چ یده
هدف این مقاله مطالعهQی مدلهای نوسان تصادف ١ یا به اختصار مدلهای SV در سریهای زمان مال و استنباط در مورد
آنها با استفاده از روشهای بیزی است. نوسانات نقش مهم در پیشین dهای مال دارد، زیرا میتواند میزان تورم در ارزش سرمایه
و کمیتdهای تصادف که اغلب تغییرات ناگهان قیمتdها، پدید م آورند را اندازه گیری کند. در بین مدلهای پیش بین سریهای
زمان مال ، از آنجایی ه مدلهای sv توانای ارزیاب تغییرات واریانس سهام یا نرخ ارز که در ط زمان مشاهده میشوند را دارد،
به عنوان ی از مهمترین کلاس مدلها در این زمینه محسوب م Àشوند. این مدلها در سریهای زمان مال توسط بسیاری از
تحلیل ران کم ، با تمرکز بر فرآیندهای نرمال یا لاگ نرمال مورد مطالعه قرار گرفته است. در حال که میدانیم کشیدگ بازدهdهای
مال نشان دهندهQی این است که توزیع بازده_ها دمهای پهن_تر نسبت به توزیع نرمال دارند. در نتیجه توزیع نرمال نسبت به داده_ها
(بازدهdها) استواری قابل قبول ندارند. به همین دلیل استفاده از توزیع_های با کشیدگ بالا نسبت به توزیع نرمال مانند توزیعهای
آمیخته و … در سالهای اخیر برای مدلهای نوسان تصادف پیشنهاد شده است. در این مقاله توزیع پیشنهادی توزیع لاپلاس چوله
٢ و چول آن نسبت به توزیع نرمال و توزیعهای آمیخته، انعطاف_Sپذیرتر و همچنین دارای استواری بیشتری نیز
است که کشیدگ
م باشد. در واقع هدف تحلیل بیزی مدلهای نوسان تصادف با فرض توزیع لاپلاس چوله برای بازده_ها م باشد. زیرا دراین گونه
مدلها توزیعdهای پسین پارامترها به ش ل بسته قابل حصول نیست، از روشهایMCMC برای استنباط استفاده خواهد شد. در
پایان نیز کارای مدل پیشنهادی نسبت به مدلهای دی ر با استفاده از دادهdهای واقع بازار مورد مقایسه قرار خواهد گرفت.
کلید واژه_ها: مدل نوسان تصادف ،روشهای MCMC ،توزیع لاپلاس چوله ،استنباط بیزی
١ مقدمه
مدلهای نوسان تصادف توسط پیت (١٩٨٣) و تیلور (١٩٨٢) به عنوان ی راه مناسب برای توصیف نوسانات با زمانهای متغیر،
جهت تشخیص بازده ها معرف شد. در میان مدلdهای پیش_بین سریهای زمان مال ، از آنجایی ه این مدلها توانای ارزیاب تغییرات
واریانس سهام یا نرخ ارز که در ط زمان مشاهده م شوند را دارد، به عنوان ی از مهمترین کلاس محسوب م شوند. نوسان

١Stochastic Volatility Models ٢Asymmetric Laplace Distribution

١

سومین کنفرانس ریاضیات مال و کاربردها – ١١ و ١٢ بهمن ماه ١٣٩١- دانش اه سمنان- سمنان

