چکیده:

در این مقاله با استفاده از داده های سری زمانی ماهانه مربوط به دوره زمانی ۱۹۹۴ تا ۲۰۱۰ که از منابع مختلفی جمع آوری شده به بررسی رابطه پویای نوسانات قیمت طلا و نوسانات قیمت نفت با استفاده از مدل ARIMAX می پردازیم. در این پژوهش در چارچوب مدل ARIMAX ، که تعمیمی از مدل ARIMA به اضافه متغیرهای برون زای توضیحی (X) است یک مدل خاص را نمایش می دهیم، که این مدل امکان ارزیابی تاثیر متغیرهای توضیحی روی متغیر وابسته را فراهم می کند و همچنین می تواند در تجزیه و تحلیل روابط پویا بین متغیرها در اقتصاد، بازاریابی و حوزه های دیگر از علوم فیزیکی و اجتماعی مورد استفاده قرار گیرد. با توجه به اینکه استفاده از روش های معمولی اقتصاد سنجی، مبتنی بر فرض مانایی متغیرهای سری زمانی موجود در مدل می باشد و از طرفی دیگر اکثر سری های زمانی اقتصاد کلان نامانا هستند، از این رو قبل از استفاده از این متغیرهای سری زمانی لازم است نسبت به مانایی یا نامانایی آن اطمینان حاصل کرد. برای بررسی مانایی یا نامانایی متغیرهای سری زمانی از آزمون دیکی فولر تعمیم یافته استفاده می کنیم. بعد از مقایسه دو روش مدل بندی ARIMA و ARIMAX برای نوسانات قیمت نفت به این نتیجه رسیدیم که با اضافه کردن متغیر برون زای توضیحی و مدل بندی به روش ARIMAX می توانیم قدرت پیش بینی را بالا ببریم و پیش بینی دقیق تری از آینده داشته باشیم.

طبقه بندی Q ; Q4 ; Q40 : JEL

واژه های کلیدی: مدل ARIMAX ، متغیر برون زای توضیحی، نوسانات قیمت نفت، آزمون دیکی فولر تعمیم یافته.

– ۱ مقدمه

اخیرا بسیاری از محققان گرایش به مطالعه روابط و چگونگی الگوسازی نوسانات پدیده های اقتصادی با سری های زمانی پیدا کرده اند. بدین منظور، اغلب آنها از مدل ARIMA بعلاوه یک سری زمانی که روش موثری برای مطالعه در این زمینه است استفاده می کنند. اما از آنجاکه مدل ARIMA ، یک متغیره است نمی تواند روابط بین متغیرها را به خوبی در سیستم بیان کند بنابراین باید از سیستم های پیچیده تری استفاده شود که با بیش از یک متغیر کار می کند. سری های زمانی چند متغیره این توانایی را دارد که بر مبنای مشاهدات، تعدادی متغیر مختلف را از سیستم مورد مطالعه جذب کند(به طور مثال: فشار جو، درجه حرارت، رطوبت در هواشناسی، قیمت طلا و ارز در بازار قیمت نفت، نرخ ارز در برخی از پول ها). بنابراین برای بیان قاعده های تغییر در سری زمانی چند متغیره و رسیدن به نتایج دقیق تر لازم است که از مدل چند متغیره ARIMAX برای مدل بندی استفاده کنیم.

این مقاله به بررسی اثرات ناشی از نوسانات قیمت طلا روی نوسانات قیمت نفت با استفاده از روش های سری زمانی، یعنی مدل اتورگرسیو میانگین متحرک تلفیق شده به اضافه متغیرهای برون زای توضیحیARIMAX 1 می پردازد. این روش تک معادله ای به آسانی توانایی تجزیه و تحلیل تاثیرات را فراهم می کند. بسیاری از یافته های تجربی نشان داده اند که در داده های مالی و اقتصادی بی شماری، می توان از مدل ARIMAX استفاده کرد. بیرینز(۱۹۸۷) ۲ روش آزمون و برآورد برای این مدل ها را توضیح داده است. بیشتر مطالعات در این رابطه توسط باکس و جنکینز(۱۹۷۰) ۳ و گرنجر(۱۹۸۰) ۴ صورت گرفته است. مشخصات و برآورد چنین مدلی به

