فصل ۶
تابعهاي متغير مختلط ۱
ويژگيهاي تحليلي نگاشت
عددهاي موهومي پرواز شگفت انگيز روح خدايند.اين اعداد هويت دو گانه اي بين بودن ونبودن دارند.
گاترفيد ويلهلم فون لايب نيتس۱۷۰۲ميلادي
نظريه ي تابع ها از يک متغيير مختلط شامل برخي از قوي ترين و مفيد ترين وپر کاربرد ترين ابزارهاي تحليل رياضي است.براي انکه دست کم تا هدودي اهمييت متغير هاي مختلف را نمايش دهيم چند مبهث از کاربرد هاي انها را به اختصار بر مي شمريم .
۱.در مورد بسياري از زوج تابع هايu v ,همuوهم vدر معادله ي لاپلاس در دو بعد واقعي صدق ميکنند .
براي مثال يا vياu را ميتوان براي توصيف پتانسيل الکتروستاتيکي دو بعدي به کار برد . آن گاه ميتوان از تابع ديگري براي توصيف ميدان الکتريکي Eبهره گرفت که يک دسته از منحني هاي عمود بر منحني هاي مربوط به تابع اوليه را ارائه مي کند يک موقعيت مشابه براي هيدروديناميک از يک شاره ايده ال با حرکت غير چرخشي نيز وجود دارد تابع uبايد پتانسيل سرعت را توصيف کند در حالي که تابع vتابع جريان خواهد بود.
درمواردبسياريکه تابع هاي u,vمجهولند مي توانيم به ياري نگاشت يا تبديل در صفحه ي مختلط دستگاه مختصات مناسب با مسئله ي مورد نظر بسازيم .
٢.اعداد مختلط(در بخش ۱-۶) از زوج هاي اعداد حقيقي ساخته مي شوند بنابر اين حوزه ي اعداد حقيقي به طور طبيعي در حوزه ي اعداد مختلط جا سازي ميشوند. در اصطلاح هاي رياضي حوزه ي اعداد مختلط تعميمي از حوزه ي اعداد حقيقي است و بعداً در جهت هر چند جمله اي به ترتيب n (در حالت کلي )صفر مختلط کامل ميشود . اين واقعيت ابتدا به وسيله ي گاوس اثبات شد و قضيه اصلي جبر ناميده شد (بخش ۶-۴و۷-٢ را ببينيد ) به صورت يک نتيجه تابع هاي حقيقي سري حقيقي بي نهايت و انتگرال ها معمولا ميتوانند به طور طبيعي به اعداد مختلط ساده به وسيله ي نشاندن يک متغير حقيقي x براي مثال به جاي مختلط z تعميم داده شوند .
در فصل ۸خواهيم ديد که معادله هاي ديفرانسيل مر تبه ي دومي که در فيزيک مطرح مي شوند مي توان به کمک سري تواني حل کرد.
اگر به جاي x متغير مختلط z را قرار دهيم همين سري تواني را ميتوان در صفحه ي مختلط نيز به کار برد. وابستگي جواب در نقطه ي معلوم ۰ z ،به رفتار در هر جاي ديگر ،نگرش گسترده تري درباره ي جواب به ما مي دهدو ابزاري قوي(ادامه تحليلي) براي گستردن ناحيه اي به شمار مي آيد که در آن جواب صادق است.
٣. با تغيير پارامتر kازحقيقي به موهومي، ik → k معادله هلمهو لتر به معادله ي پخش
تبديل مي شود.همين تغيير جوابهاي معادله ي هلمهولتر(تا بع هاي بسل و بسل کروي )
را به جواب ها ي معادله ي پخش (تابع هاي تعديل يافته ي بسل و تعديل يافته ي بسل کروي )تبديل مي کند .
۴.کاربرد انتگرالهادر صفحه مختلط در موارد زير متنوع و مفيد است.
( الف) محاسبه ي انتگرا لهاي معين (در بخش٧-۲)
(ب)وارون کردن سريهاي تواني
(ج) تشکيل حاصلضربهاي نامتناهي. ازتوابع تحليلي(در بخش٧-٢)
(د)دستيابي به جواب هاي معادله هاي ديفرانيسل به ازاي مقاديربز رگ متغير
(جواب هاي مجانبي)
(ه) بررسي پايداري دستگاه هاي بالقوه نو ساني.
(و)وارون کردن تبديل هاي انتگرالي .(درفصل ١٥)

