بدست آوردن مسیر بحرانی پروژه مالی در زمانهای فازی

چکیده

در متن حاضر،روشی برای بدست آوردن مسیر بحرانی پروژه مالی در زمانهای

فازی ارائه شده است .ما در نوشتن این مقاله با فرض اینکه زمان به صورت اع

داد فازی بوده ،مسیر بحرانی را از طریق یک مدل برنامه ریزی خطی فازی که ضرایب متغیرها در تابع هدف به صورت اعداد فازی باشند را بدست می آوریم.برای حل ابتدا دوگان مساله را نوشته سپس با استفاده از رتبه بندی اعداد فازی مدل دوگان به صورت قطعی در آمده و تعین محدودیت های فعال دوگان ،متغیرهای پایه ای مدل اولیه و به طبع آن مسیر بحرانی و زمان تعیین می شوند .

کلید واژه : مسیر بحرانی ،زمانهای فازی ،برنامه ریزی خطی فازی

۱- مقدمه

پروژه مالی را می توانیم به صورتی نشان دهیم که در آن کمانها نشان دهنده فعالیت و گره ها نشان دهنده نقاط شروع و پایان باشد . هر پروزه مالی را می توانیم از مسیری آغاز و به گره پایانی برسیم و می دانیم که هر پروژه دارای چندین مسیر آغاز و پایان می باشد .مسیری که دارای بیشترین زمان باشد مسیر بحرانی پروژه می نامند که اهمیت خاصی در مدیریت پروژه دارد .
برای بدست آوردن این زمان یا از داده های گذشته استفاده می کنیم که ممکن است این اطلاعات در دسترس نباشد یا از زمانهای فازی می توان استفاده کرد . محققان روشهای متفاوتی برای محاسبه ارائه داده اند که بیشتر آنها از روشهای پیش رو و پس ر

 

و استفاده کرده اند روش دیگر برای یافتن مسیر بحرانی پروژه مالی استفاده از برنامه ریزی خطی می باشد . در این مقاله زمان انجام فعالیت را به دو صورت قطعی و فازی بررسی می کنیم و در حالت زمان فازی آنرا توسعه داده و روش حلی برای آن در نظر می گیریم.

۲- مدل برنامه ریزی خطی در حالت قطعی

شبکه ای را در نظر بگیریم که آن را با G=(N,A) نشان می دهیم در این شبکه N مجموعه گره هاست و A نشان دهنده مجموعه کمانهاست که همان فعالیت ها می باشد در این مجموعه کمان ( i,j) نشان دهنده فعالیت (i,j) است همچنین در این شبکه زمان انجام فعالیت ( i,j) را با نشان می دهیم در مدل مربوطه سعی می کنیم از بین مسیرهای موجود از گره ابتدایی تا گره انتهایی طولانی ترین مسیر را بیابیم که همان مسیر بحرانی می باشد در این مدل متغیر نشان می دهد که مسیر مربوطه شامل فعالیت (i,j) است یا نه . همچنین محدودیت های این مدل تعادل جریان در گره های شبکه را نشان میدهد. مدل مربوطه به صورت

زیر می باشد :

 

خروجی این مدل نشان دهنده مسیر بحرانی شبکه می باشد و زمان انجام پرو ژه مجموع زمانهای فعالیت هایی است که روی این مسیر قرار دارند که همان مقدار بهینه تابع هدف است .

۳- مدل برنامه ریزی خطی در حالت فازی

در این مدل زمان انجام فعالیت را به صورت اعداد فازی مثلثی در نظر می گیریم که به صورت می باشند درجه عضویت این مقادیر به صورت زیر است :

در نتیجه مدل اولیه به صورت زیر تغیر می کند :

۴- حل مدل برنامه ریزی خطی در حالت فازی

برای حل مدل (۲) ابتدا دوگان آنرا نوشته که به صورت زیر می باشد :

در مدل فوق نشان دهنده زودترین زمان شروع فعالیت هایی است که از گره های i,j شروع می شوند تابع هدف این مدل کوتاهترین زمان انجام پروژه را نشان می هد که در حالت بهینه مقدار آن برابر با زمان انجام پروژه می باشد . همچنین طرف راست محدودیت های مدل فوق به صورت اعداد فازی هستند .برای حل دوگان ابتدا از رتبه بندی اعداد فازی که به طرفین محدودیت های مدل فوق اعمال می شود استفاده شده است . برای این منظور باید سمت چب محدودیت ها را هم به صورت اعداد مثلثی در نظر گرفت .

در این مقاله از روش رتبه بندی با استفاده از میانگین به خاطر ایجاد محدودیت های خطی استفاده شده است . همچنین این رتبه بندی باعث ایجاد مقادیری نزدیک به میانگین اعداد فازی و انحراف معیار کم می شود.

با جایگذاری مقادیر بالا در (۵) و ساده کردن ،مدل (۸) که هم ارز مدل (۴) است بدست می آید .

حال قرار داده و مدل برنامه ریزی خطی فوق را حل کرده و محدودیت های فعال را تعیین می کنیم از روی این محدودیت ها متغیرهای پایه ای مدل اولیه که مقدار یک را دارند را یافته و مسیر بحرانی را می یابیم همچنین مقدار تابع هدف مدل فوق در حالت بهینه زمان انجام پروژه را نشان می دهد .

نتیجه گیری

 

 

در این مقاله برای بدست آوردن مسیر بحرانی در حالتی که زمان انجام فعالیت ها به صورت فازی بودند از برنامه ریزی خطی فازی صفر و یک استفاده شد . برای حل مدل از دوگان آن استفاده کردیم که در سمت راست محدودیت های دوگان به صورت فازی در آمدند در مرحله بعد محدودیت ها دوگان را با استفاده از رتبه بندی اعداد فازی به صورت خطی در آورده و مدل مربوطه را حل کردیم با حل دوگان و تعیین محدودیت های فعال دوگان متغیرهای پایه ای مدل اولیه که مقدار یک دارند را یافتیم . این متغیرها نشان دهنده مسیر بحرانی پروژه می باشند و همچنین زمان انجام پروژه برابر با مقدار تابع هدف در حالت بهینه مسئله دوگان می باشد .

منابع

D. Dubois, H. Fargier, V. Galvagonon, On latest starting times and floats in task networks with ill-known durations, European Journal of Operational Research (2003)266–۲۸۰

E.Elmaghrabi, H.Soewandi, M.Yao, chance constraint programming in activity networks :a critical evaluation, European Journal of Operational Research,131(2001)440-458

P. Zielin´ ski, On computing the latest starting times and floats of activities in a network with imprecise durations, Fuzzy Sets Syst. 150 (2005) 53–۷۶
S. Chanas, P. Zielin´ ski, Critical path analysis in t

he network with fuzzy activity times, Fuzzy Sets Syst.122 (2001) 195–۲۰۴٫

S. Chanas, P. Zielin´ ski, On the hardness of evaluati

 

ng criticality of activities in a planar network with duration intervals, Oper. Res.Lett. 31 (2003) 53–۵۹٫

S.M.T. Fatemi Ghomi, E. Teimouri, Path critical index and task critical index in PERT networks, European
Journal of Operational Research 141 (2002) 147–۱۵۲٫