تحلیل پوشش داده های فازی شهودی: کاربردی برای بخش بانکداری در هند

جالی پوری، شیو پراساد یاداو

چکیده
سری فازی شهودی (IFS)گسترشی از سری فازی و راهکاری برای تعریف یک سری فازی است زمانیکه اطلاعات موجود برای تعریف یک مفهوم غیردقیق توسط یک سری فازی قراردادی کافی نیست. مدل های DEAفازی موجود (FDEA) برای سنجش کارایی های فازی نسبی واحدهای تصمیم گیری (DMU) محدود به داده های ورودی/خروجی فازی هستند. البته در کاربردهای زندگی واقعی، بعضی از ورودی ها و خروجی ها به شکل فردی، زبانی و مبهم ممکن است بجای ابهام (فازی بودن) دارای ماهیت فازی شهودی باشند. بنابراین ما در مطالعه حاضر FDEA را به DEA فازی (IFDEA) گسترش دهیم، که در آن، داده های ورودی/خروجی توسط اعداد فازی شهودی (IFS) نمایش داده می شوند (خصوصاً IFS های مثلثی). این مطالعه اولین مطالعه در تحلیل کارایی های خوشبینانه/بدبینانه با داده های ورودی/خروجی فازی در DEA است. ما در این مطالعه مدل هایی را برای سنجش کارایی های خوش بینانه و بدبینانه از هر DMU در محیط فازی شهودی (IFS) ایجاد کردیم. ما با استفاده از تکنیک کارایی برتر الگوریتم هایی را ایجاد کردیم تا رتبه بندی کامل DMU ها بدست آوریم وقتی که شرایط خوش بینانه و بدبینانه بصورت جداگانه بررسی شوند. همچنین، برای رتبه بندی DMU ها وقتی که هر دو شرایط خوش بینانه و بدبینانه بطور همزمان بعنوان راهکار ترکیبی در نظر گرفته شوند، ما دو روش رتبه بندی دیگر را بترتیب بر مبنای سطوح ناکارآمدی و کارایی پیشنهاد میکنیم. برای بررسی عملکرد و کارایی کلی با استفاده از شرایط خوش بینانه و بدبینانه در IFS ، ما یک مدل تصمیم گیری کارایی IFDEA ترکیبی را پیشنهاد کردیم. برای اعتباریابی روش پیشنهادی و روشهای رتبه بندی پیشنهادی، ما مثالهای عددی مختلفی را توضیح دادیم و سپس نتایج را بر اساس شاخص کارایی میانگین هندسی، با راهکار رتبه بندی موجود مقایسه کردیم. ما همچنین کاربرد راهکار پیشنهادی را در بخش بانکداری معرفی کردیم، که در آن، دو ورودی با نامهای مخارج عملیاتی و کار در سطح شعبه ای دارای ماهیت فازی شهودی هستند و بصورت TIFN معرفی می گردند.
کلمات کلیدی: DEA فازی، DEA فازی شهودی، کارایی خوش بینانه و بدبینانه، روشهای رتبه بندی، کارایی شعبه بانک