در پايان بايد بدانيم که درهنگام تعميم يک نظريه يساده ي فيزيکي ،بسياري ازکميتهاي فيزيکي که در اصل حقيقي بودند، به مختلط تبديل ميشوند . ضريب شکست نور که کميتي حقيقي است . با در نظر گرفتن جذب ، به کميت مختلطي تبديل ميشود . انرﮊي مربوط به يک تراز انرﮊي هسته اي که حقيقتي است، با در نظر گرفتن طول عمر محدود تراز انرﮊي ، به صورت مختلط در ميآيد،.E=m±iΓ
مدارهاي الکتريکي با مقاومت Rو ظرفيت خازن Cو خود القاييL به ا مپدا نس(مقاومت مختلط) تبديل مي شود ( Cω/۱-i (ω L+R=z.
ابتدا حساب مختلط را در بخش( ١-٦ )و سپس تابع هاي مختلط و مشتق انها را در بخش(٢-٦) معرفي مي کنيم .در ادامه بافرمول انتگرال بنيادي کوشي دربخش (٣-٦ )وادامه ي تحليلي ،تکينه و بسط هاي لورن و تيلور تا بع ها دربخش (٥-٦ )ونگاشت همديس و نقطه ي فرعي تکينه ها و توابع چند ظرفييتي در بخش( ٦-٦)و (٧-٦ )آشنا خواهيم شد .
۶.۱ جبر مختلط
به تجربه مي دانيم که با حل کردن معادله هاي درجه دوم براي به دست آوردن صفر هاي حقيقي آ نها اغلب موفق نمي شويم حاصل جواب را به دست بياوريم مثال زير به اين نکته اشاره دارد :
مثال ١-١-٦ شکل درجه دوم مثبت
براي همه ي مقادير حقيقيي xمثبت و معين است .

معادله ي بالا در حوزه اعداد حقيقيي y(x)=0جواب ندارد. البته اگر ما از علا مت استفاده کنيم ميتوانيم جواب هاي y(x)=0رابه صورت بنويسيم در زير درستي آن را بررسي مي کنيم:

اگر چه مي توانيم مجاسبا تي باi با توجه به قانون انجام دهيم اما اين علا مت به ما نمي گويد که اعداد موهومي واقعي هستند.
براي تمايان ساختن صفر هاي مختلط بايد اعداد حقيقي روي خط را در يک صفحه ي اعداد مختلط بزر گ کنيم . يک اعدد مختلط را به صورت يک نقطه با دومختصات در صفحه اقليدسي به صورت زوج مرتب از دو عدد حقيقيي(a,b)به صورتي که در (شکل۶-۱ )نشان داده شده است معين کنيم . شبيه آن،يک متغيرمختلط يک زوج مرتب ازدومتغير حقيقي است،
. (۶٫۱)
تريب قرار گرفتن متغير ها مهم است . xقسمت حقيقي z , y قسمت موهومي zناميده ميشود . در حالت کلي ، ( a,b) با (b,a) مساوي نيست و همچنين (,y x) با ((y,xمساوي نيست .به طور معلوم نوشتن يک عدد حقيقي ( ( x ,o را به سادگي بصورتxادامه مي دهيم و (o,l) = iرا واحد موهومي مي شويم محور xمحورحقيقي است و محور yمحور موهومي صفحه عدد مختلط است. توجه کنيد که درمهندسي الکتيريکي قرار دارد است وiازپيش برا ي نشان دادن شدت جريان الکتيريکي حفظ شده است. عدد هاي مختلط باتوجه به مثال۶-۱-۱ نقطه هاي هستند .

