تحلیل قانون اول برای حجم کنترل

مسائل راهنما و مفاهیم :
۱ . ۶ ) دبی جرمی ورودی به یک حجم کنترل نیازمند یک مؤلفه سرعتی نرمال (عمود) است. چرا؟
حل :
مؤلفه ی مماسی سرعت هیچ ماده ای را وارد سطح حجم کنترل نخواهد کرد زیرا موازی با آن است. مؤلفه ی قائم سرعت (با توجه به علامت خود) باعث ورود ماده به / و یا خروج ماده از حجم کنترل می شود. مشابه ورود شما به یک اتوبوس، برای ورد جرم به کنترل باید مؤلفه ی عمودی به سمت داخل حجم کنترل باشد (حرکت شما به موازات بدنه ی اتوبوس به شما کمک نخواهد کرد).
۲ . ۶ ) اختلاف درجه حرارت باعث انتقال حرارت می شود. آیا چنین مفهومی در مورد m وجود دارد؟
حل :

بلی، اختلاف فشار باعث حرکت جریان خواهد شد. سیال در جهت فشار پایین تر شتاب می گیرد زیرا فشار وارد بر پشت سیال بیشتر از فشار وارد بر جلوی آن است. همچنین، این بدان معنی است که بیشتر بودن فشار در جلوی سیال باعث ایجاد شتاب منفی می شود و سرعت آن کاهش می یابد. این پدیده در نقطه ی سکون روی یک دیوار رخ می دهد.

۳ . ۶ ) آیا یک وسیله حالت پایدار می تواند کار مرزی داشته باشد؟
حل :
خیر. هر تغییر اندازه ی حجم کنترل مستلزم تغییر جرم درون حجم کنترل یا تغییر شرایط داخل حجم کنترل است که این موضوع در فرایندهای حالت پایدار ناممکن می باشد.
۴ . ۶ ) آیا می توانید در رابطه با V , m در یک وسیله جریان پایدار مطلبی عنوان کنید؟
حل :

معادله پیوستگی بیانگر اصل بقای جرم است. بنابراین مقدار کل جرم ورودی m باید برابر با مقدار کل جرم خروجی باشد. در وسایلی که یک جریان در آنها وجود دارد، دبی جرمی جریان ثابت خواهد بود و بنابراین در تمام مسیر از دهانه ورودی تا خروجی مقدار دبی جرمی جریان یکسان می باشد.
دبی حجمی جریان با دبی جرمی جریان طبقه رابطه ی زیر ارتباط دارد :

بنابراین اگر حالت تغییر کند (آنگاه V تغییر خواهد کرد) و اگرچه دبی جرمی ثابت است ولی V تغییر می کند.

همچنین، این بدان معنی است که سرعت می تواند تغییر کند (V = VA) و جریان می تواند شتاب مثبت بگیرد (مشابه جریان در یک شیپوره) یا شتاب منفی کسب کند (مشابه جریان در یک بخش پخش کننده).
۵ . ۶ ) یک نازل یا افشانک می تواند انرژی جنبشی ایجاد کند؟
حل :
بلی، با شتاب گیری سیال از فشار بالا به سمت فشار پایین که خارج نازل است. فشار بالاتر بیشتر از فشار پایین ذرات جرم را فشار می دهد و موجب اعمال یک نیروی خالص بر هر ذره شده و به آن شتاب می دهد.

۶ . ۶ ) آب مایع ۱۵ C از یک نازل به صورت مستقیم تا ۱۵ m به بیرون فوران می کند. نازل چقدر است؟
حل :
معادله انرژی ۱۳ . ۶ :

اگر آب می تواند ۱۵ m بالا پرتاب شود دارای انرژی پتانسیل مخصوص است که باید برابر با انرژی جنبشی مخصوص جریان خروجی از نازل می باشد. T , P آب تغییر نمی کند بنابراین h آن ثابت خواهد بود.