۱- مقدمه
تحلیل پوشش داده ها (DEA) – که توسط چارنز، کوپر و رودز (۱۹۷۸) پیشنهاد شده است – یک تکنیک خطی غیر پارامتری بر مبنای برنامه ریزی برای ارزیابی کارایی های نسبی یک سری از واحدهای تصمیم گیری متناجس (DMU) بر اساس ورودی ها و خروجی های مختلف است. مسئله جالب توجه در مورد DEA توانایی آن برای سنجش کارایی نسبی DMU ها بدون فرض اهمیت های قلی در ورودی ها و خروجی ها است. DMU یک کارایی تکه ای غیر پارامتری و حدود ناکارامدی را در داده ها ایجاد میکند، و با استفاده از این حدود، سنجش های کارایی حداقل و حداکثر را برای هر DMU نسبت به همه DMU های دیگر محاسبه میکند. چون DEA پیشنهاد شده است، بنابراین هم در تئوری و هم در عمل مورد توجه زیادی قرار گرفته است. توسعه های تئوری مختلفی در DEA را میتوان در مطالعه کوپر، سیفورد و تون (۲۰۰۷) مشاهده کرد. در DEAجدید، ارزیابی کارایی DMU را میتوان از دیدگاه های مختلفی اندازه گیری کرد. انتانی، مائدا، و تاناکا (۲۰۰۲) و وانگ، چین و یانگ (۲۰۰۷) مدل های DEA را با کارایی های ارزیابی شده از دیدگاه های حوش بینانه و بدبینانه پیشنهاد کردند. کارایی یک DMU اندازه گیری شده از دیدگاه خوش بینانه بعنوان کارایی نسبی خوش بینانه/بهتر در نظر گرفته میشود درحالیکه کارایی اندازه گیری شده از دیدگاه بدبینانه بعنوان کارایی نسبی بدبینانه/بدتر در نظر گرفته می شود. اگر کارایی خوش بینانه یک DMU به اندازه ۱ ارزیابی گردد، از لحاظ خوش بینانه کارآمد است، و در غیر اینصورت بصورت ناکارآمد خوش بینانه در نظر گرفته می شود. اگر کارایی بدبینانه یک DMU به اندازه ۱ ارزیابی گردد، گفته می شود که ناکارآمد بدبینانه است؛ و در غیر اینصورت بصورت غیر-ناکارآمد بدبینانه در نظر گرفته می شود.
DEA متعارف نیازمند داده های ورودی و خروجی جدید است، که ممکن است همیشه در کاربردهای دنیای واقعی موجود نباشند. البته در مسائل دنیای واقعی، ورودی ها و خروجی ها اغلب غیر دقیق هستند. بی دقتی در داده های ورودی/خروجی را میتوان به شکل فواصل یا روابط ترتیبی یا اعداد فازی معرفی کرد. برای بررسی داده های فازی، ایده ابهام (فازی بودن) در DEA معرفی شده است. DEA به DEA فازی (FDEA) گسترش داده شده است که در آن، بی دقتی توسط سری فازی یا اعداد فازی نشان داده میشود. مطالعات مربوط به FDEA شامل کائو و لیو (۲۰۰۰)، ساعتی، معماریان، و جهان شاه لو (۲۰۰۲)، وانگ، لئو و لیانگ (۲۰۰۹)، وانگ و چین (۲۰۱۱) و پوری و یاداو (۲۰۱۳، ۲۰۱۴) می باشد. چندین راهکار بیان شده است و بسیاری از راهکارهای جدید نیز برای بررسی داده های ورودی و خروجی فازی در FDEA در حال پیدایش هستند. حاتمی-ماربینی، امروز نژاد، و توانا (۲۰۱۱) آنها به بدین صورت طبقه بندی کردند: (۱) راهکار مقاومت، (۲) راهکار برش-آلفا، (۳) راهکار رتبه بندی فازی ، و (۴) راهکار امکانپذیری.
خصوصیات اصلی تئوری سری فازی اینست که در اعداد/سری فازی، درجه عدم عضویت عناصر برابر با ۱ منهای درجه عضویت آن است، و بنابراین مجموع درجات عضویت و عدم عضویت برابر با ۱ می باشد. البته در کاربردهای دنیای واقعی، ما با اطلاعاتی سر و کار داریم که بعضی اوقات مبهم یا غیر دقیق و یا غیر کافی هستند، و بنابراین این امکان وجود دارد که مجموع درجات عضویت و عدم عضویت یک عنصر ممکن است کمتر از ۱ باشد. این بدین معناست که درجاتی از تردید باقی میماند. مسلماً تئوری سری فازی برای بررسی این نوع مسائل/شرایط مناسب نیست؛ بلکه تئوری سری فازی شهودی (IFS) مناسب تر است. سری فازی شهودی (IFS) گسترشی از سری فازی است و اثبات شده است که برای بررسی ابهام خیلی مفید است. IFS هر دو درجه عضویت (پذیرش) و عدم عضویت (رد شدن) یک عنصر را در نظر می گیرد بطوریکه مجموع هر دو مقدار کمتر یا برابر با ۱ است.