شکل۶-۱:صفحه ي مختلط- نمودار آرگاند

بهره گيري از نموداري متغيير مختلط در موارد زيادي مفيد وراحت است. اگر x،يعني جزءحقيقي z،را محو ر طول و y،يعني جزء موهومي z،را روي محور عرض بناميم ،مطابق( شکل۶-۱)صفحه ي مختلط يا صفحه ي آرگاند خواهيم داشت . اگر مقادير خاصي به y,x نسبت دهيم، zبا نقطه ي (x,y) در صفحه ي مختلط متنا ظر خواهد شد .مطا بق ترتيبي که قبلا” برشمر ديم ، روشن است که نقطه ي (x,y) بر نقطه ي((y,xمنطبق نيست ،مگر در حالت خاص .x=y
اعدد مختلط نقطه هايي در صفحه هستند حالا مي خواهيم تا جمع تفريق وضرب وتقسيم آنها را ،دقيقاً مانند اعداد حقيقي انجام دهيم .کل مبحث تحليل متغييرمختلط را مي توان بر حسب زوجهاي مرتب اعداد ( a,b)متغيرهاي (x,y)،وتابعهاي( (x,y),v (y ( u(x,بيان کرد .به کار بردن iلازم نيست ولي مفيد است . iترتيب زوجهارا شبيه بردار هاي يکه در فصل حفظ مي کند.جمع اعداد مختلط در اصلاح مولفه هاي دکارتي صورت زير معين مي کنيم .
z1 + z2= (x1 ,y1 ) + (x2 ,y2 ) = (x1 +x2 ,y1 +y2 ) =z1 + z2, (6.2)

که جمع بردار دو بعدي است . در فصل۱،هر نقطه در صفحه يxy را با يک بردار جابجايي دو بعدي مشخص کرديم .در نتيجه در مورد قسمت اعظم تحليل مختلط مي توان مشابه هاي برداري دو بعدي را تشکيل داد.در مسئله (۲-١-۶ )يک نمونه ساده اين شباهت را مشاهده مي کنيد . قضيه ي کو شي در بخش (۶-۳ )نمونه ي ديگري از آن است.همچنين ۰= ( y٫x)+(y- ٫x-)=z+z- بنابراين منفي اعداد مختلط منحصر به فرد است. تفريق اعداد مختلط مانند جمع انها انجام مي شود:
( y2- y12٫x -1 x) = z2-z1
ضرب اعداد مختلط به صورت زير تعيين ميشود
z1 z2= (x1, y1).(x2 ,y2)=(x1 x2 –y1 y2 ,x1 y2 +x2 y1 ). (6.3)

از معادله (۶-٣) استفاده مي کنيم. نيزبررسي مي کنيم که: به طوري که مي توانيم بطور معمولiرا مساوي با بدانيم.بعلاوه با باز نويسي معادله (۶-۱) داريم:

Z=(x,y)=(x,0)+(0,y)=x+(0,1).(y,0)=x+iy. (6.4)

به کار بردن iلازم نيست در اينجا ولي مفيد است .iترتيب زوجها را شبيه بردارهاي يکه در فصل ١ حفظ ميکند.
با استفاده از اعداد مختلط ميتوانيم صفرهاي معادلهz ²+z+1=0 در مثال (۶-۱-۱)به صورت و مضربهاي کامل تعيين کنيم.

هميوغ مختلط
عمل نشاندنi- به جاي i در اعداد مختلط و متغيرهاي مختلط و تابع هاي مختلط” گرفتن هميوغ مختلط” ميگويند .هميوغ مختلط zرا با نشان ميدهند ودر نتيجه
(۶٫۵) .

شکل ۶-۲ : نقاط هميوغ مختلط

متغيير مختلط zو هميوغ آن نسبت به محور xتصويرهاي آينه اي يکديگرند يعني تبديل yبه
-y(با شکل ۶-۲ مقايسه کنيد ). حاصلضرب عبارت است از
. (۶٫۶)
بنابراين بزرگي zعبارت است از:

تقسيم اعداد مختلط به آساني بوسيله قرار دادن عدد مثبت در مخرج کسر به صورت زير اجرا ميشود :
, (۶٫۷)
که قسمت حقيقي وموهو مي بصورت نسبت اعداد حقيقي با همان مخرج مثبت را نمايش مي دهد.اينجا قدر مطلق مجذور z2است و هميوغ مختلط zناميده ميشود. مي توانيم بنويسيم ،که مجذور طول مربوط به بردار دکارتي درمختصات مختلط است.
بعلاوه با توجه به (شکل ۶-۱)مي توانيم درصفحه ي مختصات قطبي بنويسيم:
x=rcosө , y=rsinө (۶٫۸)

z=r(cosө+i sinө) (۶٫۹)
در اين نمايش rقدر مطلق يا مقدارقدر مطلق از

زاويه ي θ (=tan -1(y/x)) شناسه (ارگومان) يا فاز zناميده ميشود.با استفاده از نتيجه اي که در بخش ۶-۵ پيشنهاد شد (اما به دقت اثبات نشده ) نمايش قطبي متغيير مختلط را که بسيار سودمند است به دست مي آوريم (۶٫۱۰)
براي اثبات نمودن اين يکساني ما از i³=-iو ۴ i =1و… استفاده مي کنيم .در بسط تيلور توابع مثلثا تي ونمايي پس از جدا کردن توانهاي زوج و فرد د

