بررسي خواص مقدماتي و رفتار فرايندهاي شاخه اي گالتون – واتسون

چكيده
هدف از اين تحقيق بررسي خصوصيات اصلي و رفتار فرآيندهاي شاخه اي گالتون- واتسون دو جنسي با تابع خانوادة زير جمعي و احتمالات انقراض در چنين فرآيندهايي است.
مدلي از فرآيند شاخه اي دو جنسي مفروض است به طوري كه توزيع زاد و ولد به اندازه جمعيت بستگي دارد. همچنين حالت خاص را در نظر مي گيريم كه در آن نرخ رشد جمعيت (ميانگين توزيع زاد و ولد)، وقتي به ميل مي كند .

براي اين نوع از فرآيندهاي شاخه اي گالتون- واتسون دوجنسي شرط لازم براي همگرايي فرآيند در و ارائه مي گردد.
همچنين شرط كافي براي همگرائي در به دست خواهد آمد.

مقدمه
تا كنون مطالعات زيادي روي نحوه رشد جمعيت و احتمال انقراض در فرآيندهاي شاخه اي گالتون- واتسون استاندارد انجام شده است. در حالت دوجنسي (كه مدل مناسبي براي جامعة انساني است) تعميم اين قضايا لازم به نظر مي رسد. زماني كه ما چگونگي رشد جمعيت را بدانيم، مي توانيم زمان انقراض رفتار مجانبي رشد جامعه را بررسي كنيم و مدل مناسبي براي آن بدست آوريم.
فرآيندهاي شاخه اي گالتون-واتسون دو جنسي اولين بار توسط دالي در سال ۱۹۶۸ و پس از آن توسط آسمونس در سال ۱۹۸۰ تعريف و بررسي شد. دالي نشان داد كه فرآيند شاخه اي گالتون- واتسون دو جنسي يك زنجير ماركوف با ماتريس احتمال تغيير وضعيت يك مرحله اي با فضاي حالت صحيح و نامنفي است.

در نظريه فرآيندهاي شاخه اي گالتون- واتسون استاندارد مي دانيم كه فرآيند با احتمال ۱ منقرض مي شود اگر و فقط اگر ميانگين توليد مثل براي هر فرد دلخواه كمتر از ۱ باشد.
حال ما مي خواهيم بدانيم «آيا قوانين متشابهي براي احتمالات انقراض در فرآيندهاي شاخه اي گالتون- واتسون دو جنسي وجود دارد؟»

در سال ۱۹۶۸ دالي يك شرط لازم و كافي براي احتمال انقراض ۱ براي فرآيندهاي با توابع خانوادة خاص به دست آورد.
هدف از اين تحقيق معرفي فرآيندهاي شاخه اي گالتون- واتسون دوجنسي و فرآيند زوجهاي هم خانواده و بيان ويژگي هاي آنها و مقايسه احتمالات انقراض در چنين فرآيندهايي است ابتدا شروط انقراض در فرآيندهاي شاخه اي گالتون- واتسون دوجنسي را بررسي مي كنيم سپس قوانين كلي انقراض و در نهايت گشتاورهاي فرآيند و برخي خواص آنها را مورد بررسي قرار مي دهيم.

فصل اول

فرآيندهاي شاخه اي گالتون-واتسون استاندارد

۱-۱-مروري بر تعاريف و قضاياي مقدماتي
۱-۲-فرآيندهاي شاخه اي گالتون-واتسون استاندارد

مقدمه
هدف از اين فصل ارائه مطالب كلي و مورد نياز براي مطالعة فصل هاي بعدي مي باشد در بخش اول برخي از تعاريف و قضاياي مقدماتي را كه بعداً به آنها نياز خواهيم داشت بررسي مي كنيم و در بخش دوم فرآيندهاي شاخه اي گالتون-واتسون استاندارد و برخي خواص عمومي آن را مورد مطالعه قرار مي دهيم.

