تغيري در حل مسئله توزيع بار اقتصادي

خلاصه
در پخش بار اقتصادي کلاسيک ، هدف توزيع بار بين منابع براي به حداقل رساندن هزينه بر طبق يک سري قيد خاص مي باشد. اگر تلفات خطوط نيز در نظر گرفته شود هزينه اين تلفات نيز بايستي در محاسبات وارد شود. براي حل چنين مسائلي يافتن نمو هزينه کار مشکلي است . اين مقاله از الگوريتم ژنتيک براي حل مسئله پخش بار اقتصادي بدون يافتن نمو هزينه استفاده مي کند.
مقدمه
بحران انرژي در جهان ، افزايش سوخت ، در دسترس نبودن انرژي ، بهم پيوستن شبکه هاي الکتريکي باعث شده اند که از انرژي حداکثر استفاده را بکنيم.
پخش بار اقتصادي شامل دو مسئله مهم است. اولين مسئله اينست که لازم است براي بارهايمان منابع انرژي در دسترس را اختيار کنيم. دومين مسئله اينست که در پخش بار اقتصادي on-line لازم است که هم هزينه را مينيمم کنيم و هم بار را توزيع کنيم. در پخش بار اقتصادي ، مقادير ژنراتورها ثابت نيست و براي اپتيمم کردن هزينه بين دو حد بالا و پايين يک مقدار را اختيار مي کنند.

دور بودن منابع توليد از منابع مصرف باعث مي شود که ما مجبور شويم تلفات خطوط را در نظر بگيريم. هر استراتژي که براي حل مسئله پخش بار اقتصادي در نظر گرفته مي شود بايستي اين مسئله را مد نظر قرار داد.

در برنامه ريزي غير خطي مقدار هزينه تلفات را با هزينه نيروگاهها جمع مي کنند سپس اين هزينه کلي را با توجه به قيود مينيمم مي کنند. اين مستلزم پيدا کردن نمو هزينه مي باشد که کار بسيار مشکلي است. هنگام مقايسه هزينه ها معلوم مي شود که هزينه اي که بابت تلفات پرداخت مي کنيم بسيار کمتر از هزينه نيروگاهها است. بنابراين غير ضروري است که مقدار نمو هزينه را بدست آوريم. در روش پيشنهاد شده زير هزينه تلفات خودبخود مينيمم مي شود.
الگوريتمهاي ژنتيک در تلاشند که پروسه ها را با سرعت زياد جهش دهند. در اينجا نيز يک نمونه از اين کار توضيح داده مي شود که داراي بازده بالا و سرعت بالا است. اين روش از محاسبه دشوار ضريب تلفات و نمو هزينه جلوگيري مي کند و اين کار را با استفاده از تلفات خطوط که از پخش بار بدست مي آيد ، انجام مي دهد.
رمزگذاري و رمز گشائي
۱ ) رمز گذاري
رمزگذاري برمي گردد به يک سري شماره محدود که به اعضائ گروه نسبت داده مي شود. که معمولاً اعداد ۰ و ۱ مي باشند. در منظور ما اين اعداد به يک ناحيه خاص نسبت داده مي شوند. نواحي به مجموعه اي از توان ژنراتور برحسب MW تلقي مي شود. براي مسئله ۵ ژنراتوري زير ، از يک سري ميله براي نشان دادن محدوده توان ژنراتور استفاده مي کنيم. رشته ها از يک سري ۰ و ۱ که به معني تغييرات توليد جديد مي باشند ، درست شده اند. ساختار داده ها که براي هر عضو مجموعه در نظر گرفته مي شود طبق زير مي باشد:

Lower مقدار مينيمم و upper مقدار ماکزيمم مربوط به هر عضو و midvalue مقدارمتوسط را نگه مي دارد. رنج اوليه قدرت توليدي براي هر ژنراتور به وسيله و محدود مي شود. در مسئله ما و در تمامي اين مقاله مقدار برابر ۶۰۰MW و برابر ۲۰۰MW مي باشد. نواحي مجاز هر ژنراتور در شکل ۱ نشان داده شده است:

