تحليل اعداد

نظرية اعداد شاخه اي است از رياضيات كه از خواص اعداد درست ، يعني ۱،۲،۳،۴،۵ و …
كه اعداد شمار يا اعداد صحيح مثبت نيز نام دارند ، سخن مي گويد .

شك نيست كه اعداد صحيح مثبت نخستين اختراع رياضي بشر است . به سختي مي توان انساني را مجسم كرد كه ، لااقل در سطحي محدود ، قدرت شمارش نداشته باشد . يادداشتهاي تاريخي نشان مي دهند كه سومريان باستان حدود ۵۷۰۰ ق . م تقويم داشته اند و از اينرو بايد نوعي حساب مي داشته اند.

حدود ۲۵۰۰ ق . م سومريها ، با استفاده از عدد ۶۰ به عنوان پايه ، دستگاه اعدادي ابداع كردند . اين دستگاه نصيب بابليها شد كه به مهارتهاي والايي در حساب رسيدند . لوحهايي گلي بدست آمده از بابليها شامل جداول رياضي كاملي هستند و قدمتشان به ۲۰۰۰ ق . م مي رسد .

وقتي تمدنهاي باستان به سطحي رسيدند كه اوقات فراغت براي تدقيق در اشياء بدست آمد ، برخي به تفكر در سرشت و خواص اعداد پرداختند . اين كنجكاوي به نوعي تصوف يا علم معاني رمزي اعداد منجر شد و حتي امروزه نيز اعدادي نظير ۳،۷،۱۱،۱۳ نشانة خوش شانسي يا بدشانسي هستند.

بيش از ۵۰۰۰ سال قبل از آنكه كسي به فكر بررسي خود اعداد به طور اصولي باشد ، اعداد براي حفظ محاسبات و معاملات تجاري بكار رفته اند. اولين روش علمي براي بررسي اعداد صحيح ، يعني مبدا، اصلي نظرية اعداد ، را عموماً به يونانيان نسبت مي دهند.

حدود ۶۰۰ ق . م ، فيثاغورس و پيروانش بررسي نسبتاً جامعي از اعداد صحيح كردند . آنان اولين كساني بودند كه اعداد صحيح را به طرق مختلف رده بندي كردند :
اعداد زوج : ۲،۴،۶،۸،۱۰،۱۲و…
اعداد فرد : ۱،۳،۵،۷،۹،۱۱ و …

اعداد اول : ۲،۳،۵،۷،۱۱،۱۳،۱۷،۱۹،۲۳،۲۹،۳۱،۳۷،۴۱،۴۳،۴۷،۵۳،۵۹،۶۱،۶۷،۷۱،۷۳،۷۹، و …
اعداد مركب : ۴،۶،۸،۹،۱۰،۱۲،۱۴،۱۵،۱۶،۱۸،۲۰ و …
يك عدد اول عددي است بزرگتر از ۱ كه تنها مقسوم عليه هاي آن ۱ و خود عدد باشند . اعدادي كه اول نباشند مركب نام دارند . جز عدد ۱ كه نه اول گرفته مي شود نه مركب .

فيثاغوريان ، اعداد را به هندسه نيز مربوط ساختند . آنان مفهوم اعداد چند ضلعي را معرفي كردند : اعداد مثلثي ، اعداد مربعي ، اعداد مخمسي و … دليلي اين نامگذاري هندسي با نمايش اعداد به وسيله نقاط به شكل مثلث ، مربع ، مخمس و … بوده است .

رابطة ديگر اعداد با هندسه ناشي از قضية معروف فيثاغورس است ، كه مي گويد : در هر مثلث قائم الزاويه مربع وتر مساوي مجموع مربعات دو ضلع ديگر است . فيثاغوريان به مثلثهاي قائمي نظر داشتند كه همانند شكل اضلاعشان اعدادي صحيح باشند .

