جين باتپيست جوزف فوريه

متولد : ۲۱ مارس ۱۷۶۸ در اكسر ،‌پورگن فرانسه
وفات : ۱۶ مي ۱۸۳۰ در پاريس فرانسه
پدر جوزف فوريه، در اكسر خياط بود. پس از درگذشت زن اول ، او سه فرزند داشت. او دوباره ازدواج كرد. جوزف نهمين فرزند از دوازده فرزندش در ازدواج دوم بود. وقتي جوزف سه سال داشت،‌مادرش در گذشت و پدر خود را نيز سال بعد از دست داد.

اولين مدسه او در مدرسه پالايز بود – در این هنگام او با رهبر موزیک کلیسای جامع همراه شده بود. در آنجا جوزف لاتين و فرانسه را ياد گرفت و با خود عهد بزرگي بست. در سال ۱۷۸۰ به «اِكُلْ رويال ميلياتر اكسر» رهسپار شد. مكاني كه براي اولين بار استعدادش را در آثار ادبي نشان داد. اما خيلي زود در سن سيزده سالگي، رياضي علاقه واقعي او شد. در سن چهارده‌سالگي او تحصيلات خود را تا كلاس ششم در رشته رياضيات كامل كرد.در سال ۱۷۸۳ او جايزه اول مدرسه «باسوت» در رشته خودش، یعنی مكانيك عمومي دريافت كرد. در سال ۱۷۸۷ جوزف تصميم گرفت تا به دنبال روحانيت برود و به همين منظور به عنوان راهب وارد صومعه نبت كتين شد.

علاقه او به رياضيات ادامه داشت به هر حال او با ال- سي پونارد استاد رياضي در اكسر مكاتبه مي كرد. اما فوريه مطمئن نبود كه تصميم درستي در مورد روحانيت گرفته است يا خير.
او يك نامه در حيره به مونتا كلا پاريس تسليم كرد. او در نامه خود به بونارد پيشنهاد كرد كه قصد دارد برخورد جدي با رياضي بكند. او در این نامه نوشت :

ديروز تولد ۲۱ سالگي من بود و در آن سن نيوتن و پاسكال دستاوردهاي فناناپذيري را بدست آوردند. فوريه ، صومعه را درسال ۱۷۸۹ ترك كرد از پاريس ديدن كرد و نامه‌اي از آكادمي عالي علمي در معادلات جبري مي خواند. در سال ۱۷۹۰ او معلم « بنديكتاين كالج» در اكل رويال ميلياتر اكسر همان جايي كه درس خوانده بود شد و تا آن زمان يك كشمكش دروني در فوريه در اين مورد وجود داشت كه آيا او بايد يك فرد مذهبي باشد يا يك محقق رياضي به هر جهت در سال ۱۷۹۳ سومين عنصر(عامل) به كشمكش‌هاي او اضافه شد . زماني كه او وارد سياست شد و به كميته انقلابي علمي پيوست.

او نوشت :
بر طبق قانون پيشرفته تساوي در طبيعت ممكن است كه تصوير كنيم اين عمل مافوق انساني باشد كه يك دولت معاف از كشيش و شاه باشد و خاك اروپا از بند يوغي دوبله كه زماني بسيار طولانی است و آن را در بر گرفته است، آزاد شود . من زمانيكه مي خوانم ،‌ شيفته اين عمل هستم. در نظر من بزرگترين و زيباترين ملت ها چنين ملتي است حتي اگر زير بار فشارها باشد.
فوریه از تروری که نتیجه انقلاب فرانسه شد، ناراحت شد و تلاش كرد تا از كميته استعفا دهد به هر جهت اين امر غير ممكن بود و فوريه الان كاملاً با انقلاب گرفتار شده است و نمي تواند از ان رهايي يابد.

انقلاب يك كار كاملاً پيچيده‌اي از خيلي جها ت است با اهدافي كاملاً مشابه و عملكردي شديد متقابل با هم . فوريه از اعضا حمايت كرد به نظر مي رسد فوريه از سكوي ويژه‌اي از درون مردم برخواسته است و به خوبي مي تواند صحبت كند و اگر او بماند خواهد ديد كه جامعه اكسر بدون هيچ نگراني خواهد بود. اين رويداد نتايج جدي داشت اما بعد از آن فوريه به اكسر برگشت و به كار در كميته انقلابي و تدريس در دانشگاه ادامه داد . در جولاي ۱۷۹۴ او دستگير شد و به خاطر واقعه اولئان به زندان افتاد . اما پس از چندي – تغيير سياست منجر به آزادي او شد.

