تاریخ ریاضی

آغازها در اروپاي غربي
بخش شرقي امپراطوري روم همواره، چه از لحاظ اقتصادي و چه از نظر فرهنگي، پيشرفته ترين بخش آن امپراطوري بود.
اقتصاد بخش غربي هرگز بر اساس آبياري استوار نبود، كشاورزي بخش غربي به گونه اي گسترده بود كه انگيزه اي براي مطالعه نجوم فراهم نمي آورد. در واقع غرب با اندكي نجوم، كمي حساب عملي، و كمي دانش اندازه گيري كه تكافوي تجارت و مساحي را مي كرد، از عهده كارهاي خود به خوبي برمي آمد، اما انگيزه اعتلاي اين علوم از شرق نشات گرفت. زماني كه شرق و غرب از نظر سياسي از هم جدا شدند، اين انگيزه نيز تقريبا از ميان رفت. تمدن ايستاي امپراطوري روم غربي، قرن هاي متمادي، با اندك وقفه و دگرگوني، ادامه يافت،

وحدت مديترانه اي تمدن قديمي نيز بدون تغيير باقي ماند ـ و حتي فتوحات وحشيانه نيز اثر چنداني بر آن نداشت. در قلمرو پادشاهي هاي ژرمني شايد به استثناي پادشاهي هاي بريتانيايي، شرايط اقتصادي، نهادهاي اجتماعي، و حيات فكري، اساسا به همان نحوي باقي ماند كه در اوان افول امپراطوري روم بود، اساس زندگي اقتصادي كشاورزي بود كه به تدريج در آن كشاورزان آزاد و سهم بر جانشين بردگان شدند، اما علاوه بر اين، شهرهاي پر رونق و تجارت بزرگ همراه با اقتصاد پولي وجود داشت. پس از سقوط امپراطوري غربي در سال ۴۷۶، قدرت مركزي در دنياي يوناني ـ رومي، بين امپراطور قسطنطنيه و پاپ هاي روم تقسيم شد.

كليساي كاتوليك غرب از طريق نهادها و زبان خود در حدي كه مي توانست سنت فرهنگي امپراطوري رومي را در ميان قلمروهاي ژرمني ادامه داد. صومعه ها و عامه مردم با فرهنگ بخشي از تمدن يوناني ـ رومي را زنده نگاه داشتند.
يكي از اين مردم عامه، آنيسيوس مانليوس سورينوس بوئتيوس (Anicius Manlius Severinus Boetius) كه سياستمدار و فيلسوف بود، متوني رياضي به رشته تحرير درآورد كه بيش از هزار سال در جهان غرب اعتبار داشت. اين متون منعكس كننده شرايط فرهنگي آن زمان هستند، كه داراي محتواي فقيري بودند و بقاي آنها احتمالا متاثر از اين باور بود كه مولف در سال ۵۲۴ بر سر ايمان كاتوليكي خود به شهادت رسيد. كتاب وي به نام آموزش حساب ( Institutio arithmetica ) كه ترجمه اي سطحي از نيكوماخوس است، بخشي از نظريه اعداد

فيثاغورثي را عرضه مي كرد كه در آموزش قرون وسطايي به عنوان قسمتي از معارف سه گانه و چهار گانه كهن، حساب، هندسه، نجوم و موسيقي جذب شده بود.تعيين زماني كه اقتصاد امپراطوري روم قديم در غرب از ميان رفت و جاي خود را به سامان جديد فئودالي داد، دشوار است. فرضيه ه. پيرن ( H. Pirenne ) كه بنابر آن پايان دنياي كهن غرب با گسترش اسلام قرين بود، مي تواند پرتوي بر اين مساله بيفكند. اعراب همه ايالت هاي سواحل شرقي و جنوبي مديترانه را از چنگ امپراطوري بيزانيس خارج كردند و مديترانه شرقي را به صورت يك درياچه بسته اسلامي درآوردند. آنها روابط بازرگاني ميان خاور نزديك و غرب مسيحي را تا چندين قرن سخت دشوار ساختند. مجراي فكري بين دنياي عرب و بخش هاي شمالي امپراطوري پيشين روم، گرچه كاملا مسدود نگشت، اما تا چندين قرن با مانع روبرو بود.