اين نوع مثلثها را امروزه مثلثهاي فيثاغوري مي نامند . سه تايي (x,y,z ) نظير كه نمايشگر طول اضلاع است يك سه تايي فيثاغوري نام دارد .
يك لوح بابلي ، متعلق به حدود ۱۷۰۰ ق. م پيدا شده كه شامل صورت مبسوطي از سه تايي هاي فيثاغوري است و بعضي از اعداد آن نسبتاً بزرگ مي باشند . فيثاغوريان نخستين كساني بودند كه روشي براي تعيين بي نهايت سه تايي عرضه كردند .

اين روش را مي توان با نمادهاي جديد چنين بيان كرد : فرض كنيم n يك عدد فرد بزرگتر از ۱ باشد و

سه تايي (x,y,z) حاصل هميشه يك سه تايي فيثاغوري است كه در آن z=y+1 . چند نمونه از آن عبارتند از :
۱۹ ۱۷ ۱۵ ۱۳ ۱۱ ۹ ۷ ۵ ۳ X
180 144 112 84 60 40 24 12 4 Y
181 145 113 85 1 41 25 13 5 Z
علاوه بر اينها ، سه تاييهاي فيثاغوري ديگري نيز وجود دارند ؛ به عنوان مثال :

۲۰ ۱۶ ۱۲ ۸ X
99 63 35 15 Y
101 65 37 17 Z
در اين مثالها داريم z=y+2 . افلاطون (۳۴۹-۴۳۰ ق. م) روشي براي تعيين همة اين سه تايي ها بدست آورد ؛ اين سه تايي ها در نمادگذاري جديد با فرمولهاي زير بيان مي شوند :

حدود ۳۰۰ ق م واقعة مهمي در تاريخ رياضيات رخ داد. ظهور اصول اقليدس ، مجموعه اي مركب از ۱۳ كتاب ، رياضيات را از علم معاني رمزي اعداد به يك علم استنتاجي بدل ساخت . اقليدس اولين كسي بود كه حقايق رياضي را همراه با برهانهاي دقيق آنها عرضه كرد. سه كتاب از سيزده كتاب (كتابهاي X , IX , VII ) به نظرية اعداد اختصاص دارند. در كتاب IX اقليدس وجود بينهايت عدد اول را ثابت مي كند. اثباتش هنوز در كلاسهاي درسي تدريس مي شود.

او در كتاب X روشي براي بدست آوردن همة سه تاييهاي فيثاغوري ارائه مي دهد، اما دليلي بر اينكه روشش جميع آنها را بدست مي دهد نمي آورد. اين روش را مي توان در فرمولهاي زير خلاصه كرد :

x = t(a2-b2), y = 2tab, z = t (a2+b2),
كه در آنها b , a , t اعداد صحيح مثبت دلخواهي هستند بطوري كه a>b ، a , b عامل اول مشترك ندارند و يكي از a , b فرد و ديگري زوج است .

همچنين ، اقليدس در مسئلة ديگري كه فيثاغوريان طرح كرده بودند و آن يافتن همة اعداد تام بود تحقيقات مهمي انجام داد . عدد ۶ را يك عدد تام مي گفتند زيرا ۶ = ۳ + ۲ + ۱ ، يعني مساوي مجموع تمام مقسوم عليه هاي واقعي خود ( يعني ، مجموع تمام مقسوم عليه هاي كوچكتر از ۶ ) بود . مثالي ديگر از اعداد تام ۲۸ است .

زيرا ۲۸ = ۱+۲+۴+۷+۱۴ و ۱،۲،۴،۷و۱۴ مقسوم عليه هاي ۲۸ هستند كه از ۲۸ كوچكترند . يونانيان مقسوم عليه هاي واقعي يك عدد را “فرازهاي” آن عدد مي خواندند . آنان ۶ و ۲۸ را اعداد تام مي گفتند ، از آن جهت كه هر يك مساوي مجموع فرازهاي خود مي باشد .

