مقدمه
معرفي معادلات ديفرانسيل
معادله در رياضيات وقتي با اسم خاص و صورت خاص مي آيد خود به تنهايي مسأله اي را نمايش مي دهد كه در آن مي خواهيم مجهولي را بدست آوريم.

كاربرد معادله ديفرانسيل از نظر تاريخي با معرفي مفهوم هاي مشتق و انتگرال آغاز گرديد. ساده ترين نوع معادله ديفرانسيل آن دسته از معادلاتي هستند كه مشتق تابع جواب را داشته باشيم. كه چنين محاسبه اي به پاد مشق گيري و انتگرال گيري نامعين موسوم است.
معادلات ديفرانسيل وابستگي بين توابع و مشتق هاي توابع را نشان مي دهد. كه از لحاظ تاريخي به طور طبيعي از زمان كشف مشتق به وسيله نيوتن ولايب نيتس آغاز مي شود. (قرن هفدهم ميلادي). كه با رشد سريع علم و صنعت در قرن بيستم روشهاي عددي حل معادلات ديفرانسيل مورد توجه قرار گرفتند كه توسعه و پيشرفت كامپيوتر ها در پايان قرن بيستم موجب كاربرد روش هاي تقريبي تعيين جواب معادلات ديفرانسيل در بسياري از زمينه هاي كاربردي گرديد كه باعث بوجود آمدن مباحث جديد در اين زمينه شد.
نمادها و مفاهيم اساسي
اگر تابعي از متغير حقيقي باشد و ضابطه آن و متغير تابع يا مقدار تابع باشد، آنگاه مشتق با يكي از نمادهاي نمايش داده مي شود. همچنين مشتق دوم، سو

م،… و ام آن نيز به ترتيب با نمادهاي

نمايش داده مي شوند. اگر تابعي از دو متغير حقيقي باشد آنگاه مشتق هاي جزئي با نمادهاي نمايش داده مي شوند. همچنين اگر آنگاه مشتق هاي جزئي با نمادهاي و يا
نمايش داده مي شوند.
همچنين داريم:

كه اين توابع مشتقات جزئي مرتبه دوم و مراتب بالاتر است.
همچنين براي توابع متغير حقيقي داريم:

كه فرض مي كنيم همه مشتقات جزئي تا مرتبه مورد نظر پيوسته باشند.
حال براي تابع از متغير حقيقي با مقدار حقيقي را ديفرانسيل تابع گويند. اگر تابع از متغير حقيقي باشد.

را ديفرانسيل كامل تابع گويند. كه در حالت خاص اگر از دو متغير حقيقي با مقدار حقيقي باشد داريم:

معادلات ديفرانسيل معمولي و با مشتقات جزئي
يك معادله ديفرانسيل هر كدام از توابع ضمني از متغير يا متغيرهاي مستقل، متغير يا متغيرهاي تابع و مشتق هاي متغير يا متغير هاي تابع نسبت به متغير يا متغيرهاي مستقل مي تواند باشد كه حتماً بايد لا اقل يك مشتق ساده يا جزئي در آن حضور داشته باشد.
معادله ديفرانسيل يك نوع از معادلات ديفرانسيل است كه فقط يك متغير مستقل در آن وجود دارد. و متغير تابع و
مشتقات مرتبه اول تا ام نسبت به است. متغير مي توانند در معادلات ديفرانسيل نباشند ولي حضور لااقل يك مشتق الزامي است. معادله ديفرانسيل
يك نوع معادله است كه شامل متغير مستقل است و فقط يك متغير تابع دارد كه در آن تابعي از ها است.
براي دسته بندي معادلات ديفرانسيل مي گوييم هرگاه همه مشتق هاي ظاهر شده در معادله مشتق ساده باشند آنگاه معادله را معادله ديفرانسيل معمولي (يا ساده يا عادي) مي ناميم. اما اگر در عبارت معادله لااقل يك مشتق جزئي ظاهر شود آن را يك معادله ديفرانسيل با مشتقات جزئي يا معادله ديفرانسيل نسبي مي ناميم.

معادلات ديفرانسيل زير از جمله معادلات ديفرانسيل مهم هستند:
(معادله خطي غير همگن)؛
(معادله بزنولي)
(معادله ريكاتي)
(معادله لا پلاس)
(معادله كلرو) غير خطي؛

(معادله لاگرانژ) غير خطي؛
(معادله يك بعدي حرارتي) ثابت؛
(معادله اولر) ثابت؛
(معادله لژ اندر) ثابت؛
(معادله بسل) ثابت نا منفي؛
(معادله پواسن)
(معادله يك بعدي موج) ثابت؛
(معادله ترافيك)
(معادله لاگرانژ)
(معادله پفافي)
(معادله ارتعاش تير) ثابت
از معادلات ديفرانسيل فوق معادلات (۳)(۴)(۵)(۷)(۸)(۱۰)(۱۱)(۱۲) معادلات ديفرانسيل معمولي و بقيه معادلات ديفرانسيل نسبي مي باشند.
اگر بخواهيم يك معادله را به صورت ديفرانسيلي بنويسيم مي توانيم به جاي عبارت را جايگزين كنيم. مثلاً براي معادله به صورت
است.
يك روش ديگر براي دسته بندي معادلات ديفرانسيل استفاده از مرتبة آنها است كه مرتبة يك معادله ديفرانسيل عبارت است از بزرگترين مرتبه مشتق يا مشتقات ظاهر شده در عبارت معادله ديفرانسيل. با توجه به معادلات فوق مي بينيم كه معادلات (۳) و(۴)و(۵)و(۷)و(۸)و(۱۵)و(۱۶)و(۱۷) معادلات مرتبه اول و معادلات (۶)و(۹)و(۱۰)و(۱۱) و(۱۲)و(۱۳)و(۱۴) معادلات مرتبه دوم و معادله ديفرانسيل (۱۸) يك معادله مرتبه چهارم است.
وقتي معادلات ديفرانسيل هر كدام داراي بيش از يك متغير تابع باشند در اين صورت معادلات به تنهايي ظاهر نمي شوند و مجموعه اي از آنها مورد استفاده قرار مي گيرد كه اغلب تعدادشان با تعداد متغيرهاي تابع برابر است. اين گونه معادلات را دستگاه معادلات ديفرانسيل مي ناميم.
يك روش ديگر براي دسته بندي معادلات ديفرانسيل استفاده از مفهوم خطي بودن يا غير خطي بودن معادلات ديفرانسيل است.
يك معادله ديفرانسيل معمولي يا با مشتقات جزئي داده شده را يك معادله ديفرانسيل خطي در مجموعه متغيرهاي تابعي اش گوئيم هر گاه:
۱) متغير يا متغيرهاي تابع از توان يك باشند.
۲) متغير تابع يا متغيرهاي تابع و مشتقات، ضريب متغيرهاي تابعي و مشتقات آنها نباشند.
۳) خود متغير تابعي غير خطي نباشد.
در غير اين صورت اگر هر كدام از شرطهاي بالا نقص شود معادله ديفرانسيل غير خطي است از معادلات مهم كه ارائه كرديم معادلات (۳)و(۶)و(۹)و(۱۰

) و(۱۱) و(۱۲) و(۱۳) و (۱۴) و (۱۸) خطي هستند و معادله (۴) (به دليل حضور ) و (۵) (به دليل حضور )، (۷) (به دليل غير خطي بودن ) و (۸) (براي لا اقل غير خطي بودن )
غير خطي هستند. معادلات (۱۶) و (۱۷) مي توانند خطي يا غير خطي باشند.
همچنين مي توان خطي بودن را نسبت به يك عامل از معادله ديفرانسيل، مانند متغير تابع يا متغيرهاي تابع، يا مشتق از مرتبه مشخصي تعيين نمود.

اين گونه معادلات نيمه خطي يا شبه خطي ناميده مي شوند. مثلاً معادله
كه يك معادله غير خطي نسبت به متغير تابع به دليل حضور و همچنين به علت حضور است را مي توان يك معادله خطي نسبت به مشتقات جزئي ناميد. يك معادله ديفرانسيل مرتبه اول خطي معمولي به صورت كلي

و معادله مرتبه دوم خطي معمولي نيز به صورت كلي

نمايش داده مي شوند. صورت كلي معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئي مرتبه ام خطي طولاني و پيچيده است. كه در اينجا معادلات مرتبه اول و دوم خطي از آنها را نمايش مي دهيم. ولي مي توان با كمك از معادلات ديفرانسيل مراتب اول و دوم معادلات مراتب بالاتر را نيز نوشت.
معادله زير يك صورت عمومي از معادلات با مشتقات جزئي مرتبه اول خطي از متغير مستقل با يك متغير تابع است.

كه در آن توابع ضريب و تابع طرف دوم است كه اگر ، صفر باشد معادله همگن خطي و در غير اين صورت معادله غير همگن خطي ناميده مي شود. معادلات با مشتقات جزئي مرتبه دوم به صورت كلي زير است:

كه در آن

توابع متغير حقيقي معلوم هستند كه به آنها توابع ضريب معادله خطي گويند. تابع متغيير حقيقي معلوم تابع طرف دوم ناميده مي شود.
جواب يك معادله ديفرانسيل
يك تابع يا مجموعه اي از توابع (مانند يك تايي مرتب از توابع) را جواب يك معادله ديفرانسيل گوييم هرگاه با قرار دادن تابع يا توابع در عبارت معادله به جاي متغير يا متغيرهاي تابع و مشتقات آنها معادله به يك اتحاد بر حسب متغير يا متغيرهاي نابسته تبديل شود. كه در صورت گذاشتن مقدار در آنها اين اتحاد برقرار باشد.
جواب يك معادله ديفرانسيل معمولي تابعي از متغير حقيقي با مقدار حقيقي يا با مقدار برداري است كه اگر متغير مختلط باشد مقدار نيز مختلط خواهد بود. جواب يك معادله ديفرانسيل با مشتقات جزئي تابعي از دو يا به طور كلي متغير اس

ت كه مقدار آن حقيقي يا برداري است.
به عنوان مثال تابع جوابي از معادله ديفرانسيل معمولي زير است:

همچنين جوابي از معادله ديفرانسيل نسبي زير است:

يك معادله ديفرانسيل مي تواند داراي جوابهاي گوناگوني باشد. كه جوابي را كه براي يك معادله ديفرانسيل معمولي در تعدادي شرايط در يك نقطه ي

ا مجموعه اي از نقاط از دامنه تابع جواب صدق مي كند و به صورت يگانه اي بدست مي آيد جواب ويژه يا خصوصي معادله ديفرانسيل است . البته ممكن است دو يا چند جواب در شرايط صدق كنند ولي يكي از آنها جواب خصوصي است .
براي يك معادله ديفرانسيل معمولي مرتبه n ام از يك متغير تابع ، تابعي را كه با n ثابت دلخواه نا بسته از يكديگر بر حسب متغير مستقل و متغير تابع بيان و همه جوابهاي خصوصي معادله با انتخاب هر مقدار مشخصي براي ثابتها از آن بدست مي آيند جواب عمومي معادله گويند .
براي يك معادله ديفرانسيل معمومي مرتبه n ام ، جواب عمومي به صورت كلي زير است :

اگر تابع ثابت صفر جوابي از يك معادله ديفرانسيل معمولي يا با مشتقات جزئي باشد آن را جواب بديهي معادله مي ناميم. مثلاً معادله داراي جواب بديهي و معادله داراي جواب بديهي است.
براي تعيين جواب معادلات ديفرانسيل معمولاً روشهايي را بكار مي بريم كه ممكن است حل يك معادله ديفرانسيل عبارت معادله را با اعمال جبري مجاز تغيير دهيم كه با انجام اين اعمال ممكن است جوابي از معادله را ناديده انگاشته باشيم كه اين جواب را جواب حذف شده معادله مي نامند.
خانواده جواب هاي خصوصي در مورد برخي از معادلات مانند معادلات كلرو نيز معمولاً جواب معادله مي باشند. كه چنين جواب هايي را جواب تكين يا جواب غير عادي معادله ديفرانسيل مي نامند. مثلاً براي معادله
تابع جواب عمومي آن و تابع جواب غير عادي آن است.
براي يك معادله ديفرانسيل جوابي از آن كه همه جواب هاي معادله را در بر گيرد جواب كامل يا انتگرال كامل معادله مي خوانند. كه اين مفهوم براي معادلات ديفرانسيل خطي غير همگن به كار برده مي شود.
البته هدف ما در اين مجموعه حل عددي معادلات ديفرانسيل است و تنها روش هاي عددي حل معادلات را مورد بررسي قرار مي دهيم.
تفسير هندسي جواب خصوصي و عمومي
مي دانيم اگر تابع دو متغيره پيوسته اي روي ناحيه اي از صفحه باشد آنگاه معادله ضمني
يا داراي هيچ جوابي نيست مانند . يا يك جواب دارد مثل يا نمايش يك منحني در صفحه است . جواب عمومي معادلات ديفرانسيل معمولي به شكل زير هستند :

كه اين معادله نمايش يك منحني در صفحه است. كه اين موضوع براي جوابهاي عمومي به صورت
نيز قابل بيان است. اين منحني ها به پارامترهاي ثابت دلخواه وابسته هستند و خانواده يك پارامتري از منحني ها را در صفحه نمايش مي دهند. به هر يك از اعضاي اين خانواده منحني يك منحني انتگرال يا منحني جواب معادله مي گويند.

همچنين يك جواب خصوصي معادله با منحني اي مشخص مي شود كه از يك يا چند نقطه مشخص مي گذرد .
جوابهاي معادلات ديفرانسيل با بيش از يك متغير تابع نيز معمولا يك منحني در فضاي و يا به طور كلي در را نمايش مي دهند . به عنوان مثال معادله

كه در آن نيروي مؤثر بر نقطه مادي توابعي از متغير مي باشند و منحني هاي

 

مسير متحركي را نمايش مي دهد كه داراي شتاب لحظه اي است.
نمودار تابع جواب معادله فوق در فضاي قرار دارد .
از نظر هندسي جوابهاي معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئي با توجه به وضعيت وابستگي متغير تابع به لا اقل دو متغير ، در حالت دو متغيره ، يك رويه در است .
شرايط اوليه و شرايط مرزي
تعيين جوابهاي خصوصي در معادلات ديفرانسيل معمولي و معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئي هميشه به كمك مجموعه اي از شرايط امكان پذير است كه بر روي جواب اعمال مي شود يا در مسائل فيزيكي به عنوان اطلاع به ما داده ميشوند كه اين گونه شرايط به طور كلي به دو دسته تقسيم مي شوند:
الف ) شرايط اوليه
ب ) شرايط مرزي ( حدي يا كرانه اي )
شرايط اوليه براي يك معادله ديفرانسيل معمولي ، شرايطي بر روي جواب معادله اند كه همه در يك نقطه از دامنه تابع جواب داده شده اند. اين شرايط براي يك معادله ديفرانسيل معمولي مرتبه از يك متغير تابع به صورت زير داده مي شوند :

كه در آن نقطه اي از دامنه تابع جواب مقادير ثابت داده شده اند. اين شرايط براي يك معادله مرتبه اول فقط از شرط اول تشكيل شده است. كه حاكي از مختصات نقطه اي از صفحه مانند
است كه جواب خصوصي مورد نظر از آن مي گذرد .
براي يك معادله ديفرانسيل مرتبه دوم فقط دو شرط اول مورد استفاده قرار مي گيرد كه حاوي اطلاعاتي در مورد منحني جواب مورد نظر است كه از نقطه مي گذرد و در اين نقطه داراي ضريب زاويه است.

در مورد معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئي آن نسبت به آن متغير مستقل داده مي شوند. شرايط مرزي مجموعه شرايطي بر روي جواب معادله اند كه معمولا تعداد آنها حد اقل دو مي باشد. به طور كلي شرايطي را كه به ازاي مقاديري از متغير مستقل يا متغيرهاي مستقل داده مي شوند شرايط مرزي مي گويند.
براي يك معادله ديفرانسيل مرتبه دوم معمولي شكل عمومي شرايط مرزي به صور
كه و دو نقطه از دامنه تابع جواب و ثابت هاي داده شده اند يك شكل ساده شرايط فوق به صورت زير است :

شكل عمومي شرايط مرزي براي معادلات ديفرانسيل مرتبه ام از يك متغير تابع معمولي به صورت زير است:

كه در آن
نقطه داده شده و متمايز از دامنه تابع جواب مي باشند .
مثلا ً براي معادلات اين شرايط به صورت
هستند.
بنابراين براي يك منحني انتگرال كه مي خواهيم از دو نقطه داده شده
بگذرد شرايطي از نوع مرزي بكار مي رود.
همچنين مسائل معادلات ديفرانسيل را به مسائل با شرايط مرزي و مسائل با شرايط اوليه مشخص مي كنيم.
در اين مجموعه ما به گرد آوري روشهاي عددي حل معادلات ديفرانسيل مي پردازيم و بيشتر با آناليز عددي سر و كار داريم . كه آناليز عددي شامل مطالعه ، توسعه و تجزيه و تحليل الگوريتم ها براي بدست آوردن جوابهاي عددي مسايل مختلف رياضي است ، كه به آن محاسبات علمي مي گويند .
« بخش اول»
«حل عددي معادلات ديفرانسيل معمولي»
فصل اول: معادلات ديفرانسيل معمولي تحت شرايط اوليه
مقدمه
معادلات ديفرانسيل مرتبه اول به صورت زير نمايش داده مي شوند :

كه شاخه اي از آن را كه به حل عددي آن مي پردازيم مي توانيم به صورت زير از معادله بالا بدست آوريم :

كه مسئله با شرايط اوليه آن به صورت زير است :

حال ابتدا قضاياي وجود و يگانگي جواب را در مورد اين معادلات بررسي مي كنيم و بعد به ارائه روشهاي عددي مناسب براي حل آن مي پردازيم .
۱٫۱ در اين قسمت در مورد اينكه براي يك معادله ديفرانسيل جوابي وجود دارد و اگر اين جواب هست آيا يكتا است يا نه بحث خواهيم كرد .
مدل ما يك مساله مقدار اوليه به شكل زير است :

 

هدف ما از حل اين معادله يافتن مقدار مجهول است . و معادله
يك مقدار خاص از تابع ( f ) x را مشخص مي سازد . و همانطور كه مي دانيم مشتق يك تابع شيب آن تابع را در نقطه مورد نظر ارائه مي كند . همچنين داريم :
در مورد وجود جواب براي معادله ديفرانسيل قضيه اي را بيان مي كنيم :
قضيه ۱ : اگر در يك مستصيل به مركز مثلاً

پيوسته باشد آنگاه مساله مقدار اوليه (۱ ) يك جواب به ازاي
خواهد داشت كه در آن ماكسيمم در مستطيل مي باشد.
اما حتي اگر پيوسته باشد ممكن است كه مساله مقدار اوليه (۱) داراي جواب منحصر به فرد نباشد .
قضيه ۲ :اگر بر مستطيل تعريف شده پيوسته باشد آنگاه مساله مقدار اوليه (۱ ) بربازه يك جواب منحصر به فرد دارد .
قضيه ۳ از نوع ديگري است كه به ما اجازه مي دهد به وجود يكتايي يك جواب بر روي يك بازه از پيش تعيين شده پي مي بريم .
قضيه ۳ : اگر در نوار پيوسته باشد و در نا مساوي

صدق كند آنگاه مساله مقدار اوليه (۱) يك جواب منحصر به فرد در دارد. كه اين نا مساوي يك شرط ليپشيتز در متغير دوم است .
بسياري از معادلات ديفرانسيل داراي جواب هاي شناخته شده به صورت توابع معمولي نيستند در نتيجه اين گونه معادلات را نمي توان با روش مرسوم حل كرد. كاربرد سرهاي تابعي به عنوان جواب اين گونه معادلات، يكي از روشهاي مهم در حل معادلات ديفرانسيل مي باشد.
سري تواني زير را سري تيلور مي ناميم.

حال قضيه مهم تيلور را بيان مي كنيم:
قضيه: اگر آنگاه براي هر دو نقطه در

كه در آن
و نقطه اي بين است.
در واقع اين قضيه شكل ديگري از سري تيلور را نشان مي دهد.
حال به شرح روش سري تيلور مي پردازيم.
۱٫ ۲ روش سري تيلور
شرح روش :
در روش سري تيلور بايد فرض كنيم كه مشتقات جزئي وجود دارند . در روش سري تيلور جواب را به طور مستقيم نمي يابيم بلكه مقاديري از جواب را با گامهاي كه را خيلي كوچك در نظر مي گيريم بدست مي آوريم. سري تيلور به صورت زير است :

كه اگر بخواهيم اين سري را خيلي ادامه دهيم خسته كننده است همچنين براي

تابعهاي پيچيده بدست آوردن مشتقات مراتب بالاتر مشكل است بنابر اين از مرتبه اي به بعد جملات را حذف مي كنيم . كه آنها بطور جمعي خطاي برشي ما را تشكيل مي دهند . همچنين مرتبه روش سري تيلور است اگر جملات تا و شامل آن مورد استفاده قرار گيرند .
كه اين خطاي برشي را از فرمول زير محاسبه مي كنيم :

 

انباشته شدن همه اين خطاهاي برشي موضعي موجب به وجود آمدن خطاي برشي كلي مي شود . بنابراين اگر خطاي برشي موضعي باشند آنگاه خطاي برشي كلي بايد باشد .
در اينجا به ارائه دو روش سري تيلور مرتبه اول و دوم و ام مي پرادزيم.
روش سري تيلور براي معادلات ديفرانسيل مرتبه اول:
اگر قرار دهيم
اكنون عبارت زير را داريم:

اگر قرار دهيم داريم همچنين فرض مي كنيم كه جواب است تقريباً برابر باشد. يعني

يعني

در مرحله بعدي به جاي و به جاي را قرار مي دهيم داريم:

با تكرار معيني از روش داريم:

مثال: از روش تيلور مرتبة براي حل بر روي با
استفاده كنيد، جوابها را براي مقايسه كنيد:
حل: مشتقهاي ابتدا بايد تعيين شوند. به خاطر داريم كه جواب تابعي از است و از فرمول
نسبت به مشتق مي گيريم و را بدست مي آوريم. سپس فرآيند را ادامه مي دهيم و مشتقهاي بالاتر را بدست مي آوريم:

براي پيدا كردن مشتقهاي ارائه شده در بالا را بايد در نقطه
محاسبه كنيم:

بنابراين با توجه به فرمول سري تيلور و داريم:

 

نقطة جواب محاسبه شده عبارت است از
براي پيدا كردن مشتقهاي را اكنون بايد در نقطه
محاسبه كنيم:

 

بنابراين داريم:

نقطه جواب عبارت است از:
روش سري تيلور براي معادلات ديفرانسيل مرتبه دوم و ام
مسأله مورد مطالعه همانطور كه مي دانيم در اينجا مسأله زير است:

براي مسأله قرار مي دهيم

همچنين فرض مي كنيم تابع تقريب جواب باشد يعني

در اين روش مي دانيم كه بسط تيلور مرتبه دوم تابع به صورت زير است:

از اين روابط داريم:

كه اين روابط اخير اساس روش سري تيلور در اين مسأله است كه مشابه با سري تيلور براي معادلات ديفرانسيل مرتبه اول به شكل زير صورت مي گيرد:

و بالاخره روش سري تيلور براي معادلات ديفرانسيل مرتبه ام به شكل زير است:

روش اويلر
روش سري تيلور با روش اويلر ناميده مي شود:

اين روش داراي اهميت نظري زيادي است زيرا قضاياي وجود مي توانند بر آن مبتني باشند.
معادلات ديفرانسيل تأخيري
در اين نوع معادلات مقدار به تابع در مقادير قبلي بستگي دارد. براي مثال داريم:

كه اگر مقدار را در بدانيم قادر به محاسبة هستيم و چون براي انتگرال گيري معادله

ديفرانسيل با شروع در ، به مقدار با شروع در نياز خواهيم داشت. بنابراين مقادير بر روي بازة
به عنوان مقادير اوليه براي ما فراهم بايد باشند. مسائل با داشتن معادله ديفرانسيل ساده با اين روش به آساني قابل حل هستند ولي براي مسائل پيچيده تر بايد از روش سري تيلور كمك بگيريم.
براي مثال مسئله زير را در نظر بگيريم:

 

جواب ما كه است بر روي بازه قرار دارد چون
است. كه مي توان با گامهايي به طول با استفاده از يك بسط تيلور استفاده كرد:

كه داريم:

۳٫۱ روشهاي رونگه – كوتا
روشهاي رونگه كوتا از طريق تركيبات هوشمندانه مقادير از روش سري تيلور پيروي مي كنند. اما اين روشها برخي تجزيه و تحليلهاي سري تيلور را ندارند.
روش رونگه – كوتاي مرتبه دو
از سري تيلور داريم:

كه از معادله ديفرانسيل داريم:

حال اين مشتقات را در سري تيلور جايگزين مي كنيم كه داريم:

كه به معناي و به معناي مي باشد.
قضيه تيلور دو متغيره: اگر آنگاه براي هر دو نقطه در داريم:

معني جملات مزبور در اين قضيه به صورت زير است:

 

وغيره.
هدف از بيان اين قضيه اين بود كه ما قادريم مشتقات جزئي را در رابطه (۱) با كمك چند جمله اول سري دو متغيره حذف كنيم:

معادله (۱) به صورت زير در مي آيد:

 

به طور كلي فرمولهاي رونگه – كوتاي مرتبه دوم كه به روش هيدن نيز معروف است به شكل زير است:

كه در آن پارامترهايي هستند كه در اختيار ما هستند كه معادله (۲) مي تواند به كمك سري تيلور دو متغيره به شكل زير نوشت:

با مقايسه روابط (۱) و (۲) داريم:

كه اگر انتخاب كنيم كه در شرايط هم صدق مي كند روش متناظر با روش هيون است و اگر باشد روش تعديل يافته اويلر را داريم:

كه در آن:

روش رونگه – كوتاي مرتبه ۴
اين روش به روش كلاسيك رونگه – كوتاي مرتبه ها نيز معروف است و آن را در اينجا ارائه مي دهيم:

كه در آن:

اين روش مرتبه ۴ خوانده مي شود چون جملات سري تيلور تا و خود را توليد مي كند بنابراين خطاي آن است. كه اين همان خطاي برشي موضعي است.
در روش رونگه كوتاي مرتبه ۴ يك مقدار در اولين گام محاسبه مي شود از طرف ديگر يك جواب دقيق وجود دارد كه ما آن را نمي دانيم بنابراين در اين گام خطاي برشي موضعي بنا بر تعريف ع

بارت است از:

كه اين خطاي برشي به ازاي مقادير كوچك مانند رفتار مي كند كه عددي مستقل از است اما وابسته به و تابع است. براي برآورد فرض مي كنيم كه هنگامي كه از به تغيير مي كند تغيير ننمايد. فرض كنيد مقدار تقريبي جواب در باشد كه با گامي به طول از به دست آمده باشد. فرض كنيد جواب تقريبي در
باشد كه با دو گام به اندازه از بدست آمده باشد. اينها هر دو قابل محاسبه با فرضهاي اختيار شده داريم:

 

با تفريق اين دو معادله داريم:

بنابراين خطاي برشي موضعي توسط تقريب زده مي شود.
روش رونگه – كوتا – فلبرگ تطبيقي
روش رونگه – كوتا – فلبرگ تطبيقي حاصل از مرتبه ۵ است و از دو فرمول داراي مرتبه هاي ۴ و ۵ استفاده مي كند كه اين فرمولها مقادير تقريبي مختلفي از جواب را ارائه مي دهند و آنها را با
نشان مي دهيم:
(۳)
(۴)
كميت هاي : از فرمولهاي از نوع:

محاسبه مي شوند.
فرمول ۳ از مرتبه پنج و فرمول ۴ از مرتبه چهار است.
كه البته فرمول (۳) از (۴) دقيقتر است و براي خروجي الگوريتم اين روش از فرمول (۳) استفاده مي كنيم. همچنين تفاضل
تقريبي از خطاي برشي موضعي است بنابراين مي تواند براي كنترل اندازه گام در الگوريتم استفاده شود.

مقادير ضرائب در جدول زير داده شده اند:

مثال: از روش رونگه كوتا مرتبه ۴ براي حل بر روي
با استفاده كنيد.
حل:

بنا بر فرمول رونگه كوتا مرتبه ۴ داريم:

۴٫۱ روشهاي چند گامي
در روشهاي چند گامي بر خلاف روشهاي سري تيلور و رونگه كوتا براي حل مسئله مقدار اوليه در هر گام از برخي مقادير قبلي جواب استفاده مي شود. مطلب مورد بحث در اينجا عبارت است از : مي خواهيم مسئله مقدار اوليه

را به طور عددي حل كنيم. گامهاي را بر روي محور تعيين كرده ايم. اگر جواب ما باشد از انتگرال گيري رابطه (۱) داريم:

و سپس :

فرمول آدامز – بشفورث
انتگرال سمت راست در رابطه (۲) مي تواند توسط يك طرح انتگرال گيري عددي تقريب زده شود و مي توانيم از نتيجه آن براي فرمول زير استفاده كنيم:

 

اگر نقاط ها متساوي الفاصله باشند و داشته باشيم به ازاي فرمول آدامز بشفورث مرتبه ۵ به صورت زير است:

 

براي اينكه بدانيم اين ضرايب چگونه تعيين شده اند ابتدا روش ضرائب نامعين را كه مي خواهيم از آن استفاده كنيم توضيح مي دهيم.
روش ضرايب نامعين
چند جمله اي از درجه حداكثر كه را در گره هاي كه متعلق به بازه هستند درونيابي مي كند عبارت است از:

به طوري كه داريم:

از رابطه (۱) مي توانيم بنويسيم:

حال از اين روابط فرمول زير بدست مي آيد كه مي توانيم براي هر تابع
استفاده كنيم:

كه در آن

اگر گره ها متساوي الفاصله باشند فرمول اخير فرمول نيوتن – كاستن ناميده مي شود.
از همين روش مي توانيم استفاده كنيم و پي ببريم كه اين فرمول براي همه چند جمله ايهاي از درجه كوچكتر يا مساوي درست است. اين موضوع را از آنجا مي دانيم كه اين فرمول بايد هر را به طور درست انتگرال گيري كند از اين رو:

يك چند جمله اي از درجه حداكثر است و
حال فرمول ديگري را با استفاده از اين روش براي فرمول نيوتن – كاتش بدست مي آوريم.
فرمولي به شكل زير در نظر مي گيريم و جستجو مي كنيم كه براي همه چند جمله ايهاي از درجه كوچكتر يا مساوي ۲ دقيق باشد.

با استفاده از چند جمله ايهاي به عنوان توابع آزمايشي بدست مي آوريم.

جواب اين دستگاه معادلات عبارت است از
چون فرمولي خطي است مقادير دقيق انتگرالها را براي هر چند جمله اي درجه ۲، توليد خواهد كرد. پس فرمولي به شرح زير خواهيم داشت:

حال از آنچه گفته شد استفاده مي كنيم و ضرايب را در فرمول آدامز بشفورث محاسبه مي نماييم و ابتدا با قضيه تقريب زدن انتگرال رابطه (۲) به صورت زير شروع مي كنيم.

ضرائب توسط اين شرط كه هر گاه انتگرالده يك چند جمله اي از درجه كوچكتر يا مساوي ۴ باشد، معادله (۳) دقيق باشد، تعيين مي شوند. حال بدون اينكه از كليت مسئله كاسته شود

فرض مي كنيم

پنج چند جمله اي زير را به عنوان يك پايه براي اختيار مي كنيم:

وقتي كه اينها در معادله قرار داده شوند

ما پنج معادله براي تعيين ضرايب به دست مي آوريم. اين دستگاه معادلات عبارتند از:

 

بنابراين ضرايبي را كه در فرمول آدامز – بشفورث بدست آورديم با جايگزاري پسر و از اين دستگاه بدست مي آيند.
فرمول آدامز – مولتن
براي بهتر كردن دقت از فرمولهاي ديگر غير از آدامز بشفورث نيز استفاده مي شود. براي اين منظور به رابطه (۲) برمي گرديم و فرض مي كنيم از يك انتگرال گيري عددي كه شامل باشد استفاده مي كنيم رابطه فرمول آدامز بشفورث شكل زير را دارا خواهد بود:

فرمول زير كه فرمولي از اين نوع مي باشد، به فرمول آدامز – مولتن مرتبه ۵ معروف است.

كه اين فرمول نيز مي تواند با استفاده از روش ضرايب نامعين به دست آيد. اما چون در هر دو طرف رابطه ظاهر شده است نمي توان مستقيماً از اين فرمول براي بدست آوردن جواب استفاده كرد.
اما يك الگوريتم بسيار رضايتبخش به نام روش پيشگوي اصلاحگر از فرمول آدامز بشفورث براي پيشگيري يك مقدار آزمايشي براي مثلاً استفاده مي كند و سپس فرمول آدامز – مولتن براي محاسبه يك مقدار اصلاح شده از استفاده مي كند بنابراين در فرمول آدامز مولتن مقدار را به صورت با استفاده از مقدار پيشگويي شده به دست آمده از فرمول آدامز بشفورث، محاسبه مي كنيم.
در استفاده از اين روش پيشگو – اصلاحگر بايد يك روية خاص براي شروع به كار گرفته شود، معمولاً فرمولها با مرتبه يكسان با هم مورد استفاده قرار مي گيرند. بنابراين روشهاي رونگه – كوتاي مرتبة پنج مي توانند در تركيب با فرمول آدامز – بشفورث و فرمول آدامز – مولتن استفاده شوند.
روش ديگري هم براي بدست آوردن مقدار در فرمول آدامز مولتن وجود دارد. به طور كلي فرمول آدامز – مولتن بيان مي كند كه يك نقطه ثابت يك نگاشت خاص است يعني نگاشتي كه به صورت:

تعريف مي شود كه در آن تركيبي از همه جملات ديگر فرمول آدامز مولتن است.
الگوريتمي كه توسط معادله به شكل تعريف شود تكرار تابعي ناميده مي شود. بنابراين روش تكرار تابعي خودش را به عنوان طريقه اي براي محاسبة پيشنهاد مي كند. بنابراين معادله

تحت فرضهاي مناسب به يك نقطه ثابت همگرا خواهد بود.
براي توضيح اين مطلب مي دانيم اگر بر روي يك بازه باز داراي مشتق پيوسته باشد و فرض كنيم كه در اين بازة باز يك نقطه ثابت داشته باشد و اگر ، آنگاه دنباله تعريف شده توسط تكرار تابعي به
همگرا خواهد بود اگر نقطه شروع به اندازه كافي به نزديك باشد.
بنابراين اگر نقطه ثابت باشد. آنگاه بايد تكرار را با يك نقطه در يك بازه به مركز شروع كنيم كه در آن
لازم است فرض كنيم پيوسته باشد. در حالت مورد نظر

با كوچك كردن اندازه گام ، اين مقدار مي تواند به اندازة دلخواه كوچك شود. در عمل فقط

يك يا دو گام در اين تكرار لازم است تا مقدار
به دست آيد.
در اين مرحله به تجزيه و تحليل روشهاي چند گامي خطي به طور كلي مي پردازيم. ش

كل ظاهري هر چنين روشي به صورت زير مي باشد.

اين روش، روش گامي ناميده مي شود. ضرايب مفروضند و يك تقريب براي جواب در مي باشد. اين فرمول براي محاسبه استفاده مي شود با فرض اينكه از قبل معلوم هستند. اگر ضريب باشد و روش را روش صريح گوييم چون به طور مستقيم با يك روش مقدماتي از فرمول بدست مي آيد. اگر آنگاه در سمت راست جمله شامل مجهول است و روش را روش ضمني گوييم زيرا را به طور ضمني تعيين مي كنيم.
مرتبه هر روش نشان مي دهد كه چند جمله در يك روش سري تيلور بايد توسط روش شبيه سازي شود براي مثال روش آدامز بشفورث از مرتبه ۵ است.
در ارتباط با روش چند گامي يك نابع خطي به صورت زير تعريف مي كنيم.