۱-۱- مروري بر تعاريف و قضاياي مقدماتي
تعريف ۱-۱-۱: يك فرآيند تصادفي عبارتست از گرد آيه اي مانند از متغيرهاي تصادفي ، كه در يك فضاي احتمال مشترك و با مقادير در فضاي حالت S تعريف مي‌شوند. T زير مجموعه‌اي از است و معمولاً به عنوان مجموعه پارامتر زمان تعبير مي‌شود .
هرگاه فرآيند را فرآيند با زمان پيوسته مي نامند و هرگاه فرآيند را فرآيند با زمان گسسته نامند.
معمولاً اگر فرآيند را به صورت نمايش مي دهند.

فرآيند مورد نظر ما در اين رساله فرآيند با زمان گسسته است.
تعريف ۱-۱-۲: فرض كنيد فرآيند تصادفي با زمان گسسته و فضاي حالت شماراي S باشد گوئيم اين فرآيند يك زنجير ماركوف است اگر به ازاي هر و هر و y از حالتها، رابطة زير برقرار باشد:
(۱-۱)

يعني فقط اطلاع از حالت فرآيند در مرحلة n براي تعيين توزيع حالت فرآيند در مرحلة كفايت مي كند و اطلاعات قبل از آن مؤثر نخواهد بود.
احتمال شرطي را احتمال انتقال يك مرحله اي از x در مرحله n ام به y در مرحله ام مي ناميم. احتمالات انتقال را با نشان مي‌دهيم بنابراين:

ماتريس را كه درايه هاي آن احتمالهاي انتقال يك مرحله است ماتريس احتمال انتقال يك مرحله اي مي‌ناميم.
سطر x ام اين ماتريس احتمالهاي انتقال از x به يكي از حالتهاي زنجير در يك مرحله است، اگر احتمالات انتقال يك مرحله اي از متغير زمان مستقل باشد گوئيم فرآيند ماركوف داراي احتمالات انتقال مانا مي باشد.

تعريف ۱-۱-۳: فرض كنيد دنباله اي از متغيرهاي تصادفي تعريف شده بر فضاي احتمال باشد. همچنين دنباله اي از ميدانهاي باشد كه براي هر n داشته باشيم :

است اگر:
يك زير مارتينگل نسبت به است اگر :
آ.به ازاء هر n.، روي اندازه پذير باشد.
ب : به ازاء هر n ،
ج : به ازاء هر n ،
هر گاه يك زير مارتينگل باشد ، آنگاه يك زيرمارتينگل است .
هر گاه و يك زير مارتينگل باشند آنگاه يك مارتينگل نسبت به مي باشد .
تعريف ۱-۱-۴ : فرض مي كنيم دنباله اي از متغيرهاي تصادفي باشند ،‌دنباله همگراي a.s. به متغير تصادفي X است اگر :

تعريف ۱-۱-۵ : فرض كنيم دنباله اي از متغيرهاي تصادفي باشد . گوئيم اين دنباله در به متغير تصادفي X همگراست هر گاه :

تعريف ۱-۱-۶ : فرض مي كنيم دنباله اي از متغيرهاي تصادفي باشد دنبالة همگرا در احتمال به متغير تصادفي X است . هر گاه بازاء هر

لم ۱-۱-۱ : فرض كنيد متغيرهاي تصادفي در يك فضاي احتمال باشند ، اگر وقتي همگرا در به X باشد‌ ، آنگاه همگرا a.s. به X است .
لم ۱-۱-۲ : فرض مي كنيم دنباله اي از متغيرهاي تصادفي باشد . اگر وقتي ، همگرايي a.s. به X باشد آنگاه همگرا در احتمال به X است .
لم ۱-۱-۳ : (قضية همگرائي مارتينگل ها) : آ : فرض كنيد يك زير مارتينگل صادق در :

باشد . در اين صورت يك متغير تصادفي متناهي مانند X وجود دارد كه با احتمال يك به همگراست يعني
(۱-۲)
لم ۱-۱-۴ : (نامساوي جانسن) : آ : متغير تصادفي X مفروض است . اگر g(x) تابعي مقعر باشد آنگاه :

ب : متغير تصادفي X مفروض است . اگر g(x) تابعي محدب باشد آنگاه :

لم ۱-۱-۵ : به فرض f انتگرالپذير و نزولي بر باشد ، و در اين صورت :

اگر و فقط اگر :

لم ۱-۱-۶ : فرض كنيد f تابع نزولي مثبت باشد . در اين صورت براي هر و داريم :

لم ۱-۱-۷ : فرض كنيد f(x) يك تابع مثبت و نزولي بر باشد بطوريكه xf(x) صعودي باشد و . همچنين فرض كنيد دنباله اي از اعداد مثبت باشد . اگر به ازاء يك و هر داشته باشيم .