. (۶٫۱۱)
براي مقدارهاي ويژه ي ө=π و ө= ۲/, π بدست مي آوريم:

ارتباط بين e و i و π جالب است.دوره ي تناوب تابع نمايي iө e مانند sinө , cosө ، ۲π است .بعنوان يک کاربرد سريع ميتوانيم مشتق شکل قانونهاي جمع مثلثاتي را بدست آوريم:

حالا اجازه دهيد نسبت اعداد مختلط را به طور واضح به شکل قطبي تبديل کنيم.

مثال ۶-۱-۲ تبديل به شکل قطبي
با تبديل کردن مخرج نسبت به عدد حقيقي آغاز مي کنيم:

که در آن و . زيرا دو شاخه در ناحيه صفر تا ۲π داردما جواب π/۲ > θ۰>0 و º۲۵۵ .۶۰ = θ۰ را انتخاب مي کنيم زيرا جواب دوم
π +۰ θ نتيجه ميدهد : (علامت اشتباه. (i.e.
به طور متناوب ميتوانيم و را به شکل قطبي با زاويه ي و تبديل کنيم.و سپس آنها را به يکديگر تقسيم کنيم تا بدست آوريم

براي راحتي ميتوان نمايش قطبي معادله (۶-۱ )يا نمايش د کارتي[ معادله هاي ۶-۱و۶-۴ ]را براي متغير مختلط برگزيد.جمع و تفريق متغييرهاي مختلط در نمايش دکارتي آسانترصورت ميگيرد معادله ۶-٢.ضرب ، تقسيم، به توان رساندن ويافتن ريشه در مختصات قطبي راحت تر انجام ميشود معادله هاي ( ۶-۸ و ۶-۱۰).
اجازه دهيد ميانگين هندسي تابعهاي چند ظرفتي بوسيله ي ثابت مختلط امتحان کنيم .

مثال ۶-۱-۳ ضرب اعداد مختلط
وقتي متغير مختلط zرا در ضرب ميکنيم ،براي مثال، ۹۰ درجه پاد ساعتگرد به چرخانده ميشود.وقتي را در ضرب ميکنيم را بدست مي آوريم که zبوسيله آرگومان چر خانده ميشود .همچنين منحني هاي معيين شده با ثابت هنگامي که يک تابع مختلط را در آن ضرب کنيم چرخانده مي شو د . هنگامي که قرار دهيم :
ثابت
دو هذلولي زير را معيين مي کنيم

از ضرب کردن c در عدد مختلط ،بدست مياوريم:

هذلولي ها بوسيله ي قدر مطلق Aمقيا س گذاري و بوسيله ي آرگومان چرخيده ميشوند.

مي توان به طور تحليلي يا نموداري ،با استفاده از شباهت با بردارها ،نشان داد (مسا له ۶.۱.۲)که مدول مجموع دو عدد مختلط از مجموع مدولهاي آن دو عددکوچکتر واز اختلاف آنها بزرگتر است:
(۶٫۱۲)
اين نامساوي ها را ،در تشابه با بردارها،نا مساوي هاي مثلثي مي نامند.
با استفاده از صورت قطبي متغيير مختلط ،معادله(۶- ۸) پي ميبريم که بزرگي حاصلضرب متغيرهاي مختلط با حاصلضرب بزرگيهاي آنها برابر است،
. (۶٫۱۳)
همچنين
. (۶٫۱۴)
از متغيير مختلط z،مي توان تابعهاي مختلط يا را ساخت . اين تابعهاي مختلط را ميتوان به اجزاي حقيقي و موهومي تفکيک کرد
(۶٫۱۵)

شکل ۶-۳: تابع نقاط صفحه ي را روي صفحه ي مي نگارد.