بعدها در سرزمين گل فرانك و ديگر بخش هاي پيشين امپراطوري روم، اقتصاد بزرگ مقياس از بين رفت، زوال شهرها آغاز شد، جمع عوارض قابل وصول ناچيز شد. معاملات تهاتري و بازار محلي جاي اقتصاد پولي را گرفت.
سخن كوتاه: اروپاي غربي به وضعيتي نيمه بربري سقوط كرد. با افول تجارت، اشرافيت زمين دار اهميت پيدا كرد، زمينداران فرانكي شمال، به سر كردگي كارولنژين ها ( Carolingians ) قدرت حاكم سرزمين فرانك ها شدند. مركز اقتصادي و فرهنگي به شمال فرانسه و بريتانيا انتقال يافت. جدائي شرق و غرب قدرت موثر پاپ را چنان محدود كرد كه پاپ به اتحاد با كارولنژين ها تن داد، و تاجگذاري شارلماني ( Charlemagne ) به عنوان امپراطور روم مقدس در سال ۸۰۰ ميلادي مظهر اين اتحاد بود. جامعه غربي صورتي فئودالي و كليسائي يافت و جهت گيري آن شمالي و ژرمني بود.

در نخستين سده هاي فئوداليسم غربي، حتي در صومعه ها نيز عطف توجه چنداني به رياضيات ديده نمي شود. در جامعه كشاورزي ابتدائي اين دوره، عواملي كه برانگيزاننده رياضيات، از نوع صريحا عملي آن باشد، تقريبا وجود نداشت، و رياضيات صومعه اي چيزي بيش از حسابي كليسائي، آن هم عمدتا براي احتساب زمان عيد فصح، نبود. بوئتيوس بالاترين مرجع به شمار مي آمد. در ميان رياضيدانان كليسائي، آلكوين انگليسي الاصل و وابسته به دربار شارلماني از اهميتي برخوردار بود. او كتاب مسائلي براي تيز كردن فكر جوانان را نوشت. اين مجموعه قرن هاي متمادي نويسندگان كتب درسي را زير تاثير خود داشت. سابقه اغلب اين مسائل تا شرق باستان مي رسيد. به عنوان مثال:

سگي خرگوشي را دنبال مي كند، و فاصله آن دو ۱۵۰ ذراع است، در هر بار سگ ۹ ذراع و خرگوش ۷ ذراع مي جهند.
در چند پرش سگ از خرگوش جلو مي افتد؟
مي خواهيم يك گرگ، يك بزغاله، و يك كلم را با قايقي كه علاوه بر قايقران مي تواند يك از آنها را جاي دهد، از

رودخانه اي عبور دهيم. قايقران چگونه بايد آنها را از رودخانه بگذراند تا بزغاله كلم را و گرگ بزغاله را نخورد؟

يكي ديگر از رياضيدانان كليسائي، ژربر ( Gerbert ) راهبي فرانسوي بود كه در سال ۹۹۹ با نام سيلوستر دوم (Sylyester II) به مقام پاپي رسيد. او، زير نفوذ بوئتيوس چندين رساله به رشته تحرير درآورد، اما اهميت عمده او به مثابه يك رياضيدان در اين است كه وي يكي از نخستين دانشمندان غربي است كه به اسپانيا سفر كرد و در رياضيات جهان عرب به مطالعه پرداخت.

تفاوت هاي عمده اي بين رشد فئوداليسم غربي، فئوداليسم يونان اوليه، و فئوداليسم شرقي وجود دارد. خصلت گسترده كشاورزي غربي، مجال به وجود آمدن شبكه اي وسيع از مديران بوروكرات را نمي داد، و در نتيجه نمي توانست مآلا براي استبدادي شرقي پايه و اساسي فراهم آورد. در غرب امكان فراهم آوردن ذخيره وسيعي از بردگان وجود نداشت. هنگامي كه در اروپاي غربي دهكده ها رشد كردند و به صورت شهرك درآمدند، شهرك ها نيز به واحدهاي خودگرداني تكامل يافتند كه در آنها شهرنشينان نمي توانستند زندگي فارغ البالي را بر اساس برده داري پي ريزي كنند. اين يكي از دلائل عمده اي است كه چرا تكامل پوليس يوناني و شهر غربي كه وجوه مشتركشان در مراحل اوليه اين قدر زياد بود در مراحل

بعد را هاي متفاوتي را پيمودند.شهرنشينان قرون ميانه، براي بهبود سطح زندگي خود، مي بايست به استعداد خلاق خويش متكي باشند. اينان، پس از مبارزه اي جانانه با اربابان فئودال، همراه با كشمكش هاي داخلي بسيار، در طي قرون دوازدهم و سيزدهم و چهاردهم، پيروزمند سربرآوردند. اين پيروزي نه تنها بر گسترش سريع اقتصاد پولي، بلكه بر پايه بهبود تدريجي تكنولوژي استوار بود. شاهزادگان فئودال در جنگ عليه اربابان كوچك، اغلب از شهرها جانبداري مي كردند و سرانجام حاكميت خود را بر شهرها گسترش مي دادند. اين امر نهايتا به ظهور نخستين دولت هاي ملي در اروپاي غربي منجر شد.