در كتاب ix ، اقليدس همه اعداد تام زوج را به دست مي دهد . وي ثابت كرده است كه يك عدد زوج تام است اگر به شكل ۲p-1(2p-1) بوده و در آن ۲p-1,p هر دو اول باشند .
دو هزار سال بعد ، اويلز عكس قضية اقليدس را ثابت كرد . يعني ، ثابت كرد كه هر عدد تام زوج بايد از نوع اقليدس باشد . مثلاً براي ۶ و ۲۸ داريم :

۲۸ = ۲۳-۱(۲۳-۱) = ۴٫۷ , ۶ = ۲۲-۱(۲۲-۱) = ۲٫۳
اولين پنج عدد تام زوج عبارتند از :
۶ ، ۲۸ ، ۴۹۶ ، ۸۱۲۸ و ۳۳۶ ، ۵۵۰ ، ۳۳
در واقع ، اعداد تام بسيار نادرند . فقط ۲۴ عدد تام شناخته شده است . اينها در فرمول اقليدس نظير به مقادير زير از p اند :

۲,۳,۵,۷,۱۳,۱۷,۱۹,۳۱,۶۱,۸۹,۱۰۷,۱۲۷,۵۲۱,۶۰۷,۱۲۷۹,۲۲۰۳,۲۲۸۱,۳۲۱۷,۴۲۵۳,۴۴۲۳,۹۶۸۹,۹۹۴۱,۱۱,۲۱۳,۱۹,۹۳۷٫
اعداد به شكل ۲p-1 كه در آن p عدد اول است ، به افتخار مرسن كه آنها را در ۱۶۴۴ مطالعه كرد اعداد مرسن نام يافته اند و با Mp نموده مي شوند . ثابت شده است كه Mp به ازاي ۲۴ عدد اول مذكور در بالا اول ، و به ازاي مقادير ديگر از p<257 ،

جز احتمالاً
p = 157,167,193,199,227,229
مركب است . در مورد اين اعداد هنوز معلوم نشده كه Mp اول است يا مركب . تاكنون هيچ عدد تام فرد بدست نيامده است ؛حتي از وجود آنها نيز اطلاعي در دست نيست . اما ، اگر وجود داشته باشند ، بايد خيلي بزرگ باشند : در واقع ، بزرگتر از ۱۰۵۰ .

حال به شرح مختصر تاريخ نظرية اعداد از زمان اقليدس تا امروز مي پردازيم . بعد از اقليدس در ۳۰۰ ق. م پيشرفت چشمگيري در نظرية اعداد صورت نگرفت تا حدود ۲۵۰ ب. م كه رياضيدان ديگر يوناني ، ديوفانتوس اهل اسكندريه ۱۳ كتاب منتشر كرد كه فقط شش تاي آنها بجاي مانده است . اين اولين اثر يوناني است كه در آن از علايم جبري به نحو اصولي استفاده شده است .

با اينكه نمادهاي جبريش در مقايسه با نمادهاي فعلي خامند ، ديوفانتوس توانسته بعضي از معادلات جبري دو يا سه متغيره را حل نمايد . بسياري از مسائل آن از نظريه اعداد مايه گرفته اند و در نتيجه جستجوي جوابهاي صحيح معادلات برايش امري طبيعي بوده است . امروزه معادلاتي كه حلشان مستلزم يافتن جوابهاي صحيح است ،

معادلات ديوفانتيني نام داشته ، و بررسي اين معادلات به آناليز ديوفانتيني شهرت دارد . معادلة x2+y2 = z2 در مورد سه تايي هاي فيثاغوري نمونه اي از يك معادلة ديوفانتيني است .

بعد از ديوفانتوس تا قرن هفده پيشرفت چنداني در نظرية اعداد حاصل نشد . اگر چه شواهدي وجود دارند كه نشان مي دهند اين مبحث در شرق دور ، به ويژه در هندوستان در فاصله زماني ۵۰۰ ب.م و ۱۲۰۰ ب.م شروع به شكوفايي كرده است .