۲) رويه ايجاد رشته ها
براي توليد رشته ها ، ۱ به قسمت بالائي توليد هر نيروگاه و ۰ به قسمت پائيني توليد هر نيروگاه تلقي مي شود. اين تغييرات متناظر با Lower و upperو midvalueميباشد. در مثال بالا ۱ به ناحيه۴۰۰-۶۰۰ MW و ۰ به ناحيه ۲۰۰-۴۰۰ MW اتلاق مي گردد. فرض کنيد که توليد جديد عبارتست از: {۰ ۱ ۱ ۰ ۱} ، بنابراين شکل ۲ بدست ميايد:

 

همانطور که ديده مي شود توليد هر نيروگاه با مجموعه اي از مقادير نشان داده مي شود.
تعداد مراحل حل لازم عبارتست از:

رمز گذاري سيستم به خاطر دلايل زير مي باشد:
• محدوديتهاي توليد مستقيماً با يک رشته عددي نمايش داده مي شود.
• حافظه کمتري براي ذخيره سازي گرفته مي شود.
• درستي نتايج با افزايش تعداد تکرار حلها افزايش ميابد.

• بهترين راه حل براي حل مسئله مي باشد.
• اضافه کردن ژنراتورها کار ساده اي است .
• از کار انداختن ژنراتور کار ساده اي است ، فقط کافيست که مقادير و مساوي ۰ قرار داده شود.
۳) رمز گشائي
براي رمزگشائي کافيست که مقدارmidvalue نمونه ها نمونه برداري شود. مقدار واقعي توليد بين دو مقدار بالا و پايين قرار دارد. خصوصيت اصلي الگوريتم اينست که بهترين مقدار را ديکد مي کند.
مزيت ديگر الگوريتم اينست که penalty factor را بدست مي آورد.

مسائل فرمولاسيون
در پخش بار اقتصادي ما مي کوشيم که:
۱) تابع هزينه زير را مينيمم کنيم:

در اينجا توابع هزينه ها را درجه ۳ در نظر مي گيريم.
۲) تلفات انتقال را مينيمم کنيم:

با توجه به قيود زير:

داده ها
ماتريس A برابر است با:

ماتريس B برابراست با:

توابع fitness
در اينجا روشي را براي محاسبه طول اعضاء معرفي مي کنيم. هر مقدار قابل مشاهده به تنهائي محاسبه مي شود و مقاديرها با هم جمع زده مي شوند تا بوجود بياورند يک ضريب شايستگي خاص که با figure_of_merit = x+y+z نشان داده مي شود. مقادير x,y,z طبق روابط زير محاسبه مي شوند:
براي اعمال محدوديت رابطه ۵ فرض مي کنيم که:

حل براي حل غير قابل قبول است.

براي مينيمم کردن هزينه معادله ۲ ، داريم که:

Y کوچک مطلوب است.

براي مينيمم کردن تلفات در معادله ۴ ، داريم که:

وقتي که تلفات کم باشد آنگاه z عدد کوچکي است.

معادله ۶ در هنگام اجراي برنامه چک مي شود. و در آخر هم شکل زير رسم مي شود:

هر چه مقدار figure_of_merit کوچک باشد ما به جواب نزديکتر مي شويم.

توضيح الگوريتم
در اينجا الگوريتم تصحيح شده را مورد بررسي قرار مي دهيم.:
۱) ايجاد طرح اوليه
اين اولين گام در تعيين اعضاي محتملتر است. يک عضو نوعي در شکل ۴ نشان داده شده است.
روش اينست که بهترين عضو در الگوريتم ژنتيک پيدا شود. در حل اوليه ما درمي يابيم که فرآيند تغيير پروسه تاثيري در همگرائي ندارد. به طور تناوبي ما بعضي از اعضاي ضعيف را با اعضاي مناسب جايگزين مي کنيم. اين در همگرائي بسيار موثر است. چيزي ديگري که به نظر مي رسد اينست که مکمل فضا را جايگزين کنيم. در توليد نهائي هنگامي که پايداري مسئله مهمي نباشد، اين مفهوم جايگذاري مستقيم به حل مسئله کمک شاياني مي کند.
۲) کاربرد الگوريتم ژنتيک براي جستجوي نواحي که توسط اعضاء اوليه بيان مي شوند