که در آن تابعهاي مجزاي و حقيقي محض اند. مثلاً،اگر ،آنگاه داريم :

جزء حقيقي تابع را با وجزءموهومي آن را با نشان ميدهنددر معادله(۶-۱۵)
(۶٫۱۶)
شايد بهترين روش براي تصوير کردن رابطه ي بين متغير مستقل zومتغير وابسته ي ω ،عمل نگاشت باشد .A يک مقدار مفروض z=x+iy،يعني يک نقطه ي مفروض در صفحه ي z.مقدار مختلط نيز نقطه اي است در صفحه يω .همانگونه که در شکل( ۶-۳)نشان داده شده است ،نقاط صفحه ي z روي نقاطي از صفحه ي ω ،و منحنيهاي صفحه يz روي منحني هاي در صفحه يω نگاشته مي شوند.

تابعهاي متغيير مختلط
همه ي تابعهاي بنيادي متغيير حقيقي را ميتوان ،با نشاندن متغيير مختلط z،به جاي متغيير حقيقي x،به دصفحه ي مختلط گسترش داد. اين عمل نمونه اي از ادامه ي تحليلي است که در بخش (۶-۵)توضيح داده خواهد شد. در معادله هاي(۶-۴) ، ( ۶-۹)و(۶-۸) که رابطه هاي بسيار مهمي هستند ،آن نکته توصيف مي شود .با گام نهادن به صفحه ي مختلط فرصتهاي تازه اي در تحليل به وجود مي آيد .

مثال ۶-۱-۴فرمول دو مو آور:
اگر معادله ي (۶-۱۱)را به توان nبرسانيم،داريم
einθ =(cosθ+i sinθ)n. (6.17)
اينک اگر تابع نمايي با شناسه nθ را بسط دهيم ،بدست ميآوريم :
Cos nθ+i sin nθ=(cos θ+i sin θ)n. (6.18)
اين عبارت فرمول دو مو آور است.
اکنون اگر سمت راست معادله ي( ۶-۱۸) را با استفاده از قضيه ي دو جمله اي بسط دهيم،
nθ Cos را بصورت سريها ي تواني از sin θ و cos θ به دست خواهيم آورد
(مساله ي ۶-۱-۵). در مسئله ها با نمونه هاي بيشمار ديگري از رابطه بين تابعهاي نمايي ، هذلولي ،مثلثاتي در صفحه ي مختلط روبه رو خواهيم شد.
گهگاه به عبارتهاي پيچيده اي هم بر ميخوريم . ريشه nام عدد مختلط بصورت

بدست مي آيد.اين تنها جواب عدد مختلط zنيست زيرا حاصل براي هر عدد صحيح mمشود n-1. جمع ريشه ها براي =۱ ۲ ۳ … n-1 m
است .بنا براين بدست آوردن ريشه ي nام يک تابع چند مقداري يا عمل کردن با nمقدار،براي يک عدد مختلطz را نتيجه ميدهد.
به مثال عددي زير توجه کنيد.
۶-۱-۵ جذر ريشه
هنگامي که مجذور ريشه يک عدد مختلط با آرگومانθ بدست آوريم داريم ۲/θ .با -۱شروع مي کنيم که۱ r =در۱۸۰ = θ است وبا۱ r =در۹۰ = θ کهi است و يا داريم ۹۰ – = θ که
-iاست ريشه را بدست مي آوريم. اينجا نسبت پيچيده تر از اعداد مختلط است:

براي n=0,1 .
مثال ديگر لگاريتم يک متغيير مختلطz است که ميتوان با استفاده از نمايش قطبي بسط داد
(۶٫۱۹)
دوباره اين جواب کامل نيست بخاطر وجود شاخه هاي چند گانه ي وارون تابع tan.مي توانيم به زاويه ي فاز θ ،هر مضرب صحيحي از ۲π را بيفزاييم بدون انکه zتغيير کند به دليل آنکه دوره ي تناوب tan، ۲π است . بنا بر اين معادله ي( ۶-۱۹)را مي توان به صورت زير خواند:
(۶٫۲۰)
پارامتر nميتواند هر عدد صحيحي باشد .يعني ،lnz يک تابع چند مقداري است که تعداد مقادير آن به ازاي يک تک زوج مقادير حقيقيr و θ ، نا متناهي است. براي اجتناب از اين ابهام ،معمولا قرارداد ميکنيم که n=0وفاز را در بازهاي به طول ۲π ،مثلا (π,-π )،محدود ميکنيم .خطي را در صفحه ي zکه قطع نمي شود ،مثل محور حقيقي منفي در مثالي که آورديم ،خط برش مي خوانند . مقدار ln z به ازاي n=0را، مقدار اصليln z مي گويند.در آينده شرح اين توابع ،از جمله لگاريتم در بخش( ۶.۶ )ظاهر ميشود و به بررسي مشوح تر آنها مي پردازيم.