تصادف نقش مهم در پیش_بین dهای مال دارد، زیرا میتواند به خوب میزان تورم را در ارزش سرمایه و کمیتdهای تصادف که اغلب
تغییرات ناگهان قیمت را پدید م آورند اندازه گیری کند.
ی از دلایل اصل استفاده از مدلdهای SVتوانای آنها در مدل بندی نوسانات است. در سریهای زمان مال ویژگ dهای خاص و
معین از نوسانات که در بازده مال بدیه است، اغلب قابل مشاهده است. این ویژگ ها که در مقالهQی آیدمیر (١٩٩٨) به آنها اشاره
شده است، نقش مهم در ساختار و انتخاب مدل ایفا می نند که به چند مورد از آنها اشاره می نیم:
١) داده_هاQی مشاهده شده ازمندلبورت و فاما (٣۶١٩) نشان دادند که میزان کشیدگ بازده های مال حاک از آنند که توزیع بازده_ها
دمهای پهن_تر نسبت به توزیع نرمال دارند .
٢) نوسانات اثرات نامتوازن یا اهرم دارند. بل (۶١٩٧) نشان داد که بین نوسانات و حرکات سرمایهdهای موجود ارتباط خط
منف وجود دارد. ان ل(١٩٩٣) اثرات مثبت یا منف بازده_ها بر نوسانات آینده را مورد بررس قرارداد. این تاثیرات اغلب بازتاب
خبرهای خوب یا بد بازار، افزایش یا کاهش غیر منتظره در سرمایه است. هم چنین او دریافت که خبرهای بد نسبت به خبرهای خوب
نوسانات را بیشتر افزایش میدهد.
٣) قانون دی ر، حرکات فعل و انفعال بین بازار ها، بخشdهای سرمایه در ی حوزه، شاخص_ها یا نرخ های جاری ارز است که به
عنوان همبست از آن_ها یاد م _شود.
مدلهای SVدر بین استفاده_کنندگان تحلیلdهای آماری در بررس مسایل اقتصادی از سال ۰۷۹۱بسیار رایج شد. زیرا در این مدل_ها
نوسانات بوسیلهQی مشاهدات گذشته با استفاده از تغییرات واریانس همانند مدل های ARCHمدل_بندی نم À_شوند، بل ه دراین مدل_ها
dهای کلاسی و نوین روی ریز ساختارÄها Q _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ی بازار مال نوسانات تصادف را بعنوان
جریان ناهموار و تصادف اطلاعات جدید بازار مال تعریف می نند. مدل های SV در بسیاری از مطالعات کم مال مانند قیمت
های اختیاری، مدیریت ریس ، مقادیر د ر معرض خطر، vaR)ریس) مال ، ریس باورمند و ریس عمل رد به کار گرفته م _شود.
این مدلها با فرض نرمال بودن توزیع بازده_ها ایجاد شد و سپس تحلیلdهای بیزی با استفاده از روشهایMCMC٣در مورد آنها بسط و
گسترش یافت. برای مثال ج Óویر(۴١٩٩) از نمونه_گیری ی مرحله_ای ال وریتم متروپلیس-هستین ۴را برای مدل ل اریتم نوسانات
استفاده کرد. اس اچمن و کیم (١٩٩٨) توزیع ل اریتم توان دوم بازده ها را با ی توزیع آمیختهQی گسسته از توزیعdهای نرمال متعدد
تقریب زدند. متاسفانه فرض نرمال بودن بسیار محدود کننده و نسبت به مشاهدات پرت۵ بسیار حساس است. در واقع کوچ ترین
تغییر در توزیع داده_ها اثر بسیار زیادی بر استنباط خواهد داشت.
مدلهای نوسان تصادف ابتدا با مدل_بندی تغییرات واریانس سریdهای زمان دادهdهای مال معرف شدند. کسلس( ٢٠٠٢) و ورگ
(۵٢٠٠) تغییرات اثرات اهرم (نامتقارن)، پرش مولفه ها و خطاهای با دمdهای پهن را در شناسای بازده ها بسیار مهم دانستند و
هم_چنین نشان دادند که توزیع بازدهdهای مال دم_های پهن_تر از توزیع نرمال دارند. توزیعdهای زیادی نظیر توزیع ت ، اسلش و توزیع
واریانس گاما در مدلdهای نوسان تصادف ب ار رفته است که همهQی آنها دم_های پهن_تر از توزیع نرمال داشته و استواری استنباطdهای
آماری در آنها بالا و نسبت به مشاهدات پرت از حساسیت کمتری برخوردارند. برای نمونه چوی(٢٠٠٨) ی مدل نوسان تصادف را

٣Markov Chain Monte Carlo

۴M etropolice Hasting

۵outlier

٢

سومین کنفرانس ریاضیات مال و کاربردها – ١١ و ١٢ بهمن ماه ١٣٩١- دانش اه سمنان- سمنان

با فرض توزیع ت دو متغیره روی خطاها بررس کرد .

در این مقاله نوسان تصادف ۶ dهای بالاو دم های پهن در توزیع بازدهdهای
با توزیع لاپلاس چولهمدل_بندی میشود. هرچند کشیدگ
مال ، اغلب بوسیلهQی توزیع ت مدل بندی م شوند ول به عنوان مقایسه در ی حالت خاص (۵.٠(p= هر دو توزیع ت و لاپلاس
چوله دارای کشیدگ ۶ هستند. اما در سایر حالات توزیع لاپلاس چوله کشیدگ بالای در مقایسه با توزیع ت دارد. لذا این توزیع در
مقایسه با توزیع ت اندازه ی ریس در بحران های مال را بهتر کنترل م کند. در ادامه مقاله در بخش دوم به تعریف مدل نوسان
تصادف با توزیع لاپلاس چوله پرداخته و در بخش سوم تحلیل بیزی این مدل ارایه شده و هم_چنین روش نمونه_گیری گیبس برای برآورد پارامتر_Äها و برازش مدل توصیف خواهد شد. بخش چهارم نیز شامل تحلیل دادهdهای واقع و بررس کارای مدلها است و
بحث و نتیجه_گیری در بخش پنجم آمده است.