۷ . ۶ ) اختلاف میان جریان نازل و یک فرآیند اختناق چیست؟
حل :
در هر دو فرآیند، جریان از فشار بالاتر و فشار پایین تر صورت می گیرد. در نازل، افت فشار موجب تولید انرژی جنبشی می شود ولی در فرآیند اختناق چنین نخواهد بود. در فرآیند اختناق افت فشار ناشی از ایجاد مانع در مسیر جریان است و نشانگر افت فشار می باشد.
۸ . ۶ ) اگر آب اشباع یک فرآیند اختناقی را طی کند، چه حالتی برای سیال پیش خواهد آمد؟ اگر یک گاز ایده آل باشد، چه اتفاقی رخ خواهد داد؟

حل :
فرآیند اختناق با یک فرآیند آنتالپی ثابت تقریب زده می شود. تغییر حالت از مایع اشباع با فشار پایین تر در h ثابت موجب می شود به حالت دوفازی بر سیم و بنابراین مقداری از مایع تبخیر و سردتر خواهد شد.
اگر همین فرآیند در مورد یک گاز ایده آل رخ دهد، ثابت بودن h باعث ثابت ماندن درجه حرارت (h فقط تابع T است) در فشار پایین تر خواهد شد.
۹ . ۶ ) R – ۱۳۴ a در ۸۰۰ kPa , 30C فرآیندی اختناقی را طی می کند به طوری که تا -۱۰ C سرد می شود. P خروجی چقدر است؟

حل :
حالت ۱ ) مایع اندکی متراکم است بنابراین از جدول B.5.1 داریم :

در درجه حرارت پایین تر، سیال دو فاز خواهد شد زیرا در جریان اختناق مقدار h ثابت خواهد بود و در -۱۰C داریم :

۱۰ . ۶ ) هوا در ۵۰۰K و ۵۰۰ kPa تا ۱۰۰kPa در طی دو جریان حالت پایدار، منبسط می شود. یک فرآیند اختناق و فرآیند دیگر توربین است. بالاترین T خروجی را کدام یک دارد؟ چرا؟
حل :
۱ ) اختناق
در فرآیند اختناق کار و انرژی جنبشی تولید نمی شود و فرض می کنیم انتقال حرارتی صورت نگیرد و تغییر انرژی پتانسیل وجود نداشته باشد. معادله ی انرژی تبدیل می شود به h = ثابت که به مفهوم T = ثابت است زیرا هوا یک گاز ایده آل است.

۲ ) توربین
در توربین، کار به صورت محوری خارج می شود و بنابراین سیال منبسط می شود و فشار و درجه حرارت آن کاهش می یابد.
۱۱ . ۶ ) یک توربین در کف یک سد وجود دارد و آب مایع از آن عبور می کند. این توربین چگونه توان تولید می کند؟ چه عباراتی در معادله انرژی مهم هستند؟
حل :

آب در پایین سد و ورود به توربین دارای فشار زیادی است. با عبور آب از درون یک شیپوره، همزمان با افت فشار، انرژی جنبشی تولید خواهد شد. این جریان انرژی جنبشی به مجموعه ای از تیغه های متحرک برخورد می کند و انرژی جنبشی تبدیل به توان محوری می شود و بنابراین جریان خروجی آب دارای فشار و سرعت پایین خواهد بود.
۱۲ . ۶ ) یک آسیاب بادی کسری از انرژی جنبشی باد را گرفته و به توان روی شفت تبدیل می کند. درجه حرارت و سرعت زیاد چگونه تحت تأثیر قرار می گیرد؟ راهنمایی : توان را به صورت دبی جرمی ضرب در کار مخصوص بنویسید.