شکل ۶-۴: مدار الکتريکي RLC باجريان متناوب

مثال ۶-۱-۶ مدارهاي الکتريکي
دريک مدار الکتريکي با جريانIکه در مقاومت جاري مي شود و بوسيله ي ولتاﮊVتحريک مي شود قانون اهم حاکم است V=IRکه Rمقاومت است . اگر يک خود القايي L را به جاي مقاومت R بنشانيم سپس ولتاﮊ و جريان بوسيله ي معادله ي به يکديگر مربوط مي شوند .اگر خازن Cرا به جاي خود القايي Lقرار دهيم آنگاه ولتاﮊ به بار خازن Qبستگي دارد.V=Q/C
از معادله ي بالا نسبت به زمان مشتق مي گيريم حاصل بصورت زير بدست مي آيد:

بنابراين ، مداري با يک مقاومت ويک سلف و يک خازن که به طور سري بسته شده باشد (شکل ۶-۴راببينيد )از معادله معمولي مختلفي پيروي ميکند
(۶٫۲۱)
اگر مدار بوسيله ي يک ولتاﮊمتناوب با بسامدω تحريک شود در مهندسي الکتريک آن يک سنت و قرارداد است تا ولتاﮊمختلط V= V0 eiωt و جريان I=I0 eiωt در همان فرم استفاده شود که جواب حالت پايا (حالت يکنواخت )در معادله( ۶-۲۱)است . اين شکل مختلط فاز مختلفي بين جريان و ولتاﮊظاهري را نشان خواهد داد. در پايان ،مقدارهاي مشاهده شده فيزيکي با بخش حقيقي نشان داده ميشوند.(.etc i.e., ).اگرجانشين کنيم وابستگي زماني نمايي را ،بااستفاده از iωI = dI/dt ،و Iلحظه اي را کامل کنيم تا Q=I/iω رادر معادله (۶-۲۱) بدست آوريم.،شکل مختلط قانون اهم را بدست مي آوريم:

وz=R+i(ωL-1/ωc) را بصورت امپدانس (مقاومت ظاهري) معين ميکنيم يک عدد مختلط V=IZرا به صورتي که نشان داده شده است بدست ميآوريم. بيشتر مدارهاي الکتريکي کا بردي ميتواند با استفاده از فقط مقاومت ظاهري ساخته شود _آن بدون حل کردن معادله( ۶-۲۱)است
_بر طبق قوانين ترکيبي زير:
• مقاومت Rاز دو مقاومت که بطور سري قرارگرفته اند برابر است با R=R1 + R2
• خود القايي Lاز دو القاگر که به طور سري قرار گرفته اند برابر است با۲ L =L1 +L
• مقاومت Rاز دو مقاومت که به طور موازي بسته شده اند پيروي ميکند از
۱/R =1/R1 +1/R2
• خود القايي Lاز دو القاگر که به طور موازي بسته شده اندپيروي ميکند از
۱/L =1/L1 +1/L2

• خازن که از دو خازن سري تشکيل شده پيروي مي کند از ۱/C=1/C1 +1/C2
• خازني که از دو خازن موازي تشکيل شده پيروي مي کنداز ۲=C1 +C C
در فرم مختلط اين قانونها ميتوانند در شکتهاي فشرده تري وضع شوند ،بصورت زير:

• دو مقاومت ظا هري (امپدانس)سري به صورت ۲Z = Z1 +Z ترکيب مي شوند.
• دو مقاومت ظا هري(امپدانس) موازي به صورت ۱/Z=1/Z1 +1/Z2 ترکيب مي شوند.
خلاصه
اعداد مختلط محورهاي اعداد حقيقي را به صفحه ي اعداد مختلط توسعه مي دهند بطوري که هر چند جمله اي ميتواند مضرب کاملي باشد .جمع وتفريق اعداد مختلط شبيه بردارهاي دو بعدي در مختصات دکارتي است .

بهتر است ضرب و تقسيم اعداد مختلط در مختصات قطبي صفحه ي مختلط انجام شود .

تابع نمايي اعداد مختلط بصورت ez = ex (cos y + i sin y) داده مي شود .براي ez = ex z=x+i0=x , . تابع مثلثاتي بصورت زير ميباشد :

وتابعهاي هيپربوليک