در مقالات، راهکارهای مختلفی وجود دارد که نظرات فردی/ارزیابی ها، تصمیم گیری های زبانی و تردیدهای دیگر در مورد کاربردهای عملی مانند انتخاب فروشنده، ارزیابی انبار، مدیریت زنجیره تأمین و غیره را توسط سری مبهم/فازی شهودی یا سری ناهموار نشان میدهند. مقالات گسترده در مورد مسائل مربوطه قبلاً توسط بسیاری از محققان متمایزشده مانند بوران، گنچ، کورت، و آکای (۲۰۰۹)، ژانگ، لای، و لو (۲۰۰۹)، چن (۲۰۱۱)، چای، لیو و زو (۲۰۱۲، ۲۰۱۳) و چای و لیو (۲۰۱۴) گزارش شده است. کاربرد تکنیک های تصمیم گیری در انتخاب فروشنده و ارزیابی پرسنل توسط چای، لیو و ناگی (۲۰۱۳) و چای و ناگی (۲۰۱۴) مورد مطالعه قرار گرفته است. تا جایی که ما میدانیم، گزارشات کمی در مقالات DEA وجود دارد که تردید متغیرهای داده های ورودی و خروجی را در کاربردهایی مانند سازمان های آموزشی ، بخش های مالی، مؤسسات اعتباری و غیره، توسط اعداد/سری فازی شهودی بجای فقط استفاده از اعدد/سری فازی نشان میدهد. رویندگ (۲۰۱۱) برای اولین بار یک راهکار DEA یکپارچه و TOPSIS فازی شهودی را ارائه داد تا کارایی بخش های مختلف دانشگاه را تحلیل کند که ارزیابی های فردی متخصصان توسط IFS معرفی می گردد. گاندوترا، باجاج و گوپتا (۲۰۱۲) الگوریتم جدیدی را برای DMU ها در محتوای انتروپی وزنی فازی شهودی برای رتبه بندی DMU ها در DEA معرفی کردند. رضوی حاجی آقا، اکرمی، زواد کاس، و هاشمی (۲۰۱۳) یک راهکار DEA فازی شهودی را در مؤسسات مالی و اعتباری معرفی کردند که اطلاعات فردی در مورد دو متغیر خروجی با نام های رضایت مشتری و مسئولیت اجتماعی، توسط اعداد فازی شهودی معرفی شده اند. بنابراین مقالات جاری نشان میدهند که برای کاربردهای عملی بصورت واقعی تری و برای ترکیب متغیرهای داده های ورودی و خروجی با ماهیت فازی شهودی در DEA ، ضرورتی برای توسعه FDEA به FDEA شهودی (IFDEA) وجود دارد. این بدین معناست که راهکار IFDEA برای بررسی ورودی و خروجی و هایی مورد نیاز است که داده های آنها در شرایط واقعی به شکل های فردی، زبانی و مبهم وجود دارد.
بعلاوه، هیچکدام از مقالات ذکر شده در بالا این موارد را مطالعه نکرده اند: (۱) تکنیک های DEA خوش بینانه و بدبینانه در محیط های فازی شهودی ، و (۲) مسئله ارزیابی کارایی شعبه های بانک با متغیرهای داده های ورودی و خروجی فازی شهودی. در راهکارهای DEA و FDEA ، محققان زیادی مانند وانگ و همکارانش (۲۰۰۷)، وانگ و چین (۲۰۱۱) و عزیزی (۲۰۱۱، ۲۰۱۴) می گویند که کارایی های خوش بینانه و بدبینانه دو عملکرد نهایی هر DMU و هر ارزیابی را اندازه گیری میکنند، با فرض اینکه فقط یکی از آنها منحرف شده است. بنابراین هر دو کارایی باید بصورت همزمان بعنوان یک راهکار ترکیبی برای تعیین کارایی کلی و رتبه بندی DMU ها، و برای معرفی فرآیند تصمیم گیری مناسب در نظر گرفته شوند. بنابراین اهمیت مطالعه حاضر در اینست که تکنیک های خوش بینانه و بدبینانه را بصورت جداگانه، و همچنین بصورت همزمان با یک راهکار ترکیبی در IFDEA در نظر می گیرد و کاربرد آنرا در شعبه های بانک در هند امکان پذیر می سازد.
مدل های FDEA موجود برای سنجش کارایی های فازی نسبی از DMU ها محدود به داده های ورودی/خروجی فازی هستند. البته در شرایط زندگی واقعی، بعضی از ورودی/خروجی ها در DEA نیز ممکن است (بجای فقط ابهام) دارای ماهیت فازی شهودی باشند. برای مثال، در بخش بانکداری، دو ورودی با نام های تعداد کارکنان (کار) و مخارج عملیاتی (خصوصاً مخارج غیر قابل کنترل) وجود دارد که بعلت تفاوت در فکر در سطح مدیریت و سطح شعبه واقعی، دارای درجه ای از تردید است. برای درک بهتر مسئله ذکر شده در بالا، ما شرایط سطح شعبه ای یک بانک را در نظر می گیریم. تقاضا برای کار در شعبه بانک عمدتاً به عواملی مانند کارایی ضعیف کار، عدم مهارت و آموزش و غیره، در بعضی از کارهای موجود بستگی دارد که ممکن است بر سود روزانه یک شعبه، صرفنظر از هزینه کار موجود برای یک بانک تأثیر بگذارند. جنبه های دیگر مانند شرایط متداول بازار و