.۱ مقدمه

در خلال دو دهه اخیر، توجه به ماهیت تصادفی سیستم های فیزیکی، به تدریج و به طور گسترده ای از اهمیت خاصی از سوی محققین و مهندسین برخوردار گردیده است. به نظر می رسد که ارائه مدل های احتمالاتی از سیستم های مکانیکی، موضوع بسیاری از پژوهش ها در طول چند دهه آینده باشد [۱]، اگرچه امروزه هم ارزیابی عدم قطعیت سازه های مهندسی، به طور فزاینده ای به یک موضوع مهم و مورد علاقه در جوامع علمی اعم از ژئوفیزیک تا بیو مهندسی تبدیل شده است.

روش های اجزای محدود تصادفی (SFEM) به عنوان یکی از تکنیک های محاسباتی اولیه در آنالیز احتمالاتی سازه هایی که عدم قطعیت بر آنها حاکم است، به رسمیت شناخته شده است. Stefanou گزارشی را پیرامون پیشرفت های اخیری که در حوزه روش های اجزای محدود تصادفی انجام گرفته، همچنین فعالیت هایی که می توان در این زمینه انجام داد، را ارائه نموده است [۲] .بخش وسیعی از تحقیقات انجام گرفته صرفا به منظور مقابله با تعریف دشوار مسائلی است که در آنها عدم قطعیت مربوط به هندسه، خصوصیات مصالح و بارگذاری می باشد .[۳-۵]

u(x,)
پنجمین کنفرانس ملی زلزله و سازه ۳ و ۴ اردیبهشت ماه۱۳۹۳ ، جهاد دانشگاهی استان کرمان

یکی از نیازهای اساسی برای کاربردی کردن روش های اجزای محدود تصادفی در تحلیل مسائل مهندسی، ارائه یک ساختار موثر و در عین حال کاربرپسند می باشد. در این زمینه روش های متعددی توسط محققین معرفی گردیدکه در میان آنها کاربرد ۴ روش Perturbation ، بسط نیومان ، Weighted Integral و روش اجزای محدود تصادفی طیفی (SSFEM) را می توان چشم گیرتر دانست. تکنیکی که در این تحقیق به آن پراخته شده است، روش اجزای محدود تصادفی طیفی می باشد که توسط Ghanem و Spanos ارائه گردیده است.

.۲ روش اجزای محدود تصادفی طیفی((SSFEM

روش اجزای محدود تصادفی طیفی که در سال ۱۹۹۰ توسط Ghanem و Spanos معرفی و در سال [۵] ۱۹۹۱ به صورت یک رساله جامع ارائه گردید، تعمیمی از روش اجزای محدود معین (FEM) و برای مسائلی است که در آنها خصوصیات مصالح به صورت تصادفی است. اما گام نخست در آنالیز مسائل در فضای تصادفی، مدل سازی عدم قطعیت در حوزه مکان پارامتر یا پارامترهایی است که ما آنها را متغیر تصادفی می شناسیم، می باشد. در واقع کلید اصلی آنالیز، گسسته سازی فضای تصادفی می باشد. به منظور آشنایی با نحوه این امر بهتر است کمی به دنیای غیر تصادفی بازگردیم. یک سیستم مکانیکی با هندسه، خصوصیات مصالح و بارگذاری معین را در نظر میگیریم، ارزیابی چنین سیستمی از طریق مجموعه ای از معادلات دیفرانسیل پاره ای (PDE)، به همراه شرایط مرزی وابسته و شرایط اولیه انجام میگیرد. حال اگر هیچ گونه حل صریحی برای تحلیل چنین مساله ای وجود نداشته باشد، باید از شیوه های گسسته سازی استفاده نمود. در روش اجزای محدود معمولی، دامنه هندسه توسط مجموعه ای از نقاط ( (xi , i ۱, ۲, …, N که گره های مش اجزای محدود می باشند، جایگذین می گردد. باطبع پاسخ سیستم هم با جابجایی گره ای ( (ui , i ۱, ۲, …, N تقریب زده می شود و مجموعه ی تمام معادلات دیفرانسیل پاره ای استفاده شده، به سیستم معادلات {ui }iN۱ انتقال داده می شود. اما در فضای تصادفی، اگر خصوصیات مصالح از قبیل مدول یانگ به صورت عدم قطعی باشد، سیستم، تابع مجموعه ای

از معادلات دیفرانسیل پاره ای تصادفی و پاسخ هم به صورت یک فضای تصادفی خواهد بود که 

معرف خروجی فضای همه ی متعیرهای تصادفی که در ادامه به آنها پرداخته خواهد شد، می باشد. فضای گسسته سازی که در بالا به آن اشاره شد، سبب می شود که پاسخ سیستم به صورت یک بردار تصادفی از جابجایی های گره ای ( U ( تبدیل شود که هر جز این بردار ( ui ( یک متغیر تصادفی می باشد.

