابسته است. اگر پیوسته باشد به سختی یکنواخت تابع چنان که و باشد، پس قابل انتگرال گیری با رابطه ی می باشد.

اثبات :
فرض کنید g = r-s در حالیکه s,r صعودی هستند و . در حالیکه افزایشی باشد نتیجه اش از قضیه ۱۷ . ۶ فوراً دیده می شود. (s,a,b) . زمانیکه کاهش پیدا می کند (پس ) آنگاه تابع های صعودی هستند و قضیه ۱۵ . ۶ اندازه گیری می شود و نشان می دهد که :

از آنجائیکه، استفاده از (۵۷ . ۶) داریم :

اصل : تابع از قضیه ممکن است به سختی یکنواخت گرفته شود زمانیکه در حالیکه

در آخر ما قضیه های ۲۴ . ۶ و ۲۵ . ۶ را با هم ترکیب می کنیم.

قضیه ۵۴ . ۶ ) (انتگرال گیری توسط قسمت ها)
اگر تابع های g , f کران های وابسته ی در [a,b] هستند و هیچ پیوستگی چپ و راستی ندارد پس:
و
(۵۸ . ۶)
اثبات :
توسط قضیه ۴۴ . ۶ ، مقدارهای تابع های و پیوستگی راست و چپی ندارند. این قضیه نشان می دهد که و ۲۴ . ۶ و قضیه ۲۵ . ۶ و جبرگیری ساده حالا ثمر می دهد. (۵۸ . ۶)
انتگرال های نامناسب با رابطه ی انتگرال های کران دار وابسته می توانند به طور جدیدی تعریف شوند اما دستکاری این انتگرال ها ممکن است ناشیانه باشد. مقایسه ی قانون از آنها اتفاق نمی افتد (ببینید تمرین ۶ . (e) 6). کاملاً هم تابع های همگرا مانند همگراها عمل نمی کنند (ببینید تمرین (ii) 7 و (e) 6).
تمرین (e) 6 :
1 ) ثابت کنید قضیه B 21 . 6 با محدودیت از بین می رود. (برای اثبات این قضیه می توانید به قضیه ۸۵ . ۶ رجوع کنید).
۲ ) تابع f پیوسته است در [a,b] و g کران دار وابسته. مشخص کنید توسط D یک محدوده ی

و توسط هر نقطه ای در ثابت کنید که

از آنجائیکه (تمرین ۹ و (a ) 6).
3 ) فرض کنید به طور یکسان در [a,b] و فرض کنید g کران دار وابسته است.
ثابت کنید که اگر برای ، پس و
(تمرین ۱۳ (a) 6 را ببینید)
۴ ) نشان دهید که اولین قضیه میانگین (تمرین ۸ . (a) 6 ) برای انتگرال RS اتفاق نمی کنند یعنی با انتگرال کران دار وابسته.
۵ ) بیایید f را یک نزولی مثبت در با بگیریم. همچنین g را کران دار در و کران دار وابسته در هر فاصله ای [a,x] (x>a) نشان دهید که اگر برای هر x>a آنگاه وجود دارد.
۶ ) فرض کنید f در تعریف شود توسط
برای
برای
نشان دهید که وجود دارد وجود ندارد.
۷ ) (i) فرض کنید تابع در g , f در چنان هستند که برای هر x > a,g دربازه [a,x] کران دار وابسته هستند. نشان دهید که اگر وجود داشته باشد آنگاه نیز وجود دارد.
۶ . ۶ ) قضیه نمایش Riesz :