منطقه عملیاتی شعبه نیز مسئول تقاضای کارکنان در سطح شعبه ای هستند. عوامل ذکر شده در بالا منجر به تردید در داده های کار می گردند که میتوان آنها را توسط تئوری سری فازی به بهترین شکل نشان داد. علاوه بر عوامل ذکر شده در بالا، مدیریت بانکی بالاتر به راه اندازه یک شعبه بانک با تعداد کمتری از کارکنان علاقمند خواهد بود تا هزینه کار خود را کاهش دهد، درحالیکه مدیر یک شعبه ممکن است به داشتن کارکنان بیشتری در شعبه علاقمند باشد تا به مشتریان بیشتری ارائه خدمات دهد، سود شعبه را افزایش دهد، حجم کار رو به افزایش را مدیریت کند و بر کاهش سود بعلت ناکارامدی بعضی از کارکنان موجود غلبه کند. بعبارت دیگر، احتمال دارد که تعداد کارکنان یک ویژگی ناخواسته برای مدیر بانک باشد، اما برای مدیر شعبه یک ویژگی مطلوب باشد. بنابراین، تفاوت فکر در سطح مدیریتی و سطح شعبه ای ممکن است منجر به وجود تردید در تقاضا و دسترس پذیری کارکنان در سطح شعبه ای گردد. این بخش از تردید مسئول وجود درجات عضویت و عدم عضویت در داده های کار یک شعبه باشد. بنابراین کار (تعداد کارکنان) دارای رفتار فازی شهودی در سطح شعبه ای هستند و بنابراین میتوان آنرا بعنوان ورودی فازی شهودی در DEA در نظر گرفت.
در شعبه های بانک، مخارج عملیاتی شامل مخارج غیر قابل کنترل مانند مخارج اجاره، مالیات، بیمه، استهلاک، مخارج حقوقی، وصول وام، و غیره هستند، که فراتر از کنترل مدیریت بانک و همچنین مدیر شعبه می باشد، و بنابراین باعث ابهام در داده ها می گردد. عواملی مانند متوقف سازی موقتی عملیات شعبه بعلت بعضی از دلایل غیر قابل اجتناب، تعداد زیاد وام های مشکل ساز، تورم، تغییرات محیطی اقتصادی خارجی، ناکارامدی مدیریت و غیره، ممکن است منجر به نوساناتی در مخارج غیر قابل کنترل گردد. بنابراین ابهام در مخارج عملیاتی در سطح شعبه بانک را نیز میتوان توسط تئوری سری فازی شهودی نشان داد و میتوان آنرا بعنوان ورودی فازی شهودی در DEA در نظر گرفت. در طرف خروجی، داده های خروجی های کیفی مانند رضایت مشتری، خدمات مشتری، مسئولیت اجتماعی و غیره، در واژگان زبانی وجود دارند. بنابراین این خروجی های کیفی دارای ماهیت فازی شهودی در سطح شعبه بانک هستند و میتوان آنها را توسط تئوری سری فازی شهودی در DEA نشان داد. مثال دیگری از این، میتواند ارزیابی فروشنده و مسئله انتخاب باشد که متغیر ورودی (شهرت و اعتبار فروشنده) بعلت ماهیت زبانی خود دارای ماهیت فازی شهودی است، و بنابراین می توان آنرا بعنوان ورودی فازی شهودی در DEA در نظر گرفت.
برای برطرف سازی مسئله ارزیابی کارایی شعبه بانک ذکر شده در بالا، نیاز به راهکار واقع گرایانه تری نسبت به FDEA وجود دارد. بنابراین در مطالعه حاضر، ما FDEA را به DEA فازی شهودی گسترش داده ایم که در آن، داده های ورودی/خروجی شعبه های بانک و خصوصاً IFS های مثلثی (TIFN)، توسط IFS معرفی میگردد. ما مدل های IFDEA خوش بینانه و بدبینانه را برای سنجش کارایی های هر شعبه در محیط های فازی شهودی خوش بینانه و بدبینانه ایجاد کردیم. ما همچنین یک راهکار ترکیبی از IFDEA خوش بینانه و بدبینانه برای سنجش ترتیب بندی شعبه های بانک در IFS ارائه میدهیم. مدل تصمیم گیری کارایی ترکیبی کامل را در بخش بعدی توضیح داده ایم.
چون DEA برای هر DMU ،فرصت خود ارزیابی کارایی نسبی با DMU های دیگر را فراهم می سازد، هر DMU این امکان را دارد که کارایی خود را با مطلوب ترین سنجه ها رتبه بندی کند، و بنابراین بیشتر اوقات بیش از یک DMU بصورت DMU مؤثر ارزیابی می گردد. بنابراین این DMU های مؤثر را نمی توان بیشتر متمایز ساخت. عدم وجود قدرت متمایزسازی یکی از موانع اصلی DEA است. در مقالات، چندین راهکار برای انجام رتبه بندی کامل DMU ها در DEA و همچنین FDEA ارائه شده است که میتوان آنرا در مطالعاتی مانند آندرسون و پیترسون (۱۹۹۳)، ادلر، فردمن، و سینوانی-استرن (۲۰۰۲)، ساتی و همکارانش (۲۰۰۹) و پوری و یاداو (۲۰۱۳) مشاهده کرد. ادلر و همکارانش (۲۰۰۲) آنها را به این صورت طبقه بندی کرده است: (۱) روش ارزیابی کارایی متقاطع، (۲) روش کارایی برتر که با حذف واحد امتیازدهی شده از برنامه خطی دوگانه، رتبه بندی را انجام می دهد؛ (۳) روش بر مبنای محک زنی؛ (۴) روش بر مبنای تکنیک آماری چند متغیری؛ (۵) روش بر مبنای سنجش های نسبی ناکارامدی؛ و (۶) روش بر مبنای اطلاعات امتیازی از تصمیم گیرندگان شایسته و روش های تصمیم گیری چند معیاری. در مطالعه حاضر، ما از تکنیک کارایی برتر استفاده میکنیم تا واحدهای کارآمد و ناکارآمد را در مدلهای پیشنهادی بترتیب در شرایط خوش بینانه و بدبینانه از هم متمایز سازیم. برای اندازه گیری کارایی کلی و بدست آوردن رتبه بندی کامل وقتی که هر دو شرایط خوش بینانه و بدبینانه با هم در نظر گرفته می شوند، ما دو روش رتبه بندی ثانوی را بیان میکنیم که سپس با شاخص کارایی میانگین هندسی مطالعه وانگ و همکارانش (۲۰۰۷) مقایسه می گردند. همچنین، روش پیشنهادی توضیح داده می شوند و در بخش بانکداری در هند اعمال می گردد.
بخش های این مقاله بدین شرح است: در بخش ۲ مقدماتی را معرفی میکنیم که از تعاریف مبنای IFS ، IFN، و TIFN و عملیات حسابی در مورد TIFN تشکیل شده است. در بخش ۳ ارزش های پیش بینی شده و ترتیب بندی IFS ها را معرفی میکنیم. در بخش ۴ توسعه FDEA به IFDEA را توصیف میکنیم و روش شناسی برای ارزیابی کارایی های خوش بینانه و بدبینانه IFS از یک DMU را ارائه میدهیم. در بخش ۵ الگوریتم های پیشنهادی را بر مبنای تکنیک کارایی برتر توصیف میکنیم تا رتبه بندی کامل DMU ها را در محیط های خوش بینانه و بدبینانه بدست آوریم. بخش ۶ شامل طرح های پیشنهادی دو روش رتبه بندی جدید برای DEA جدید و همچنین IFDEA برای بدست آوردن رتبه بندی کامل DMU ها است، زمانیکه هر دو موقعیت خوش بینانه و بدبینانه بصورت همزمان در نظر گرفته می شوند. در بخش ۷ فرآیند تصمیم گیری کارایی IFDEA خوش بینانه و بدبینانه را معرفی میکنیم. در بخش ۸ توضیحات مختلف برای اطمینان از اعتبار روش پیشنهادی و روشهای رتبه بندی را معرفی میکنیم. بخش ۹ مربوط به یک کاربرد از راهکار پیشنهادی در بخش بانکداری است. در بخش ۱۰ نتیجه گیری یافته های مطالعه خود را بیان میکنیم.
۲- مقدمات
تئوری سری فازی اولین بار توسط ژاده (۱۹۶۵) معرفی شد. تابع عضویت سری فازی کلاسیک، اعدادی از هر عنصر حیطه افشاء را تعیین میکند که نشاندهنده درجه عضویت/تعلق پذیری یک عنصر به این سری است و این عدد به فاصله واحد تعلق دارد. فرض کنید X حیطه افشاء تعریف شده توسط است. درجه عضویت در یک سری فازی تعریف شده بر روی X فقط مدارک موجود برای را نشان میدهد اما به معنای مدارک بر ضد نیست. آتاناسو (۱۹۸۶) مفهوم IFS را معرفی میکند که توسط عضویت و همچنین تابع عدم عضویت توصیف می گردد.
این بخش شامل بعضی از تعاریف مبنا و افکار تئوری سری شهودی است که برای توسعه مفهوم IFDEA و گسترش FDEA به IFDEA برای ورودی/خروجی های فازی شهودی در مسائل دنیای واقعی مورد نیاز است، و شامل تعاریف سری فازی ضهودی (IFS)، عدد فازی شهودی (IFN)، و عدد فازی شهودی مثلثی (TIFN) و عملیات حسابی در TIFN است.
۲٫۱ سری فازی شهودی (IFS)
فرض کنید X حیطه افشاء باشد. پس IFS ، در X توسط بدست می آید، که و با شرایط اعداد و بترتیب نشاندهنده درجه عضویت و درجه عدم عضویت عنصر x در است. همچنین، درجه تردید x در است. مشخص است که . اگر ، پس به یک عدد فازی تبدیل می شود.
۲٫۲ عدد فازی شهودی (IFN)
فرض کنید یک IFS تعریف شده در سری R های واقعی با تایع عضویت و تابع عدم عضویت خود باشد، پس یک IFN است اگر
(۱) نرمال باشد، یعنی هیچ وجود نداشته باشد که
(۲) برای محدب باشد
(۳) برای مقعر باشد
از لحاظ محاسباتی، را میتوان توسط با تابع عضویت و تابع عدم عضویت باشد که بصورت زیر بدست می آید

که
بطوریکه . توابع و توابع پیوسته تکه ای غیر کاهشی بترتیب در و باشد، و توابع و بترتیب توابع پیوسته تکه ای غیر افزایشی در و باشند.

شکل ۱ –

۲٫۳ عدد فازی شهودی مثلثی (TIFN)
TIFN یک IFN با تابع عضویت و تابع عدم عضویت است که بصورت زیر بدست می آید

که بطوریکه و توسط نشان داده می شود و نمایش گرافیکی آن در شکل اثبات می گردد.
بصورت عدد فازی مثلثی در می آید اگر و و به عدد واقعی تبدیل می گردد اگر
۲٫۴ عملیات حسابی بر روی TIFN
فرض کنید و دو TIFN باشند. پس عملیات حسابی بر روی TIFN ها بصورت زیر بدست می آید:
(۱) اضافه سازی:

(۲) ضرب: برای
(۳) ضرب مقیاسی: برای

۳- مقادیر توسعه یافته IFN ها و ترتیب بندی آنها
فاصله پیش بینی شده IFS ، یک فاصله جدید است که توسط بدست می آید
که

و

مقدار توسعه یافته یک IFS توسط معادله زیر تعریف می گردد

فرض کنید یک TIFN باشد. پس با استفاده از معادله ۱، بصورت زیر تعریف می گردد

و با استفاده از معادله ۴، بصورت زیر بدست می آید

گروگور زسکی (۲۰۰۳) روش ترتیب بندی را برای IFN ها پیشنهاد کرده است. فرض کنید و دو IFN باشند. فرض کنید به معنای شبه-ترتیب بر اساس سنجه با توجه به افق پایینی و بالایی باشد. پس ما ترتیب های زیر را خواهیم داشت:

ناگورگانی و پونالاگو (۲۰۱۲) تابع دقت را برای TIFN ، تعریف کرده اند که با مقدار پیش بینی شده بدست آمده در معادله ۶ برابر است و از ترتیب زیر استفاده کرده است:

که و بترتیب مقادیر تابع دقت برای TIFN های و هستند.
۴- توسعه FDEA به FDEA شهودی (IFDEA)
4.1 تحلیل پوشش داده ها (DEA) – کارایی های خوش بینانه و بدبینانه
برای توصیف ارزیابی های کارایی DEA در محیط های خوش بینانه و بدبینانه، فرض کنید که کارایی یک سری از DMU های متناجس n اندازه گیری شود. کارایی توسط یک فرآیند تولید m ورودی برای بدست آوردن خروجی s های توصیف می گردد. فرض کنید که داده های ورودی و خروجی مثبت هستند. مطابق گفته چارنز و همکارانش (۱۹۷۸) نسبت خروجی واقعی به ورودی واقعی هر است که باید با شرایطی به حداکثر مقدار رسانده شود که نسبت خروجی واقعی به ورودی واقعی هر DMU باید کمتر با برابر با اتحاد باشد. این کارایی در محیط خوش بینانه است. در محیط خوش بدبینانه، کارایی DMU ،k ام باید با شرایطی به حداقل مقدار رسانده شود که نسبت خروجی واقعی به ورودی واقعی هر DMU باید بزرگتر یا برابر با اتحاد باشد. کارایی های خوش بینانه و بدبینانه بترتیب توسط و نشان داده می شود و از روی مدل های DEA ارزیابی می گردد که در جدول ۱ بیان شده است.
در جدول ۱، مقداری از خروجی r ام تولید شده توسط DMU ، k ام است؛ مقدار ورودی i ام استفاده شده توسط DMU ، k ام است؛ و بترتیب وزن های مطابق با ورودی i ام و خروجی r ام هستند؛ و بینهایت کوچک غیر ارشمیدس است. با استفاده از انتقال چارنز-کوپر، مدل های جدول ۱ را میتوان به شکل های برنامه ریزی خطی زیر در جدول ۲ انتقال داد.
گفته می شود که DMU ، k ام از لحاظ خوش بینانه کارآمد است اگر ؛ در غیر اینصورت از لحاظ خوش بینانه ناکارآمد می باشد. از طرف دیگر، DMU، k ام از لحاظ بدبینامه ناکارآمد است اگر ؛ در غیر اینصورت از لحاظ بدبینانه غیر-ناکارآمد می باشد.

جدول ۱ – مدل های کارایی خوش بینانه و بدبینانه

جدول ۲ – مدل های DEA خوش بینانه و بدبینانه

جدول ۳ – مدل های بب خوش بینانه و بدبینانه

همه DMUهاب کارآمد بهینه مرز کارایی را تشکیل میدهند درحالیکه همه DMU های ناکارآمد بدبینانه مرز ناکارآمدی را تشکیل میدهند. مدل های DEA خوش بینانه و بدبینانه کمترین و بیشترینوزن های مطلوب را برای DMU ها تعیین میکنند.
۴٫۲ تحلیل پوشش داده های فازی (FDEA) – کارایی های فازی خوش بینانه و بدبینانه
برای توصیف ارزیابی های کارایی FDEA در محیط های خوش بینانه و بدبینانه، فرض کنید که کارایی یک سری از n ، DMU متناجس اندازه گیری شود. کارایی توسط فرآیند تولید m ورودی فازی توصیف می گردد تا s خروجی فازی بدست آید. فرض کنید که همه ورودی ها و خروجی های فازی اعداد فازی مثبتی هستند. از لحاظ محاسباتی، کارایی های فازی خوش بینانه و بدبینانه DMU ، k ام بترتیب توسط و نشان داده می شوند، و میتوان آنها را از مدل های FDEA بیان شده در جدول ۳ اندازه گیری کرد.
در جدول ۳، یک مقدار خروجی فازی r ام تولید شده توسط DMU ، k ام است؛ و بترتیب وزن های فازی برای ورودی فازی i ام و خروجی فازی r ام از هستند؛ و بینهایت کوچک غیر ارشمیدسی است.
۴٫۳ FDEA شهودی پیشنهادی (IFDEA) – کارایی های فازی شهودی خوش بینانه و بدبینانه
برای توصیف ارزیابی های کارایی IFDEA در محیط های خوش بینانه و بدبینانه، فرض کنید که کارایی یک سری از n ، DMU همگن باید اندازه گیری شود. از m ورودی فازی شهودی برای تولید s خروجی فازی شهودی استفاده میکند.