در سال ۱۷۹۴ جوزف براي مطالعه در ايكول نرمالي در پاريس كانديد شد. اين مؤسسه براي تربيت معلمان وضع شد و قصد داشت يك روش ديگري براي تربيت معلمان در مدرسه بكار برد . اين مدرسه در جولاي ۱۷۹۵ باز شد و فوريه مطمئناً شاگرد توانايي بود. او از لاگرانژ چیزهای زیادی آموخته بود، لاگرانژ در آن زمان فوریه را اینطور توصیف می کرد :‌ اولين دانشمند مرد اروپا و همچنين لاپلاس كسي كه براي فوريه بهاي زيادي گذاشت و همين طور منگ كه فوريه در باره او مي گويد : دانشمندي متكبر با صداي بلند و فعال است.
فوريه در كالج فرانسه شروع به درس دادن كرد و رابطه‌اش با لاپلاس و منگ در تحقيقات رياضي‌ شروع شد.

منگ اسم مدرسه را به ايكل پلي تكنيك تغيير داد . در اول سپتامبر ۱۷۹۵ فوريه در ايكل پلي تكنيك در حال درس دادن بود. در سال ۱۷۹۷ موفق شد لاگرانژ را به استادي آناليز و مكانيك منصوب كند او به يك استاد برجسته و مشهور تبديل شده بود.

در سال ۱۷۹۸ فوريه به ارتش ناپلئون در هجوم به مصر مثل يك دانشمند آگاهي دهنده پيوست منگ و ملوس نيز قسمتي از اين نيروي هيدئت اعزامي بودند. اين هيئت اعزامي يك موفقيت بزرگ بود. فوريه يك انجمن پلي تكنيك در فرانسه به كار انداخت و او اميدوار بود كه يك آموزش و پروش رواني در مصر تأسيس كند و يك اكتشاف باستان شناسي انجام دهد.
فوريه يك انجمن مخفي انتخاب كرد این انجمن برای او یک موقعیت بود و تا وقتی مصر در تصرف تمام فرانسه است، با این انجمن است .
ناپلئون ارتش را ترك كرد و به پاريس برگشت .

در سال ۱۸۰۱ فوريه با نيروي اعزامي مانده در مصر به فرانسه برگشت.
در اين زمان فوريه پستش را به عنوان پروفسور آناليز در ايكل پلي تكنيك از سر گرفت .

اما ناراحت بود از اينكه فرهنگستان جهان و پاريس را ترك كند در حالی که نمي توانست در خواست ناپلئون را رد كند و به جرمونل رفت ،جايي كه كارش از فرمانده هم بيشتر بود.
دو موفقيت بزرگ او یکی در وضعيت اداري – سرپرستي كردن اداره آبگذر در باتلاق بركوئين بود و ديگري رسيدگي به کار ساختماني در بزرگراه جديدی بود از جرنونل تا تدوين.
او وقت زيادي صرف كشور مصر كرد.

طي اين مدت فوريه روي رياضيات مهمش كار مي كرد. قضيه گرما كه كار روي اين موضوع را اطراف سال‌هاي ۱۸۰۴ تا ۱۸۰۷ شروع كرد.او قضيه مهمش را روي تكثير گرما در اجسام جامد كامل كرد.

اما کمیته از این بایت احساس، ناراحتی می کردند و دو اعتراض به کار او داشتند :
اعتراض اول :
– بسط تابع فوريه از سري مثلثات توسط لاگرانژ و لاپلاس كه امروزه سری فوریه، نامیده می شود البته فوريه به روشني و به وضوح آنها را متقاعد كرد كه شكست خورده‌اند.
همه نوشته ها به روشني با مثال وجود داشتند.

دومين موضوع « استفاده كردن معادله انتقال دادن گرما :
فوريه به كاغذ بيوت ۱۸۰۴ به عنوان مرجع درست دست رسي نداشت اما كاغذ بيوست حتماً غلط است لاپلاس و پواسون شبيه اين موضوع را داشتند.
انجمن در سال ۱۸۱۱ جايزه مسابقه‌اي را كه موضوع آن تكثير گرما در اجسام جامد بود را براي فوريه فرستاد به عنوان جايزه رياضيات
فوريه در سال ۱۸۰۷ نظريه‌اش را به همه ارائه داد البته او روي خنك كردن جسم جامد محدود از جنس خاك و گرماي شعاعي نیز بسیار کار کرد.

فصل اول
مقدمات
۱-۱ تعريف :
توابع قطعه‌اي پيوسته
فرض كنيم تابع در همه نقاط بازه باز و محدود جز احتمالاً مجموعه‌اي متناهي از نقاط پيوسته باشد كه در آن :
اگر قرار دهيم و آنگاه تابع در هر يك از زيربازه‌هاي باز

پيوسته است . در نقاط انتهايي لزوماً پيوسته نيست يا حتي تعريف نشده است. اما اگردر هريك از زير بازه‌ها وقتي x از داخل به نقاط انتهايي ميل كند. داراي حد متناهي باشد ،‌گوئيم در بازه به صورت قطعه‌اي پيوسته است. دقيق تر اين است حدود یکطرفه :

وجود داشته باشند.
اگر در نقاط انتهايي يك جزء بازه ، حد f را وقتي از داخل آن جزء به انتهاي آن ميل مي كند نسبت دهيم ،‌آنگاه f در زير بازه بسته پيوسته است. چون هر تابع كه در بازه بسته و محدودي پيوسته باشد محدود است. پس مي توان گفت f در تمام بازه محدود است يعني عدد مثبتي مانند M هست كه براي همه نقاط ) ( كه در آن f تعريف شده است. داريم
مثال : تابع در بازه پيوسته است . اما قطعه‌ پيوسته نيست زيرا موجود نيست.

اگر تابعي در بازه بسته پيوسته باشد. آنگاه در بازه باز قطعه‌اي پيوسته است
اما مثال فوق نيز نشان داده است كه پيوستگي در بازه باز مستلزم پيوستگي قطعه به
قطعه در آن نيست.
اگر تابع f در بازه قطعه به قطعه پيوسته باشد، هميشه انتگرال از تا وجود دارد. انتگرال آن برابر است با مجموع انتگرال‌هاي بر جزء بازه‌هاي بازي كه f در آن ها پيوسته است.

اولين انتگرال در سمت راست موجود است چون انتگرال تابعي پيوسته در تعريف شده است كه اگر مقدار انتگرال است و در نقاط و مقادير آن به ترتيب و است . باقي انتگرال‌ها در سمت راست نيز به همين نحو تعريف شده و موجود هستند.
مثال : فرض كنيد و نمودار آن به شكل زير مي باشد.

در اين صورت خواهيم داشت :

همان طور كه مشاهده مي شود مقادير f در نقاط انتهايي تأثيري در مقدار انتگرال بر هر يك از جزء بازه‌ها ندارند . د واقع تابع در تعريف نشده است.
اگر دو تابع و هر يك در بازه قطعه‌اي پيوسته باشند ، آنگاه قسمتي از بازه موجود هست بطوريكه كه در هر زير بازه بسته، چنانچه مقدار هريك از توابع را در هر نقطه انتهايي زير بازه، ‌مقدار حدي آن تابع از داخل زيربازه تعريف كنيم ، هر دو تابع در ان زير بازه

بسته، پيوسته خواهند بود. پس هر تركيب خطي مانند یا حاصلضرب در هر زير بازه داراي آن پيوستگي است. و دربازه قطعه به قطعه پيوسته است. پس انتگرال هاي تابع هاي و و همگي در ان بازه موجودند.
چون هر تركيب خطي از توابع قطعه به قطعه پيوسته ، داراي آن خاصيت است مي توان دسته همه توابع قطعه‌اي پيوسته كه در بازه‌اي مانند تعريف شده‌اند. يك فضاي تابعي بناميم و با نمايش مي دهيم.
فضاهاي تابعي ديگري در نظريه سري‌هاي فوريه مطرح مي شوند. در بررسي سري فوريه از مقدماتي ترين مفاهيم آناليز رياضي استفاده مي كنيم جز وقتي كه خلاف آن گفته شود. وقتي مي گويند تابع در بازه‌اي قطعه به قطعه پيوسته است، بايد دانست كه بازه محدود است و مفهوم قطعه به قطعه پيوسته بودن بدون توجه به اينكه بازه باز يا بسته است به كار مي‌رود.
۲-۱ حاصلضرب هاي داخلي ومجموعه هاي متعامد :
فرض كنيم f و g نمايش دو تابع باشند كه روي بازه بسته و محدود پيوسته است. اين بازه را به N زير بازه با طولهاي مساوي تقسيم كرده و فرض مي‌كنيم. نقطه دلخواهي در زير بازه k ام باشد.
در اين صورت مي توان گفت وقتي N بزرگ است.

تفاوت در اين جا نمايش تساوي تقريبي است يعني

(۱)
كه در ان :
,
پس سمت چپ عبارت (۱) تقريباً مساوي است با حاصلضرب داخلي دو بردار در فضاي N بعدي، وقتي N بزرگ مي باشد، در واقع وقتي N به سمت ميل مي كند آن تقريب در حد، دقيق مي شود پس با توجه يه اين مطالب يك حاصلضرب داخلي از توابع f و g را به صورت ذيل تعريف مي كنيم :
(۲)
اگر توابع f و g بر بازه قطعه‌اي پيوسته باشند ، اين حاصلضرب داخلي خوش تعريف است بازه را كه توابع و حاصلضرب هاي داخلي آنها روي آن تعريف شده‌اند، بازه اصلي مي نامند.
بنابراين با استفاده از رابطه (۲) يك حاصلضرب داخلي از هر دو تابع f و g در فضاي تابعي مي توان تعريف كرد. فضاي تابعي با ضرب داخلي (۲) مشابه فضاي سه بعدي معمولي است.
براي هر تابع f و g و h در روابط زير كه نظير خواص معمولي بردارها در فضاي سه بعدي است برقرارند.
(۳)
(۴)
(۵)
كه در ان عدد C ثابتي دلخواه مي باشد و
اين شباهت را با تعريف نرم تابع f در ادامه مي دهيم :
(۶)
فرم تفاضل f و g
(7)
در واقع مي‌توان گفت نرم تفاضل f و g اندازه‌اي براي فاصله بين نمودارهاي
مقدار ميانگين به عبارت دقيق‌تر
مربع‌هاي فواصل قائم بين نقاط روي نمودارها بر بازه است.
مقدار را انحراف ميانگين مجذورات توابع f و g از يكديگر مي نامند.

دو تابع f و g در متعامدند هر گاه :

(۸)
همچنين اگر تابع را تراز شده مي نامند . تعامد دو تابع f و g چيزي در مورد عمود بودن ارائه نمي دهد.اما در عوض مشخص مي شود كه حاصلضرب f.g دربازه اصلي،‌مقادير منفي و مثبت را طوري مي گيرد كه رابطه (۸) برقرار باشد.
مجموعه اي از توابع دربازه متعامد است .هر گاه به ازاي هر m و n متمايز داشته باشيم : با فرض اينكه هيچ يك از توابع داراي نرم صفر نباشند، مي توان، هر يك از آنها را با تقسيم آن بر تراز كرد.
مجموعه جديد كه بدين طريق ساخته مي شود، كه در آن :
(۹)
بربازه اصلي متعامديكه است يعني :
(۱۰)
كه در آن دلتاي كرونكر است.
با كامل نوشتن رابطه (۱۰) يك مجموعه متعامديكه تبديل مي‌شود به

مثال : طبق اتحاد مثلثاتي
مي دانيم :

كه در آن m و n اعداد صحيح مثبت هستند پس مي توان گفت :

۳-۱ تابع دوره‌اي :
تابع را دوره‌اي مي نامند هرگاه اين تابع به ازاي هر عدد حقيقي تعريف شده باشد و عدد مثبتي مانند T موجود باشد بطوريكه :
(۱)
عدد T را دوره مي نامند نمودار چنين تابعي از تكرار دوره‌اي نمودار آن درهر فاصله‌اي كه طول آن T باشد بدست مي آيد.
ازرابطه بالا نتيجه مي شود كه اگرn عدد صحيح دلخواهي باشد
از اين رو ۲T و ۳T و ۴T و … نيز دوره هستند .

به علاوه چنانچه و داراي دوره باشد آنگاه دوره تابع ، T است. همچنين دوره‌اي نيز است زيرا اين تابع به ازاي هر T مثبت در رابطه (۱) صدق مي كند.

۴-۱ توابع زوج و فرد :
در تعيين ضرايب فوريه يك تابع هرگاه فرد يا زوج باشد مي توان از محاسبات غير ضروري اجتناب كرد
تابع را زوج مي نامند هرگاه :
تابع را فرد مي نامند هرگاه :
اگر تابعي زوج باشد آنگاه :
زوج
اگر تابعي فرد باشد آنگاه :

۵-۱ عملگرهاي خطي :
در دو تابع متعلق به يك فضاي تابعي ، دامنه تعريف آنها يكسان است و هر تركيب خطي از آنها نيز متعلق به اين فضاست. يك عملگر خطي روي يك فضاي تابعي ،‌يك عملگر مانند L است كه هر تابع u از آن فضا را به يك تابع Lu تبديل مي كند و لزومي ندارد كه Lu متعلق به آن فضا باشد و داراي اين خاصيت است كه براي هر دو تابع و هر دو ثابت داريم :
(۱)
بخصوص :
, (۲)

تابع Lu ممكن است يك تابع ثابت باشد توجه داريم كه :

و به استقرار بدست مي‌آوريم كه L ترتيب خطي از N تابع را به طريق زير تبديل مي كند :
(۳)
مثال : فرض كنيد توابعي از متغيرهاي مستقل باشند بر طبق خواص مقدماتي مشتق ، مشتق هر تركيب خطي از دو تابع مي تواند به صورت همان تركيب خطي از تك تك مشتقها نوشته شود. بنابراين :
(۴)
مشروط بر اينكه موجود هستند . با توجه (۴) دسته همه توابع از كه مشتقات جزئي مرتبه اول آنها نسبت به در صفحه موجودند يك فضاي تابعي است. عملگر روي آن فضا يك عملگر خطي است.
آن عملگر به طور طبيعي به عنوان يك عملگر ديفرانسيل خطي دسته بندي مي شود.

مثال ۲ :
يك خط از توابع را در نظر بگيريد كه روي صفحه تعريف شده‌اند. اگر يك تابع مشخصي باشد كه روي صفحه تعريف شده است. آنگاه عملگر L كه هر تابع را در ضرب مي كند. يعني يك عملگر خطي است.
اگر عملگرهاي خطي متمايز يا غير متمايز ، L و M طوري باشند كه M هر تابع u از يك فضاي تابعي رابه يك تابع Mu متعلق به حوزه عمل L تبديل كند. دو تابع دلخواه در آن فضاي تابعي باشند، آنگاه از معادله (۱) نتيجه مي گيريم :
(۵)
يعني اينكه حاصلضرب LM از عملگرهاي خطي نيز يك عملگر خطي است . مجموع دو عملگرخطي را توسط معادله زير تعريف مي كنيم :
(۶)
اگر u را در اينجا با جايگزين كنيم مي توانيم ، ببنيم كه مجموع L+M يك عملگر خطي است و بنابراين مجموع هر تعداد متناهي از عملگر خطي، خطي است.
مثال ۳ :
فضاي توابع را در نظر بگيريد كه مشتقات در مرتبه اول و دوم آنها نسبت به در يك دامنه مفروض ، در صفحه موجودند و فرض كنيد L نمايش عملگر روي اين فضا باشد. حاصلضرب عملگرهاي خطي در مثالهاي (۱) و(۲) روي همين فضا خطي است و بنابراين مجموع : خطي است.
۶-۱ اصل برهمنهي :
هر جمله از يك معادله ديفرانسيل همگن خطي تابع u از حاصلضرب يك تابع از متغيرهاي مستقل با يكي ازمشتقات u يا خود u تشكيل مي‌شود. بنابراين يك معادله ديفرانسيل همگن خطي به صورت زير است :
(۱)
كه در آن L يك عملگر ديفرانسيل خطي است براي مثال اگر :
(۲)
كه در آن A تا F نمايش توابعي فقط از هستند.
معادله (۱) يك معادله ديفرانسيل همگن خطي با مشتقات جزئي براي تابع است.
(۳)
شرايط مرزي همگن خطي نيز به صورت (۱) هستند. در اين صورت متغييرهايي كه به عنوان شناسه‌هاي تابع u و شناسه‌هاي ضرائب تابعي عملگر خطي L ظاهر مي شوند، به گونه‌اي محدود مي شوند كه نمايش نقاط روي يك مرز يك دامنه باشند.
اكنون فرض مي‌كنيم نمايش توابعي باشد كه در معادله (۱) صدق مي كنند، يعني اينكه براي هر n ،‌ از خاصيت ((۳ درباره عملگرهاي خطي نتيجه مي شود كه هر تركيب خطي از آن توابع نيز در معادله (۱) صدق مي كند. اصل برهمنهي جوابها را ، كه اساس روش فوريه براي حل مسائل مقدار مرزي خطي است به صورت ذيل بيان مي كنيم :