آنگاه : آ : موجود است .
ب: اي كه فقط به f و m بستگي دارد موجود است به طوريكه اگر آنگاه .

۱-۲- فرايندهاي شاخه اي گالتون – واتسون استاندارد :
فرآيندهاي شاخه اي گالتون – واتسون استاندارد را مي توان به شكل زير تشريح كرد : فرض مي كنيم فرآيند در نسل آغازين (صفر ام) N عضو داشته باشد ، يعني در نسل صفر پس از يك نسل هر فرد با احتمال ، k فرزند به وجود مي آورد . يعني كه در آن تعداد فرزندان فرد ام است . عدة‌ نسل اول خواهد بود . لذا تعداد فرزندان نسل آغازين و اندازة جمعيت در نسل اول خواهد بود . اگر آنها را ۱ و ۲و … و بناميم هر فرد به تعداد فرزند بوجود مي آورد . پس عدة نسل دوم برابر است با و نسل ادامه مي يابد . به طور كلي :

تعريف ۱-۲-۱ : فرض كنيم موجود زنده اي در پايان عمرش تعداد تصادفي نوزاد با توزيع احتمال :
(۱-۳)
به وجود مي آورد كه در آن و همچنين تمام فرزندان مستقل از هم عمل مي كنند و در آخر عمرشان فرزنداني بر طبق توزيع احتمال (۱-۳) خواهند داشت . بدين ترتيب نسلشان ادامه خواهد يافت .
اندازة جمعيت در نسل n‌ام و تعداد فرزندان خانوادة k ام از نسل nام است .
; (۱-۴)
(با مجموع تهي تعريف شدة صفر)
را فرآيند شاخه اي گالتون – واتسون استاندارد مي ناميم .
اصولاً فرايندهاي شاخه اي گالتون – واتسون استاندارد با ۲ پارامتر زير مشخص مي‌شوند :‌
۱- : اندازة جمعيت در نسل‌آغازين
۲- : قانون احتمال زاد و ولد . يعني احتمال اينكه يك فرد دلخواه n فرزند داشته باشد است .
لم ۱-۲-۱ : فرض مي كنيم فرآيند شاخه اي گالتون – واتسون استاندارد باشد . يك زنجير ماركف با فضاي حالت صحيح و نامنفي است . همچنين وضعيت صفر ، وضعيت جاذب است و احتمال تغيير وضعيت يك مرحله اي مانا است .
تعريف ۱-۲-۲ : براي فرآيند شاخه اي گالتون – واتسون استاندارد تابع مولد احتمال نسل nام را با نمايش داده و تعريف مي كنيم :
(۱-۵)

بنابراين خواهيم داشت :
(۱-۶)
يعني توزيع را يافته ايم .
لم ۱-۲-۲ : براي فرآيند شاخه اي گالتون – واتسون استاندارد به همواره رابطة زير برقرار است :
(۱-۷)
لم ۱-۲-۳ : با شرايط لم (۱-۲-۲) براي هر رابطة زير برقرار است :
(۱-۸)
(۱-۹)

اگر به جاي داشته باشيم آنگاه
و (۱-۱۰)
زيرا
با فرض رابطة (۱-۷) برقرار است . اما رابطه (۱-۸) و (۱-۹) ديگر برقرار نخواهد بود. رابطة (۱-۸) به ازاء برقرار خواهد بود . از اين به بعد فرض مي كنيم ، مگر آنكه عكس اين مطلب بيان شود .
لم ۱-۲-۴ : فرض مي كنيم و موجود و متناهي باشد آنگاه :
آ : (۱-۱۱)
يعني رشد متوسط جمعيت نمائي است .
ب:
= (۱-۱۲)

