تعريف تنش
در حالت كلي همانطور كه در اشكال ۱-۱- ب و ۱-۱-ب، نشان داده شد، نيروهاي داخلي كه در روي سطوح بينهايت كوچك يك مقطع عمل مي كنند، از لحاظ مقدار و جهت با يكديگر متفاوت مي باشند. اين موضوع دوباره در شكل ۳-۱، نمايش داده مي‌شود.

نيروهاي داخلي از لحاظ طبيعت، كميتهايي برداري هستند و نيروهاي مؤثر خارجي را در تعادل نگه مي دارند. در مكانيك جامدات تعيين شدت اين نيروها در نقاط مختلف يك مقطع بسيار مهم مي باشد. در حالت كلي شدت اين نيروها از نقطه اي به نقطة ديگر فرق مي كند و نسبت به سطح مقطع مايل هستند. رسم بر اين است كه اين شدتها به مؤلفه هاي قائم و موازي مقطع تحت مطالعه، تجزيه شوند. به عنوان مثال،؟ مؤلفه هاي بردار نيروي كه روي سطح عمل مي كند در

شكل ۳-۱-ب، نشان داده شده است. در اين مثال بخصوص، چون منطقي كه جسم را به دو قسمت تقسيم كرده، عمود بر محور x مي باشد، امتداد منطبق بر امتداد عمود بر مي باشد. نيروي وارد بر واحد سطح كه همان شدت نيروي گسترده بر روي سطح مي باشد، تنش ناميده مي شود. در شكل ۳-۱-ب، تنش متوسط نيروي برابر مي‌شود. حال اگر به جاي تنش متوسط، تنش در يك نقطه را خواسته باشيم بايد در رابطه تنش متوسط، را به سمت صفر ميل دهيم.»
بنابراين تعريف رياضي تنش به صورت زير در مي آيد:

شدت نيروي عمود بر مقطع، تنش قائم آن نقطه ناميده مي شود. اگر تنش قائم باعث ايجاد كنش در مقطع بشود، به آن تنش كششي مي گويند. در مقابل تنشهاي قائمي كه بر مقطع فشار وارد مي آورند، به تنشهاي فشاري موسومند. به جاي اينكه تنشهاي قائم را با حرف با دو زيرنويس نمايش مي دهيم. آنها را با حرف (زيگما) با يك زيرنويس نمايش مي دهيم. مؤلفه هاي ديگر شدت نيرو به موازات صفحة مقطع عمل مي كنند. اين مؤلفه ها تنشهاي برشي ناميده مي شوند. تنشهاي برشي هميشه با حرف نمايش داده مي شوند.

واحد رسمي تنش در سيستم بين المللي، نيوتن بر متر مربع است، كه پاسكال ناميده مي شود. اما اگر بخواهيم تنشهاي معمول را بر حسب اين واحد نمايش دهيم با اعداد بزرگي سروكار خواهيم داشت، به همين جهت، تنشها را بر حسب مگاپاسكال (Mpa) و يا بر حسب نيوتن بر ميلي متر مربع بيان مي كنيم. اين دو واحد با يكديگر مساوي مي باشند.

قرارداد علامت مثبت تنش ها :
I.صفحه اي مثبت است كه بردار نرمال آن مثبت است .
II.صفحه اي مثبت است كه بردار نرمال آن جلو باشد .
III.روي صفحة مثبت تنش ها وقتي مثبت هستند كه در راستاي مثبت محور موردنظر باشد .

تبديل رياضي تنش ها : «ارتباط بين دو دستگاه بالا»

تنش هاي اصلي :

امتداد صفحات تنشهاي اصلي

تنش هاي اصلي
: معادلة I
از معادلة I مشتق گرفته
بنابراين تنشهاي اصلي همان تنشهاي و min است .

تنش هاي برش max :
: معادلة II
از معادلة II نسبت به مشتق مي گيريم :

: امتدادهاي صفحات تنش هاي برشي max
با محاسبة و و جايگزيني در معادلة و ساده كردن و خلاصه كردن خواهيم داشت :

نكته : با محاسبة و از روي و جايگذاري در معادلات و خواهيم داشت :
تنش هاي قائم همراه با تنش هاي برشي max
مثال : جزء كوچكي مطابق شكل تحت تأثير تنش هاي قائم و برشي قرار گفته است . مطلوبست :
الف)محاسبة تنشهاي اصلي ، محورهاي اصلي و نمايشي تنشها روي المان «جزء سطح»؟
ب)تنشهاي برشي max ، امتدادهاي مربوطه و نمايش تنشها روي المان «جزء سطح»؟
ج)تنشهاي قائم و برشي روي صفحه اي كه محور قائم بر آن با افق زاوية ۲۵ درجه مي‌سازد ؟

(الف

= امتداد تنش

تنش هاي قائم و همراه تنش هاي برشي

تانسور تنش
اگر علاوه بر مقطعي كه بر جسم آزاد شكل ۳-۱، اعمال شده، مقطعي ديگر به فاصلة بينهايت كوچك از مقطع اول و به موازات آن از ميان جسم عبور داده شود، يك قاش اوليه از جسم جدا مي شود. حال اگر دو جفت مقطع موازي ديگر، عمود بر دو مقطع اوليه عبور داده ميشد، مكعبي با ابعاد بينهايت كوچك از جسم جدا خواهد شد. چنين مكعبي در شكل ۳-۲، نشان داده شده است. تمام شيبهايي كه بر روي اين مكعب عمل مي كنند، در اين شكل نمايان است.
همانطور كه در قبل اشاره شد اولين زيرنويس ، تنش را با صفحه اي كه روي آن عمل مي كند، مربوط مي سازد و زيرنويس دوم نشان دهندة جهت تنش است. در وجه نزديك مكعب، يا به عبارت ديگر در وجهي كه از مركز مختصات دور است، جهت تنشها وقتي مثبت است كه منطبق بر جهت مثبت محورها باشند. در وجهي از مكعب كه نسبت به مركز مختصات نزديكتر است، با استفاده از مفهوم تعادل عمل و عكس‌العمل، تنشهاي مثبت در جهتي مخالف با جهت مثبت محورهاي مختصات عمل مي كنند. (توجه كنيد كه براي تنشهاي قائم با تعويض علامت تنش از به يك زيرنويس براي تعريف اين كميت بدون هيچ ابهامي كافي خواهد بود.)
علايم تنش به كار رفته در شكل ۳-۲ به طور گسترده اي در مسائل رياضي تئوري ارتجاعي و تئوري خميري به كار مي روند. قرارداد تنش به كار رفته در اين شكل يا قرارداد شكل ۲-۲مطابقت دارد.
بررسي ملايم تنش به كار رفته در شكل ۳-۲ نشان مي دهد كه سه مؤلفه تنش قائم و شش مؤلفة تنش برشي كه در جمع ۹ مؤلفه مي شوند، وجود دارد. در مقابل همانطور كه مي دانيم يك بردار نيرو مانند P فقط سه مؤلفه دارد. اين سه مؤلفه مي توانند به صورت بردار ستوني زير نوشته شد:

به طور مشابه مؤلفه هاي تنش را مي توانيم به صورت زير مرتب كنيم:

رابطه ۱ نمايش ماتريسي تانسور تنش مي باشد. تانسور تنس، يك تانسور از مرتبه ۲ مي باشد كه براي تعريف هز مؤلفة آن احتياج به دوزير نويس داريم. تانسوري از مرتبة اول و اسكالر، تانسوري از مرتبه صفر مي باشد. بعضي مواقع براي اختصار تانسور تنش به صورت علامت نوشته مي شود كه با توجه به معادله ۱، I و j مي توانند هريك از علائم x و y و z را اختيار نمايند.
اكنون نشان مي دهيم كه تانسور تنش مقارن است، به عبارت ديگر اين مسئله مستقيماً از شرايط تعادل يك جزء كوچك نتيجه مي شود. براي اين منظور ابتدا ابعاد جز بينهايت كوچك را با نمايش مي دهيم و مجموع لنگر نيروهاي حاصل از مؤلفه هاي تنش را حول يكي از محورها، مثلاً z مي نمويسيم، شكل ۳-۲٫ اگر از بينهايت كوچكهاي درجه دوم صرف نظر كنيم، اين عمل معادل آن است كه لنگرگيري را حول محور z در شكل ۳-۳-الف و يا در نمايش دو بعدي آن، شكل ۳-۳-ب، انجام دهيم.

كه بترتيب از سمت چپ، پرانتز اولي نشان دهندة تنش، دومي نشان دهندة سطح و سومي نشان دهندة بازو مي باشد. با ساده كردن معادله فوق نتيجه مي شود:

به طور مشابه مي توان نشان داد كه، و بنابراين، زيرنويس تنهشاي برشي جابجايي پذير است و يا به عبارت ديگر جاي آنها را مي توان عوض و يا در حالت كلي، تانسور تنش متقارن مي باشد.