از اين تابع براي راحتي نمادگذاري فرض مي كنيم و فرض مي كنيم كه اولين مقدار فرمول روش چند گامي در به جاي شروع شود. حال فرض مي كنيم با سري تيلورش در نمايش داده شود. با استفاده از سري تيلور ميتوان را به صورت زير بيان كرد:

براي محاسبه ضرايب ، سري تيلور را براي مي نويسيم:

حال اين سريها را در تابع جايگذاري مي كنيم و بر حسب توانهاي مرتب مي كنيم، مقادير به صورت زير هستند:

قضيه: سه خاصيت زير در روشهاي چند گامي معادل هستند:
۱)
۲) به ازاي هر چند جمله اي از درجه كوچكتر يا مساوي .
۳) به ازاي همة است.
اثبات: اگر (۱) درست باشد رابطه (۶) داراي شكل

است. اگر يك چند جمله اي از درجه كوچكتر يا مساوي باشد آنگاه
به ازاي همة ، و بنابراين از معادله (۸) داريم بنابراين
را ايجاب مي كند.
فرض كنيد (۲) درست باشد اگر آنگاه بنابر قضيه تيلور مي توانيم بنويسيم كه در آن يك چند جمله اي از درجه كوچكتر يا مساوي بوده و يك تابع است كه مشتق اول آن در صفر، صفر

مي شوند چون معادله (۶) نتيجه مي دهد:

و (۲) و ‌(۳) را نتيجه مي دهد.
بالاخره، فرض كنيد كه (۳) درست باشد پس در رابطه (۶) بايد شرط
برقرار باشد از اين رو (۳) و (۱) را ايجاب مي كند. بنابراين مي توانيم بگوييم مرتبه روش چند گامي عدد طبيعي منحصر به فرد است به طوريكه

مثال: مرتبه روش بيان شده توسط معادلة زير چند است؟

 

حل: بردار برابر ، و بردار برابر مي باشند بنابراين ها عبارتند از:

بنابراين مرتبه روش ۴ مي باشد.
همچنين دالكوئيست ثابت كرده است كه يك روش گامي پايدار نظير آنچه كه مورد بحث قرار داديم نمي تواند مرتبه اي بزرگتر از داشته باشد.
حال در اين قسمت در مورد روشهاي صريح و همگرا و ضمني كه در روشهاي چند گامي به صورت زير مورد استفاده قرار مي گيرد مطالبي را بيان كنيم.

مي دانيم كه فرمول ۱ يك براي روش چند گامي است و فرمول (۲) يك فرمول آدامز – مولتن مرتبه ۵ مي باشد.
در حل يك مسئله ديفرانسيل با مقدار اوليه با استفاده از فرمول (۱) فرض مي كنيم كه مقادير اوليه توسط روش ديگري به دست آمده باشند سپس رابطه (۱) با به طور متوالي استفاده مي شود. حال اگر در معادله (۱) ضريب باشد آنگاه مجهول در هر دو طرف معادله ظاهر مي شود كه در اين حالت روش ضمني است و اگر
باشد روش صريح ناميده مي شود. حال براي تحليل اين موضوع فرض مي كنيم در معادله (۱) صدق كند. بنابراين مي تواند با شروع از يك مقدار آزمايشي ارائه شد با تكرار توسط يك فرمول پيشگو به دست آيد.
متناظر با معادله (۱) دو چند جمله اي زير وجود دارد:

با توجه به اين دو چند جمله اي مي توان به اين نكته پي برد كه برخي خواص مورد نظر از روش چند گامي به محل ريشه هاي چند جمله اي
بستگي دارند.
اگر جوابهاي عددي با استفاده از اندازة گامهاي متفاوت محاسبه شوند جواب تقريبي كه از گام به دست مي آيد با نمايش مي دهيم. و مي دانيم كه جواب واقعي هم است حال روش چند گامي همگرا است اگر:

همچنين داشته باشيم:

در چند جمله اي اگر ريشه هاي در قرص باشند و اگر هر ريشه با قدر مطلق ۱ ساده باشد روش پايدار است و اگر روش سازگار است.

قضيه:روش چند گامي رابطه (۱) همگرا است اگر شرط لازم و كافي را براي پايداري و سازگاري داشته باشد.
براي مثال روش ميلن را كه توسط رابطه زير تعريف مي شود تجزيه و تحليل مي كنيم:
اين روش يك روش ضمني است و چند جمله اي هاي در اين روش به صورت ز

ير هستند:

صفرهاي هستند. كه ريشه هاي ساده هستند همچنين
بنابراين شرايط پايداري و سازگاري برقرار است و روش ميلن همگرا است.
حال به اثبات قضيه مي پردازيم:
ابتدا براي اثبات اينكه پايداري يك شرط لازم است فرض مي كنيم روش پايدار نباشد بنابراين يك صفر كه در صدق مي كند دارد يا
يك صفر صادق در دارد و ، در هر دو حالت مسئله مقدار اوليه ساده را كه جوابش است در نظر مي گيريم.

روش چند گامي توسط معادله زير بيان مي شود:

اين يك معادله تفاضلي خطي است كه يكي از جوابهايش است كه در آن يكي از صفرهاي است اگر آنگاه به ازاي داريم.

اين رابطه شرط دوم در همگرايي را برقرار مي كند اما شرط اول را نقض مي كند زيرا اگر آنگاه

از طرف ديگر اگر آنگاه يك جواب معادله برابر
است كه شرط دوم همگرايي برآورده مي شود زيرا اگر
آنگاه

ولي شرط اول همگرايي نقض مي شود زيرا

براي اينكه اثبات كنيم سازگاري شرط لازم است فرض مي كنيم روش تعريف شده توسط معادله (۱) همگرا باشد مسئله زير را در نظر بگيريد

جواب ما در اين مسئله است. در اينجا معادله (۱) شكل را دارد. يك جواب با قرار دادن و سپس استفاده از براي توليد بقيه مقادير به دست مي آيد. چون روش همگرا است بنابراين داريم با قرار دادن اين رابطه در معادله نتيجه

حاصل مي گردد يا به عبارت ديگر .
حال مسئله مقدار اوليه زير را در نظر بگيريد.

كه جواب واقعي آن مي باشد معادله به صورت زير در مي آيد:

 

چون روش همگرا است بنابر اثبات قبل پايدار است از اين رو
يك جواب معادله توسط رابطه ، با ارائه مي شود. در حقيقت با جايگذاري اين رابطه در سمت چپ رابطه نتيجه مي شود:

توجه داريم كه مقادير اوليه در اين جواب عددي با مقدار اوليه
سازگار هستند زيرا به ازاي . اكنون شرط اينكه بايد همگرا باشد ايج

اب مي كند كه:

بنابراين: . بنابراين نتيجه مي گيريم كه
چون .
خطاي برشي موضعي و كلي
فرض كنيم معادله اي كه براي محاسبه استفاده مي شود يك روش چند گامي به صورت زير است:

كه در اينجا مانند قبل به جاي است. همچنين همه مقادير قبلي دقيق هستند و داريم به ازاي
در اينجا جواب واقعي است. و خطاي برشي موضعي كه ناشي از مدلسازي ديفرانسيل توسط يك معادله تفاضلي است برابر مي باشد. در اين خطا، هنگامي خطاي گرد كردن در نظر گرفته نمي شود. فرض مي كنيم كه با دقت كامل از معادله تفاضلي (۱) محاسبه شده باشد حال مي خواهيم ثابت كنيم كه اگر روش داراي مرتبه باشد آنگاه خطاي برشي موضعي خواهد بود. حال قيد و شرطهايي كه تحليل ما لازم دارد به صورت قضيه بيان مي كنيم.
قضيه: اگر روش چند گامي (۱) از مرتبه باشد، اگر و اگر پيوسته باشد آنگاه فرضهاي قبل را در نظر مي گيريم و بنابراين داريم:
كه ضرائب را قبلاً تعريف كرديم:
اثبات: كافي است رابطه را براي ثابت كنيم زيرا مي تواند به عنوان مقدار يك جواب عددي كه از نقطه شروع شده است تعبير شود. با استفاده از تابعي خطي رابطه خطي

مي توان نوشت:

از طرف ديگر جواب عددي در معادله زير صدق مي كند:

چون فرض كرده ايم كه از به ازاي و نتيجه تفريق رابطه (۲) عبارت است از:

كه براي اين رابطه قضيه مقدار ميانگين را به كار مي بريم داريم:

كه در آن به ازاي اي بين . حال اگر روش مورد استفاده از م

رتبه باشد آنگاه شكل زير را دارا خواهد بود:

با توجه به آنكه داريم: و اگر يك چند جمله اي از درجه كوچكتر يا مساوي باشد آنگاه به ازاي همة .
حال با تركيب دو رابطه بدست آورده شده اخير رابطه (۱) را بدست مي آوريم كه مي توانيم را در مخرج كسر ناديده بگيريم.
حال اگر فرض كنيم همه محاسبات به طور دقيق انجام شده باشد و خطاي گرد كردن وجود نداشته باشد جواب واقعي در با جواب محاسبه شده اختلاف دارد زيرا توسط فرمولهاي به دست آمده است كه يك سري تيلور را تقريب مي زنند كه اختلاف را خطاي برشي كلي مي ناميم. كه اين خطا همانطور كه مي دانيم جمع كل خطاهاي برشي موضعي است. مي دانيم كه در هر گام حل عددي از عرض تقريبي محاسبه شده در گام قبلي به عنوان مقدار اوليه استفاده مي كنيم. چون آن عرض همراه با خطا است فرآيند عددي بر اثر آن مبادرت به ت

عقيب منحني جواب غلط مي كند. بنابراين بايد تجزيه و تحليل را با مشاهده اينكه چگونه دو منحني جواب متفاوت هستند اگر با شرايط اوليه متفاوت شروع شوند آغاز كنيم. به عبارت ديگر نياز داريم كه تأثير تغيير در يك مقدار اوليه را بر روي مختصات بعدي يك منحني بفهميم. شكل آنچه را كه سعي در اندازه گيري آن داريم نشان مي دهد.

مسئله مقدار اوليه زير را در نظر بگيريد:

فرض مي كنيم كه كه در اينجا آن را با نشان مي دهيم پيوسته باشد و در شرط در ناحيه تعريف شده توسط
صدق كند. جواب اين مسئله تابعي از است اما براي نشان دادن وابستگي آن به مقدار اوليه كه آن را به صورت مي نويسيم. را به صورت زير تعريف مي كنيم و بعد يك معادله ديفرانسيل وردشي بر حسب با مشتق گيري نسبت به از مسئله مقدار اوليه به دست مي آوريم.

براي مثال را به طور صريح براي مسئله مقدار اوليه زير تعيين مي كنيم:

حل: توجه داريم كه بنابراين معادله وردشي آن به صورت زير است:
جواب مسئله مقدار اوليه اصلي است. بنابراين معادله وردشي به صورت زير است:

و جواب اين معادله برابر است با:

حال به ارائه چند قضيه مي پدازيم:
قضيه ۱ اگر آنگاه جواب معادله وردشي در نامساوي زير صدق مي كند.

اثبات: از معادله وردشي داريم:

حال با انتگرالگيري از اين معادله داريم:

كه در آن انتگرال مشخص شده را نشان مي دهد. چون
و در نتيجه . بنابراين ، زيرا تابع نهايي صعودي است.
قضيه ۲: اگر مسئله مقدار اوليه زير با مقادير اوليه حل شود، منحنيهاي جواب در حداكثر به اندازه تفاوت دارند.

 

 

اثبات: بنابر قضيه مقدار ميانگين، بنا بر تعريف و بنا بر قضيه ۳ داريم:

قضيه ۳: اگر خطاهاي برشي موضعي در از نظر بزرگي از تجاوز نكنند آنگاه خطاهاي برشي كلي در از مقدار
تجاوز نخواهد كرد.
اثبات: فرض كنيد خطاي برشي متناظر با جواب عددي در نقاط
باشند. در محاسبة ، يك خطاي در شرط اوليه وجود دارد، و بنا بر قضيه ۲، تاثير اين خطا در حداكثر مي باشد. به اين مقدار خطاي برشي در
افزوده مي شود. بنابراين خطاي برشي كلي در حداكثر
مي باشد. تاثير اين خطا در بنا بر قضيه ۲ بزرگتر از
نسبت به اين مقدار خطاي برشي در افزوده مي شود. با ادامه اين راه در مي يابيم كه خطاي برشي كلي در بزرگتر از مقدار زير نمي باشد.

قضيه ۴: اگر خطاهاي برشي موضعي در جواب عددي باشند، آنگاه خطاي برشي كلي است.
اثبات: در قضيه ۳، فرض كنيد برابر باشد. چون مي باشد و با استفاده از فرمول قضيه ۳ كاهشي به اندازه ۱ در مرتبه پيدا مي كنيم.
دستگاه معادلات ديفرانسيل معمولي
۵٫۱ ابتدا شكل استاندارد دستگاه معادلات ديفرانسيل مرتبه اول را كه يك دستگاه معادله و مجهول است به صورت زير تعريف مي كنيم:

كه در اين دستگاه توابع مجهول ما هستند كه توابعي از يك متغير مستقل مي باشند. و نماد مشتق را نشان مي دهد.
همچنين اگر اين مسئله را به يك مسئله مقدار اوليه تبديل كنيم آنگاه دستگاه (۱) شامل معادله ديفرانسيل همراه با يك مقدار اوليه از پيش تعيين شده براي مثلاً مي باشد ويك مشخصه از مقدار هر تابع
است.
مثال: دستگاه زير را در نظر بگيريد. اين دستگاه يك دستگاه خطي از توابع مجهول مي باشد.

همانطور كه ملاحظه مي كنيم
جواب عمومي دستگاه عبارت است از:

كه در آن ثابتهاي دلخواه هستند. پس اگر از مشتق بگيريم و آن را در دستگاه (۲) جايگذاري كنيم ملاحظه خواهد كرد كه جواب درست است.
حال اگر براي اين مسئله مقادير اوليه هم در نظر بگيريم كه اين حالت براي مسائل فيزيكي خوش تعريف كاربر مثلاً مقادير اوليه
را در نظر مي گيريم بنابراين جواب به صورت زير است:

مي توانيم براي راحتي در نوشتن دستگاه، دستگاه (۱) را به صورت برداري بنويسيم

.

 

يك نگاشت از (يا يك بازه در ) به توي است و يك نگاشت از
به است بنابراين دستگاه (۱) را مي تواند به صورت زير نوشت:

يك معادله ديفرانسيل از مرتبه بالا را مي توان به صورت زير به يك دستگاه معادلات مرتبه اول تبديل كرد. فرض كنيد تنها يك معادله ديفرانسيل به شكل زير داده شده باشد كه در آن منظور از مشتق مرتبه
ام است. كه در اينجا همه مشتقات نسبت به هستند يعني

حال براي تبديل به دستگاه (۱) مي توان متغيرهاي جديد، را بر طبق تعريف زير منظور كنيم.

كه متغيرهاي جديد در دستگاه (۱) كه يك دستگاه مرتبه اول است صدق مي كنند.

كه توجه داريم كه ها نيز توابعي بر حسب متغير مستقل هستند. بنابراين اين يك دستگاه به شكل برداري رابطه (۳) است.
براي حل معادلات ديفرانسيل با استفاده از نرم افزارهاي موجود بسيار، تقريباً هميشه لازم است كه مسئله را به يك دستگاه معادلات مانند (۳) تبديل كنيم اين فرآيند را با مثال نشان مي دهيم.
مثال ۱: مسئله مقدار اوليه زير را به يك دستگاه معادلات ديفرانسيل با مقادير اوليه و مرتبه اول تبديل كنيد.

حل: متغيرهاي جديد و را به صورت زير تعريف مي كنيم:

دستگاه معادلات عبارت است از:

شرايط اوليه در به صورت ترانهاده مي باشند.
مثال ۲: دستگاه زير را به يك دستگاه معادلات مرتبة اول تبديل كنيد:

حل: متغرهاي جديد را به صورت زير تعريف مي كنيم و در دستگاه وارد مي نماييم:

كه براي بدست آوردن مي دانيم كه كه هر دو را از دستگاه بدست مي آوريم يعني را از معادله دومي با محاسبات مقدماتي بدست مي آوريم.
۶٫۱ روش سري – تيلور براي دستگاهها
روش سري – تيلور كه در بخش ۲٫۱ بيان مي شود مي تواند براي دستگاه معادلات مرتبه اول نيز به كار برده شود كه در اينجا سري تيلور را براي هر متغير به صورت زير مي نويسيم:

كه نماد گذاري برداري آن به صورت زير خواهد بود:

 

مشتقهاي ظاهر شده در اين فرمول را مي توان از معادله ديفرانسيل به دست آورد كه بايد به ترتيب خاصي محاسبه شوند و بايد اطمينان حاصل كنيم كه كميتهاي لازم در هر گام به عنوان نتايج گامهاي قبلي موجود هستند.
مثال: الگوريتم سري تيلور ۳ را براي مسئله مقدار اليه زير بنويسيد از
استفاده كنيد و جواب را بر روي بازه محاسبه كنيد.

 

حل: چون سري تيلور مرتبه ۳ استفاده مي كنيم بنابراين مشتقات مراتب بالاتر مورد نياز عبارتند از:

از لحاظ تفكري از كليت مسئله كاسته نمي شود اگر فرض كنيم كه معادلات دستگاه (۱) به طور صريح شامل نباشد بنابراين دستگاه به شكل زير خواهد شد.

كه با وارد كردن يك متغير مي توانيم آن را بنويسيم كه در اين صورت معادله ديفرانسيل براي متغير جديد به طور ساده مي باشد. بنابراين طرح برداري آن به صورت زير در مي‌آيد:

همچنين داريم . دستگاه به شكل (۴) را خود مستقل مي ناميم.
مثال مسئله مقدار اوليه زير را به يك دستگاه كه در آن به طور صريح ظاهر نشود تبديل كنيد.

حل: متغيرهاي جديد را به صورت زير تعريف مي كنيم:

همچنين قرار مي دهيم دستگاه جديد عبارت است از:

شرايط اوليه اين مسئله به صورت مي باشد.
روشهاي ديگري نيز براي حل دستگاه معادلات مرتبه اول وجود دارند. حال اگر فرض كنيم دستگاه معادله مرتبه اول در حالتي باشد كه خود مستقل باشد روش رونگه – كوتا براي آن به طور ساده اي نوشته مي شود كه فرمولهاي رونگه – كوتاي مرتبه چهار كلاسيك، به صورت برداري عبارتند از:

كه در آنها

همچنين روش رونگه كوتاي فلبرگ تطبيقي را هم مي توان ارائه كرد كه به صورت زير است:

كه در آن

در مورد ضرائب اين فرمول در بخش قبل كامل بحث شد.
همچنين از روشهاي چند گامي مثل روش آدامز – بشفورث – مولتن پيشگو – اصلاحگر نيز مي توان براي حل دستگاه معادلات استفاده كرد. كه اين روشها را ارائه مي دهيم:

همچنين براي بدست آوردن مقادير اوليه

مي توان از روش تك گامي مانند رونگه كوتا استفاده كرد.
فصل دوم معادلات ديفرانسيل معمولي تحت شرايط مرزي
۱٫۲ مسايل مقدار مرزي
تفاوت مسايل مقدار مرزي با مسائل قبلي كه بررسي كرديم تفاوت در شرطهاي اوليه است. كه در اين نوع مسائل ما مقدار تابع را در نقاط مرزي به عنوان مقادير اوليه در اختيار

داريم كه براي حل اين نوع مسائل نمي توانيم از روشهاي گام به گام كه تا به حال توضيح داده شده است استفاده كنيم زيرا جواب عددي نمي تواند بدون يك متمم كامل از مقادير اوليه شروع شود.
يك نوع از مسائل مقدار مرزي به صورت زير است كه اين يك مسئله مقدار مرزي دو نقطه اي است.

حال يك مثال از مسئله مقدار مرزي در نقطه اي كه مي تواند بدون هيچ كار عددي حل شود ارائه دهيم.

مي توانيم ابتدا جواب كلي معادله ديفرانسيل را كه به شكل

مي باشد بيابيم. سپس مقادير را به طوري تعيين مي كنيم كه شرايط مرزي برقرار باشند:

بنابراين جواب مسئله برابر است با:

روشي كه اكنون بيان شد كارا نيست اگر جواب عمومي معادله ديفرانسيل با ۳ مقدار مرزي معلوم نباشد.
همچنين مطلوب ما در اينجا روشهاي عددي هستند كه به وسيلة آنها هر مساله مقدار مرزي دو نقطه اي را بتوان حل كرد. قبل از ارائه روشهاي عددي، در مورد وجود جواب براي مسائل مرزي دو نقطه اي بحث مي كنيم و از آنجا كه به سادگي نمي توان به وجود جواب پي برد قضاياي را بيان خواهيم كرد.
براي مثال براي مسئله قبلي اگر مقادير مرزي به تغيير يابند آنگاه معادلات متناقض را بدست مي آوريم. بنابراين پي مي بريم كه مسئله فاقد جواب است.
قضيه ۱ مسئله مقدار مرزي

يك جواب منحصر به فرد دارد اگر در نوار نامتناهي تعريف شده توسط نامساويهاي پيوسته، نامنفي و كراندار باشد.
مثال: نشان دهيد كه مسئله مقدار مرزي دو نقطه اي زير يك جواب منحصر به فرد دارد:

حال: از قضيه استفاده مي كنيم پس:
اين تابع در نوار پيوسته است بعلاوه كراندار بوده و نامنفي مي باشد زيرا بنابراين بر طبق قضيه ۱ داراي يك منحصر به فرد است.
اگر بخواهيم از قضيه يك به طور كلي تر استفاده كنيم بايد از تغيير متغيرها استفاده كنيم و براي انجام اين كار بازه را تغيير مي دهيم. فرض كنيد مسئله اصلي به صورت

زير باشد

كه در آن در اينجا تغيير متغييري به شكل
به كار مي بريم. ملاحظه مي كنيم كه اگر باشد آنگاه و اگر
آنگاه است بنابراين مي توانيم
تعريف كنيم سپس . همچنين

لذا اگر يك جواب براي مسئله باشد آنگاه يك جواب مسئله مقدار مرزي زير است:

بر عكس اگر يك جواب براي (۲) باشد آنگاه تابع
يك جواب (۱) است.
قضيه ۲ مسايل مقدار مرزي دو نقطه اي زير را در نظر بگيريد.

كه در آن
اگر يك جواب باشد آنگاه تعريف شده توسط
يك جواب است. همچنين اگر يك جواب باشد آنگاه
يك جواب است.
اثبات: اين يك بررسي ساده به صورت زير مي باشد:

مثال ۲ با استفاده از قضيه ۲ ملاحظه مي كنيم كه مسايل مقدار مرزي دو نقطه اي زير معادل هستند:

براي تبديل يك مسئله مقدار مرزي دو نقطه اي

به يك مسئله اي كه داراي مقادير مرزي همگن باشد، به طور ساده يك خط تابع خطي كه مقادير را در ۰ و ۱ اختيار مي كند، از
قضيه ۳ مسائل مقدار مرزي دو نقطه اي زير را در نظر بگيريد:

كه در آن
اگر را حل كند، آنگاه تابع
را حل مي كند. به علاوه اگر را حل كند، آنگاه
را حل مي كند.
اثبات: با يك بررسي مستقيم داريم:

مثال ۳ نشان دهيد كه مسئله زير داراي يك جواب منحصر به فرد است:

حل مقادير مرزي در اين مسئله همگن نيستند پس نمي توانيم بلافاصله از قضيه ۱ استفاده كنيم. پس براي تبديل آن به مسئله به مقادير مرزي همگن از قضيه ۳ استفاده مي كنيم و تغيير متغير زير را انجام مي دهيم:

پس

مقادير مرزي براي متغير جديد برابر است با

 

مسئله مرزي براي همانطور كه در مثال ۱ نشان داده شد يك جواب منحصر به فرد دارد. بنابراين مسئله براي يك جواب منحصر به فرد دارد. براي بدست آوردن با توجه به قضيه ۳ داريم:

 

مثال ۴ مسئله مقدارمرزي دو نقطه اي زير را به يك مسئله معادل با مقادير مرزي صفر بر روي بازه {۱و۰}تبديل كنيد:

حل: چون مقدار را در صفر و يك نداريم پس ابتدا از قضيه ۲ استفاده مي كنيم و يك مسئله معادل مي نويسيم:

كه در آن

حال مي توانيم از قضيه ۳ استفاده كنيم پس مسئله معادل ديگر عبارت است از:

حال مسئله مقدار مرزي (۵) را بر حسب حل مي كنيم و جواب مسئله مقدار مرزي (۴) را از معادله

به دست مي آوريم. سپس مسئله مقدار مرزي (۲) را از رابطه زير به دست مي آوريم.

مثال ۵ فرض كنيد كه جواب را بر مسئله مقدار مرزي (۵) محاسبه كنيم جواب متناظر براي مسئله مقدار مرزي (۳) چيست؟
حل داريم
و همچنين نتيجه مي دهد كه بنابراين جواب عبارت است از:

قضيه ۴ فرض كنيد يك تابع پيوسته از باشد كه
فرض كنيد بر روي اين دامنه داشته باشيم.

آنگاه مسئله مقدار مرزي دو نقطه اي

داراي يك جواب منحصر به فرد در مي باشد.
اثبات: مسئله مقدار مرزي در قضيه فوق با مسئله انتگرال زير معادل مي باشد.

كه در آن تابع گرين به صورت زير است:

معادله انتگرالي به دست آمده داراي شكل است كه عملگر تعريف شده توسط انتگرال است. با استفاده از قضيه نگاشت انقباضي با ناخ در فضاي نتيجه مي گيريم كه داراي يك نقطه ثابت منحصر به فرد است و معادلات فوق جوابهاي منحصر به فرد دارند.
مثال : نشان دهيد مسئله زير داراي جواب منحصر به فرد است:

حل: در اينجا . بنا بر قضيه مقدار ميانگين

مشقهاي مورد نياز در اينجا در رابطه

صدق مي كند. بنابراين داراي جواب منحصر به فرد است.

۲٫۲ مسايل مقدار مرزي: روشهاي تيراندازي
در اين قسمت به حل عددي معادلات ديفرانسيل معمولي با شرايط مرزي كه صورت مسئله به صورت زير است مي پردازيم. قابل ذكر است كه شرايط مرزي و اوليه براي معادلات ديفرانسيل از مرتبه هاي بالاتر از يك كه اينجا نيز مسئله ما يك مسئله با مرتبه ۲ است با هم فرق دارند و از يكديگر متمايز مي شوند.

در اينجا نيز قضيه هايي براي يگانگي جواب براي مسئله (۱) وجود دارند كه آنها را بيان مي كنيم.
قضيه ۱ اگر تابعي از سه متغير حقيقي با مقدار حقيقي باشد كه روي ناحيه پيوسته باشد و هر

گاه وجود داشته باشند و پيوسته باشند آنگاه مسئله مقدار مرزي (۱) داراي جوابي يكتا است. هر گاه:
الف) به ازاي هر
ب) ثابتي مانند وجود داشته باشد كه
مثال معادله ديفرانسيل

مفروض است آيا معادله داراي جوابي يكتا است.
حل:

بنابراين داراي جوابي يگانه در درون ناحيه است.
يكي از راههاي حل عددي مسئله مورد نظر روشهاي تيراندازي است كه اين روشها نيز بسته به نوع خطي يا غير خطي بودن مسئله (۱) به دو نوع تيراندازي خطي و غير خطي تقسيم مي شوند. حال در ابتدا فرض مي كنيم كه مسئله مقدار مرزي دو نقطه اي (۱) خطي باشد. بنابراين مسئله (۱) به صورت زير در مي آيد:

فرآيند تيراندازي به صورت كلي بر اين اساس است كه براي حل مسئله مقدار اوليه با يك حدس براي مقدار اوليه مناسب شروع مي كنيم. سپس مي توانيم از معادله انتگرال گيري كنيم تا يك جواب تقريبي به دست آوريم به طوريكه اگر چنين نشد مي توانيم مقدار حدس زده شدة را تغيير دهيم و دوباره سعي كنيم. سعي مي كنيم مقدار حدس زده شدة را با نشان دهيم. بنابراين مسئله مقدار اولية (۱) عبارت است از

جواب اين مسئله مقدار اولية با نشان مي دهيم. هدف انتخاب مي باشد به صورتي كه قرار مي دهيم
بنابراين هدف ما به طور ساده حل معادله بر حسب است. مي توانيم براي حل آن از روش وتري و تصنيف فاصله و نيوتن استفاده كنيم.
روش تيراندازي در تلاش محاسباتي كاملاً گران تمام مي شود. و مهم است كه روشهايي را براي اقتصادي كردن آن در نظر بگيريم. به وضوح از هر اطلاع جزيي دربارة مقدار صحيح بايد بهره برداري كرد. همچنين ممكن است مسائل مقدار اوليه را با يك اندازة گام بزرگ حل كرد، زيرا دقت بالا اساساً در مراحل اوليه روش تيراندازي از بين مي رود. فقط وقتي
نزديك صفر است بايد از يك اندازه گام كوچك استفاده كرد.
روش وتري
اين روش براي حل يك معادله به كار مي رود. به صورتي كه دو مقدار مثلاً و در دسترس باشد. و خطي است. با استفاده از معادلة خط مستقيم گذرنده از داريم:

اگر را به قسمتي انتخاب كنيم كه فرمول زير را بدست مي آوريم.

اين فرآيند مي تواند براي بدست آوردن دنبالة مقادير توسط
تكرار شود. اين معادله روش وتري را تعريف مي كند.
مثال: از روش خط قاطع (وتري) براي يافتن صفرهاي تابع زير استفاده كنيد.

حل: يك رسم تقريبي نشان مي دهد كه صفر بين ۷ و ۸ وجود دارد. ما اين نقاط را در الگوريتم به عنوان اختيار مي كنيم. نتايج زير را خواهيم داشت:

بنابريان در روش وتري وقتي چند مقدار بدست آمده باشد كه براي آنها تقريباً صفر باشد مي توانيم اين روش را متوقف كنيم و از چند جمله اي در ديناب براي تقريب زدن يك مقدار بهتر استفاده نماييم. كه چگونگي انجام اين عمل به شرح زير است: فرض كنيد كوچك باشند. يك چند جمله اي كه جدول

را درونيابي كند مي يابيم. بنابراين چند جمله اي داراي خاصيت
به ازاي مي باشد. تقريب بعدي ، توسط معادله
تعيين مي شود. اين رويه به يك تقريب تابع معكوس توسط چند جمله اي ، منجر مي شود. موفقيت آن به اينكه يك معكوس مشتق پذيرد در همسايگي ريشه داشته باشد بستگي دارد. و اين نيز به نوبة خود به اين فرض نياز دارد كه ريشة مورد سؤال ساده باشد.
حال مسئلة (۲) را در نظر مي گيريم و در استفاده ازروش تيراندازي فرض مي كنيم تابع نيز خطي باشد كه در اين صورت روش وتري جواب واقعي را در يك گام ارائه مي دهد. در دنباله مطالب فرض خواهيم كرد كه توابع بر روي بازه پيوسته باشند. براي حل مسئله (۲) دو مسئله زير را مطرح مي كنيم كه بايد حل شوند:

حال يك تركيب خطي از تشكيل مي دهيم:

كه در آن پارامتر است. به راحتي تحقيق مي شود كه معادله ديفرانسيل را حل مي كند و اولين شرط از دو شرط مرزي برآورده مي سازد يعني . ما را به قسمي انتخاب مي كنيم كه . بنابراين

در يك اجراي كامپيوتري اين ايده ها براي مسئله خطي (۲) مي توانيم را در يك زمان به دست آوريم. لذا دو مسئله (۳) و (۴) را مي توان با مقادير اولية زير حل كنيم:

 

جواب معادله اول كه از مسئله (۳) بدست آورديم برابر است و جواب معادله دوم كه از مسئله (۴) بدست آورديم برابر است.
براي بدست آوردن مي توانيم از روش سري تيلور استفاده كنيم. حال براي ايجاد يك دستگاه معادلات مرتبه اول كه در آن به طور صريح ظاهر نشده باشد را نيز تعريف مي كنيم سپس دستگاه معادلات ديفرانسيل با مقادير اوليه به صورت زير است:

 

اين دستگاه بايد به عنوان ورودي به يك برنامه كامپيوتري داده شود تا مسئله مقدار اوليه حل شود. مقادير تقريبي توابع گسستة به ازاي بايد در حافظة كامپيوتر به عنوان يك آراية يك بعدي ذخيره گردند. سپس مقدار بايد توسط معادلة محاسبه
شود. بالاخره جواب در هر نقطه دلخواه بايد از معادله

محاسبه شود.
قضيه ۲ اگر مسئله مقدار مرزي دو نقطه اي (۲) يك جواب داشته باشد آنگاه خودش يا يك جواب هستند. (و يك جواب است).
اثبات: فرض كنيد جوابهاي مسايل مقدار اولية زير باشند.
بنابر نظريه معادلات ديفرانسيل خطي مرتبه دو جواب عمومي معادله ديفرانسيل (۲) عبارت است از:

كه در آن ثابت هاي دلخواه هستند. فوراً ملاحظه مي كنيم كه توابع مسائل (۳) و (۴) حالتهاي خاصي از جواب هاي عمومي هستند كه به صورت زير ارائه مي شوند:

چون فرض شده است كه مسئله رابط (۲) يك جواب دارد اعداد وجود
دارند به قسمي كه

اولين معادله از اين معادلات به منجر مي شوند و بنابراين را به صورت زير نتيجه مي گيريم:

اگر آنگاه تابع تعريف شده توسط معادلات (۵) و (۶) جواب (۲) است. اگر آنگاه از معادلات (۷) داريم معادله (۸) مي گويد كه و معادلة (۷) مي گويد كه يك جواب است.
روش نيوتن
حال به مسئله كلي تر مقدار مرزي دو نقطه اي معادله (۱) بر مي گرديم. و چگونگي كاربرد روش نيوتن را كه به آن اشاره كرديم توضيح مي دهيم. مي دانيم كه به عنوان جواب مسئله زير تعريف مي شود:

مي خواهيم را به گونه اي انتخاب كنيم كه
فرمول نيوتن براي تابع به صورت
مي باشد. براي تعيين از همة معادلات (۹) نسبت به مشتق جزئي مي گيريم:

با كمي ساده كردن و وارد كردن متغير جديد اين معادله به صورت

در مي آيد. ما اين مجموعه معادلات را به عنوان يك مسئله مقدار اوليه مي شناسيم. معادله ديفرانسيل (۱۱) اولين معادله وردشي ناميده مي شود. اين معادله مي تواند گام به گام همراه با معادله (۹) حل شود. در انتها در دسترس خواهد بود و داريم:

اين رابطه ما را به استفاده از روش نيوتن قادر مي سازد معادله (۱۰) براي يافتن يك صفر است.
مثال: مسئله زير را با توجه به شرايط اوليه حل كنيد: (تيراندازي خطي)

 

حل:

از روش سري تيلور داريم:

 

تيراندازي چندگانه:
استراتژي اصلي در روشهاي تيراندازي چندگانه تقسيم بازة داده شده به زير بازه ها در حل مسئله كلي در قطعه هامي باشد. ابتدا اين روش را براي حالتي بيان مي كنيم كه بازه فقط به دو زير بازة تقسيم شده باشد.
مسئله اصلي مانند قبل است يعني

بر روي دو زير بازه مسايل مقدار اوليه را حل مي كنيم و توابع را بدست مي آوريم.

توجه كنيد كه پارامترهاي در اختيار ما هستند. تابع فقط بر روي بازه و تابع فقط بر روي بازه مورد نياز هستند. جواب عددي
در جهت كاهش به پيش خواهد رفت.
حال پارامترهاي تعديل مي گردند تا تابع قطعه اي

يك جواب مسئله شود. بنابراين نياز به پيوستگي در نقطه داريم:
اين دو شرط با يك انتخاب ماهرانة برآورده مي شود. نوعاً اين عمل توسط روش نيوتن در فضاي ۲ بعدي انجام مي شود. كه اين روش به شرح زير است:
در روش نيوتن ۲ بعدي ابتدا بايد بگوييم كه روش نيوتن مي تواند در مورد چندجمله ايهاي كاهش يافته به كار رود. اين فرآيند مي تواند تكرار شود تا تمام صفرها تعيين شوند. تجربيات و تجزيه و تحليلهاي بيشتر نشان داده اند كه اين روش به طور كلي رضايت بخش خواهد بود به شرط آنكه دو احتياط زير در نظر گرفته شوند:
(الف) صفرها بايد به ترتيب بزرگي اندازه محاسبه شوند.
(ب) هر صفر كه توسط روش نيوتن و از چند جمله ايهاي كاهش يافته بدست مي آيد بايد فوراً با به كارگيري روش نيوتن در مورد چند جمله ايهاي اصلي و استفاده از بهترين تقريب آن صفر به عنوان مقدار اوليه بهبود يابد. فقط بعد از انجام اين عمل بايد گام بعدي كاهش يابد.
تيراندازي چندگانه همراه زير بازه شامل زير تابع خواهد بود كه هر كدام از آنها توسط حل عددي يك مسئله مقدار اوليه بدست مي آيند. مقادير اوليه اين زير تابع يك مجموعه پارامتري را تشكيل خواهند داد.
در هر نقطه تقسيم داخلي بازه، پيوستگي تابع كلي و مشتق اول آن بايد تحميل شود. اين تحميل، شرط ايجاب مي كند. دو شرط روي نقاط انتهايي وجود دارد و بنابراين تعداد شرايط با تعداد پارامترها مساوي است. دستگاه حاصل از معادلات غير خطي به طور تكراري حل مي شود. به عنوان مثال توسط روش نيوتن در ابعاد بالاتر حل مي شود.
روش نيوتن براي حل دستگاه معادلات غير خطي
فرض مي كنيم دستگاه معادلات غير خطي به صورت باشد كه داريم
بنابراين

روش نيوتن براي حل از بسط تيلوري تابع در حول نقطه اي نزديك به جواب شكل مي گيرد. و در واقع حاصل خطي سازي دستگاه معادلات غير خطي است.
فرض مي كنيم جواب معادله باشد و تخميني از به اندازه كافي نزديك به آن باشد. بسط تيلوري را به مركز مي نويسيم.

كه برداري از لحاظ طول كراندار است.
اكنون اگر باشد داريم:

اگر عبارت قابل صرف نظر باشد معادله فوق به صورت تقريبي زير در مي آيد
بنابراين اگر معادله را حل كنيم تقريبي از را بدست مي آوريم كه آن را مي ناميم.

قرار مي دهيم لذا داريم:

 

با حل اين دستگاه بر حسب جواب را تعيين مي كنيم كه داريم:

بررسي مي كنيم كه آيا در شرط توقف صدق مي كند يا خير. به همين ترتيب هر بار به كمك بدست آمده در مرحله قبلي معادله ماتريسي را حل مي كنيم تا به صورت زير تعيين شود
اگر اترمينان مخالف صفر باشد قرار مي دهيم
از لحاظ نظري رابطه تكراري زير بدست مي آيد:
كه در آن اما داريم:

كه همان ماتريس ژاكوبين تابع است.
چون اغلب محاسبه وقتي n بزرگ باشد دشوار است معمولا براي تعيين ها دستگاه معادلات رابطه به معادله ماتريسي را حل ميكنيم . از لحاظ نظري مي توان ها را به صورت زير بدست آورد :

ماتريس بدست آمده با قرار دادن به جاي ستون است .
بيشتر نرم افزارهاي موجود براي مسايل مقدار مرزي دو بعدي براي يك دستگاه معادلات ديفرانسيل معمولي مرتبه اول
نوشته شده اند كه در آن
اغلب اجازه داده مي شود كه شرايط مرزي كاملا كلي باشند به عنوان مثال برخي از كدها اجازه مي دهند كه شرايط مرزي به شكل
باشند كه در آن برخي از نرم افزارها نياز دارند كه كاربر ماتريس ژاكوبين تابع F را كه يك ماتريس با درايه هاي
مي باشد فراهم نمايند .
مثال : فرض كنيد كه نرم افزاري از نوع بيان شده در فوق بايد در مورد مساله زيراستفاده شود .

F ، G ، J چه هستند ؟
حل : قرار مي دهيم اكنون مساله مي تواند به صورت زير بيان شود

توابع F و G مي توانند از اين معادلات بدست آيند . تابع ژاكوبين توسط

ارائه مي شود .
حال دو قضيه مهم از نظريه كلي معادلات خطي مرتبه دوم در اينجا ذكر مي كنم .
قضيه ۳ اگر توابعي پيوسته روي بازه بسته باشند . آنگاه به ازاي هر جفت از اعداد حقيقي مساله مقدار اوليه

يك جواب منحصر به فرد بر روي دارد .
قضيه ۴ هر جواب معادله ( نا همگن )
مي تواند به صورت بيان شود كه در آن يك جواب خصوصي معادله بالاست و يك مجموعه مستقل خطي از جوابهاي معادله (‌همگن ) زير تشكيل مي دهند .
۳٫۲ مسايل مقدار مرزي :
روشهاي تفاضل متناهي
گروه مهمي از روشهاي عددي براي حل مساله مقدار مرزي به كمك روشهاي تفاضلاتي شكل مي گيرد . در اين روشها با توجه به فرمولهاي تفاضلاتي مشتقات معادله ديفرانسيل داده شده را به يك دستگاه معادله تفاضلاتي تبديل مي كنيم . مجهولات اين معادلات مقادير تابع در نقاط تقسيم فاصله زير فاصله با طول برابرند . اكنون دستگاه معادلات با مقادير تابع در نقاط تقسيم فاصله زير فاصله با طول برابرند . اكنون دستگاه معادلات مورد نظر را حل مي كنيم و جواب

آن را بدست مي آوريم مقادير جواب مقادير مطلوب ( تقريبي ) هستند .
در اين روشها دو فرمول زير مفيد هستند :
معادلات ديفرانسيل مرتبه دوم
مساله زير را در نظر مي گيريم و توجه داريم كه روشهاي تفاضلات متناهي زير به دو گروه براي معادلات خطيو غير خطي تقسيم مي شوند كه در اينجا به روشهاي تفاضلات متناهي خطي مي پردازيم .

فرض كنيد بازه به وسيله نقاط
افراز شود لازم نيست كه نقاط متساوي الفاصله باشند ، اما در عمل معمولا چنين است . در حقيقت اگر نقاط به طور يكنواخت توزيع نشده باشند ، آنگاه گونه هاي پيچيده تر (۱ ) و (۲ ) بايد وارد شوند . بنابر اين براي سادگي فرض مي كنيم

مقدار تقريبي رابا نشان مي دهيم . بنابر اين گونه گسسته (۳ ) به صورت زير مي باشد .

در معادله (۵ ) مجحولها عبارتند از معادله وجود دارد كه بايد حل شوند .
حال شكل كلي زير را براي f در نظر مي گيريم :

بنابر اين دستگاه (۵ ) يك دستگاه معادلات خطي است كه مي تواند به شكل زير نوشته شود

به طوريكه داريم :
سپس خلاصه نويسيهاي زير را وارد مي كنيم :

بنابر اين دستگاه معادلات به صورت زير مي باشند :

چون عناصر نشان داده شده صفر هستند ، اين دستگاه سه قطري است و مي تواند توسط يك الگوريتم كاوسي خاص حل شود . توجه كنيد كه اگر h كوچك و باشد ، ماتريس دستگاه غالب قطري است زيرا

در اينجا بايد فرض كنيم زيرا سپس جمله هاي
هر دو نا منفي خواهند بود . از اين به بعد فرض مي كنيم كه
به قدر كافي كوچك باشد به قسمي تساوي زير بعدا لازم خواهد شد :

همگرايي
نشان خواهيم داد كه وقتي h به صفر ميل مي كند جواب گسسته به جواب مساله مقدار مرزي ميل مي نمايد . حال براي دانستن اينكه مساله مقدار مرزي

داراي يك جواب منحصر به فرد است قضيه كلر را به صورت زير بيان ي كنيم :
قضيه ۱ مساله مقدار مرزي

داراي يك جواب منحصر به فرد است بر روي بازه است در حالي كه تعلق دارند و

 

به شرط آنكه :
(I ) f و اولين مشتقهاي جزئي آن بر روي دامنه
پيوسته باشند .

ما جواب اصلي مساله رابا و جواب مساله گسسته را با نشان مي دهيم . توجه كنيد كه به بستگي دارد . ما را بر آورد خواهيم كرد و نشان خواهيم داد وقتي اين مقدار به صفر همگرا مي گردد.
با كمك فرمولهاي (۱) و (۲) ملاحظه مي كنيم كه در دستگاه معادلات زير به ازاي صدق مي كند .

از طرف ديگر جواب گسسته در معادلات زير صدق مي كند

اگر معادله (۱۲) را از معادله (۱۱) كم كنيم و قرار دهيم

كه در آن
بعد از جمع آوري جملات و ضرب آنها در معاله اي شبيه به معادله (۷)
داريم يعني :

با استفاده از ضرايبي كه قبلا معرفي شده اند اين معادله را به صورت زير مي نويسيم :

فرض كنيد و انديس اي انتخاب مي كنيم كه براي آن

در اينجا بردار است . پس از معادله (۱۶) به دست مي آوريم :
و با استفاده از معادله (۹)خواهيم داشت :

 

 

بنابر معادله (۱۴) عبارت داخل كروشه يك كران مستقل از h است . بنابراين ملاحظه مي كنيم كه وقتي ، برابر است .
مثال مسئله زير را به روش تفاضلات متناهي حل كنيد ؟

حل:

عناصر ماتريس قطري :

۴٫۲ مسايل مقدار مرزي : هم محلي
روش هم محلي استراتژي فراهم مي كند كه توسط آن مي توانيم بسياري از مسايل را در رياضيات كاربردي حل كنيم . ابتدا يك توصيف كلي ارائه مي كنيم . فرض كنيد يك عملگر خطي L داشته باشيم ( مانند يك عملگر انتگرال يا عمل گر ديفرانسيل ) و بخواهيم معادله زير را حل كنيم

در اين معادله w مفروض ، u مورد جستجو است . برخي روشهاي تقريبي براي حل معادله (۱) با انتخاب يك مجموعه بردارهاي پايه اي
شروع مي كنند معادله (۱) با يك بردار u به شكل زير حل كنند .

چون L يك عملگر خطي است داريم :
و بنابراين معادله (۱) منجر به معادله زير مي شود :
به طور كلي ما قادر به حل دستگاه (۳) نسبت به ضرايب نخواهيم بود ولي احتمالا مي توانيم معادله (۳) را تقريبا برقرار سازيم . در روش هم محلي بردارهاي u ، wو همگي توابعي بر روي يك دامنه مشترك هستند . بنابر اين نياز داريم كه مقادير توابع
در n نقطه از پيش تعيين شده يكسان باشند :
اين يك دستگاه n معادله خطي است كه از آن مي توانيم مقادير n ضريب مجهول را محاسبه كنيم البته ، توابع و نقاط بايد به گونه اي انتخاب شوند كه ماتريس با درايه هاي نا منفرد باشد . (ترمينال مخالف صفر )
مسايل مقدار مرزي استورم – ليو ويل
حال مي خواهيم ببينيم كه اين روش چگونه بر روي يك مساله مقدار مرزي دو نقطه اي استورم – ليوويل عمل خواهد كرد .

در اينجا تابع u مجهول است و بر روي بازه تعريف شده است .و توابع همگي داده شده اند و بر روي بازه پيوسته هستند همچنين انتظار داريم تابع u دو باره به طور پيوسته مشتق پذير باشد . حال اگر عملگر L به صورت زير تعريف كنيم
در جستجوي جوابي در فضاي برداري زير خواهيم بود

از اين رو اگر مجموعه توابع پايه اي را از انتخاب كنيم ، آنگاه شرايط مرزي ه

مگن به طور خودكار برقرار خواهند بود . يك مجموعه از توابع كه خودش را كانديد مي كند مجموعه ( دو انديسي ) زير مي باشد :
به راحتي بررسي مي كنيم كه

از معادلات (۹) و (۱۰) به راحتي مي توان تابع را نوشت . اگر n تابع از مجموعه توصيف شده در معادله (۸) و n نقطه در بازه
انتخاب شوند ، مي توانيم سعي كنيم معادلات هم محلي (۴) را حل كنيم و يك جواب تقريبي مساله (۵) را بدست آوريم .

B – اسپلانيهاي مكعبي
يك انتخاب بهتر از توابع پايه اي براي چنين مساله اي مجموعه B – اسپلانيها خواهد بود .
ابتدا براي آشنايي با B اسپلانيها يك نظريه اساسي در مورد اين توابع ارائه مي دهيم به اين شرح كه : يك تابع اسپلاين از قطعه چند جمله ايها ئي بر روي زير بازه ها تشكيل مي شود كه با شرايط پيوستگي خاص به هم مي پيوندند . به طور رسمي فرض كنيد نقطه
مشخص شده باشند و در رابطه صدق كنند اين نقاط گره ناميده مي شوند . همچنين فرض كنيد يك عدد صحيح از قبل مشخص شده باشد . يك تابع اسپلاين از درجه k داراي گره هاي
يك تابع s است به قسمي كه :
(i) در هر بازه ، s يك چند جمله اي از درجه كوچكتر يا مساوي k باشد .
(ii )s داراي مشتق ام پيوسته بر روي باشد.
از اين رو s يك چند جمله اي قطعه اي پيوسته از درجه حد اكثر k است كه داراي مشتقهاي پيوسته همه مرتبه ها تا مي باشد.
نظريه و ساخت اسپلاينهاي مكعبي را بطور دقيقتر گسترش مي دهيم ، زيرا در اينجا اينها مورد استفاده قرار مي گيرند . فرض كنيد يك جدول مقادير به صورت زير داده شده باشد :

 

و يك اسپلاين مكعبي بايد ساخته شود كه جدول را درون يابي كند . در هر بازه
با يك چند جمله اي درجه سه متفاوت بيان مي شود . فرض كنيد
چند جمله اي مكعبي باشد كه s را بر بازه نمايش دهد. بنابراين