جدول ۴ – مدلهای IFDEA خوش بینانه و بدبینانه

در اینجا و با بترتیب TIFN های مثبت هستند. کارایی های فازی شهودی خوش بینانه و بدبینانه بترتیب توسط و نشان داده می شود میتوان آنرا از روی مدلهای IFDEA بیان شده در جدول ۴ اندازه گیری کرد.
در جدول ۴، مقدار خروجی فازی شهودی تولید شده توسط DMU ، k ام است؛ مقدار ورودی فازی شهودی i ام استفده شده توسط DMU ، k ام است؛ و وزن های فازی شهودی برای ورودی فازی شهودی i ام و خروجی فازی شهودی r ام از DMU ، k ام هستند و توسط TIFN ها نشان داده می شوند؛ و بینهایت کوچک غیر ارشمیدس است. در مطالعه حاضر، و
۴٫۳٫۱ روش حل مدل های IFDEA خوش بینانه و بدبینانه
با اسفتاده از مقادیر ورودی ها و خروجی های فازی شهودی، و وزن های فازی شهودی مطابق با آنها در مدل IFDEA ، به شکل زیر ساده سازی می گردد:
مدل ۱

با استفاده از عملیات حسابی معرفی شده در بخش ۲٫۴، مدل ۱ را می توان به شکل زیر انتقال داد:
مدل ۲

مدل ۲ یک مسئله برنامه ریزی خطی فازی شهودی (IFDEA) است که میتوان آنرا با استفاده از یک مقدار پیش بینی شده بر اساس روش ترتیب بندی بحث شده در بخش ۳ به آسانی به LPP جدید انتقال داد و توسط مدل زیر بدست می آید:
مدل ۳

با استفاده از مقادیر پیش بینی شده TIFN ها در معادله ۶، مدل ۳ به LPP جدید زیر کاهش می یابد:
مدل ۴

مدل ۴ یک مدل LPP جدید شناخته شده با نام مدل IFE خوش بینانه است و کارایی IFE خوش بینانه است.
ما به شیوه مشابهی می توانیم مدل IFDEA بدبینانه را بر اساس یک مقدار پیش بینی شده بر اساس راهکار زیر به LPP جدید انتقال دهیم:
مدل ۵

مدل ۵ یک مدل IFE بدبینانه است و کارایی IFE بدبینانه است. اکنون ما تعاریف زیر را در IFDEA پیشنهاد میکنیم:
تعریف ۱- DMU ، k ام کارآمد IFE خوش بینانه خواهد بود اگر ؛ در غیر اینصورت ناکارآمد IFEخوش بینانه خواهد بود.
تعریف ۲- DMU ، k ام ناکارآمد IFE بدبینانه می باشد اگر در غیر اینصورت غیر-ناکارآمد IFE بدبینانه خواهد بود.
تعریف ۳- کارایی فازی خوش بینانه توسط تعریف می گردد، که وزن خروجی فازی شهودی بهینه r ام بدست آمده از مدل ۴ می باشد.
تعریف ۴- کارایی فازی شهودی بدبینانه توسط تعریف می گردد، که وزن خروجی فازی شهودی بهینه بدست آمده از مدل ۵ است.
۵- تکمیل رتبه بندی DMU ها با استفاده از تکنیک کارایی برتر
در DEA جدید، تکنیک کارایی برتر تکنیکی برای بدست آوردن رتبه بندی کامل DMU ه است. برای رتبه بندی واحدهای کارآمد در یک مدل DEA بهینه، واحدهای کارآمد اجازه دارند که امتیاز کارایی بالاتر از ۱ را با حذف محدودیت در مدل DEA داشته باشند که کارایی DMU ارزیابی شده را کمتر یا برابر با ۱ محدود می سازد. از طرف دیگر، برای رتبه بندی واحدهای ناکارآمد در مدل DEA بدبینانه، واحدهای ناکارامد اجازه دارند که امتیاز کارایی کمتر از ۱ را با حذف محدودیت در مدل DEA دریافت کنند که کارایی DEA ارزیابی شده بزرگتر یا برابر با ۱ را محدود می سازد. این تکنیک امکان مقایسه DMU هاب کارآمد را در مدل DEA خوش بینانه فراهم می سازد بدون اینکه کارایی های DMU هاب ناکارامد را تغییر دهد و DMU های ناکارامد را در مدل DEA بدبینانه مقایسه کند بدون اینکه کارایی های DMU های غیر-ناکارامد را تغییر دهد. ما در مطالعه حاضر از تکنیک کارایی برتر برای بدست آوردن رتبه بندی کامل DMU ها در IFE استفاده میکنیم. برای اینکار، ما الگوریتم های زیر را در بخش های فرعی ۵٫۱ و ۵٫۲ ایجاد کرده ایم:
۵٫۱ الگوریتم رتبه بندی کامل DMU های کارآمد در مدل IFEبهینه
مرحله ۱- مدل ۴ را با داده های ورودی-خروجی مشخص برای هر DMU اجرا کنید و DMU های کارآمد و ناکارامد IFE خوش بینانه را بدست آورید.
مرحله ۲- فرض کنید یک سری شاخص باشد.
بگذارید سری های متشکل از DMU های کارآمد و ناکارمد IFE خوش بینانه باشد.
مرحله ۳- اگر ، DMU ها را مطابق با کاهشی رتبه بندی کنید و الگوریتم را متوقف سازید. در غیر اینصورت به مرحله ۴ بروید.
مرحله ۴- اگر ، مدل کارایی برتر IFE خوش بینانه را اجرا کنید و کارایی برتر را برای هر DMU در IFE بدست آورید.
مدل ۶

مرحله ۵- برای و برای . DMU ها را مطابق با مقادیر کاهشی رتبه بندی کنید.
۵٫۲ الگوریتم رتبه بندی کامل DMU های ناکارامد در مدل IFE بدبینانه
مرحله ۱- مدل ۵ را با داده های ورودی-خروجی مشخص برای هر DMU اجرا کنید، و DMU های کارآمد و ناکارامد IFE بدبینانه را بدست آورید.
مرحله ۲- فرض کنید یک سری شاخص باشد. فرض کنید و سری های متشکل از DMU های کارآمد و ناکارامد IFE بدبینانه باشد.
مرحله ۳- اگر ، DMU ها را مطابق با کاهشی رتبه بندی کنید و الگوریتم را متوقف سازید. در غیر اینصورت به مرحله ۴ بروید.
مرحله ۴- اگر ، مدل کارایی برتر IFE بدبینانه زیر را اجرا کنید و کارایی برتر را برای هر DMU در IFE بدست آورید.
مدل ۷

مرحله ۵- برای و برای . DMU ها را مطابق با مقادیر کاهشی رتبه بندی کنید.
۶- تکمیل رتبه بندی DMU ها با استفاده از شرایط خوش بینانه و بدبینانه
چون کارایی های خوش بینانه و بدبینانه، کارایی هر DMU را در مطلوب ترین و بدترین شرایط تعیین میکنند، بنابراین برای تعیین کارایی کلی و رتبه بندی کامل DMU ها، هر دو ظرایط خوش بینانه و بدبینانه باید بصورت همزمان مد نظر قرار داده شود. برای اجرای رتبه بندی کامل هر DMU بر اسا شرایط خوش بینانه و بدبینانه، ما روشهای رتبه بندی جدیدی را برای DEA جدید و همچنین IFDEA پیشنهاد کردیم که در زیر مورد بحث قرار می گیرند.
۶٫۱ رتبه بندی را با استفاده از مدل های DEA خوش بینانه و بدبینانه تکمیل کنید
وانگ و همکارانش (۲۰۰۷) شاخص میانگین کارایی هندسی را برای تعیین کارایی کلی و رتبه بندی کامل DMU ها در DEA جدید ایجاد کردند:

در مطالعه حاضر، ما روشهای رتبه بندی زیر را برای بدست آوردن رتبه بندی کامل DMU ها در DEA جدید پیشنهاد میکنیم:
۶٫۱٫۱ روش رتبه بندی پیشنهادی ۱
مرحله ۱- کارایی های خوش بینانه و بدبینانه برای هر DMU را بدست آورید ، یا بعبارت دیگر و را برای هر با استفاده از مدلهای بیان شده در جدول ۲ پیدا کنید.
مرحله ۲- فرض کنید سری شاخص باشد. فرض کنید و بترتیب حداکثر کارایی های بدست آمده در شرایط خوش بینانه و بدبینانه باشند.
مرحله ۳- انحراف های و را در کارایی های خوش بینانه و بدبینانه برای همه DMU ها پیدا کندی، که و . در اینجا ناکارایی در DMU ، k ام نسبت به کارآمد ترین DMU در محیط خوش بینانه و ناکارایی در DMU ، k ام نسبت به غیر-ناکارامد ترین DMU در محیط بدبینانه است.
مرحله ۴- انحراف کلی را بیابید که حداکثر ناکارایی با استفاده از شرایط خوش بینانه و بدبینانه است.
مرحله ۵- DMU ها را مطابق با مقادیر افزایشی D رتبه بندی کنید.
۶٫۱٫۲ روش رتبه بندی پیشنهادی ۲
مرحله ۱- کارایی های خوش بینانه و بدبینانه را برای هر DMU بدست آورید ، یا بعبارت دیگر و را برای هر با استفاده از مدلهای بیان شده در جدول ۲ بیابید.
مرحله ۲- فرض کنید سری شاخص باشد. فرض کنید و حداقل کارایی بدست آمده بترتیب در شرایط خوش بینانه و بدبینانه باشد.
مرحله ۳- انحراف های و را در کارایی های خوش بینانه و بدبینانه برای همه DMU ها پیدا کنید که و . در اینجا کارایی در DMU ، k ام نسبت به ناکارامد ترین DMU در محیط خوش بینانه و کارایی در DMU ، k ام نسبت به ناکارامد ترین DMU در محیط بدبینانه است.
مرحله ۴- انحراف کلی را پیدا کنید که حداقل کارایی با استفاده از شرایط خوش بینانه و بدبینانه است.