شهرها به برقراري روابط بازرگاني با شرق، كه هنوز مركز تمدن بود، پرداختند. گاهي اين روابط به طريق مسالمت آميز و گاه به شيوه هاي خشن، مانند جنگ هاي صليبي، برقرار مي شد. شهرهاي ايتاليائي، نخستين شهرهائي بودند كه روابط بازرگاني برقرار كردند، سپس شهرهاي فرانسه و اروپاي مركزي به اين كار پرداختند. اهل تحقيق گاه به دنبال و گاه پيشاپيش بازرگانان و سربازان بودند. اسپانيا و سيسيل نزديك ترين نقاط تلاقي شرق و غرب بودند. و در اين نقاط تلاقي بود كه بازرگانان و محصلين با تمدن اسلامي آشنا مي شدند. هنگامي كه در سال ۱۰۸۵ مسيحيان، طليطله ( تولدو ) را از مغربي ها گرفتند، محصلين غربي براي آموختن علم كه به زبان عربي تدريس مي شد، به اين شهر سرازير شدند. اين

محصلين غالبا مترجمان يهودي را براي مكالمه و ترجمه استخدام مي كردند. و بدين ترتيب، در اسپانياي قرن دوازدهم با پالتو اهل تيوولي ( Plato of Tivoli )، گراردو كرمونايي ( Gherardo of Cremona )، ادلارد باثي ( Adelard of Bath ) و رابرت چستري ( Robert of Chester ) روبروئيم كه نسخه هاي خطي رياضي را از زبان عربي به لاتين برمي گرداندند. بدين ترتيب اروپا از طريق زبان عربي با كلاسيك هاي يونان آشنا شد، و در اين زمان، اروپاي غربي، آن اندازه پيشرفت كرده بود كه دانش را ارج نهد.

همان طور كه گفتيم، نخستين شهرهاي تجاري نيرومند در ايتاليا سربرآوردند، در خلال قرن هاي دوازدهم و سيزدهم جنووا، پيزا، ونيز، ميلان و فلورانس روابط تجاري پر رونقي را ميان جهان عرب و شمال برقرار كردند. بازرگانان ايتاليائي از مشرق ديدار كردند و تمدن آن را مورد مطالعه قرار دادند، مسافرت هاي ماركوپولو نشان دهنده بي باكي اين ماجراجويان است. اينان، مانند بازرگانان يوناني دو هزار سال پيش، كوشيدند علم و هنرهاي تمدن كهن تر را، نه فقط براي بازآفريدن آنها، بلكه براي جذب آنها در جامعه تجاري خود فراگيرند، جامعه اي كه در همان قرن هاي دوازدهم و سيزدهم شاهد رشد بانكداري و مقدمات پيدايش صنعتي از نوع سرمايه داري بود. اولين بازرگان غربي كه مطالعات رياضي وي تا حدي از پختگي برخوردار است، لئوناردوي پيزايي ( Leonardo of Pisa ) است.

لئوناردو، كه فيبوناتچي ( Fibonacci = پسر بوناتچو ) نيز ناميده مي شود، به هيات بازرگان به شرق سفر كرد. در بازگشت كتاب حساب ( Liber Abaci ، ۱۲۰۲ ميلادي ) را نوشت كه مملو از اطلاعات حسابي و جبري است كه فيبوناتچي در طي سفرهاي خود گردآوري كرده بود. در كتاب هندسه عملي ( Practica Gemetriae ، ۱۲۲۰ ) لئوناردو، به همين نحو، يافته ـ هاي خود را در هندسه و مثلثات توضيح داد. احتمالا او خود پژوهشگري اصيل نيز بوده است، زيرا كتاب هايش حاوي مثال هاي زيادي است كه ظاهرا در آثار عربي همتايي ندارند. با وجود اين، لئوناردو، مثلا هنگام بحث درباره معادله

x2 + 10 x = 39 از خود خوارزمي نقل قول مي كند. مساله اي كه به « رشته فيبوناتچي »، …،۲۱،۱۳،۸،۵،۳،۲،۱،۱،۰ منجر مي شود و در آن هر جمله با مجموع دو جمله پيشين برابر است، و نيز اثبات كاملا نپخته او از اينكه ريشه هاي معامله X 3 +2 X 2 + 10 X = 20 را نمي توان به صورت اصم هاي اقليدسي، بيان كرد ( بنابراين تنها با خط ـ كش و پرگار نمي توان آنها را ساخت)، جديد به نظر مي رسند. لئوناردو مساله دوم را با بررسي يكايك حالت هاي پانزده ـ گانه اقليدسي اثبات كرد، و سپس ريشه مثبت اين معادله را با تقريب شش رقم شصت شصتي به دست آورد.