تعريف ۱-۲-۳ : احتمال انقراض در نسل n ام را با نمايش مي دهيم و برابر است با :
(۱-۱۳)
از رابطة (۱-۱۳) به راحتي به دست مي آيد :
(۱-۱۴)
زيرا :
لم ۱-۲-۵ : فرض مي كنيم فرآيند شاخه اي گالتون – واتسون استاندارد باشد و احتمال انقراض در نسل n ام باشد ، در اين صورت موجود است . كه در آن q كوچكترين ريشه مثبت معادلة مي باشد .
تعريف ۱-۲-۴ : q را احتمال انقراض نهائي مي ناميم و تعريف مي كنيم :
(۱-۱۵)
لم ۱-۲-۶ : براي هر فرآيند گالتون – واتسون استاندارد رابطة زير برقرار است .
(۱-۱۶)
كه در آن
لم ۱-۲-۷ : براي هر فرآيند شاخه اي گالتون – واتسون استاندارد داريم :
(۱-۱۷)
تعريف ۱-۲-۵ : در فرايندشاخه اي گالتون – واتسون استاندارد ، را به شكل زير تعريف مي كنيم به طوريكه
لم ۱-۲-۸ : در يك فرآيند شاخه اي گالتون – واتسون استاندارد ، دنبالة يك مارتينگل است .
لم ۱-۲-۹ : در يك فرآيند شاخه اي گالتون – واتسون استاندارد ؛ وقتي ، دنباله به صورت a.s. ، همگرا به يك متغير تصادفي متناهي و نامنفي مانند w است .

برهان : يك مارتينگل است پس با توجه به قضيه همگرائي مارتينگلها يك متغير تصادفي متناهي مانند w موجود است به طوريكه :

فصل دوم

فرآيند هاي شاخه اي گالتون – واتسون دوجنسي (GWBP) تعاريف و خصوصيات اصلي

۲-۱- فرآيند هاي شاخه اي گالتون – واتسون دوجنسي (GWBP)
2-2 توابع خانوادة زير جمعي
۲-۳ فرآيند شاخه‌اي زوجهاي هم خانواده

مقدمه :
در اين فصل ابتدا تعريف فرآيند هاي شاخه اي گالتون – واتسون را مي آوريم سپس به خصوصيات اصلي و پارامترهاي آن مي پردازيم . در ادامه تابع خانوادة زير جمعي را تعريف مي كنيم و در نهايت فرآيند شاخه‌اي زوجهاي هم خانواده را بررسي مي كنيم هدف كلي از اين فصل درك مفاهيم كلي دربارة فرآيند هاي شاخه اي گالتون – واتسون دوجنسي كه تابع خانوادة زير جمعي دارند مي باشد .

۲-۱-فرآيند هاي شاخه اي گالتون – واتسون دو جنسي (GWBP)
فرآيند هاي شاخه اي گالتون – واتسون دوجنسي را مي توان به صورت زير خلاصه نمود : توليد مثل موفق يك روند تكاملي شامل تعداد زنان و تعداد مردان مي باشد كه زوج را تشكيل مي دهند كه در آن يك تابع با مقدار عددي صحيح و غيرمنفي كه بر حسب غيرنزولي است فرزندان زوج تشكيل نسل ام را مي دهند ، به طوريكه كه در هر نسل زوجها به طور مستقل توليد مثل مي كنند .
به طور كلي گروه (GWBP) شامل ۴ پارامتر زير مي باشد .

۱-تعداد زوجها در نخستين نسل را برابر مي گيريم .
۲-تابع خانواده را با L نشان مي دهيم .
۳-قانون احتمال توليد مثل را با نشان مي دهيم به اين معني كه احتمال اينكه يك زوج اختياري n فرزند داشته باشد برابر است .
۴-احتمال اين را كه يك فرد متولد شده مذكر باشد با نشان مي دهيم . دالي در سال ۱۹۶۸ نشان داد كه يك زنجير ماركوف با احتمال انتقال تك مرحله اي است .

