خلاصه
در این مقاله ابتدا ربات استوارت از نوع ۶-۶ با پلتفرمهای مسطح معرفی میشود. سپس سینماتیک معکوس ربات مورد مطالعه قرار میگیرد. در ادامه با الگوریتمی جدید سینماتیک مستقیم استوارت ۶-۶ به روش حذفی بررسی میشود. روش حذف جبری که معمولاً معادلات جبری را به فرم معادلات چندجملهای یک متغیره بیان میکند، روشی مناسب برای حل در فرم بسته سینماتیک مستقیم است. در این روش سینماتیک مستقیم به سادگی قابل حل بوده و لذا ارزش تئوری بالایی دارد. در حل سینماتیک با استفاده از ماتریس سیلوستر ۵۱×۵۱ بدون فاکتورگیری به چندجملهای درجه ۰۲ میرسیم. با حل چندجملهای پاسخهای سینماتیک مستیم بدست میآید. در نهایت صحت پاسخهای سینماتیک مستقیم ربات و همچنین پاسخ آن برای یک مثال عددی با نتایج حاصل از سینماتیک معکوس تأیید میگردد.

کلمات کلیدی: ربات استوارت، تحلیل سینماتیک مستقیم، روش حذف

.۱ مقدمه

در سالهای اخیر استفاده از رباتها در صنعت بسیار گسترده شده است. یکی از دلایل این استقبال، قابلیت مانور رباتها است. با این وجود، ساختار مکانیکی بیشتر رباتها آن گونه که شایسته است با فعالیت آنها متناسب نمیباشد. بنابراین ساختارهای متفاوتی برای رباتها طی سالهای اخیر در دست مطالعه قرارگرفتهاند و استفاده از آنها در صنعت نیز روزبهروز افزایش یافته استاخیراً. تلاشهایی برای پیدا کردن جایگزینهایی برای بازوهای رباتیک کلاسیک انجام شده است که استفاده از مکانیزمهای حلقه بسته در ساختار ربات را پیشنهاد میدهند. استفاده از مکانیزمهای حلقه بسته مزایایی از قبیل افزایش صلبیت، استحکام نسبت به وزن ربات، قابلیت مانور بالا و دقت بالاتر نسبت به مکانیزمهای حلقه باز کلاسیک دارد. از طرف دیگر رباتهایی که از مکانیزم حلقه بسته در ساختار خود استفاده میکنند دارای معایبی از جمله فضای کاری کوچک و پیچیدگی محاسبات دینامیکی و سینماتیکی میباشند.

مکانیزم استوارت مکانیزمی موازی است که اولین بار توسط استوارت در سال ۵۶۶۱ ساخته شد .[۵] گوف در سال ۵۶۱۱ نیز دستگاه تست تایر خود را معرفی کرد .[۰] این نیاز منجر به اختراع پلتفرمی تأثیرگذار توسط استوارت-گوف شد. این اختراع از تأثیرگذارترین قدمها در زمینهی گسترش رباتهای موازی و شبیهسازها بوده است. با توجه به نیاز مبرم و همچنین بومیسازی دانش فنی به شبیهسازهایی با توانایی حرکت با شش درجه آزادی که کاربردهای گوناگونی در صنایع نظامی و غیرنظامی دارند؛ حل سینماتیک این گونه رباتها بسیار حائز اهمیت است. از جمله کاربردهای مکانیزم استوارت میتوان به شبیهسازهای پرواز، شبیهسازهای خودرو، شبیهسازهای تست جاده محصولات نظامی، ایجاد تلاطم در مخازن محصولات شیمیایی، موقعیت دهی تفنگهای لیزری، موقعیتدهی آینه تلسکوپها، کنترل ارتعاشات اشاره نمود.