۱ – Autoregressive moving average with explanatory exogenous variables 2 – Bierens 3 – Box and Jenkins 4 – Granger

طور گسترده توسط، فرانسیس(۱۹۹۱) ۱ و گرین(۲۰۰۰) ۲ ارزیابی شده است. این مدل می تواند در تجزیه و تحلیل روابط پویا بین متغیرها در اقتصاد، بازاریابی و حوزه های دیگر از علوم فیزیکی و اجتماعی (فرانسیس (۱۹۹۱) و و لین تیو و چو(( ۲۰۰۵) ۳ مورد استفاده قرار بگیرد. آکال(۲۰۰۴) ۴ مدل ARMAX را برای پیش بینی درآمد گردشگری بین المللی ترکیه به کار برد. اسلوبودا (۲۰۰۳) ۵ مدل ARMAX را به منظور تشخیص تاثیر تروریسم روی گردشگری به وسیله متغیرهای درآمد گردشگری و رویدادهای تروریستی به ترتیب به عنوان متغیرهای وابسته و توضیحی مورد استفاده قرار داد. کریستین لیم، جنیفر مین و میچل مکلر(۲۰۰۸) ۶ مدل ARIMAX را برای مدل بندی اثر درآمد در سفرهای بین المللی در ژاپن به کار بردند.

این مقاله در ۵ بخش تدوین شده است: پس از بیان مقدمه در بخش دوم مدل مورد بحث برای تجزیه وتحلیل اطلاعات سری زمانی معرفی خواهد شد. در بخش سوم به نکاتی در ارتباط با آزمون ریشه واحد برای داده ها سری زمانی پرداخته می شود. در بخش چهارم به تجزیه و تحلیل داده های قیمت نفت و طلا و مقایسه مدل ها می پردازیم و در بخش پایانی نیز نتیجه گیری ارائه شده است.

-۲ مدل ARIMAX

ما اغلب با تعداد متناهی از مشاهدات، یک الگوی پارامتری از مرتبه متناهی را برای بیان یک فرآیند سری زمانی، می سازیم. در این بخش ترکیب اجزای مختلف مدل ARIMAX را مورد بررسی قرار می دهیم.
۱ – ۲ مدل ARX
یک مدل مطالعاتی مهم در سری های زمانی، مدل اتورگرسیو با متغیرهای برون زای توضیحیARX 7 است برای بیان تعریف این فرآیند، ابتدا لازم است فرآیند اتورگرسیو AR ، از مرتبه p که رفتار متغیر را بر اساس مقادیر گذشته خود توضیح می دهد را توسط معادله زیر تعریف کنیم:

×

که در آن پارامترها و جمله خطا با میانگین صفر و واریانس است. این مدل هنگامی به کار می رود که مقدار سری به مقدار بلافاصله ماقبل خود بعلاوه یک خطای تصادفی وابسته باشد و هر چیز تازه ای در زمان t که به وسیله مقادیر گذشته بیان نشده است را در سری منظور می کند. فرآیند (۱) به طور فشرده با عملگر تاخیر L به صورت زیر نمایش داده می شود:

۱ – Franses 2 – Greene

۳ – Wu, Lin, Tiao and cho 4 – Akal

۵ – Sloboda 6 – Christine Lim, Jennifer C.H, Michael McAleer 7 – Autoregressive with explanatory exogenous variables

×
این فرآیند، همواره وارون پذیر است و برای اینکه مانا شود، ریشه های معادله ی زیر

باید خارج از دایره واحد، واقع شوند. یعنی برای یک فرآیند مانا، است. فرآیند AR گاهی اوقات فرآیند مارکف نامیده می شود.

مدل AR با متغیرهای برون زا توضیحی، ARX نامیده می شود و به صورت زیر تعریف می شود:

×
که در اینجا متغیرهای برون زای توضیحی و ضرایب آنها را نشان می دهد.
۲ – ۲ مدل MAX

به طور مشابه با مدل ARX ، برای بیان تعریف این فرآیند، ابتدا لازم است فرآیند میانگین متحرک MA ، از مرتبه q که به وسیله ترکیب خطی از جملات خطا بدست می آید را توسط معادله زیر تعریف کنیم:

×

که در آن پارامترها و جمله خطا با میانگین صفر و واریانس است. فرآیندهای میانگین متحرک در توصیف پدیده ای مفید هستند که در آن، پیشامدها یک اثر آنی را تولید می کنند که برای دوره های کوتاه زمان باقی می ماند. این فرآیند به صورت نتیجه ای از مطالعه سلاتزکی(۱۹۲۷) ۱ روی اثر میانگین متحرک پیشامدهای تصادفی واقع می شود. فرآیند (۳) به طور فشرده با عملگر تاخیر L به صورت زیر نمایش داده می شود:

×
در این عبارت چون لذا یک فرآیند میانگین متحرک همواره مانا است و برای اینکه وارون پذیر شود، ریشه های معادله ی زیر

باید خارج از دایر واحد باشند.

مدل MA با متغیرهای برون زا توضیحی، MAX نامیده می شود و به صورت زیر تعریف می شود:

×

۳ –۲ مدل ARMAX

۱ – Slutzky

برینز (۱۹۸۷)، مدل ARMAX را که تعمیمی از مدل ARMA می باشد معرفی کرد. از تلفیق خصیصه های متفاوت دو فرآیند اتورگرسیو AR و میانگین متحرکMA، یک فرآیند اتورگرسیو میانگین متحرک ARMA حاصل می شود و به صورت زیر تعریف می شود:

این مدل از انعطاف پذیر ترین نوع الگوهای سری های زمانی است. برای وارون پذیری فرآیند، باید ریشه های خارج از دایره واحد، واقع شود. برای ایستایی لازم است ریشه های خارج از دایره واحد قرار گیرد. همچنین فرض می شود که و ریشه مشترک ندارند. مدل ARMA با متغیرهای برون زای توضیحی، ARMAX نامیده می شود و به صورت زیر تعریف می شود:

×

این مدل دارای متغیر های توضیحی و وابسته به تاخیر، و جمله اختلال MA می باشد. معادله بالا می تواند در صورت لزوم، یعنی اگر ساختار تاخیر برای هر متغیر متناهی باشد، بیش از یک متغیر توضیحی را تطبیق دهد. در اینجا فرض می کنیم خطاها مستقل و هم توزیع با میانگین صفر و واریانس ثابت و کواریانس صفر هستند. ممکن است نیاز باشد که در ساختار مدل (۷) علاوه بر متغیر برون زای توضیحی تاخیر آن نیز حضور داشته باشد در این حالت معادله به صورت زیر بازنویسی می شود:

×
که در آن و به ترتیب متغیر توضیحی و متغیر توضیحی بعد از یک تاخیر می باشد. می توان معادله بالا را به صورت زیر بازنویسی کرد:
×

از این رو، تاثیر کل تغییرات x روی y ، توسط نسبت تاخیر چندجمله ها برای متغیرهای توضیحی و وابسته به دست می آید.

به عنوان اولین گام در این فرآیند نیاز است که متغیر وابسته مانا شود. یک سری زمانی را مانا یا ایستا می نامیم هرگاه مشخصه های آماری آن مانند میانگین و واریانس در طول زمان ثابت بماند. مفهوم اساسی ایستایی این است که قوانین حاکم بر فرآیند با زمان تغییر نمی کند یعنی فرآیند در تعادل آماری باقی می ماند. زمانی که متغیر وابسته نامانا باشد باید از مدل دیگری به نام ARIMAX استفاده کنیم.