حل :
مقدار کار به عنوان کسر f از جریان انرژی جنبشی برابر است با :

بنابراین توان با مکعب سرعت متناسب است. درجه حرارت بر چگالی تأثیر دارد، با فرض اینکه هوا گاز ایده آل باشد :

و توان نسبت معکوس با درجه حرارت دارد.
۱۳ . ۶ ) اگر هوا را متراکم کنید، درجه حرارت بالا می رود چرا؟ وقتی هوای گرم با p بالا درون لوله ای طویل جریان یابد و سرانجام تا درجه حرارت محیط T سرد شود، چگونه جریان تغییر خواهد کرد؟
حل :
همزمان با فشرده شدم هوا، حجم آن کاهش می یابد و بر روی آن کار انجام می شود و مقدار انرژی و درجه حرارت آن بالا می رود. اگر هوا با فشار تقریباً ثابت P جریان یابد و سرد شود، چگالی آن افزایش می یابد (V کاهش خواهد یافت)

۱۴ . ۶ ) در یک دیگ بخار مقداری آب مایع ۱۰۰ kPa تبخیر شده و با سرعت ۱m/s جریان می یابد. سرعت بخار اشباع در ۱۰۰ kPa چقدر است اگر اندازه ی لوله ها یکسان باشد؟ آیا جریان در فشار P ثابت است؟
حل :
معادله پیوستگی با استفاده از مقادیر میانگین عبارت است از :

از جدول B.1.2 در ۱۰۰ kPa داریم :

برای شتاب گیری جریان تا سرعت موردنیاز، یک نیروی بزرگ لازم است بنابراین افت فشار بزرگی رخ خواهد داد.
۱۵ . ۶ ) در یک محفظه ی اختلاط تمام جریان ها در P یکسان بوده و افت ها قابل صرف نظر کردن هستند و یک مبدل حرارتی که دارای جریان های جدا از هم است، انرژی را مبادله می کند ولی جریان ها با هم مخلوط نمی شوند. چرا هر دو نوع وجود دارند؟
حل :
هنگامی که هر دو جریان از مواد یکسان باشند و شما بتوانید از مخلوط حاصل خروجی استفاده کنید، می توانید اجازه دهید دو جریان مخلوط شوند. همچنین ممکن است شما اجازه اختلاط را بدهید. اگر مخلوط خروجی شرایط خاصی را بطلبد. مثلاً اختلاط آب سرد و گرم در یک شیر مخلوط بهداشتی. حتی اگر دو جریان از مواد یکسان نیز نباشند ممکن است اختلاط آنها مطلوب باشد مثلاً هنگام افزودن آب به هوا برای مرطوب کردن آن (فرآیندی که در زمستان عموماً در سیستم های تهویه مطبوع رخ می دهد).

در موارد دیگر، مواد مختلف در فشارهای متفاوت جریان دارند و یک جریان، جریان دیگر را سرد یا گرم می کند. این حالت می تواند گازهای حاصل از احتراقی که برای گرم کردن آب استفاده شده است یا سیال اولیه ی اطراف یک راکتور هسته ای باشد که یک سیال انتقال حرارت دهنده را گرم می کند. در این حالت سیالی که گرم می شود خالص باقی می ماند و گازهای احتراق یا ذرات رادیواکتیو را جذب نمی کند. حتی هنگامی که دو جریان از مواد یکسان هستند نیز دلایلی ممکن است وجود داشته باشد که بخواهیم دو جریان مجزا باشند.

۱۶ . ۶ ) در مبدل های حرارتی جریان یکسو به (جریان یکسان)، ۱ kg/s هوای ۵۰۰K به یک کانال وارد شده و ۲kg/s هوا نیز به کانال مجاور در ۳۰۰ k وارد می گردد. اگر مبدل حرارتی بی نهایت طویل باشند، درجه حرارت خروجی چقدر است؟
تغییرات T را در دو جریان ترسیم کنید.
حل :
حجم کنترل : بخش اختلاط (بدون Q , W )
معادله پیوستگی :
معادله انرژی ۱۰ – ۶ :
در همان T خروجی :
با استفاده از حرارت مخصوص ثابت، داریم :

۱۷ . ۶ ) هوا در ۶۰۰k با دبی ۳ kg/s به مبدل حرارتی وارد و در ۱۰۰ C خارج می شود. چه مقدار آب (kg/s) با شرایط ۲۰C , 100kPa می تواند توسط این هوا به نقطه جوش برسد؟
حل :

حجم کنترل : تمام مبدل حرارتی، جریانها مخلوط نمی شوند و بنابراین دو دبی جریان در سرتاسر دستگاه ثابت خواهند بود. هیچ انتقال حرارت خارجی و کار وجود ندارد.
معادله انرژی ۱۰ – ۶ :

از جدول B.1.2 :

از جدول A.7.1 :

معادله ی انرژی را برای یافتن دبی آب حل می کنیم :

۱۸ . ۶ ) بخار آب در ۳۰۰ C , 500 kPa برای گرم کردن آب سرد ۱۵ C تا ۷۵ C در یک سیستم تأمین آب گرم خانگی به کار برده می شود. چه مقدار بخار آب برحسب کیلوگرم آب مایع لازم است اگر بخار آب چگالیده نشود؟

حل :
حجم کنترل : هر کدام از خط لوله ها به صورت مجزا. کار وجود ندارد ولی مقداری انتقال حرارت وجود دارد که از جریان بخار آب خارج و به جریان آب مایع وارد می شود.

معادله ی انرژی برای خط لوله آب :

برای آب مایع به جدول B.1.1 مراجعه کنید :

خط لوله بخار نیز همان مقدار انتقال حرارت دارد ولی این حرارت از آن خارج می شود.

برای بخار آب به جدول B.1.3 در فشار ۵۰۰ kPa رجوع کنید :

اکنون مقدار انتقال حرارت از بخار آب را در معادله انرژی برای آب قرار می دهیم :

۱۹ . ۶ ) هوا در ۷۵ kPa , 260 k , 20m/s با دبی ۵ kg/s به درون موتور جت جریان می یابد و با ۷۵ kPa , 800 k, 500 m/s خارج می گردد. میزان تغییر انرژی جنبشی (توان) چقدر است؟
حل :

۲۰ . ۶ ) یک سیلندر خالی با هوای ۱۰۰ kPa , 20C پر می شود. با فرض این که انتقال حرارتی صورت نمی گیرد، آیا در درجه حرارت نهایی بیشتر از، مساوی یا کمتر از ۲۰C است؟ آیا T نهایی بستگی به اندازه ی سیلندر دارد؟

حل :
این یک مسئله حالت گذر فاقد انتقال حرارت و کار است. معادلات موازنه برای مخزن که حجم کنترل است :
معادله پیوستگی :
معادله انرژی :
حالت نهایی :
است و بستگی به V ندارد.
۲۱ . ۶ ) یک سیلندر حاوی ۰٫۱kg هوای ۲۰۰ kPa , 25C و پیستونی ۵kg بالای آن است. شیری در کف سیلندر باز می شود و هوا خارج می گردد و پیستون ۰٫۲۵m به طرف پایین حرکت می کند. کار این فرآیند چقدر است؟ چه اتفاقی برای انرژی افتاده است؟
حل :

اگر از شتاب پیستون صرف نظر شود داریم :
تعادل

برای به دست آوردن تغییر ارتفاع لازم است. سطح مقدار سیلندر را بدانیم. از موازنه ی نیروی وارد بر پیستون نتیجه می شود.

هوایی که درون سیلندر باقی می ماند تغییر حالت نداده است و بنابراین فاقد انرژی است. کار خارج شده به صورت کار جریان برابر با خواهد بود.

معادله ی پیوستگی و دبی جریان :
۲۲ . ۶ ) هوا در ۱۰۵ kPa , 35C در یک کانال با مقطع مستطیل شکل به ابعاد ۱۵۰ mm × ۱۰۰mm در یک سیستم گرمایش جریان می باد. دبی حجم جریان است. سرعت جریان هوا در کانال چقدر است؟
حل :
سرعت در سطح مقطع کانال را ثابت فرض کنید :

مقدار گذر حجمی جریان از معادله (۳ . ۶) برابر است با :

از قانون گاز ایده آل داریم :

۲۳ . ۶ ) یک دیگ بخار ۵۰۰۰ kg/h آب مایع را در ۲۰ C , 5 MPa دریافت می کند و آن را تا ۴۵۰ C با فشار ۴٫۵ MPa گرم می کند. حداقل سطح جریان در لوله را برای شرایطی که سرعت در لوله های ورودی و خروجی بیش از ۲۰ m/s نباشد، محاسبه کنید.