تحلیل سینماتیک رباتهای موازی شامل حل سینماتیک مستقیم و معکوس میباشد. مدلسازی سینماتیکی رباتهای موازی بر خلاف رباتهای سری به دلیل وجود قیود سینماتیکی و زنجیرهی حلقه بسته دارای پیچیدگیهای ذاتی است. سینماتیک مستقیم استوارت، منجر به یک دستگاه جبری غیرخطی میگردد که حل آن بسیار پیچیده و دارای پاسخهای چندگانه است. استفاده از روشهای عددی برای این مسئله، نیازمند حدس اولیه مناسب و نزدیک به جواب میباشد. در ضمن هیچ تضمینی برای همگرایی به جوابهای واقعی وجود ندارد.

دومین همایش ملی پژوهش های کاربردی در »مهندسی برق، مکانیک و مکاترونیک«
۲nd National Conference on Applied Researches in Electrical, Mechanical and Mechatronics Engineering

رغوانٌ در سال ۵۶۶۵ و رونگا واستٍ در سال ۵۶۶۰ اولین کسانی بودند که به ۱۲ جواب برای سینماتیک مستقیم استوارت در ناحیه اعداد مختلط دست یافتند .[۳] دیتمایرَ نیز در سال ۵۶۶۱ روشی برای وجود ۱۲ جواب را نشان میدهد .[۱] اینوسنتیُ در سال ۰۲۲۵ توانست معادلات قیود را با یک معادله خطیِ بیان کند .[۱] او با ب.م.م گیری از چندجملهای میانی با درجه ۳۰۲ به یک چندجملهای از درجه ۱۲ دست یافت. دهینگراّ و همکارانش از روش ترکیبی گروبنر- سیلوسترْ برای محاسبه چندجملهای درجه ۱۲ از ماتریس ضرایب ۵۱×۵۱ استفاده کردند که در آن ماتریس سیلوستر با محاسبه پایههای گروبنر برای پلتفرم استوارت به صورت صفحهای بدست میآید .[۶]

برای حل سینماتیک مستقیم روشهای گوناگونی از جمله روش حذفَ، روش تکرارُ و روش پایههای گروبنرًٌ وجود دارد. با استفاده از تئوری گروبنر دستگاه معادلات قیود سینماتیکی ربات به یک سیستم دیگر که دارای همان جواب است، انتقال مییابد. روش حذف جبریکه معمولاً معادلات جبری را به فرم معادلات چندجملهای یک متغیره بیان میکند، روشی مناسب برای حل در فرم بسته سینماتیک مستقیم است. در این روش سینماتیک مستقیم به سادگی قابل حل بوده و لذا ارزش تئوری بالایی دارد.

.۲ معرفی ربات موازی استوارت
مکانیزم استوارت اولین بار توسط استوارت در سال ۵۶۶۱ ساخته شد و به علت قابلیت عملکرد بسیار بالا مورد توجه محققین قرار گرفت. این ربات شامل سکوی متحرکی است که پلتفرمها توسط محرکهای خطی با مفاصل کروی و یونیورسال با یکدیگر در ارتباطاند. از جمله مزایای این ربات می-توان به ساختار ساده، سختی بالا، دقت بسیار بالای مکانیزم، تحمل نسبت وزن به بار بالا، قابیلت مانور بالا و دارا بودن شش درجه آزادی اشاره کرد. از معایب استوارت وجود اصطکاک در مفاصل و بروز خمش به واسطهی افزایش طول عملگرها میتوان نام برد. لذا مدلسازی و تحلیل ربات استوارت برای موقعیتدهی دقیق بسیار حائز اهمیت است. در شکل ۵ طرح شماتیکی از ربات ۶-۶ استوارت آمده است.

شکل -۱ طرح شماتیکی از ربات ۶-۶ استوارت

.۳ سینماتیک ربات استوارت

تحلیل سینماتیک رباتهای موازی شامل حل سینماتیک مستقیم و معکوس میباشد. بر خلاف رباتهای سری، مسالهی سینماتیک معکوس در رباتهای موازی ساده و مسئلهی سینماتیک مستقیم مشکل است. دلیل مشکل بودن سینماتیک مستقیم در رباتهای موازی این است که معادلات سینماتیک مستقیم در آنها، معادلات جبری غیرخطی است.