رشته فيبوناتچي از مساله زير نتيجه شده است:
در يك سال از يك جفت خرگوش چند جفت توليد مي شود هر گاه (الف) هر جفت در هر ماه يك جفت جديد به دنيا
بياورند و اين جفت جديد از ماه دوم بارور شوند، (ب) مرگ و مير روي ندهد؟

كتاب حساب يكي از آثاري است كه با آن دستگاه شمارش هندي ـ‌عربي به اروپاي غربي معرفي شد. سابقه استفاده از اين دستگاه به طور پراكنده، به قرن ها پيش از لئوناردو مي رسد، يعني به زماني كه بازرگانان و سفيران و محققان و زوار و سربازاني كه از اسپانيا و شرق طالع ( Levant ) مي آمدند، آن را به اروپا آوردند. كهن ترين نسخه خطي تاريخدار كه اين دستگاه اعداد را متضمن است، الواح آگاهي ( Codex Vigilanus ) است كه در سال ۹۷۶ در اسپانيا نوشته شد. با اين همه، ورود اين ده نماد به اروپاي غربي با كندي صورت گرفت، قديمي ترين نسخه فرانسوي كه اين نمادها در آن يافت مي ـ شود، به سال ۱۲۷۵ مربوط است. دستگاه شمارش يوناني، در قرون متمادي، در كناره هاي درياي آدرياتيك همچنان

مرسوم بود. محاسبه غالبا با چرتكه قديمي انجام مي گرفت، چرتكه صفحه اي بود با مهره ها يا ريگدانه هائي چند ( غالبا متشكل از خطوطي كه بر شن رسم شده بود ) و علي الاصول شبيه لوحه هاي حسابي است كه هنوز روس ها و چيني ها و ژاپوني ها، و نيز كودكان در برخي بازي هاي خود به كار مي برند. اعداد رومي براي ثبت نتيجه محاسبه اي كه با چرتكه انجام شده بود به كار مي رفت. در طول قرون ميانه ( و حتي بعد از آن ) اعداد رومي را در دفاتر بازرگانان مي يابيم كه حاكي از آن است كه در حجره هاي كار خود چرتكه به كار مي

بردند. معرفي اعداد هندي ـ عربي با مخالفت عامه مردم مواجه شد، زيرا استعمال اين نماده خواندن دفاتر بازرگانان را دشوار مي ساخت. در فرماني كه درباره فن حساب ( Arte del Cambio ) در ۱۲۹۹ صدور يافت كاربرد اعداد عربي توسط بانكداران فلورانس ممنوع شد و آنان را مكلف مي ساخت كه از اعداد تحريري رومي استفاده كنند. در حوالي قرن چهاردهم، بازرگانان ايتاليائي استفاده از برخي از ارقام عربي را در دفاتر خود آغاز كردند.

گاه گاه نيز به صورت هاي حد واسطي مثلا II m III c X V براي ۲۳۱۵ برمي خوريم.
با بسط تجارت، توجه به رياضيات آرام آرام به شهرهاي شمالي گسترش يافت. در آغاز اين توجه عمدتا جنبه عملي داشت و تا چندين قرن حساب و جبر در خارج از دانشگاه ها به وسيله استادان محاسب خودساخته و معمولا بي اطلاع از آثار كلاسيك، آموزش داده مي شد. اين معلمان دفترداري و دريانوردي را تعميم مي دادند. اين نوع رياضيات تا مدت ها نشانه ـ هاي مشخص منشا عربي خود را حفظ كرد. كلماتي چون « جبر » و « الگوريتم » گواه بر اين امرند.