حل :
مقدار دبی جرمی جریان از معادله (۳ . ۶) با فرض :

جدول B.1.4 :

جدول B.1.3 :

۲۴ . ۶ ) دریچه تخلیه یک وان حمام بسته است و توسط آب با دبی ۱۰ kg/min پر می شود. پس از ۱۰ دقیقه، دریچه تخلیه باز می شود و آب با ۴ kg/min از آن خارج می گردد و به طور همزمان ورودی نیز به ۲kg/min کاهش می یابد. مقدار جرم آب موجود در وان را نسبت به زمان رسم کنید و زمان لازم از ابتدای عمل تا خالی شدن وان را بیابید.
حل :
در حین ده دقیقه ی اول داریم :

بعد از ۱۰ دقیقه مقدار ۱۰۰kg وجود خواهد داشت. در باقیمانده ی دوره، داریم :

بنابراین تا خالی شدن ۵۰ دقیقه وقت اضافی لازم است.

۲۵ . ۶ ) گاز نیتروژن با دبی ۰٫۰۵ kg/s در ۱۵C و ۲۰۰ kPa در درون یک لوله به قطر ۵۰ mm که بر روی آن یک شیر نیمه باز قرار دارد جریان می یابد. اگر افت فشار در شیر ۳۰ kPa و تغییر درجه حرارت وجود نداشته باشد سرعت در بالا دست و پایین دست شیر چه مقدار خواهد بود؟
حل :
سطح مقطع ورودی و خروجی برابرند :

گاز ایده آل :
از معادله (۳ . ۶ ) داریم :
گاز ایده آل :

۲۶ . ۶ ) در یک پمپ حرارتی، بخار اشباع مبرد R-134a در ۱۰C با دبی جرمی ۰٫۱kg/s از تبخیر کنده خارج می شود. اگر بخواهیم سرعت مبرد از سرعت ۷ m/s تجاوز نکند، قطر کوچکترین لوله ای که می توان استفاده کرد چیست؟

حل :
از معادله (۳ . ۶) مقدار دبی جرمی جریان برابر است با :

شرایط خروجی درx = 1 و T = 10C از جدول B.5.1 برابر است با :

مقدار حداقل سطح مقطع مترادف با حداکثر سرعت برای جریان m است :

۲۷ . ۶ ) در یک سیستم گرمایش خانگی هوای داغ هوای ۱۷ C , 100 kPa وارد کوره شده، تا ۵۲C گرم می شود و سپس از طریق کانال با مقطع مربع شکل با ابعاد ۰٫۲m در فشار ۱۱۰ kPa جریان می یابد. سرعت در کانال چقدر است؟
حل : مقدار جریان ورودی می باشد.
معادله پیوستگی :

گاز ایده آل :

۲۸ . ۶ ) بخار در شرایط ۴۰۰ C , 3MPa با دبی حجمی وارد یک توربین می شود. ۱۵% از جریان جرمی ورودی در شرایط ۲۰۰C , 600 kPa برداشت می شود. بقیه جریان در شرایط ۲۰ kPa و کمیت ۹۰% و سرعت ۲۰m/s از توربین خارج می گردد. دبی حجمی جریان برداشت شده و قطر لوله ی خروجی نهایی از توربین را تعیین کنید.
حل :
جریان ورودی : (جدول B.1.3 )

جریان برداشت شده :

جریان خروجی :

جریان B.1.2 :

۲۹ . ۶ ) یک پنکه خانگی با قطر ۰٫۷۵m هوا را در شرایط ۲۲C , 98 kPa از یک سمت دریافت کرده و با شرایط ۲۳ C , 105 kPa با سرعت ۱٫۵ m/s از سمت دیگر خارج می سازد (شکل ۲۹ . ۶ P ) دبی جرمی (kg/s)، سرعت ورودی و دبی حجمی خروجی جریان بر حسب چقدر است؟
حل :
معادله پیوستگی :

گاز ایده آل :

سطح مقطع :