هر تابعی از به ممکن است با یک m × n ماتریکسی نشان داده شود. این گروهی از تابعی هایی در شکل عادی است که فضاهای مختلفی را اشغال کرده اند. بیشتر نتایج معروف این قضیه ها نمایش Riesz هستند که شکل اصلی آنها در فضای [a,b] c ( از تابع حقیقی پیوسته در فاصله [a,b]) مشخص می شوند. این فضا یا اهمیت و قدرت انتگرال های RS را کم می کند. (هر چند اثبات این قضایا و نمایش آنها بسیار مشکل بوده و در این کتاب به اثبات آنها نپرداخته است).
قضیه ۶۱ . ۶ )
(i ) برای هر تابع پیوسته ای یک تابع g از کران دار وابسته در محدوده ی [a,b] چنان است که برای هر
(۶۱ . ۶)
(ii) علاوه بر آن، گرفتن یک تابع g از کران دار وابسته در [a,b] ، یک تابع خطی پیوسته را مشخص می کند.
دومین قسمت بلافاصله از (۵۶ . ۶) و قضیه ۵۲ . ۶ الهام گرفته است. اثبات قسمت اول راحت بوده اگر کسی بتواند از این حقیقت که یک تابع خطی کران دار در [a,b] ). متأسفانه ما قادر به اثبات با ابزارات در به نتیجه رسیدن قضایا نیستیم. هرچند گسترش قضیه رضایت بخش است. اگر تابع حقیقی در [a,b] صعودی باشد و برای هر x در [a,b] ، بازه ی صعودی باشد : و کران دار یکنواخت باشد اگر k ثابت باشد چنان که برای و تمام n .
ما متوجه شدیم توسط [a,b] CT فضای تمام (کران دار) تابع های حقیقی در [a,b] آنهایی که شکل
را دارند در حقیقت کران دار یکنواخت و شکل صعودی [a,b] C هستند.
اصل : مقدار یک تابع خطی پیوسته در [a,b] C ممکن است گسترش پیدا کنند. بدون تغییر در شکل به فضای [a,b] CT .
اثبات :
بیایید یک تابع خطی کران دار باشد.
(i) فرض کنید یک کران دار یکنواخت، موارد صعودی از [a,b] C .
همگرایی توالی و تابع محدود f کران دار است. ما ابتدا با نشان دادن اینکه همگراست شروع می کنیم برای بگیرید.
اگر
اگر
سپس :

مثلاً مجموع کران دار هستند. و ادامه سری از

کاملاً همگراست و مجموع آنها به ترتیب است مثلاً همگراست.
(ii) بعد، فرض کنید کران دار یکنواخت باشد، ترتیب صعودی از [a,b] C که همچنین دارای lim fباشد. برای n = 1,2,3,… بگذارید.

سپس هردو ترتیب صعودی هستند و به طور واضح

یک عدد صحیح بگیرید. و یک عدد صحیح چنان وجود دارد که برای تمام x در [a,b] وجود دارد. برای اثبات این فرض کنید بسته باشد در نقطه ی x که ، از آن جایی که شکی از یک ترتیب است اگر هیچ کدام از آنها خالی نباشند، نقطه ی به تمام آنها می خورد. (تمرین ۶ و (f) 3) و ما باید داشته باشیم.

اما غیرممکن است که از آنجائیکه صعودی است و یک چنان وجود دارد که . ادامه در این راه ما دو ترتیب از عدد صحیح ها را به نام های را چنان می گیریم که :

با (i) ترتیب پیدا می کند.

همگرایی و محدودیت در هر دو برابر است.
از آنجائیکه
حالا بدون سردرگمی مشخص شد که می شود .
(iii) واضح است که اگر h , f اگر محدود به کران دار یکنواخت باشند، ترتیب صعودی از [a,b] C خواهد بود. سپس cf ، در جائیکه یک کران دار منفی است و f+h به عبارت دیگر :

ما هنوز باید مشخص کنیم . برای این کار فرض می کنیم که h* , f* از h,f یکی هستند و می دهد : f-h = f* – h*
از آنجائیکه f+h* = f*+h ما داریم : یعنی
از اینرو ممکن است به عنوان مشخص شود. این روند که h یک فضای خطی در [a,b]CT است را نشان می دهد.
(iv) هر اعضایی از [a,b] CT شکلی از f-h است در حالیکه f,h کران دارهای محدود یکنواخت هستند و در ترتیب صعودی از [a,b] C . برای اثبات ماهیت گسترش به [a,b] CT هنوز می باشد که نشان می دهیم.