.۳گسسته سازی به کمک بسط Karhunen-Loeve

چالش اصلی از یک آنالیز تصادفی،کشف راه های موثر برای نشان دادن انواع اطلاعات عدم قطعی و استفاده از اطلاعاتی به منظور ارزیابی ایمنی سیستم های سازه ای است به گونه ای که زمان انجام محاسبات تا حد امکان به حداقل رسیده باشند. بسیاری از خواص مهندسی در تجزیه و تحلیل سازه ها، در حوزه های فضا یا زمان توزیع شده

۲

پنجمین کنفرانس ملی زلزله و سازه ۳ و ۴ اردیبهشت ماه۱۳۹۳ ، جهاد دانشگاهی استان کرمان

است. به عنوان مثال، خصوصیات مصالح، از قبیل مدول یانگ و همچنین بارهای دینامیکی توزیع شده، در حوزه زمان یا مکان به روی دامنه سیستم مورد نظر تغییر می کنند. مدل سازی چنین کمیاتی را می توان با مفهوم میدان تصادفی نشان داد.

بسط K-L را می توان حالت خاصی از بسط سری های متعامد دانست که در آن، توابع متعامد انتخاب شده، توابع مشخصه ای از معادله انتگرالی Fredholm نوع دوم با تابع خودهمبستگی از نوع kernel، به صورت زیر می باشد:[۶,۷]
N 
ii()i(x) (1) E( x, )  E( x)  
i۱
(۲) ii(x) )i ( x ) dx1 , x2 C ( x1 

D

که در معادله (۱)، E( x) میانگین توزیع می باشد که مقدار در نظر گرفته شده برای آن کاملا انتخابی است و معمولا صفر در نظر می شود. i و i (x) هم به ترتیب مقادیر مشخصه و توابع مشخصه از تابع خودهمبستگی C(x1 , x2 ) می باشد که در این تحقیق از تابع کوواریانس نمایی با طول همبستگی ۱ استفاده شده و در آخر، i هم مجموعه ای از متغیرهای تصادفی نرمال استاندارد که ناهمبسته می باشد و باید تعیین شوند. بسط K-L یک چارچوب واحد و یکپارچه را برای شبیه سازی میدان های تصادفی همگن و غیر همگن ارائه می دهد ، در واقع می توان هر خصیصه ای را از مصالح یک سیستم که به صورت یک توزیع گوسی در حوزه مکان، تغییر می کند را در نقاط مختلف سیستم با استفاده از معادلات (۱) و (۲) مدل سازی نمود، همچنین با تغییر اندکی در معادله (۱) می توان از توزیع های آماری دیگر همانند لگ نرمال هم استفاده نمود.

SSFEM .4 در تحلیل مسائل مکانیکی خطی الاستیک

با توجه به شبیه سازی فضای تصادفی ورودی مساله به کمک بسط K-L، می توان کاربرد این روش را در مسائل الاستیک خطی مورد بررسی قرار داد. بدین منظور پس از مدل سازی فضای تصادفی که در بخش قبل انجام گرفت، باید ماتریس سختی سیستم را تشکیل دهیم. با استفاده از توابع شکل برای المان تیر به صورت:

 

۱e۱۳(x/he)۲۲(x/he)۳

 
۲ex(1x/he)۲ (۳)

 

۳e۳(x/he)۲۲(x/he)۳

 

۴ex[(x/he)۲x/he]

۳

پنجمین کنفرانس ملی زلزله و سازه ۳ و ۴ اردیبهشت ماه۱۳۹۳ ، جهاد دانشگاهی استان کرمان

حال با ۲ بار مشتق گیری از روابط (۳) و جایگذاری به همراه رابطه (۱) در رابطه زیر:

d 2je d 2e xe۱ e
i
dx (EI (4) kij 
۲ dx 2 dx
xe

می توان ماتریس سختی را برای هر المان محاسبه نمود که به نحو زیر می شود: