مقدمه

انواع مختلفی از شتابدهندههاي درمانی مگاولتاژ به عنوان منابع پرتو ایکس در طراحی درمان استفاده میشوند. آگاهی از توزیع طیف فوتونی گسیل شده توسط این شتابدهندهها جهت انجام محاسبات دقیق دزسنجی، از اهمیت ویژهاي برخوردار میباشد. چنانچه دادههاي عبوري با دقت مطلوب در دسترس باشد، میتوان توسط محاسبات و الگوریتمهاي ریاضی طیف گسیلی را با دقت بسیار بالا تخمین زد و جهت محاسبات دقیق پیشبینی توزیع دز و بهینهسازي طرح درمان استفاده نمود.

سیلبرستین براي اولین بار بازسازي توزیع طیف بر اساس دادههاي اندازهگیري شده را پیشـنهاد نمـود.[۱] مسـئله بازسازي طیف از روي دادههاي عبوري در زمره مسائل بدوضع قرار دارد. تا دهه هشتاد استفاده از تکنیک لاپـلاس، حداقل کردن مربعات خطا و نیز الگوریتمهاي ابداعی مختلف براي حل این مسائل رواج یافت.در دهه هشتاد، روش پایدارساز تجزیه به مقادیر تکین (SVD)در ارتباط با مسئله تخمین طیف به کار گرفتـه شـد .[۲] واگنردرسـال۱۹۹۹ الگوریتم ابداعی خودش را در گستره انرژيهاي۲۵keV تا ۱۸MeVاعمال نمود و نتایج قابل قبـولی بـه دسـت آورد [۳] که در سالهاي اخیر توسعه داده شدهاند.[۵-۴]ایده استفاده از الگـوریتم EMدر حـل مسـئله بدوضـع بازسـازي طیف به سال ۲۰۰۵ و کارهاي سیدکی برمیگردد.[۶] سیدکی با مقایسه الگوریتم EMو روش SVDکارآیی الگوریتم

۲۱st Iranian Nuclear Conference 25-26Feb 2015 University of Isfahan

EMرا اثبات نمود. پس از او، این الگوریتم در کاربردهاي مختلف نظیر CTاسکن[۷] وشتابدهنده[۸] به کار گرفته شد.
روش کار

الف) مسئلهي بازسازي طیف

یک معادلهي انتگرالی میتواند توصیف کنندهي تضعیف طیف چندفام (polychromatic) باشد. دادههاي تضعیف یا عبوري از فانتومی با ضخامت Tو مپ تضعیف µ(E, x) توسط رابطه زیر توصیف میشوند:
(۱)

که W(E) طیف مجموعه چشمه و آشکارساز، Emax بیشینه انرژي فوتون در طیف و Ipoly شدت باریکه چندفام خروجی است.با گسسته سازي معادلهي انتگرالی (۱)، میتوان دادههاي عبوري را توسط یک سیستم معادلات ماتریسی خطی به صورت زیر توصیف کرد:

(۲)

که در این معادلهtیک ماتریس × ۱ حاوي دادههاي عبوري اندازهگیري شده tm)ها)، mتعداد کل اندازهگیريها، nتعداد بینهاي (bins) نمونهبرداري از طیف اصلی استکه بسته به پهناي بین مورد نیاز (رزولوشن انرژي) تعیین میشود. ماتریس Cn مجهول رابطه بالا، یک طیف نمونهگیري شده از طیف اصلی است. ماتریس Amn نیز یک ماتریس محاسباتی است که با توجه به ثابتهاي تضعیف خطی و ضخامت فانتوم به صورت زیر محاسبه میشود:

(۳)

همانطور که گفته شد Cnمجهول و بیانگر طیف مجموعه چشمه و آشکارساز است. هدف روشهاي تخمین طیف، ارائه راهحلی براي تعیین Cnاز روي مجموعهاي از دادههاي تضعیف است.

ب) الگوریتم EM

الگوریتم بیشینهسازي امیدریاضی (Expectation Maximization) یک روش تکرارشونده است که به دنبال یافتن برآوردي با بیشترین درست نمایی براي پارامترهاي یک توزیع پارامتري است. به منظور حل معادله ماتریسی رابطه (۲) در این تحقیق از الگوریتم کارآمدEMاستفاده شده است. بر اساس این الگوریتم میتوان از رابطهي بازگشتی زیر براي بازسازي طیف مجهول بر اساس یک حدس اولیه دلخواه استفاده کرد:[۶]

(۴)

۲۱st Iranian Nuclear Conference 25-26Feb 2015 University of Isfahan

چنانچه مقادیر اولیه غیرمنفی استفاده شود، غیرمنفی بودن مقادیر محاسبه شده براي طیف به صورت خودکار تضمین میشود در این پژوهش از یک حدس اولیه سینوسی یکسان در هر دو حالت استفاده شده است.

ج) شبیهسازي