فضاي حالت از اعداد صحيح غيرمنفي تشكيل مي شود حالت صفر وضعيت جاذب و بقيه حالات وضعيت گذرا يا انتقال هستند .
عناصر ماتريس احتمالهاي انتقالي به صورت زير محاسبه مي شود :

در اينجا ها زنان و مرداني را كه توسط i امين زوج در ( ) امين نسل توليد شده‌اند نشان مي دهند .

۲-۲- توابع خانواده زير جمعي
تعريف ۲-۲-۱ : يك تابع خانواده مانند را زبر جمعي است اگر براي هر يك از زوجهاي و از اعداد صحيح غيرمنفي در رابطه زير صدق كند .

با توجه به تعريف فوق براي هر مجموعة متناهي و از اعداد صحيح غيرمنفي رابطة زير برقرار است :

در عمل اكثر توابع خانواده‌اي كه با آنها سروكار داريم زبرجمعي هستند (نه فقط فرآيند هاي شاخه اي دو جنسي) اين توابع شامل موارد زير مي شوند :
نشان دهنده جزء صحيح x است .
خانواده تصادفي (a)

: ميانگين حسابي (b)

: ميانگين هندسي (C)

: ميانگين موزون (d)

(e)

اگر چون

۲-۳- فرآيند شاخه اي زوجهاي هم خانواده (SMOBP)
تعريف ۲-۳-۱ : فرآيند شاخه اي زوجهاي هم خانواده (SMOBP) يعني اينكه يك زن و مرد فقط زماني تشكيل يك زوج مي دهند كه از يك نسل و از يك زوج مشترك باشند (يك پدر و مادر داشته باشند) بنابراين اگر يك نسل j زوج داشته باشد ، نسل بعدي زوج خواهد داشت . منظور از ( ) زنان و مردان متولد شده توسط i امين زوج است .و تمامي شرطهاي (GWBP) توسط (SMOBP) پوشش داده مي شود ، بطوريكه همان ۴ پارامتر را نيز داراست . در يك (SMOBP) زوجهاي مختلف در نسلهاي مختلف به طور مستقل توليد مثل مي كنند و حتي به طور مستقل تشكيل خانواده مي دهند .

فصل سوم

احتمالات انقراض

۳-۱- انقراض در فرآيند هايي كه تابع خانوادة زيرجمعي دارند
۳-۲-معيارهاي كلي انقراض

مقدمه
هدف كلي از اين فصل بدست آوردن معياري كلي براي انقراض در فرايندهاي شاخه‌اي گالتون – واتسون دو جنسي است . در ابتدا انقراض در فرايندهايي را كه تابع خانواده زيرجمعي دارند بررسي مي كنيم . سپس احتمال انقراض در فرايندهاي شاخه‌اي گالتون – واتسون دو جنسي را با فرايند شاخه اي زوجهاي هم خانواده مقايسه مي كنيم . و در نهايت معيارهاي كلي انقراض را مورد بررسي قرار مي دهيم .

۳-۱- انقراض در فرايندهايي كه تابع خانوادة زبرجمعي دارند
تعريف ۳-۱-۱ : احتمال انقراض فرآيند با شروع از يك نفر در نسل صفر را با Q نشان مي‌دهيم و به صورت زير تعريف مي كنيم .

دالي در سال ۱۹۶۸ يك شرط لازم و كافي براي اينكه احتمال انقراض برابر يك شود به دست آورد به اين صورت كه فرآيند بايد از نوع يكي از دو تابع خانوادة زير باشد :
تشكيل زوجها به صورت كاملاً بي قاعده

و ديگري زماني كه يك مرد مي تواند چند زن داشته باشد

كه d يك عدد صحيح مثبت است (يك مرد مي تواند تا d همسر داشته باشد) مشكلي كه در اينجا مطرح است ساختن يك توضيح كلي راجع به احتمال انقراض براي همة توابع خانواده ممكن است .
قضيه ۳-۱-۱ : فرض كنيد يك (GWBP) و يك (SMOBP) با پارامترهاي مشابه و تابع خانواده زبرجمعي هستند ، Q و به ترتيب احتمالات انقراض را نشان دهند در آن صورت خواهد بود .
اثبات : داريم :