۱٫ در نواحي که توسط اعضاء قديمي بيان مي شود، توزيع تصادفي بوجود ميايد.
۲٫ الگوريتم ژنتيک اين اعضاء تنها را fit مي نمايد.
۳٫ تعداد run ها توسط آزمايشها قطعي مي شود و خطاها و بهترين عضوهاي نهائي انتخاب مي شوند.
۴٫ اعضاي بهتر جايگزين اعضاي قديمي مي شود. در شکل ۵ اين تغيير نشان داده شده است.
۵٫ مراحل ۱-۴ تا زماني که به مطلوب نرسيده ايم ادامه مي يابد.
براي قدرت مصرفي ۱۸۰۰ MW که توسط سيستم ۵ ژنراتوري تامين مي شود، الگوريتم را اجرا مي کنيم. بعد از ۹ مرحله توليد به جواب زير مي رسيم:

که در آن است.

شکلهاي ۳ تا ۸ مراحل اجرا را نمايش مي دهد. فقط ۵ مرحله نمايش داده مي شود:

بحث در مورد نتايج
نتايج براي حل اين مسئله با دو روش ۱) الگوريتم ژنتيک ۲) الگوريتم LJ [6,7] در جدول ۱ و ۲ به ترتيب آورده شده است :

از جدول ۲ پيداست که هزينه تلفات خيلي زياد نيست ( حدود ۵% هزينه توليد است). در تمام موارد الگوريتم ژنتيک برتر از الگوريتم LJ مي باشد. واضح است که نيازي به محاسبا ت نمو هزينه نيست.

حل مسئله بهينه سازي توزيع بار اقتصادي به روشي ديگرباشبکه هاي عصبي Hopfield

چکيده
شبکه هاي عصبي Hopfield، براي اداره کردن قيودات نامعادله اي به وسيله معرفي کردن روش تابع جريمه ، بسط يافته اند. استفاده از تابع جريمه، براي تبديل مسائل بهينه سازي مقيد، به مسائل نامقيد مي باشد. شبکه عصبي Hopfield تنها مي تواند براي بهينه سازي با قيودات معادله اي و نامعادله اي خطي، بکار رود. چون مسأله در بر گرفته شده در اينجا، قيودات معادله اي درجه دوم را شامل مي شود، ما براي تبديل آنها به قيودات خطي از بسط سري تيلور، استفاده مي کنيم. در اين مقاله، روش ديگري براي بسط شبکه هاي عصبي Hopfield براي حل قيودات نامعادله اي و تبديل قيودات معادله اي درجه دوم به شکل خطي براي استفاده در مسأله پخش بار اقتصادي، ارائه شده است.

مقدمه
مسأله پخش بار اقتصادي درباره چگونگي پخش توان خروجي حقيقي در يک ناحيه براي تأمين يک بار موردنظر، در شرايطي که کل هزينه هاي عملياتي کمينه شود، بحث مي کند. اين يکي از مهمترين مسائل اقتصادي در يک سيستم قدرت مي باشد. شبکه عصبي Hopfield ، ظرفيت مناسبي براي حل مسائل بهينه سازي دارد. به منظور حل مسائل برنامه ريزي ۰-۱ درجه دوم با قيودات نامعادله اي و معادله اي خطي، Gee و Prager [4] و همچنين S. Abe [2] روش هايي را براي بهبود روش شبکه عصبي Hopfield به وسيله معرفي کردن متغيرهاي Slack براي اداره کردن قيودات نامعادله اي، معرفي کرده اند.