اين مبحث در قرن هفده در اروپاي غربي جان گرفت و آن بيشتر بخاطر مساعي رياضيدان برجستة فرانسوي پير دوفرما ( ۱۶۶۵-۱۶۰۱) بود كه عموم وي را پدر نظرية جديد اعداد مي دانند . فرما بسياري از الهامات خود را از آثار ديوفانتوس گرفت . وي نخستين كسي بود كه خواص عميق اعداد صحيح را كشف كرد . مثلاً فرما قضاياي حيرت انگيز زير را اثبات كرد :

هر عدد صحيح يك عدد مثلثي يا مجموع ۲ يا ۳ عدد مثلثي ، هر عدد صحيح يك عدد مربعي است يا مجموع ۲،۳ يا ۴ عدد مربعي . هر عدد صحيح يك عدد مخمسي است يا مجموع ۲،۳،۴ يا ۵ عدد مخمسي و غيره .

همچنين فرما كشف كرد كه هر عدد اول به شكل ۴n+1 نظير ۵ ، ۱۳ ، ۱۷ ، ۲۹ ، ۳۷ ، ۴۱ و غيره مجموع دو عدد مربعي است .

مثلاً
۵ = ۱۲+۲۲ , ۱۳ = ۲۲+۳۲, ۱۷= ۱۲+۴۲, ۲۹=۲۲+۵۲ , ۳۷ = ۱۲+۶۲, ۴۱=۴۲+۵۲
اندكي پس از فرا ، نامهايي چون اويلر (۱۷۸۳-۱۷۰۷) لاگرانژ(۱۸۱۳-۱۷۳۶) ، لژاندر(۱۸۳۳-۱۷۲۵) ، گاوس(۱۸۵۵-۱۷۷۷) و ديريكله(۱۸۵۹-۱۸۰۵) بخاطر بسط بيشتر اين نظريه به شهرت رسيدند . اولين كتاب درسي در نظرية اعداد به وسيلة لژاندر در ۱۷۹۸ منتشر شد . سه سال بعد ، گاوس Disquisitiones Arithemeticae را انتشار داد .

كتابي كه نظرية اعداد را به يك علم اصولي و زيبا بدل كرد . گاوس با آنكه در رشته هاي ديگر رياضيات و نيز در ساير علوم ، كارهاي با ارزشي كرده بود ، كتاب نظرية اعداد خود را بزرگترين اثر خويش مي دانست .

در صد سال اخير ، يا بيشتر از زمان گاوس ، اين مبحث پيشرفتهاي زيادي در جهات مختلف داشته است . شرح انواع مسائلي كه در نظرية اعداد بررسي شده اند در چند صفحه ممكن نيست . اين مبحث بسيار وسيع است و در بعضي قسمتها نياز به معرفت عميقي از رياضيات عالي دارد . با اينحال ، مسائل زيادي در نظرية اعداد وجود دارند كه به آساني قابل بيانند . برخي از آنها به اعداد اول مربوط مي شوند و ما بقيه اين مقدمه را به اين مسائل اختصاص مي دهيم .

جدول همة اعداد اول كوچكتر از ۱۰ ميليون در ۱۹۱۴ توسط رياضيدان امريكايي ، دي ، ان ، لمر منتشر شد . درست ۶۶۴۵۷۹ يا حدوداً عدد اول كوچكتر از ۱۰ ميليون وجود دارد .

اخيراً دي ، اچ ، لمر ( پسر دي ، ان ، لمر ) تعداد اعداد اول كوچكتر از ۱۰ بيليون را حساب كرده است ؛۴۵۵۰۵۲۵۱۲ يا حدوداً از اين اعداد وجود دارد ، اگر چه تك تك آنها شناخته شده نيستند . بررسي دقيق جدول اعداد اول نشان مي دهد كه توزيع آنها بسيار نامنظم است .

اين جداول شكافهاي عريض را بين آنها نشان مي دهند . مثلاً بعد از عدد اول ۱۱۱۳۷۰۲۶۱ عدد مركب مي آيند هيچ عدد اولي بين ۲۰۸۳۱۳۲۳ و ۲۰۸۳۱۵۳۳ وجود ندارد . به آساني ثابت مي شود كه شكافهاي عريض دلخواه بين اعداد اول مآلاً رخ خواهند داد .

از آن سو ، اين جدولها نشان مي دهند كه اعداد اول متوالي نظير ۳و۵ يا ۱۰۱ و ۱۰۳ همين طور تكرار مي شوند . جفتهايي از اعداد اول كه تفاضلشان ۲ باشد دوقلوهاي اول نام دارد . بيش از ۱۰۰۰ تا از اين جفتها زير ۱۰۰۰۰۰ و بيش از ۸۰۰۰ جفت زير ۱۰۰۰۰۰۰ وجود دارد . بزرگترين جفتي كه تا بحال شناخته شده ۷۶٫۳۱۳۹+۱ و ۷۶٫۳۱۳۹-۱ است . به نظر بسياري از رياضيدانان ، تعداد اين جفتها بي نهايت است اما كسي تاكنون قادر به اثباتش نبوده است .

وليد همة اين اعداد است . بعضي فرمولها اعداد اول بسياري را به ما مي دهند . مثلاً عبارت x2-x+41 به ازاي x=0,1,2,3…۴۰ اول است و نيز x2-79x+1601 به ازاي x=0,1,2,…,۷۹ اول مي باشد . ليكن هيچ فرمول ساده أي از اين نوع حتي اگر مكعب و توانهاي بالاتر بكار روند ، ني تواند به ازاي هر x اول باشد در واقع در سال ۱۷۲۵ ، گلدباخ ثابت كرد كه هيچ چند جمله أي از x با ضرايب صحيح نمي تواند به ازاي هر x يا حتي x هاي به قدر كافي بزرگ ، اول باشد .

بعضي از چند جمله ايها بي نهايت عدد اول را نمايش مي دهند . مثلاً وقتي x اعداد صحيح ۰,۱,۲,۳,… را بگيرد ، چند جمله اي خطي ۲x+1
همة اعداد فرد و در نتيجه بي نهايت عدد اول بدست مي دهد . همچنين هر يك از چند جمله ايهاي ۴x+3 , 4x+1 نمايش بي نهايت عدد اول است . ديريكله در يك مقالة مشهور كه به سال ۱۸۳۷ منتشر شد ، ثابت كرد كه اگر a,b اعداد صحيح مثبتي بدون عامل مشترك باشند ، چند جمله اي ax + b

وقتي x همة اعداد صحيح مثبت را بگيرد ، بي نهايت عدد اول بدست مي دهد . اين نتيجه امروزه به قضية ديريكله در باب وجود اعداد اول در يك تصاعد عددي معروف است .
براي اثبات اين قضيه ، ديريكله از حيطة اعداد صحيح بيرون رفت و ابزارهايي از آناليز نظير حدود و پيوستگي را معرفي كرد . با اين كار ، پايه هاي شاخة جديدي از رياضيات به نام نظرية تحليلي اعداد ريخته شد ، كه در آن مفاهيم و روشهاي آناليز حقيقي و مختلط براي حل مسائل مربوط به اعداد صحيح بكار برده مي شوند .

معلوم نيست آيا چند جمله أي درجة دومي مانند ax2 + bx + c با a = 0 وجود دارد كه بي نهايت عدد اول را نمايش دهد . ديريكله با استفاده از روشهاي قوي تحليلي خود ثابت كرد كه اگر a , 2b , c عامل اول مشترك نداشته باشند ، چند جمله اي درجة دوم دو متغيرة

ax2 + 2bxy + cy2
وقتي x,y اعداد صحيح مثبت را بگيرند ، بي نهايت عدد اول را نمايش مي دهد .
فرما مي پنداشت كه فرمول هميشه ، به ازاي n=0,1,2,… اول است . اين اعداد را اعداد فرما مي نامند و با Fn نشان مي دهند . اولين پنج عدد فرما عبارتند از :
F0=3 , F1=5 , F2=17, F3= 257, F4=65,537

و همة آنها اولند . ليكن اويلر ، در ۱۷۳۲ دريافت كه F5 مركب است ، در واقع
F5 = 232 + 1 = ( 641 ) ( 6,700,417 ).
اين اعداد در هندسة مسطحه نيز مورد توجه اند . گاوس ثابت كرد كه اگر Fn اول باشد مثلاً Fn=p به كمك خط كش و پرگار مي توان P ضلعي منتظم را ساخت .