چند جمله ايهاي در نقطه مقدار يكساني را درونيابي مي كنند، بنابراين
از اين رو به طور خودكار پيوسته است. بعلاوه فرض مي شود و پيوسته باشند و اين شرايط در مشتق گيري تابع اسپلاين مكعبي استفاده خواهند شد.
آيا پيوستگي شرايط كافي براي تعريف يك اسپلاين مكعبي فراهم مي آورند؟
در چند جمله اي قطعه اي مكعبي ضريب وجود دارد زيرا در هر يك از چند جمله اي مكعبي ضريب وجود دارد. بر روي هر زير بازه دو شرط درونيابي يافت مي شود و كه شرط را ارائه مي دهند. پيوستگي در هر گره داخلي يك شرط ارائه مي دهد،
كه كلاً شرط ديگر به حساب مي آيند. به طور مشابه پيوستگي نيز
شرط ديگر را ارائه مي دهد. بنابراين به طور كلي شرط براي تعيين ضريب وجود دارد. در درجه آزدي باقي مي ماند و راههاي مختلفي براي بهره گيري از آنها وجود دارد.
اكنون معادله اي براي بر روي بازة به دست مي آوريم. ابتدا اعداد را تعريف مي كنيم. واضح است براي
وجود دارد و در رابطه زير صدق مي كند

زيرا در هر گرة داخلي پيوسته است. چون يك چند جمله اي مكعبي بر روي است يك تابع خطي است كه در
صدق مي كند و بنابراين با معادله خط مستقيم بين ارائه مي شود:

كه در آن اگر دو بار از اين معادله انتگرال بگيريم مهادلة خود به دست مي آيد:

كه در آن مقادير ثابت انتگرال گيري هستند.(براي برسي، دوبار از (۱۴) مشتق بگيريد تا (۱۳) بدست آيد.) اكنون براي تعيين مي توان شرايط درونيابي و را بر تحميل نمود. نتيجه عبارت است از:

معادله (۱۵) نيز به راحتي تحقيق مي شود. به طور ساده قرار دهيد
تا ملاحظه كنيد شرايط درونيابي برآورده مي شوند. به محض اينكه مقادير تعيين شوند معادلات (۱۲) و (۱۵) مي توانند براي محاسبه به ازاي هر دربازة مورد استفاده قرار گيرند.
براي تعيين از شرايط پيوستگي استفاده مي كنيم. در هر گره داخلي ، بايد داشته باشيم . معادله (۱۵) به ما
را با مشتق گيري ارائه مي دهد. سپس با جايگذاري و ساده كردن نتيجه زير به دست مي آيد:

به طور مشابه، با استفاده از معادله (۱۵)، را به دست مي آوريم نتيجه مي شود
وقتي سمت راست معادلات (۱۶) و (۱۷) مساوي يكديگر قرار مي گيرند، نتيجه به صورت زير مي تواند نوشته شود.

اين معادله فقط براي استفاده مي شود. لذا اين دستگاه
معادله خطي براي مجهول ارائه مي دهد.

را مي توانيم دلخواه انتخاب كنيم و دستگاه معادلات حاصل را حل كنيم تا به دست آيند. يك انتخاب جالب عبارت است از
، تابع اسپلاين حاصل يك اسپلاين مكعبي طبيعي ناميده مي شود. دستگاه معادلات خطي (۱۸) براي با متقارن، سه قطري – غالب قطري و به شكل زير مي باشد:

كه در آن

B اسپلاينها دستگاهي از توابع اسپلاين هستند كه از آنها كليه توابع اسپلاين ديگر مي توانند با تشكيل تركيبهاي خطي بدست آيند. چون اين اسپلاينها يك پايه براي فضاهاي اسپلاينهاي خاص فراهم مي كنند آنها را B اسپلاين مي نامند. به محض معلوم بودن گره ها B اسپلاينها به وسيله روابط بازگشتي به راحتي قابل توليد هستند. همچنين B اسپلاينها مي توانند تعميم پيدا كنند.
B-اسپلاينهاي درجة صفر را با نمايش مي دهيم. انديس همة اعداد صحيح را اختيار مي كند. نمودار زير شكل ظاهري را نشان مي دهد:

نقاط پر رنگ روي نمودار ما را به اين راهنمايي مي كند كه تعريف كنيم
تعريف رسمي به صورت زير است:
اگر
در غير اين صورت
اين B اسپلاينها يك دنباله نا متناهي تشكيل مي دهند.
( در اينجا مجموعة همة اعداد صحيح، مثبت، منفي يا صفر را نمايش مي دهد.)
حال در دنباله اي از لمها خواص مهم خانوادة مي گوييم.
لم ۱ اگر آنگاه
لم ۲ فرض كنيد . اگر ، آنگاه
لم ۳ داريم
لم ۴ به ازاي هر
لم ۵ به ازاي

وقتي ، معادله براي تمام ها به جز برقرار است.حال به مساله اصلي مورد نظر برمي گرديم و مساله مدل را يك مساله كمي كلي تر اختيار مي كنيم يعني

براي اينكه توابع پايه اي دو مشتق پيوسته داشته باشند، فقط توابع
B- اسپلاين را با در نظر مي گيريم. براي راحتي اختيار مي كنيم
. همچنين از گره ها به عنوان نقاط هم محلي استفاده مي كنيم. فرض كنيد تعداد توابع پايه اي مورد استفاده (و تعداد ضرايبي كه بايد تعيين شوند) باشد. بايد مجموعاً شرط براي تعيين ضريب وجود داشته باشد. چون دو شرط مرزي وجود دارد يعني

ملاحظه مي كنيم كه بايد شرط هم محلي داشته باشيم:

اين شرايط ما را به تعريف زير هدايت مي كنند

 

گره هاي كه در بازه قرار دارند عبارتند از اين گره ها نقاط هم محلي هستند. برخي گره هاي خارج بازه براي تعريف B- اسپلاينهاي مورد نياز خواهند بود. ترتيب گره ها در شكل زير نشان داده شده اند:

B- اسپلاينهاي مكعبي مورد نياز ما آنهايي هستند كه بر روي متحد با صفر نيستند. آنها هستند. از اين رو به ازاي قرار مي دهيم . چون گره ها متساوي الفاصله هستند، توابع مي توانند از يك تك B- اسپلاين كه با نمايش داده مي شود و به صورت زير تعريف مي گردد، به دست آيند.
بر روي {۱و۲-}
(۲۱) بر روي{۰و۱-}
بر روي{۲و۰}
در جاهي ديگر
سپس به راحتي بررسي مي كنيم
(۲۲)
نمودار تابع در شكل زير نشان داده شده است و لزوماً يك اسپلاين مكعبي است.

مشتقهاي اول و دوم در محاسبه مورد نياز هستند. اين مشتقها به سهولت از معادلات (۲۰) و (۲۱) به دست مي آيند. در يك برنامه كامپيوتري براي اجراي روش هم محلي با استفاده از B- اسپلاينهاي مكعبي، بايد زير برنامه هايي براي محاسبه بنويسيم سپس ماتريس عناصر مي تواند به طور كارا محاسبه گردد. اين يك ماتريس نواري خواهد بود زيرا هر تابع يك محمل كوچك دارد.
فصل سوم – معادلات ديفرانسيل خطي
۱٫۳ در اينجا دستگاههاي معادله ديفرانسيل خطي با ضرايب ثابت را در نظر مي گيريم. فرض مي شود كه دستگاهها خود مستقل باشند. به اين معنا كه متغير مستقل به طور صريح ظاهر نمي شود چنين دستگاهي داراي شكل زير است:

با نماد گذاري بردار ماتريسي اين دستگاه به صورت ساده

در مي آيد كه در آن

مقادير ويژه و بردارهاي ويژه
حال مي خواهيم اين دستگاه را با يك برادار به شكل
كه يك بردار ثابت است حل كنيم. با قرار دادن اين جواب آزمايشي در معادله (۲) به دست مي آوريم.

بنابراين اگر
آنگاه تابع برداري در حقيقت يك جواب معادله (۲) است.
قضيه ۱ اگر يك مقدار ويژة ماتريس و اگر يك بردار ويژه متناظر با آن باشد آنگ

اه يك جواب معادلة است.
اين قضيه به اين نكته دلالت دارد كه معادله ديفرانسيل
اطلاعاتي از مقادير ويژه و بردارهاي ويژة را در بر خواهد داشت.
قضيه ۲ اگر ماتريس يك مجموعه مستقل خطي از بردارهاي ويژه
داشته باشد، آنگاه فضاي جواب معادله
يك پايه با دارد.
اثبات: مجموعة مستقل خطي است زيرا

به ازاي منجر مي شود. براي اثبات اينكه مجموعه مورد سؤال، فضاي جواب را پديد مي آورد، فرض كنيد كه يك جواب دلخواه باشد. به عنوان عنصري از يا ، بردار اوليه يك تركيب خطي از
است يعني

تعريف مي كنيم پس

بنابراين جوابهاي معادله ديفرانسيل هستند و هر دو مقدار اوليه يكسان را دارا مي باشند. بنابر قضيه يكتايي براي مسأله مقدار اوليه نتيجه مي گيريم كه يا به عبارت ديگر

اگر خاصيت ذكر شده در قضيه ۲ را دارا باشد آنگاه يك ماتريس نامنفرد كه ستونهايش بردارهاي هستند، وجود دارد. معادلات
براي ، در نماد ماتريسي به شكل

مي باشد كه در آن يك ماتريس قطري و داراي مقادير
بر روي قطر مي باشد. تغيير متغيرهاي (وابسته) توصيف شده توسط آ
را در نظر بگيريد. چون نامنفرد است مي توانيم آ را از به دست آوريم. حال آ داراي خاصيت زير است:

بنابراين معادله ديفرانسيل بر حسب آ بسيار ساده تر از معادله ديفرانسيل بر حسب مي باشد، زيرا يك ماتريس قطري است. تك تك معادلات در دستگاه آ نامربوط هستند و مي توانند به طور جداگانه حل شوند.
مثال ۱ مسأله مقدار اوليه را وقتي كه

حل كنيد.
حل: ماتريس به صورت

است. و ترمينال آن چند جمله اي مشخصة است.

صفرهاي اين چند جمله اي مقادير ويژة هستند و عبارتند از
براي هر كدام از اينها يك بردار ويژه با حل به دست مي آوريم. با قرار دادن اين بردارها به عنوان ستونهاي يك ماتريس ، به دست مي آوريم.

سپس پيدا مي كنيم

اگر ، آنگاه مسأله مقدار اولية بر حسب آ برابر است كه در آن

از اينرو داريم

 

و جواب عبارت آن عبارت است از

چون جواب متناظر براي عبارت است از

نماي ماتريسي
بك روش رسمي زيبا براي حل دستگاه وجود دارد كه البته تا زماني كه مايل نيستيم جوابهاي عددي را محاسبه مي كنيم لازم نيست به مقادير ويژة رجوع كنيم.
تعريف ۱ اگر يك ماتريس مربعي باشد قرار مي دهيم

اين تعريف از سري استاندارد زير با جايگذاري يك ماتريس به جاي متغير مختلط به دست مي آيد

براي بررسي اينكه سري همگرا است، يك نرم دلخواه در اختيار مي كنيم و از ماتريس طبيعي متناظر براي ماتريسهاي استفاده مي كنيم. انتهاي سري ما مي توانيد به صورت زير تخمين زده شود:

اين آخرين عبارت انتهايي سري نمايي معمولي است وقتي كه . بنابراين انتهاي سري براي وقتي كه به صفر همگرا مي گردد. ( در اين استدلال كامل بودن فضاي ماتريسهاي با نرم داده شده به عنوان معلوم فرض مي شود.)
اگر يك متغير حقيقي باشد آنگاه و تعريف ما نتيجه مي دهد

با مشتق گيري سري نسبت به و ساده كردن نتيجه، خواهيم داشت:

قضيه ۳ جواب مسأله مقدار اوليه

از قبل تعيين شده
به صورت است.
اثبات: از فرمول با ، فوراً نتيجه مي گيريم.

ماتريسهاي قطري و قطري شدني
براي استفاده از نتيجة قبلي در عمل، لازم است كه نماي ماتريسي به روش كارايي محاسبه شود. با حالتي شروع مي كنيم كه در آن يك ماتريس قطري مي باشد. اگر آنگاه
كه به آساني بررسي مي شود از اينرو براي يك چنين ماتريس اي داريم

در اين حالت خاص، جواب معادله ديفرانسيل داراي مؤلفه هاي زير است

اين تحليل حالتي را كه در آن قطري نيست اما قطري شدني است، در بر مي گيرد. اين جمله قطري شدني به اين معنا ست كه مشابه يك ماتريس قطري باشد يا به عبارت ديگر به ازاي يك ماتريس قطري و يك ماتريس نامنفرد . اگر اين درست باشد، تغيير متغير
معادله ديفرانسيل را به تغيير مي دهد، همان طور كه در معادله (۵) نشان داده شد. شرط اوليه به
تبديل مي شود و جواب عبارت است از