۷-۱ قضيه
اگر هركدام از N تابع در يك معادله ديفرانسيل همگن خطي صدق مي‌كند، آنگاه هر تركيب خطي :
(۴)
كه در آن Cها ثابتهاي دلخواه هستند در آن معادله ديفرانسيل صدق مي‌كند. اگر هر كدام از آن N تابع در يك شرط مرزي همگن خطي صدق كند، آنگاه هر تركيب خطي (۴) در آن شرط مرزي صدق مي كند.
اصل برهمنهي در معادلات ديفرانسيل معمولي مفيد است. براي مثال از دو جواب از معادله همگن خطي مي توان جواب كلي را نوشت.
مثال :
معادله گرماي همگن خطي زير :
(۵)
و شرايط مرزي همگن خطي زير را درنظر بگيريد :
(۶)
به آساني مي توان نشان داد كه اگر :

و

و

آنگاه بنابراين از قضيه (۱) نتيجه مي‌شود برا ي هر تركيب خطي

يعني اينكه تابع :
(۷)
در معادله گرماي (۵) صدق مي كند هرگاه
اگرچه نوشتن با منظور كردن به جاي در عبارت (۷). خيلي طبيعي به نظر مي رسد، انتخاب از نظر نمادي مناسب است.
همچنين براي شرايط مرزي (۶) ،مي نويسيم و مشاهده مي كنيم مقدار صفر است هرگاه . بنابراين مجدداً بنا به قضيه (۱) مقدار Lu صفر است هرگاه اين نشان مي دهد كه تركيب خطي (۷) نيز در شرايط مرزي (۶) صدق مي كند.
قضيه۷-۱ در مورد مجموعه نامتناهي از توابع به كار مي رود . همگرايي و مشتق پذيري سري نامتناهي متشكل از اين توابع را بررسي مي‌كنيم :
فرض كنيد كه تابع و ثابتهاي طوري باشد كه سري نامتناهي متشكل از جملات در سرتاسر دامنه‌اي از متغيرهاي مستقل همگرا باشد . مجموع آن سري يك تابع به صورت زير است :
(۸)
فرض كنيد x يكي از متغيرهاي مستقل باشد آن سري نسبت به ديفرانسل پذير، ‌ياجمله به جمله ديفرانسيل پذير است.
اگر مشتقات موجود باشند و سري توابع به همگرا باشد :
(۹)
توجه داريم كه اگر قرار است يك سري ديفرانسيل پذير باشد بايد همگرا باشد ، بعلاوه سري سري (۹) نسبت به ديفرانسيل پذير باشد آنگاه سري (۸) نسبت به دوباره ديفرانسيل پذير است.
فرض كنيد L يك عملگر خطي است كه درآن Lu حاصلضرب تابعي از متغير هاي مستقل در u يا در يك مشتق u است، يا Lu مجموعي از يك تعداد متناهي از اينگونه جملات است. اكنون نشان مي دهيم كه اگر سري (۸) براي همه مشتقات موجود در L ديفرانسيل پذير باشد و اگر هر كدام از توابع در سري ((۸ در معادله ديفرانسيل همگن خطي صدق مي كند، آنگاه، u نيز در اين معادله صدق مي كند يعني اينكه براي انجام كار ابتدا توجه داريم كه بر طبق تعريف مجموع يك سري نامتناهي :

هرگاه سري (۸) نسبت به ديفرانسيل پذير باشد .آنگاه :
(۱۰)
در اينجا عملگر مي تواند با مشتقات ديگر جايگزين شود.