در جائیکه ما تابع هایی را مشخص کنیم که :

توسط برابرها می رسیم به
اگر
اگر
اگر
به طور واضح
همچنین راحت است که ببینید تابع های پیوسته هستند و .
سرانجام، با مشاهده ی شکل های مختلف از ممکن است نشان دهیم که صعودی است با n . (تمرین ۱ و (f) 6).
از اینرو

اثبات قضیه (i) 61 . 6 . تابع هایی گرفته می شوند توسط :
برای
برای
برای
برای
همه مربوط می شوند به [a,b] CT . این امر کاملاً مشخص است که برای .
در ما نیاز به توجه داریم در این اینکه در حالیکه برای در در و خطی است در (در ابتدای مرحله، ببینید پایان ۶۶ . P ).
ابتدا g را در [a,b] تابعی فرض کنید که

در حالیکه g(a) = o
اگر یک فاصله ی D از [a,b] اشاره ای به

بگذارید یا ۱ – با توجه به یا . سپس :

از اینرو

برای . از اینرو g کران دار در [a,b] است.
حالا f را هر عضوی از [a,b] C بگیرید و . از آنجائیکه f قابل انتگرال گیری است با رابطه ی تابع های وابسته ی از g و همچنین پیوسته ی یکنواخت در [a,b] محدوده ای از D از [a,b] وجود دارد که :

که نتیجه ی زیر را دربر دارد :

(۶۳ . ۶ )
در جائیکه با سوپرمام و اینف مام مشخص شده اند کاملاً از f در توسط (۶۲ . ۶)
(۶۴ . ۶)
در حالیکه، توسط (۶۳ . ۶) ، تابع مشخص چنان است که :

بنابراین :
(۶۵ . ۶)
اما :

و بنابراین داریم
همچنین استفاده ی (۶۵ . ۶) در آخر ما خواهیم داشت :
که ثابت کردیم (۶۱ . ۶)
P 178 :
تمرین (f) 6 :
1 ) ثابت کنید که ترتیب در قسمت (iv) که مشخص شده است اثبات اصل و صعودی است.
۲ ) یک موقعیت الزامی و راضی کننده برای تابع کران دار وابسته در [a,b] چنان باشد که
برای تمام [a,b] وجود دارد وقتی که x نقطه ای از پیوستگی در [a,b] .

ثابت کنید الزامیت این موقعیت توسط تابع های چنان مشخص می شود که :
برای (i)
در نقطه ای پیوسته از ، x ، وقتی که (ii)
برای ، برای و خطی است در
ثابت کنید رضایت مندی موقعیت توسط تمرین ۲ و (e) 6 .
3 ) بیایید C را یک نقطه ی کامل در فاصله ی (a,b) بگیرید و مشخص کنید تابع خطی
توسط

بشمارید تمام تابع های g که دارند
۷ . ۶ ) انتگرال Riemann :
در آخر این فصل ما انتگرال Riemann را توسعه می دهیم. اولین موردها تعریف انتگرال در و مشخص کردن بالا و پایین انتگرال گرفته شده در ۱ . ۸۶ . وسیله برای این قضیه Darboux ، اثبات آن آورده شده است. خوانندگان مشتاق هستند که با گرفتن محدوده ی D از یک فاصله ی [a,b] ، در فاصله ی D در طول دوره می باشد. و S(D,f) , s(D,f) بالا و پایین مجموع تابع کران دار f در [a,b] Riemann را مشخص می کند.
قضیه ۷۱ . ۶ ) (Darboux )
اگر تابع f در [a,b] کران دار باشد آنگاه از آنجائیکه
(ii) و (i)
اثبات :
بیایید D را در فاصله ی از [a,b] بگیریم و فرض کنیم D’ فاصله ی نقطه ی اضافی از باشد در حالیکه :

مشخص کردن معمولی سوپرما وانیف ما از f در [a,b] و در به ترتیب هستند. همچنین فرض کنید سوپرما از f در k+1 اضافه بر محدوده ی D’ باشد. سپس داریم :

از اینرو، اگر D* هر فاصله ی نگهداری از D باشد توسط اضافه کردن نقطه جدید به
(۷۱ . ۶)
در جائیکه اضافه می شود در نقطه ی جدید. حالا را بگیرید و را چنان که
فرض کنید تعدادی از محدوده های باشد و را چنان بگیرید که را در محدوده ای با و بگذارید D* محدوده دار باشد با تمام نقطه های مشاهده ای از و از . سپس :

و توسط (۷۱ . ۶)
از اینرو در تمام نقطه ها اضافه می شوند به به شکل D* . بنابراین :

یعنی

این اثبات (i) و اثبات (ii) شبیه به این است.