به منظور حل پخش بار اقتصادي با قيودات ظرفيت انتقال، توسط T.Yalcincoz et.al. [7]، روش خاصي براي بهبود بخشيدن به عملکرد شبکه هاي عصبي Hopfield براي حل مسائل بهينه سازي ترکيبي، ارائه شده است. اين روش بر اساس شبکه عصبي Hopfield ، Gee استوار است. قيودات به وسيله بکاربردن ترکيبي از مدلهاي Gee و Abe، برداشته مي شوند. زمان محاسبه به گونه اي قابل ملاحظه، مي تواند کاهش يابد. در اين مقاله، مدل Hopfield به وسيله بکاربردن تابع جريمه، براي تبديل مسائل مقيد به مسائل نامقيد، گسترش مي يابد. تلفات توان اکتيو ناشي از انتقال، در سيستم قدرت بر حسب جملاتي

درجه دوم از توان حقيقي توليد شده، بيان مي شوند. حل اين مسأله با استفاده از شبکه عصبي Hopfield مشکل است؛ زيرا اين روش فقط براي بهينه سازي با قيودات معادله اي و نامعادله اي خطي کاربرد دارد. در روش جديد، تلفات انتقال در انتهاي تکرارها محاسبه شده و سپس فرض شده است که در تکرار بعدي ثابت هستند. روش ديگري براي برطرف کردن اين سختيها به وسيله تبديل قيودات غيرخطي به شکل خطي و استفاده مستقيم از آنها در قيودات معادله اي، پيشنهاد شده است.

پخش بار اقتصادي
مسأله ELD پيدا کردن حل بهينه براي توان توليد شده است؛ به نحوي که هزينه کل، کمينه شود، در حاليکه قيودات سيستم ارضاء شوند. بطور رياضي، اين مسأله را مي توان بصورت زير بيان نمود:
(۱)
که:
Pi: توان خروجي مولد i ام
ai , bi , ci: ضرائب هزينه i امين مولد
Ci: هزينه توليد نيروگاه i

که در معرض ارضاء کردن اين قيودات، قرار مي گيرد:
(الف) معادله توازن توان حقيقي
(۲)
که:
PD: کل بار
PL: تلفات انتقال
Bij: ضريب تلفات انتقال
(ب) محدوديت بيشينه و کمينه توان
(۳)
که:
Pi min: حد کمينه توليد واحد i
Pi max: حد بيشينه توليد واحد i
شبکه عصبي Hopfield استاندارد
شبکه Hopfield، از يک مجموعه نورونها و يک مجموعه منطبق از تأخيرهاي واحد تشکيل شده است که يک سيستم چندين حلقه اي پس خوري را تشکيل مي دهند. تعداد حلقه هاي فيدبک برابر تعداد نورونهاست. شبکه Hopfield يک شبکه به هم کوپل شده متقابل است و داراي ساختار غير مرتبه اي مي باشد. ورودي نورون i ام توسط دو منبع مختلف تأمين مي شود؛ يعني خروجي نورونهاي ديگر و ورودي خارجي.
رابطه ورودي- خروجي عموماً به وسيله يک تابع حلقوي ، بصورت زير، توصيف مي شود:
(۴)
Vi يک متغير پيوسته در فاصله ۰ تا ۱ است، و g(Ui) يک تابع افزايشي يکنواخت است که Vi را در اين فاصله مقيد مي کند.
(۵)
که:
Ui: کل ورودي نورون i

Vi: خروجي نورون i
u0: ثابت شکل تابع حلقوي
معادله ويژگيهاي ديناميکي سيستم را مي توان با معادله زير توصيف نمود:
(۶)
که:

Ii : جريان باياس ورودي نورون i ام
Tij: استحکام پيوند داخلي از نورون j به i
Tii: استحکام پيوند خودي نورون i
تابع انرژي شبکه عصبي Hopfield بصورت زير تعريف مي شود:
(۷)
مشتق E نسبت به زمان برابر است با:
تابع انرژي E شبکه عصبي Hopfield يک تابع يکنواخت کاهشي از زمان مي باشد. اين نشان مي دهد که شبکه به سمتي حرکت مي کند که تابع انرژي به مينيمم محلي اش همگرا شود.
براي حل مسأله پخش توان اقتصادي بوسيله شبکه عصبي Hopfield، اضافه کردن يک قيد معادله اي به تابع هدف، تابع انرژي را تشکيل مي دهد:
(۸)
که A و B فاکتورهاي وزني هستند.
مقدار توان خروجي Pi را به صورت زير، مي توان نشان داد:

براي استفاده از قيد نامعادله اي بوسيله استفاده از تابع حلقوي، بعنوان تابع ورودي- خروجي، داريم:
(۹)
بوسيله مقايسه (۷) با (۸)، پارامترهاي وزني و ورودي خارجي نورون i شبکه، بصورت زير داده مي شوند:
(۱۰)
اگر فرض شود PL ثابت باشد، داريم:

بوسيله معادلات (۶) و (۱۰) داريم:

بوسيله بروز رساني خروجي هر نورون، حل بتدريج به يک نقطه کمينه محلي موجود، همگرا مي شود.
روش پيشنهادي ديگر
به منظور تبديل مسائل بهينه سازي مقيد به مسائل نامقيد، ما از روش تابع جريمه استفاده مي کنيم.
مينيمم کردن تابع هدف:
در معرض:
قيودات معادله اي:

قيودات نامعادله اي:

ما مي توانيم تابع انرژي را بصورت زير فرمول بندي کنيم:

که:

يک شبکه عصبي Hopfield را تنها مي توان براي يک قيد معادله اي خطي بکار برد. چون مسأله اينجا، قيد معادله اي درجه دوم دارد، ما بايد آن را به شکل خطي تبديل کنيم. با استفاده از بسط تيلور، مي توان تابع درجه دوم را با يک تابع خطي، تقريب زد.
فرمول تلفات عمومي که فرمول تلفات کرون ناميده مي شود؛ بصورت زير داده مي شود:

ما مي توانيم PL را با استفاده از سري تيلور به شکل خطي در بياوريم؛ يعني:

قيد معادله اي تبديل مي شود به:

پس تابع انرژي را مي توان بصورت زير، تغيير داد:

بوسيله در نظر گرفتن تابع انرژي شکل گرفته شده در بالا، پارامترهاي وزني و وروديهاي خارجي مي شوند:

بنابراين، فرآيند محاسبه را مي توان مانند شبکه عصبي Hopfield استاندارد، انجام داد.
نتايج شبيه سازي
در اين قسمت، ما سيستم قدرت را با سه واحد توليدي که در [۱] داده شده است، در نظر مي گيريم:

قيود هر واحد، در سيستم در واحدي با مبناي ۱۰۰MW بصورت زير هستند:

قدرت مورد تقاضا در مبناي ۱۰۰MW برابر با ۲٫۵pu مي باشد. تلفات انتقال برابر هستند با:

پارامترهاي Hopfield بصورت زير، تنظيم شده اند:

نتايج بدست آمده از شبيه سازي در حالت بهينه، در جدول ۱، نشان داده شده و با نتايج حل معمولي مقايسه شده اند. اندکي اختلاف در خروجي مولدها وجود دارد.
جدول ۱: شرايط بهينه براي هر واحد به وسيله
ضرايب لاگرانژ و روش پيشنهادي ديگر
Proposed alternative Method Lagrange
Multiplier Method Demand (p.u.) Gen (p.u.)
0.733534 0.736600 2.1 P1
0.696017 0.699851 P2
0.751812 0.751803 P3
0.880899 0.885947 2.5 P1
0.797229 0.800264 P2
0.932723 0.931678 P3
1.143310 1.15045 3.2 P1
0.976914 0.97883 P2
1.259600 1.25830 P3

نتيجه گيري
ما روشي را براي تبديل قيد معادله اي درجه دوم به شکل خطي، در نظر گرفتيم. از اين روش پيشنهادي براي حل مسأله پخش بار اقتصادي با استفاده از شبکه عصبي Hopfield استفاده شد، که براي قيودات معادله اي و نامعادله اي فرمول بندي شده است. در اين روش قيودات نامعادله اي بدون وارد سازي متغير Slack، اداره مي شوند. نتايج با آنهاييکه از الگوريتم عددي متداول، بر مبناي ضرايب لاگرانژ، بدست مي آيند، مقايسه شدند.