رياضيات نظري در طول قرون ميانه كاملا از بين نرفت، ولي اين رياضيات در ميان مردان عمل رواج نداشت. بلكه فيلسوفان مدرسي بدان مي پرداختند. مطالعه افلاطون و ارسطو، همراه با تاملاتي درباره باريتعالي به نظريات ظريفي درباره حركت، پيوستار و بينهايت منجر شد. اوريگنس ( Origen ) در نفي وجود بينهايت بالفعل، از ارسطو پيروي كرد، لكن اگوستين قديس ( St. Augstine ) در كتاب شهر خدايي ( Civitas Dei ) دنباله همه اعداد طبيعي را به منزله يك بينهايت بالفعل پذيرفته بود. انتخاب كلماتش چنان بجا و خوب بود كه گئورگ كانتور (Georg Cantor ) اظهار داشته است كه ترا بي پايان ( transfinitum ) را نمي توان شورانگيز تر از اگوستين قديس خواستار بود و كامل تر از او آن را معين و از آن دفاع كرد. نويسندگام مدرسي

قرون ميانه، به ويژه توماس آكويناس قديس ( St. Thomas Aquinas ) قول ارسطو را پذيرفتند كه بينهايت بالفعل وجود ندارد ( infinitum actu non datur ) اما هر پيوستار را بالقوه الي غير النهايه تقسيم ـ پذير مي دانستند. از اين رو كوچكترين خط وجود نداشت. بنابراين نقطه جزئي از يك خط نبود زيرا تقسيم ناپذير بود:

يك پيوستار نمي تواند از تقسيم ناپذيرها تشكيل شود. ( non potest compari aliquod continuum ex indivisilibus ) يك نقطه با حركت كردن مي تواند خطي به وجود آورد. چنين نظريه پردازي ها بر ابداع كنندگان حساب بينهايت كوچك ها در قرن هفدهم و بر فيلسوفان ترا پايان ناپذير در قرن نوزدهم، اثر گذاشت، كاواليري ( Cavalieri ) تا كه ( Tacquet ) بولتسانو ( Bolzano ) و كانتور مولفان مدرسي را مي شناختند و بر روي معاني افكار آنان تعميق مي ـ كردند. اين مردان كليسا، گاه گاه به نتايجي دست مي يافتند كه اهميت رياضي ملموستري داشت. تامس بردواردين

( Thomas Bradwardine ) كه سر اسقف كانتربوري شد، پس از مطالعه كارهاي بوئتيوس، به تحقيق درباره چند ضلعي هاي ستاره اي پرداخت. مهمترين رياضيدان كليسائي قرون ميانه، نيول ارسم ( Nicole Oresme ) اسقف ليسيو
( Lisieux ) در نرماندي بود كه با توان هاي كسري خود را سرگرم مي كرد. چون ۲ ۸ = ۶۴ = ۳ ۴ ، در نتيجه او ۸ را به صورت ۴ يا ۴ نوشت كه معناي آن بود.

او همچنين، رساله اي با عنوان سنجش صوري طول و عرض ( De Latitudinibus Formarum، ۱۳۶۰ ) نوشت كه در آن يك متغير وابسته ( Latitudo ) را نسبت به يك متغير مستقل ( Longitodo ) كه دستخوش تغيير است، رسم مي ـ كند. اين كار ارسم گذار ضمني و مبهمي است كه از مختصات كره ارضي يا كره سماوي ـ كه قدما آنها را مي شناختند ـ به هندسه مختصاتي نوين. اين رساله، در فاصله سال هاي ۱۴۸۲ و ۱۵۱۵ چندين بار منتشر شد و احتمالا بر رياضيدانان عصر رنسانس از جمله دكارت تاثير نهاده است.

مسير اصلي پيشرفت رياضيات از ميان شهرهاي تجاري در حال رشد و زير نفوذ مستقيم تجارت و دريانوردي و نجوم و مساحي مي گذشت. شهرنشينان به شمارش، حساب و محاسبه علاقه مند بودند. زمبارت ( Sombart ) اين علاقه شهرنشينان قرن هاي پانزدهم و شانزدهم را Rechenhafrigkeit ( حساب دوستي ) ناميده است. پيش كسوتان علاقه به رياضيات عملي همانا استادان محاسب بودند، به ندرت دانشگاهياني بدانان مي پيوستند كه از طريق مطالعات خود در نجوم قادر بودند به اهميت بهبود روش هاي محاسبه اي پي ببرند. مراكز اين زندگي جديد شهرهاي ايتاليا و شهرهاي اروپاي مركزي از قبيل نورمبرگ، وين، و پراگ بودند. سقوط قسطنطنيه در سال ۱۴۵۳ كه به امپراطوري بيزانس خاتمه داد پاي بسياري از محققان يوناني را به شهرهاي غربي كشانيد.