Raghvan 1
Ronga vust 2
Dietmaier 3
Innocenti 4
Monomial 5
Dhingra 6
Gröbner- sylvester hybrid method 7
The elimination method 8
The continuation method 9
The Gröebner basis method 10

دومین همایش ملی پژوهش های کاربردی در »مهندسی برق، مکانیک و مکاترونیک«
۲nd National Conference on Applied Researches in
Electrical, Mechanical and Mechatronics Engineering
.4 سینماتیک معکوس
هدف از سینماتیک معکوس بدست آوردن موقعیت مفاصل کشویی با توجه به دانستن موقعیت مرکز صفحهی متحرک میباشد. در شکل ۰ نمایی از ربات موازی استوارت به همراه مختصات بکار رفته در آن آمده است. با توجه به شکل ۰ رئوس پلتفرم ثابت پایینی و رئوس پلتفرم متحرک بالایی را به

ترتیب با Ui  [uxi uyi 0]T و si  [ sx i s y i0]T برای i=1,…,6 بیان میکنیم که به ترتیب نسبت به دستگاه ثابت { B} و متحرک {T} بیانشدهاند. موقعیت مبدا دستگاه محلی نسبت به دستگاه ثابت با بردار P  [X Y Z ]T تعریف میشود.

شکل -۲ طرح شماتیکی زنجیرهی سینماتیکی حلقه بسته

همانطور که در شکل ۰ نشان داده شده است، یک دستگاه مختصات ثابت متصل به صفحه پایینی و یک دستگاه مختصات متحرک متصل به صفحه بالایی را در نظر میگیریم. مختصات رئوس صفحه بالا در دستگاه متحرک را با بردار Si و مختصات رئوس صفحه پایین در دستگاه ثابت را با بردار U i نشان میدهیم. برای هر زنجیرهی سینماتیکی حلقه بسته ربات استوارت میتوان طول لینکهای ربات را به صورت زیر را نوشت:
(۵) Li  Si Ui
 r7 r4 r1 R  ماتریس دوران است. موقعیت رئوس صفحهی بالایی در دستگاه ثابت برابر است با:
که در آن  r8 r5 r2
 
 r r r 
 ۹ ۶ ۳ 
(۰) Si  R si  P
معادلات قیود سینماتیکی متناظر با این شرایط به صورت زیر قابلبیان است:
(۳) L2i  ( S i Ui )T ( S i U i )
مثال عددی
مختصات رئوس صفحههای پایین و بالای ربات استوارت ۶-۶ در جدول ۵ آورده شده است.
جدول :۱ مختصات رئوس ربات در دستگاه محلی (بر حسب متر)
si U i × i ×
۲)× ، ۲/۵۰۶ ، ( ۲/۵۱۳ ۲)× ، ۲/۲۶۰ ، ( ۲/۳۱۱ ۵×
۲)× ، ۲/۵۶۱ ، ( ۲/۲۳۱ ۲)× ، ۲/۳۳۱ ، ( -۲/۵۰۳ ۰×
۲)× ، ۲/۲۶۱ ، ( -۲/۵۱۱ ۲)× ، ۲/۰۱۶ ، ( -۲/۰۳۵ ۳×
۲)× ، -۲/۲۶۱ ، ( -۲/۵۱۱ ۲)× ، -۲/۰۱۶ ، ( -۲/۰۳۵ ۱×
۲)× ، -۲/۵۶۱ ، ( ۲/۲۳۱ ۲)× ، -۲/۳۳۱ ، ( -۲/۵۰۳ ۱×
۲)× ، -۲/۵۰۶ ، (۲/۵۱۳ ۲)× ، -۲/۲۶۳ ، ( ۲/۳۱۱ ۶×