دالي در سال ۱۹۶۸ نشان داد كه هر يك از فرآيند هاي و تصادفي يكنوا هستند . بنابراين

دالي همچنين رابطه :

را كه از آن براي اثبات فرضيه اش استفاده كرده است به دست آورد .
از آنجايي كه يك (SMOBP) مانند يك فرآيند شاخته اي استاندارد عمل مي كند اگر و تنها اگر و در آن است . از قضية بالا نتيجه زير را فوراً بدست مي‌آوريم .

نتيجه : اگر آنگاه و يا به طور مساوي اگر آنگاه است . براي اينكه نشان دهيم عكس قضيه هميشه درست نيست ، فرض كنيد يك با تابع خانواده زبرجمعي است .

L(x,y)=
در جاهاي ديگر
فرض كنيد . و براي بقيه و است به راحتي مي توانيم مساله را براي و يا امتحان كنيم و مي بينيم كه

بنابراين اگر بخواهيم عكس قضيه را درست در نظر بگيريم است .
از طرف ديگر :

و از آنجايي كه :
و
در نتيجه بسط حاصلضرب در بالا همگراست و بنابراين بزرگتر از صفر است ، يعني اينكه است (با قرار دادن ، ) بنابراين شرط موجود در نتيجه فوق لازم است ولي كافي نيست و ما براي چنين شرايطي نمي توانيم يك راه حل قطعي ارائه دهيم.

۳-۲- معيارهاي كلي انقراض
هال در سال (۱۹۸۲) انقراض در يك فرآيند شاخه اي گالتون – واتسون (GWBP) در دوره هايي از ميانگين توليد مثل يعني در دوره هايي از را مورد بررسي قرار داد او توجه اش را روي توابع خانواده زبرجمعي معطوف كرد . يعني تابع خانواده از فرمول

تبعيت مي‌كند .‌ او ‌ثابت‌ كرد‌ براي ‌واحدهايي كه قادر به تشكيل خانواده هستند براي اينكه:

برابر يك شود ، يك شرط لازم است ولي با يك مثال مي توان فهميد كه شرط موجود كافي نيست . هال نتوانست راه حل مناسبي براي ارائه شرط كافي به دست آورد . ما مي‌خواهيم براي توابع خانواده دو جنسي اختياري در دوره هايي از ميانگين واحد توليد مثل جواب مناسبي بدست آوريم . ملاحظه يكي از مثالهاي عددي هال آموزنده است ، اگر
جاهاي ديگر
L(x,y)=
x=
و با توجه به اينكه ( ) و در نتيجه فرآيند موردنظر ميراست اگر و تنها اگر نسلي وجود داشته باشد كه همة فرزندانش فقط زن يا فقط مرد باشد يعني اينكه

است و با انتخاب و
مي شود اما براي Q كوچكتر از يك به دست مي آيد . نكته اي كه بايد به آن توجه كنيم اينست كه

يعني براي هر بزرگتر از ۳ است. بنابراين فرآيند به اندازه كافي بزرگ است . اين فرآيند شبيه به يك (GWBP) با ميانگين واحد توليد مثل بزرگتر از يك عمل مي كند . انقراض يك روند ممتد و دنباله دار است و اين واضح است كه دوره هاي (۳-۱) بايد در ملاحظات ذكر شود .

قضيه ۳-۲-۱ : فرض كنيد ( ) يك (GWBP) با توزيع توليد مثل و يك تابع خانواده دو جنسي اختياري باشد . اگر ميانگين توليد مثل براي هر زوج براي همه kها محدود باشد و براي k هاي بزرگ كوچكتر از يك باشد . آنگاه
اثبات : فرض كنيد و همچنين
اگر
b= (3-2)
جاهاي ديگر
طبق فرض داريم كه و است . فرض كنيد f(s) يك تابع توليدمثل از توزيع توليد مثل باشد .