چکیده
تحلیل پوششی داده های سنتی جAغخض برای ارزیابی کارآیی واحدهای تصمیم گیری جکسقخض ساختار داخلی واحدها (زیر واحدها) را در نظر نمی گیرد. به همین دلیل محققان DEA در سالهای اخیر برای بررسی کارآیی،سقخها را با ساختار شبکه ای در نظر گرفتند. یک زیر مجموعه

خاص از چنین واحدهای تصمیم گیری، واحدهای تصمیم گیری با ساختار شبکه ای دو مرحله ای با خروجی های برگشتی از مرحله دوم هستند که این خروجی ها به عنوان بخشی از ورودی های مرحله اول استفاده می شوند. برای این چنین واحدهایی که در ارزیابی ناکارا باشند Aغخی سنتی

نمی تواند مرز کارا را تعیین کند. برای حل این مشکل این مقاله روشی را پیشنهاد می کند که با استفاده از آن می توانتصویر کارا را برای واحدهای ناکارا بدست آورد.

کلید واژه- برگشتی، تحلیل پوششی داده ها، دومرحله ای، کارآیی، شبکه، واحد تصمیم گیری.

-۱ مقدمه ش

تحلیل پوششی داده های جAغخ)ذ معرفی شـده توسـط چـارنز و همکاران بلم یک روش برنامه ریزی ریاضی برای تحلیـل کـارآیی نسبی واحدهای تصمیم گیریجکسقخض۲ با استفاده از ورودی هـا و خروجی های چندگانه است. Aغخ نـه تنهـا امتیـاز کـارآیی را برای واحدهای ناکارا بدست می آورد بلکه تصویر کارا را نیز بـرای این واحدها تعیین مـی کنـد. در تعـدادی از مطالعـات در زمینـه

Aغخواحدهای تصمیم گیری به صورت فرایندهای دومرحلـه ای در نظر گرفته شدند. به عنوان مثال، سیفورد و زئو ب۱۳م بانکهـای تجاری امریکا را به صورت فرایند دومرحله ای سود دهی و بازاریابی در نظر گرفتند و کـارآیی را بررسـی کردنـد. در بررسـی آنها ورودی های اولین مرحله تعداد کارمندان،موجودی و سرمایه هستند. خروجی هـای ایـن مرحلـه سـود و درآمـد هسـتند کـه محصولات میانی نامیده مـی شـوند. خروجـی هـای مرحلـه دوم ارزش بازاری، درآمد هـر سـهم و مقـدار برگشـتی بـرای سـرمایه گذاران هستند. همچنـین کـائو و هوانـگ بنم ۲۴ شـرکت بیمـه تایوان را به صورت فرایند دومرحله ای کسب حق بیمـه و تولیـد سود در نظر گرفتند و تجزیه کارآیی را مورد بررسی قـرار دادنـد.

لیانــگ و همکــاران بذذم مــدل هــای Aغخی دومرحلــه ای را براساس تئوری بازی نسبت بـه سـاختار شـبکه ای دومرحلـه ای معرفی شده در بنم معرفی کردند. لی و همکاران بکم کارهای بنم و بذذم را بسط دادند با فرض اینکه مرحله دوم علاوه بر اینکـه از خروجی های مرحلـه اول بـه عنـوان ورودی اسـتفاده مـی کنـد

ورودی دریافتی دیگری از بیـرون دارد. ایـن چنـین سـاختاری را لیانگ و همکاران بتذم در بررسی کارآیی تعـدادی زنجیـره هـای تامین فرضی بکار بردند. چن و همکاران بزم و زائا و لیانـگ بخذم

مطالعات بنم و بذذم را بسط دادند بـا فـرض اینکـه ورودی هـای اولیه فرایند دومرحله ای در بین مراحل توزیع شده است.
در بررسی کارآیی واحدهای تصمیم گیـری دومرحلـه ای ممکـن است بعضی از واحدها ناکارا باشندح برای حل این مشـکل کـائو و هوانگ بنم بیان کردند که Aغخی سنتی نمی تواند تصـویر کـارا را برای این واحدها مشخص کند. به همین دلیل چن و همکـاران

بخم این مشکل را حل کردنـد و تصـویر کـارا را بـرای واحـدهای دومرحله ای بدست آوردند.
کوک و همکاران بخم و کوک و زائو ب،م بررسی کردند که بعضـی از ورودی ها وخروجی ها ممکن است نقش ورودی و خروجـی را همزمان ایفا کنند. یعنی بعضی از ورودی ها و خروجی ها ممکـن است نقش دوگانی داشته باشند. بـرای مثـال در اکثـر مـوارد در ساختارهای شبکه ای دومرحله ای بخشی از خروجی های مرحله دوم برگشت داده می شوند به مرحله اول و بـه عنـوان بخشـی از ورودی هـای ایـن مرحلـه در نظـر گرفتـه مـی شـوند. در اینجـا خروجی های مرحله دوم نقش دوگانی دارند.بنابراین مـا در اکثـر مواقع ممکن است شبکه دومرحله ای حلقه شده داشـته باشـیم.

یعنی شبکه ای که شامل دور باشد. البته در همه مطالعـاتی کـه برای Aغخی دومرحله ای تاکنون انجام گرفته محصولات میـانی بین مراحل نقش دوگانی داشتند.یک مثال برای فرایند دومرحلـه ای شامل دور می تواند بانک باشد به طوریکه کارمندان و سرمایه

کطکyئهغA صغکعژپئکهغغ هصهخ۱

کصطغس ؟غطفهق غپطکططکخ ل۱

ورودی های مرحله اول و سپرده هـا خروجـی هـای ایـن مرحلـه

هستند که,…به,۱عنوان ورودی۱ های مرحله دوم استفاده می شوند. و .
∑ ∑
خروجی های وام و سود را بـرای ایـن مرحلـه تولیـد مـی کننـد.

بخشی از سود تولید شده در مرحله دوم می توانـد برگشـت داده
شود به مرحله اول به صورت سرمایه اولیه و
در نتیجه قسـمتی از
∑ ∑
ورودی مرحله اول شود,,. ۱ , ۱,…, ∑
۱ , , , ۰
-۲ تعیین مرز کارا

فرایند دومرحله ای شامل دور نشان داده شـده در شـکل ۱ را در نظر بگیرید. ما فـرض مـی کنـیم کـه n واحـد تصـمیم گیـری (DMUj; j=1,…,n ) وجود داشته باشد که هر واحد تصمیم گیری m ورودی (xij ; i=1 , …,m) و D خروجــی (zdj ; d=1 ,…,D) در مرحله اول داشته باشد که این D خروجی بـرای مرحلـه دوم بـه عنوان ورودی ۰استفاده می شود. خروجی های مرحلـه دوم بـه. دو.

صورت yrj, (r=1,…,s)و fgj, (g=1,…, G) هستند کـه fgjبهمرحلـه اولبرگشت داده می شود و به عنوان بخشی از ورودی های مرحله
اول استفاده می شود.
۰

کائو و هوانگ بنم برای فرایند دومرحله ای بدون دور نشان دادند که به دلیل وجود zdj بـین دو مرحلـه، تغییـر دادن ورودی هـا و خروجی ها برای بدست۱ آوردن تصویر کارا برای واحـدهای ناکـارا کافی نیست. بنابراین برای حل این مشـکل چـن وهمکـاران بخم

مدل جذض کسری است بنابراین به وسـیله تبـدیل خطـی چـارنز و کوپر بذم معادل با مدل خطی زیر است:

شکل .۱ فرایند دومرحله ای شامل دور

روشی را پیشنهاد دادند. مـا در ایـن مقالـه فراینـد دومرحلـه ای شامل دور داریم بنابراین روشی را پیشنهاد می کنیم کـه نسـبت به ساختار نشان داده شـده در شـکل ۱ تصـویر کـارا را مشـخص کند. اگر مدل رابطه ای کائو و هوانگ بنم را برای فرایند دومرحله ای بدون دور در نظر بگیـریم، بـه روش مشـابه ایـن مـدل بـرای ساختار نشان داده شده در شکل ۱ برای DMUkبـه صـورت زیـر است:

۲ , , , ۰ , , ,

به طوریکه ، ، و hgبـه ترتیـب وزنهـای مجهـول متنـاظر بـا xij،zdj،yrjو fgj هســتند. توجــه کنیــد کــه مــا وزنهــایwdبــرای zdjووزنهایhgبرای fgjرا در هر دو مرحله مانند بلذم یکسان فـرض کردیم. این فرض به خاطر پیوند دو مرحله الزامی است. مدل (۲)

کارآیی کلی فرایند دومرحله ای شامل دور را تعیین می کنـد بـه طوریکـه Ek=1 نشـان مـی دهـد کـه DMUkکـارا اسـت و ۱شEk
ناکارآیی DMUkرانشان می دهد. با استفاده از جواب بهینه مـدل فوق (وزنهای بهینه , , , ) کارآیی مرحله اول و دوم بـه وسیله روابط زیر بدست می آید:

∑ ∑ ∑
۳ ∑ ∑ ∑

۲

۱,…

بنابراین بـین کـارآیی کـل و کـارآیی مراحـل رابطـه برقرار است.
ما دوگان مدل (۲) را بـر اسـاس فـرم پوششـی مـدل CCR بـه

۱, …
صورت زیر در نظر می گیریم: